CIRCUITOS LÓGICOS
UNIDADE 1
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Prof. Antonio Lopes de Lopes de Souza,
Ph.D.
Classificação
Os sistemas de numeração classificam-se em dois
grupos básicos que são:
Sistemas
de numeração posicional,
e
Sistemas
de numeração não posicional
Sistemas Posicionais
Nos
sistemas de numeração posicional, o valor do
dígito em um número depende da posição que ele
ocupa neste mesmo número.
1989 = 1000+900+80+9
1989 = 1x103 + 9x102 + 8x101 + 9x100
Há um peso para cada posição ocupada pelo dígito.
Os pesos crescem para esquerda na parte inteira e
decrescem para a direita na parte fracionária
1989,4= 1x103 + 9x102 + 8x101 + 9x100+4x10-1
Sistemas Posicionais
A representação posicional fornece uma forma
simplificada para a escrita de números e permite a
representação de qualquer número com um alfabeto
(uma coleção de símbolos) restrito de dígitos.
O sistema decimal tem:
 Base R=10
Um alfabeto ordenado e 10 dígitos, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9}, e qualquer número pode ser representado com
o uso deles.
Sistemas Posicionais
Outros Exemplos de Sistemas Posicionais
 Sistema posicional binário
base R = 2
alfabeto {0, 1}
 Sistema posicional octal
base R = 8
alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
 Sistema posicional hexadecimal
base R = 16
alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
Sistemas Não Posicionais
Exemplos de Sistemas Não posicionais
 Sistema de Numeração Romano
No número XX, vinte em decimal, o valor do dígito X à
esquerda é o mesmo daquele à direita. Neste caso
a representação é aditiva, com X representando a
quantidade decimal 10, e com a combinação XX
associada a 10+10=20. Por outro lado em IX (nove
em decimal) a representação é subtrativa.
 Outro exemplo: Sistema de Medidção de tempo
dividido em horas e minutos (uma espécie de base
60)
Geração de Inteiros

Algorítmo de avanço de dígitos:
Avançar um dígito de um alfabeto ordenado consiste em
substituí-lo pelo próximo dígito na hierarquia. O dígito de
maior valor do conjunto é sempre avançado para o aquele de
menor valor na hierarquia.
0123 4567890

Algorítmo de geração de inteiros:
a) o primeiro inteiro é o zero
b) o próximo inteiro é obtido do precedente na lista
avançando-se seu dígito mais à direita. No caso deste dígito
avançar para zero, avança-se, então, o dígito adjacente à
esquerda.
Geração de Inteiros
Exemplo: Gerar os 26 primeiros inteiros do sistema
decimal.
0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11
 12  13  14  15  16  17  18  19 
20  21  22  23  24  25
 Observe que o nove avança para o zero, logo o
dígito mais à esquerda (o zero, não mostrado
explicitamente no número), é avançado para 1,
gerando o próximo número na lista, o 10.
Transformações de Base
Passagem de uma base R para a base 10
 converte-se a base e cada dígito do número para o
equivalente decimal.
 decompõe-se o número de acordo com a estrutura
posicional e, usando aritmética decimal, efetuam-se
as operações de produtos e somas.
Notação: (...)R lê-se como o número do parêntesis expresso na
base R.
(1101)2=1x23+1x22+0x21+1x20=8+4+0+1=13
(2B0)16=2x162+(11)x161+0x160= 512+176+0=688
Transformações de Base
Passagem de uma base 10 para a base R

Parte inteira: Algoritmo da divisão repetida
Divide-se o inteiro decimal repetidamente pela base R até que se
obtenha um quociente inteiro igual a zero. Os restos das divisões
sucessivas, lidos do último para o primeiro, constituem o número
transformado para a base R.
(341) = (2331)
10
5
Transformações de Base
Passagem de uma base 10 para a base R
 Parte
fracionária: Algoritmo da multiplicação
repetida
A parte fracionária é multiplicada por R. A parte inteira desse produto
é guardada e a parte fracionária é novamente multiplicada por R. O
processo é repetido até que se obtenha um número com parte
fracionária nula ou até que se considere a aproximação suficiente. As
partes inteiras dos produtos sucessivos, lidas da primeira para a
última formam a parte fracionária do número transformado.
Transformar (0,4375)10 para a base 2.
Transformações de Base
Passagem de uma base 10 para a base R
 Parte
fracionária: Algoritmo da multiplicação
repetida – Exemplo:
Então (0,4375)10 = (0,0111)2
Transformações de Base

