Simulado Enem
Respostas
MATEMÁTICA
QUESTÃO 1
Precisamos calcular a área do quadrado, que representa
a casa, e a do trapézio, que representa o terreno.
Temos todos os dados necessários para o cálculo da
área do trapézio pela fórmula
QUESTÃO 2
Vamos imaginar que a cidade disponha de 1 000
luminárias. Então, conforme o enunciado, após a troca,
teremos 400 luminárias novas e 600 antigas.
Se 2% das luminárias novas apresentaram problemas,
esse valor corresponde a: 2% . 400 = 8 luminárias novas.
Entre as antigas, 6% apresentaram defeito.
Então: 6% . 600 = 36 luminárias antigas.
Repare que:
• B é a medida da base maior
No total, 8 + 36 = 44 luminárias tiveram problemas.
Sobre o total de 1 000 luminárias, isso corresponde a
• b é a medida da base menor
• h é a altura
• Como a unidade de todas essas medidas é a mesma,
vamos chamá-la de u para comprimento e u2 para área.
Substituindo esses valores na fórmula, temos:
O comprimento de cada lado do quadrado é dado pela
diferença:
De tal modo que a área do quadrado é:
Lembrando que razão é uma proporção, ou seja, uma
fração, a razão entre a área da casa e a do terreno é
Resposta: D
Resposta: B
QUESTÃO 3
QUESTÃO 4
A área do terreno é a soma das áreas de um triângulo,
de um retângulo e de um setor circular. Vamos calcular
cada uma dessas áreas, separadamente, e depois
somá-las.
O volume do cilindro é dado por: Vcilindro = π . (rbase do cilindro)2 . hcilindro
O volume do cone é dado por:
a) Cálculo da área do retângulo:
Segundo o enunciado, o raio da base do cilindro é R e o raio da base do cone, 2R.
O volume de areia não mudou. Então, temos:
As dimensões são dadas no enunciado, de modo que
basta calcular o produto:
Vcilindro = Vcone
Árearetângulo = 7 . 4 = 28 km2
Eliminando π nos dois lados da igualdade:
b) Cálculo da área do triângulo:
A figura mostra que o triângulo dado é isósceles (tem
um ângulo reto e outro de 45º). Então, o terceiro ângulo
é congruente ao segundo – ou seja, tem a mesma
medida, de 45º. Como consequência, seus dois catetos
também são congruentes – ambos medem 7 km. A área
do triângulo é:
Lembre que:
• a área do círculo é dada por Áreacírculo = π .
r é o raio do círculo;
Eliminando R2 também dos dois lados da igualdade:
Invertendo a igualdade:
Resposta: A
r2
, em que
• um círculo tem 360º.
Conhecemos a medida de um dos lados do setor
circular: 4 km. Essa seria a medida do raio do círculo do
qual foi retirado o setor. Então:
QUESTÃO 5
Vamos denominar a quantidade de alunos na escola de a e a quantidade de
professores, de p. Segundo o enunciado, temos que, inicialmente,
Acírculo = 16 . π . km2
A área de qualquer setor circular é diretamente
proporcional à razão entre o ângulo do setor e os 360º do
círculo completo.
Desse modo, podemos comparar as duas áreas e os dois
ângulos:
Se adicionarmos 400 alunos e 16 professores aos valores de a e p,
respectivamente, a proporção muda:
Substituindo (1) em (2), obtemos:
360° → 16 . π km2
45° → x . π km2
Em que sai o valor x = 2 . π km2
Consideramos o valor aproximado de π ≈ 3,14. E
somamos as áreas das três figuras:
Áreaterreno = 28 + 24,5 + 6,28 = 58,78 km²
Resposta: D
Substituindo esse valor em (1), temos que a = 1 200 alunos.
Resposta: E
QUESTÃO 6
O volume do paralelepípedo é dado por V = h . b2
Em que h é a altura do paralelepípedo, ou seja, a distância entre duas de
suas bases paralelas, e b2 é a área da base, um quadrado de lados b.
No paralelepípedo apresentado na questão, V1 = 4 . x2 m3
O volume do cilindro é dado por:
V = π . (rbase)2 . h
QUESTÃO 8
Pelo enunciado, temos que:
• AB = CD = EF = x
• BF = 60 – 3x
• P = G + 40
Assim, a área dos dois viveiros é:
No cilindro da questão,
G + P = G + (G + 40) = (60 – 3x) . x
Podemos escrever a relação entre os dois volumes, apresentada no
enunciado, desta forma:
2G + 40 = 60x – 3x²
2G = -3x² + 60x – 40
Então:
G será máxima para x = xV da parábola que representa G em função de x.
