CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
DA PARAÍBA
SISTEMAS DIGITAIS
ALGEBRA DE BOOLE E
SIMPLIFICAÇÃO DE CIRC. LÓGICOS
Prof. José Bezerra de Menezes
Filho
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PRINCÍPIOS DA ALGEBRA
BOOLEANA
• Componentes da Álgebra de Boole:
Postulados;
Propriedades;
Teoremas fundamentais;
Identidade.
• Variáveis Booleanas:
0e1
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POSTULADO DA
COMPLEMENTAÇÃO
Se A=0
A=1
Se A=1
A=0
Com base no postulado da
complementação:
A=A
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Identidade com inversor
4
POSTULADO DA ADIÇÃO
IDENTIDADES:
•
•
•
•
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
• A+0=A
A=0
0+0=0, A=1
1+0=1
• A+1=1
A=0
0+1=1, A=1
1+1=1
• A+A=A
A=0
0+0=0, A=1
1+1=1
• A+A=1
A=0 A=1
0+1=1
A=1 A=0
1+0=1
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POSTULADOS DA
MULTIPLICAÇÃO
IDENTIDADES:
•
•
•
•
0.0=0
0.1=0
1.0=0
1.1=1
• A.0=0
A=0
0.0=0, A=1
1.0=0
• A.1=A
A=0
0.1=0, A=1
1.1=1
• A.A=A
A=0
0.0=0, A=1
1.1=1
• A.A=0
A=0 A=1
0.1=0
A=1 A=0
1.0=0
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PROPRIEDADES COMUTATIVA E
ASSOCIATIVA
VÁLIDAS PARA ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
Propriedade comutativa
Adição:
A+B=B+A
Multiplicação:
A.B=B.A
Propriedade Associativa
Adição:
A+(B+C)=(A+B)+C=
A+B+C
Multiplicação
A.(B.C)=(A.B).C=
A.B.C
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PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA E
1º TEOREMA DE DE MORGAN
• Propriedade
distributiva
• A.(B+C)=A.B+A.C
Ex.:
A=1,B=1,C=0
1.(1+0) = 1+0=1
1.1+0.1 = 1+0=1
• 1º Teorema de De
Morgan
• Complemento do
produto é a soma dos
complementos:
2 Elementos:
A.B= A + B
n Elementos:
A.B....N=A+B+...N
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2º TEOREMA DE DE MORGAN
• O Complemento da soma é igual ao
produto dos complementos:
2 elementos:
A+B=A.B
n elementos:
A+B+...N=A.B...N
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IDENTIDADES AUXILIARES
• A+A.B=A
Prova:
A+A.B=A(1+B)=A.1=A
• (A+B).(A+C)=A+B.C
Prova:
(A+B).(A+C)=A.A+A.C+B.A+B.C (A.A=A)
(A+B).(A+C)=A+A.C+B.A+B.C=A(1+B+C)
+B.C=A.1+B.C=A+B.C
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IDENTIDADE AUXILIAR
Continuação
• A+AB=A+B
Prova:
A+A.B=(A+A.B) utilizando 2º Teor. DM
(A+A.B)=[A.(A+B)] utilizando 1º Teor. DM
[A.(A+B)]=(A.A+A.B) utilizando prop. Distr.
e identidade A.A=0
(A.A+A.B)=(A.B) utilizando 1°Teor. DM
(A.B)=A+B
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SIMPLIFICAÇÃO DE
EXPRESSÕES BOOLEANAS
• Por que simplificar?
A partir de expressões simples pode-se
construir circuitos simples
• Processos de simplificação:
a)Simplificação por Álgebra de Boole
b)Simplificação por mapa de Veigh
Karnaugh ( Mapa VK)
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SIMPLIFICAÇÃO POR ÁLGEBRA
DE BOOLE
• Exemplo 1:
S=ABC+AC+AB
S=A(BC+C+B)
S=A[BC+(C+B)]
S=[BC+BC]A
S=A
Exemplo 2:
S=ABC+ABC+ABC
S=AC(B+B)+ABC
S=AC(B+B)+ABC
S=AC+ABC
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SIMPLIFICAÇÃO POR MAPA DE
KARNAUGH
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MAPA DE VK P/ 2 VARIÁVEIS
• Possui grupo de 4 variáveis
• Possui grupos de 2 variáveis
• Regra:
• Grupo de 4(quadra): S=1
• Grupo de 2 (dupla): Sobra 1 variável
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MAPA DE VK P/ 3 VARIÁVEIS
• Possui grupo de 8 variáveis
• Possui grupos de 2 variáveis do mesmo modo
que o mapa de VK utilizado com 2 variáveis
• Possui grupos de 4 variáveis
•
•
•
•
Regra:
Grupo de 8 : S=1
Grupo de 2 (dupla): Sobram 2 variáveis
Grupo de 4 (quadra): Sobram 1 variáveis
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MAPA DE VK P/ 4 VARIÁVEIS
• Possui grupo de 16 variáveis
• Possui grupos de 2 e de 4 variáveis do mesmo
modo que o mapa de VK utilizado com 3
variáveis
• Possui grupos de 8 variáveis
• Regra:
• Grupo de 16 variáveis: S=1
Grupo de 2 (dupla): sobram 3 variáveis
Grupo de 4 (quadra): sobram 2 variáveis
Grupo de 8: sobra 1 variável
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CONDIÇÃO IRRELEVANTE
• Condição em que a saída pode assumir 0
ou 1 indiferentemente.
• Regras:
X na entrada: o valor pode ser 0 ou 1. O
valor da saída não depende da variável
indicada por X.
X na saída: Ou a entrada é impossível de
aconter ou possibilita qualquer dos 2
valores (0 ou 1).
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