Mudança de base entre base binária e base de
potência de 2
A base para a qual se quer a transformação é expressa no formato
2n . Se essa base for R=8, por exemplo, o valor de “n” é 3 porque 8 =
23. Formam-se grupos, a partir da direita do número binário,
contendo uma quantidade de dígitos igual ao número “n”. Esses
grupos de “n” dígitos são lidos e representados como os dígitos do
sistema para o qual se quer a transformação.
Exemplos:
(25)10 = (011|001)2 = (31)8, grupos de 3 dígitos (8=23) a partir da direita do
número binário para transformação para a base octal.
(25)10 = (0001|1001)2 = (19)16, grupos de 4 (16=24) dígitos a partir da direita do
número binário para transformação para a base hexadecimal.
Operações Aritméticas


Soma na base 10, Soma na base 2, Soma na
base R (explicar com exemplos no quadro)
Complemento de 1:
O complemento de 1 de um número
binário é obtido trocando-se cada dígito 1 por 0 e vice-versa. A
notação C1 (...) é usada para designar o complemento de um do
número entre parêntesis.
 Complemento de 2:
O complemento de 2 de um número
binário é obtido trocando-se inicialmente todos os 0s por 1s e viceversa. Após isso adiciona-se 1 ao número obtido. Notação C2(...)
Operações Aritméticas

Subtração por complemento de 1:

Subtração por complemento de 2:
Soma-se o
minuendo ao compemento de 1 do subtraendo. O bit que se propaga
após a última coluna da adição é somado de volta ao bit menos
significativo do resultado
(resolver exemplo no quadro)
Soma-se o
minuendo ao complemento de 2 do subtraendo. O bit que se propaga
após a ultima coluna da adição é desprezado.
(resolver exemplo no quadro)
Álgebra de Boole
George Simon Boole
(1815-1864)
O criador da álgebra dos
circuitos digitais
Álgebra de Boole
1- A Álgebra de Boole é aplicável ao projeto dos circuitos lógicos e
funciona baseada em princípios da lógica formal, uma área de
estudo da filosofia.
2- Um dos pioneiros no estudo da lógica formal foi Aristóteles (384322 AC), que publicou um tratado sobre o tema denominado "De
Interpretatione".
3- Boole percebeu que poderia estabelecer um conjunto de símbolos
matemáticos para substituir certas afirmativas da lógica formal.
Publicou suas conclusões em 1854 no trabalho “Uma Análise
Matemática da Lógica”
4- Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de mestrado no MIT)
que o trabalho de Boole poderia ser utilizado para descrever a
operação de sistemas de comutação telefônica. As observações de
Shannon foram divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise
Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".
Álgebra de Boole
Definição da Álgebra de Boole:
1- A álgebra de Boole é um sistema matemático composto por
operadores, regras, postulados e teoremas.
2- A álgebra booleana usa funções e variáveis, como na álgebra
convencional, que podem assumir apenas um de dois valores, zero
(0) ou um (1).
3- A álgebra booleana trabalha com dois operadores, o operador
AND, simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizado por (+). O
operador AND é conhecido como produto lógico e o operador OR é
conhecido como soma lógica. Os mesmos correspondem,
respectivamente, às operações de interseção e união da teoria dos
conjuntos.
As variáveis booleanas serão representadas por letras maiúsculas, A, B, C,...
e as funções pela notação f(A,B,C,D,...)
Álgebra de Boole
Operadores da Álgebra Booleana
Álgebra de Boole
Operadores Boleanos Fundamentais
1- Operador AND (interseção)
Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis
somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no
estado lógico 1.
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Operadores Boleanos Fundamentais
1- Operador OR (união)
Definição: A operação lógica OR entre duas ou mais variáveis
apresenta resultado 1 se pelo menos uma das variáveis estiver no
estado lógico 1.
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Operadores Boleanos Fundamentais
1- Operador NOT (inversor)
Definição: A operação de complementação de uma variável é
implementada através da troca do valar lógico da referida variável.
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Operadores Boleanos Secundários
1- Operador NAND
Definição: A operação lógica NAND entre duas ou mais variáveis
somente apresenta resultado 0 se todas as variáveis estiverem no
estado lógico 1.
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Operadores Boleanos Secundários
1- Operador NOR
Definição: A operação lógica NOR entre duas ou mais variáveis
somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no
estado lógico 0.
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Operadores Boleanos Secundários
1- Operador EXOR (OU exclusivo)
Definição: A operação lógica EXOR entre duas variáveis A e B
apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis
estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em
estados lógicos diferentes).
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Operadores Boleanos Secundários
1- Operador EXNOR (negativo de OU exclusivo)
Definição: A operação lógica EXNOR entre duas variáveis A e B
apresenta resultado 1 se e somente se as duas variáveis estiverem
no mesmo estado lógico.
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Postulados da Álgebra de Boole
O significado dos postulados pode ser entendido facilmente se fizermos a
associação com a teoria dos conjuntos
Álgebra de Boole
Teoremas da Álgebra de Boole
FIM