Resposta: C
QUESTÃO 7
Vamos utilizar a forma canônica da função do 2º grau (que evidencia as
coordenadas do vértice) para obter a forma geral (em que o coeficiente c
indica o ponto em que a parábola corta o eixo y).
y = a . (x - xV)2 + yV
y = a . (x - 4)2 - 1
y = a . (x2 - 8x + 16) - 1 (1)
Substituindo as coordenadas do outro ponto, temos:
0 = a . (52 - 8 . 5 + 16) - 1
1 = a . (25 - 40 + 16)
a = 1 (2)
Substituindo (2) em (1):
y = 1 . (x2 - 8x + 16) - 1
y = x2 - 8x + 15
O coeficiente c = 15 indica que a parábola intercepta o eixo das ordenadas
(y) no ponto (0,15).
Resposta: B
Como x = 10, então, BF = 60 – 30 = 30
Assim, a área dos dois viveiros é 10 . 30 = 300 m²
2G + 40 = 300
2G = 260
G = 130 m²
P = 170 m²
Daí que P = 170 = 10 . DF
DF = 17 m.
Resposta: C
QUESTÃO 9
QUESTÃO 10
Vamos analisar cada uma das afirmações:
Procuramos o valor de t para o qual f(t) = 2 mg.
a) Como podemos observar no gráfico, a função tem apenas uma raiz, que
é o ponto em que a curva tangencia o eixo x e corresponde ao vértice da
parábola. Substituindo as coordenadas do vértice V(1, 0) na forma canônica
da função quadrática, obtemos:
Sabemos pelo enunciado que a dose única K = 128 mg.
y = a . (x - x V )2 + y V
y = a . (x - 1)2 + 0
Para x = 0, temos:
y = a . (0 - 1)2 → y = a, para x = 0, ou seja f(0) = a
Se substituirmos t = 0 na função
expoente zero é igual a 1.
, a potência de base meio e
Disso resulta que, para t = 0, f(0) = K. Ou seja, no instante 0, quando o
paciente acabou de ingerir a dose, seu organismo contém K mg, qualquer
que seja o valor da dose.
Queremos, então, determinar o tempo para que, de uma dose única de 128
mg, restem apenas 2 mg. Substituindo os valores na função dada, temos:
Agora, se substituirmos x = 0 na forma geral, y = ax² + bx + c, obtemos f(0) = c
Daí resulta que a = c.
Como
Temos, então, que
Portanto,
a + b + c = a – 2a + a = 0.
Como em qualquer equação, nosso objetivo agora é isolar a incógnita, que
neste caso está no expoente. Vamos tentar eliminar qualquer coisa que não
seja a incógnita do segundo termo da igualdade. Então, dividindo os dois
lados da equação por 128, temos:
Simplificando a fração
, ficamos com:
A primeira afirmação é verdadeira.
b) Como a função tem apenas uma raiz, já que a parábola é tangente ao eixo
x, o valor do seu discriminante ∆ = 0. Então:
Ora, 64 = 26. E
. Então:
b2 - 4 . a . c = 0 → b2 = 4 . a . c
A segunda afirmação é, portanto, verdadeira.
c) Temos que, quando x = 0, f(0) = c.
Quando x = 2, o ponto (2, y) é simétrico ao ponto (2, c) pelo eixo de simetria
que passa pelo vértice da parábola. Consequentemente, esses dois pontos
têm a mesma coordenada y.
Portanto, f(2) = c.
A terceira afirmação também é verdadeira.
d) Pelo gráfico, podemos perceber que c < 0 (o ponto em que a curva cruza
o eixo y está no semiplano inferior) e que a < 0 (a concavidade da parábola
está voltada para baixo). Sabemos também que x V é positivo.
A partir da fórmula do x V , que relaciona b e a, podemos concluir que b
também é positivo.
É só raciocinar a partir dessa fórmula:
Portanto, essa última afirmação também é verdadeira.
Resposta: E
Lembrando que potências de mesma base só são iguais se os expoentes
forem os mesmos, concluímos que:
Resposta: C
QUESTÃO 11
Este é um tipo de questão que tem se tornado bastante comum em
vestibulares e provas. Nela, os examinadores misturam conteúdos
aparentemente bem distintos. Nesse caso, logaritmos e progressões
aritméticas. Você observará que, em dado momento, após resolver tudo
relativo aos logaritmos, teremos de verificar se a sequência obtida é de fato
uma PA e, para isso, calcular sua razão. Acompanhe.
Vamos começar escrevendo todos os logaritmos em base 2, já que, para
podermos comparar e operar com logaritmos, precisamos que todos estejam
na mesma base.
