PO 08: As Demonstrações Gaussinanas para o
Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)
Aspectos Históricos e Matemáticos
Eliete Grasiela Both
Bruna Camila Both
Neste texto objetivamos discutir as primeiras demonstrações do TFA
considerando aspectos históricos e matemáticos envolvidos, almejando, desse modo,
entender as ideias das demonstrações consideradas válidas para o teorema. Realizamos
então estudos bibliográficos, sobre os quais nos debruçamos, de forma a podermos
apresentar as análises aqui expostas.
A primeira demonstração do TFA, considerada válida, foi apresentada por Gauss
em 1799, em sua tese de doutorado e é de natureza topológica, nessa época o teorema era
enunciado como: “Toda equação polinomial de grau
com coeficientes reais possui
raízes complexas”. Segue um esboço desta.
Seja
o
( )=
polinômio
+
+
+⋯+
coeficientes reais não-nulos. Gauss queria provar a existência de
são
as
( , ) = ( cos
(cos
raízes.
= 0,
Daí:
( , )=
cos
sin(
+
= 0⇨
=
,
−2
ou
= 2( − 1),
∈ ℤ. Então, em um círculo λ de raio
intersecções de λ com
duas de
+
=0 e2
com λ, e existem
cos(
+
− 1) + ⋯ +
±
pode ser dividido por
cos
+ 2 cos
utilizando
de
± ,
≥ 0, em que
coordenadas
= [ − (cos
polares,
+ sin )]. [ −
> 0. Substituindo as raízes em (1), e separando a parte real da
imaginária, tem-se:
sin
quadráticos,
, sin ), tem-se:
− sin )],
( , )=
Nos
(1)
raízes complexas e fez
o estudo para fatores lineares e quadráticos. Os lineares são da forma
±
+
com
,
− 1)
+⋯+
sin . Se ( , ) satisfaz
+
∈ ℤ∗ e
+
e
=0 e
. Logo, as raízes existem.
sin
= 0⇨
=
,
suficientemente grande, existem 2
= 0; cada intersecção de
intersecções de
cos
com λ está entre
com , dentro de λ, as quais são as raízes
de P. Para os padrões atuais, a prova não tem o grau necessário de rigorosidade, pois em
determinadas partes valeu-se da intuição geométrica.
Em 1816, Gauss publicou a segunda prova do TFA. Esta é puramente algébrica e
de natureza altamente técnica. Segue o esboço das principais etapas para obter a
demonstração. Gauss toma um polinômio real
de grau
e decompõe em fatores
lineares. Todo par de raízes de P pode ser escrito como uma combinação linear em uma
nova variável . Enumerando todos os possíveis pares, formam-se combinações lineares do
=
. Pelas raízes da equação auxiliar, de grau ′, obtêm-se as da original.
2
Repetindo o processo de construção de uma equação auxiliar, pode-se chegar a uma
tipo
equação de grau ímpar, portanto, existe ao menos uma raiz real. Retrocedendo a séries de
polinômios auxiliares para o polinômio original, encontra-se ao menos uma raiz complexa
da equação original, como objetiva-se. Desta forma, a ideia da prova é saber que
tem
raízes nos reais.
Assim, Gauss constrói o polinômio auxiliar sem supor a existência de raízes.
Publicada em 1816, a terceira prova é mais simples que a segunda. Inicia com o
mesmo polinômio , Gauss novamente faz
imaginária. Assim, nomeia e
relação
a
=
=
:
+(
sin
+
para
ao contrário de
− 1) A
sin
( cos
+⋯+
para
.
=
(
Ω=∫
°
∫
Suponha
)
(nessa ordem) e suas derivadas com
− 1) A
cos(
) ]=
− 1) + ⋯ +
cos .
Observando
+
, Gauss concluiu que
= . Ainda,
′ =
cos
cos
+ ⋯+
e
que
>0
cos
e
cos . Assim deve mostrar que existe um ponto
, sin ) do plano onde
complexa
e
+ sin ) e separa a parte real da
sin(m − 1)φ + ⋯ +
) + (sin
suficientemente grande,
=
+(
cos
[(cos
′é
= (cos
=0 e
que
= 0 se encontram, o que implica uma raiz
∄
é
=
= 0,
totalmente
. Pela diferenciação, ∫ =
(
então
finita.
)
+
≠0
e
Considere
. A função a direita tem o
mesmo valor para φ = 0 e φ = 360°. Daí a integral indefinida com φ variando de 0 a
360° é zero, logo, Ω = 0. No entanto, a primeira integração, relativa a , obtém:∫ ydr =
. Pelas definições anteriores de ′ e ′, para
=
= 0 essa expressão é zero. Mas para
ela é positiva. Então, essa integral indefinida, variando de 0 a
, é positiva, e
2
portanto, Ω > 0, contradição. Logo, a hipótese que
e
jamais serão ambas nulas
contradiz o feito, isso completa a prova.
Em 1849, Gauss apresenta a quarta prova do TFA, baseada na segunda, esta
envolve análise complexa e possui total rigor algébrico. A ideia é análoga à feita para
polinômios com coeficientes reais, no entanto, nesta, a prova é para polinômios com
coeficientes complexos, pois o TFA aí já era enunciado como: “Toda equação polinomial
de grau
com coeficientes complexos possui
raízes complexas”.
Portanto, a primeira demonstração correta do TFA foi apresentada por Gauss em
1799, esta se valeu, parcialmente, de intuição geométrica, posteriormente, apresentou,
ainda, outras três provas, sendo que essas já apresentavam total rigor matemático.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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