Multiplicando os dois lados da igualdade por 3 (para eliminar o denominador
do primeiro termo), ficamos com:
4 . log2x + 3 = 6 + 3 . log2x
log2x = 3
Aplicando-se a definição de logaritmo, obtemos x = 8.
Substituindo esse valor na função que define o primeiro termo da PA, temos que:
Como a1 já é base 2, vamos aplicar a mudança de base em a2 e a3.
Lembrando que a forma como se opera a mudança de base de um logaritmo
é:
, temos:
Aplicando as propriedades dos logaritmos, simplificamos esses valores:
Primeiramente, vamos confirmar se a sequência obtida é de fato uma PA.
Para isso, vamos trocar os valores obtidos por frações equivalentes e que
tenham o mesmo denominador; observe as duas sequências idênticas, como
indicado pelo sinal apropriado:
Pode-se concluir que se trata de uma PA decrescente, de razão
O enunciado diz que a1, a2 e a3 formam uma progressão aritmética. Sendo
assim, seus valores obedecem à propriedade das PAs segundo a qual, se a2 é
um termo intermediário entre os demais, então:
A soma dos três termos é igual a
a1 + a3 = 2 . a2
Substituindo nessa expressão os valores obtidos anteriormente, temos:
Achando o MMC (mínimo múltiplo comum) da soma do primeiro termo da
igualdade, temos:
Agora que temos frações com o mesmo denominador, podemos
simplesmente somá-las:
Resposta: B
QUESTÃO 12
QUESTÃO 13
No triângulo PQO, o segmento OQ mede
unidades (vamos chamar de u).
No mesmo triângulo, o segmento OP mede 2u, já que OP é exatamente o raio
da circunferência (ou seja, dista do centro O o mesmo que o ponto A).
Em relação ao ângulo QOP, OQ é o cateto adjacente e OP, a hipotenusa.
Aplicando a fórmula do cosseno do ângulo α (QÔP):
A questão pede que se comparem uma PA com uma PG.
A primeira forma de pagamento implica na PA (100, 250, 400, ..., a9)
O nono termo da PA de razão 150 e primeiro termo igual a 100 é
a9 = 100 + 8 . 150 = 1 300
A soma dos nove termos é:
Temos:
α
α
, que é o montante total da dívida.
No triângulo retângulo AOT, repare que:
• AO é o cateto adjacente ao mesmo ângulo α;
Caso esse valor fosse pago através de uma sequência de valores em PG de
razão 2, conforme o enunciado, teríamos uma soma de n termos, com n
desconhecido:
• o enunciado diz que AO mede 2u;
• AT é o cateto oposto a α.
Assim, podemos escrever a tangente de α:
Sabemos que α = 30º e a tangente desse ângulo é um valor notável:
Resposta: B
Então:
α
Resposta: A
QUESTÃO 14
Vamos nomear os quatro termos da sequência: (a, b, c, d).
Segundo o enunciado, o produto b . c = 77.
Se os quatro termos são inteiros e positivos, vamos fatorar o número 77 em
números primos.
Descobrimos que há apenas duas possibilidades para o produto acima:
ou b = 7 e c = 11, ou vice-versa, b = 11 e c = 7. De um jeito ou de outro,
a soma b + c = 18.
De qualquer modo, em toda PA, a soma de termos simétricos em relação ao
centro da sequência é constante. Sendo assim, a + d = c + b = 18. Portanto,
os quatro termos têm de somar 36.
Resposta: D
QUESTÃO 15
Se o capital ficou aplicado por um ano e rendeu 10% ao final desse período,
então os 10 000 reais representam 110% do capital aplicado. Então:
QUESTÃO 17
Como a palavra PERGUNTA não tem letras repetidas, o número de anagramas
que a palavra PERGUNTA permite é igual a 8! = 40 320 anagramas.
A quantidade de grupos que podem ser formados com seis alunos tomados
3 a 3 é resultado de uma combinação C6,3:
Isso significa que, dos 10 000 reais resgatados, 10 000 – 9 090,90 = 909,09
= 909,10 são de juros. A diferença de 1 centavo é devida à aproximação da
divisão efetuada.
Resposta: D
QUESTÃO 16
A reta r representa o crescimento no número de pessoas infectadas pelo
vírus no período de tempo considerado. Sendo assim, a declividade da
reta, que corresponde ao coeficiente angular dessa reta, indica a taxa de
crescimento médio do número de casos por mês no período.
Desse modo, cada um dos 20 grupos deve escrever
anagramas por turno.
Resposta: C
QUESTÃO 18
Temos três carretes, cada um com quatro figuras diferentes.
Temos, portanto: 4 . 4 . 4 = 64 combinações possíveis.
Para calcular a declividade, vamos considerar maio como o mês 1, junho o mês 2,
e assim por diante. Esses meses correspondem aos valores 1, 2, 3, ... no eixox.
Para ganhar, existem duas possibilidades:
Observe na figura abaixo a transposição dos pontos apresentados para um
gráfico cartesiano propriamente dito.
a) 3 figuras diferentes:
– 4 possibilidades para a primeira posição,
– 3 possibilidades para a segunda posição e
– 2 possibilidades para a terceira.
Isso dá um total de 4 . 3 . 2 = 24 possibilidades.
b) 3 figuras iguais:
– 4 possibilidades na primeira posição,
– 1 possibilidade na segunda posição e
– 1 possibilidade na terceira posição.
Isso dá um total de 4 . 1 . 1 = 4 possibilidades.
Agora vamos tomar dois pontos que estejam sobre a reta – por exemplo,
os pontos (1, 8) e (4, 20), correspondentes aos meses de maio e agosto
respectivamente.
A probabilidade é a proporção de número de possibilidades de um evento
ocorrer e o total de combinações possíveis:
Fazemos o cálculo da declividade e obtemos:
Resposta: A
Esse valor indica que há um aumento médio de 4 casos a cada mês.
De setembro a dezembro, passam-se 4 meses. Então, o aumento médio no
número de infectados nesses meses será de 16 casos. Se somarmos os
20 registrados em agosto, teremos um total de 36 casos.
Resposta: B
QUESTÃO 19
Pelas informações dadas no enunciado, sabemos que:
• 150 pessoas aplicam seu dinheiro em caderneta de poupança;
• 90 pessoas aplicam seu dinheiro em fundos de investimento;
• 45 pessoas aplicam seu dinheiro em ambos.
QUESTÃO 21
Vamos resolver a inequação proposta. Para isso, vamos igualar a expressão
a zero e, depois, analisar o sinal da função.
f(x) = x2 - 32x + 252 = 0
Aplicando a fórmula de Bháskara, temos:
∆ = (-32)² - 4 . 1 . 252 = 1 024 – 1 008 = 16
Vamos montar um diagrama que possa ajudar na visualização da situação
apresentada:
Se 45 pessoas aplicam em ambos, então temos 105 pessoas que só aplicam
em poupança para que o total de aplicadores em poupança seja de 150.
Da mesma forma, restam 45 pessoas que só aplicam nos fundos para
totalizar as 90 que fazem esse tipo de investimento.
Vamos localizar as raízes no eixo x e analisar o sinal da função:
Temos daí um total de 105 + 45 + 45 = 195 pessoas que aplicam em uma
das duas modalidades de investimento. Do total de 300 pessoas do grupo,
restam, então, 105 que não aplicam em nenhuma dessas modalidades.
A probabilidade de uma dessas 105 pessoas ser sorteada é uma razão entre
105 e o total de pessoas no grupo:
O intervalo aberto, assinalado em vermelho, e que corresponde aos valores
entre 14 e 18, é a solução da inequação dada.
Se a idade de Paulo deve ser um número inteiro par e que pertença a esse
intervalo, então essa idade corresponde a 16 anos.
Resposta: C
QUESTÃO 20
Vamos calcular 13,3% de 2 500, que corresponde à tributação sobre o salário
do cidadão, e também 31,5% de 1 800, que corresponde à tributação sobre
seus gastos com produtos e serviços. Temos então:
13,3% . R$ 2 500 = R$ 332,50
31,5% . R$ 1 800 = R$ 567,00
Somando os dois valores, temos que o gasto mensal do cidadão com
impostos é de 332,50 + 567,00 = R$ 899,50
Isso representa uma porcentagem do salário igual a
Resposta: D
Entre os conjuntos apresentados, o único que inclui esse valor está indicado
na alternativa b.
Resposta: B
QUESTÃO 22
Vamos obter a expressão da função cujo gráfico passa pelos pontos dados.
Como o enunciado indica se tratar de uma função do 1º grau, então sabemos
que sua expressão é da forma y = a . x + b e que o gráfico é uma reta.
Vamos tomar os pontos (0, 5) e (6, 14) e calcular a declividade, ou seja,
o coeficiente angular da reta:
Então, a expressão da função é:
Substituindo as coordenadas do ponto (0, 5), podemos determinar o valor
do coeficiente b:
Finalmente, a expressão é:
Podemos, então, substituir os valores de m e k:
Resposta: C