Ensino Superior
Lógica Matemática e Computacional
5 – Sistemas de Numeração
Amintas Paiva Afonso
Sistemas de Numeração
UNIDADE 5
PROF. AMINTAS PAIVA AFONSO.
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA / PITÁGORAS
Sistemas de Numeração
O sistema de numeração com o qual estamos mais
familiarizados é o decimal, cujo alfabeto (coleção de símbolos) é
formado por 10 dígitos acima mostrados.
 Um Computador Decimal: se trabalhasse com o sistema decimal um
computador precisaria codificar 10 níveis de referência para
caracterizar os 10 dígitos do sistema utilizado. Esses níveis de
referência poderiam ser valores de tensão (0V, 1V, 2V, etc.) que
precisariam ser definidos e interpretados de maneira clara e precisa
pela máquina.
 Desvantagem: quanto maior o número de interpretações maior a
probabilidade de erro. Para decidir que está lendo o número 5 a
máquina precisaria ter certeza de que o que leu não é: 0, 1, 2, 3, 4, 6,
7, 8, 9.
Sistemas de Numeração
 Conseqüência: O sistema de numeração mais seguro deveria ser aquele
com o menor número de símbolos (dígitos).
 Conclusão: o melhor sistema de numeração para uma máquina seria o
binário com apenas dois dígitos, o zero (0) e o um (1).
 Obs.: Não há sistema de numeração com alfabeto de um único
dígito. Todo sistema de numeração precisa dos conceitos de
presença (1) e ausência (0).
Sistemas de Numeração
 Um possível problema no uso de máquinas binárias: o número
binário precisa de mais dígitos para ser escrito do que o decimal.
(2)10 número de animais representado em decimal
(10)2 número de animais representado em binário
Quatro em decimal é representado como 4. Sua representação
em binário é 100.
 Conseqüência: o computador binário seria mais preciso porém
muito lento porque a leitura da informação iria requerer mais
tempo.
Sistemas de Numeração
 Uma solução: o uso de dispositivos eletrônicos baseados
na tecnologia dos semicondutores, como os transistores.
 O transistor: é um dispositivo usado para controlar o fluxo de corrente.
Ele tem duas características importantes:
1- é capaz de amplificar um sinal elétrico.
2- é capaz de chavear (comutar) entre ligado e desligado (ou fechado e
aberto), deixando corrente passar através dele ou bloqueando-a. Essas
condições são também denominadas “saturação” e “corte”,
respectivamente.
 O transistor pode mudar da condição de saturação para o corte em
velocidades acima de um milionésimo de segundo. Ele pode ser usado
para caracterizar a presença (ou ausência) de um dígito binário (0 ou 1)
e pode tomar decisões desse tipo a uma taxa superior a um milhão de
decisões por segundo.
Sistemas de Numeração
O primeiro Transistor
Um Transistor moderno
Transistor: inventado nos Laboratórios da Bell Telephone em 12/1947 por John
Bardeen, Walter Brattain e William Shockley – Prêmio Nobel de física de 1956. O
transistor é capaz de comutar em um milionésimo de segundo entre o
corte e a saturação.
Sistemas de Numeração
Classificação
 Sistemas de Numeração Posicionais
 Sistemas de Numeração Não Posicionais
Sistemas Posicionais

Nos sistemas de numeração posicional, o valor do dígito
em um número depende da posição que ele ocupa neste
mesmo número.
1989 = 1000+900+80+9
1989 = 1x103 + 9x102 + 8x101 + 9x100

Há um peso para cada posição ocupada pelo dígito. Os
pesos crescem para esquerda na parte inteira e
decrescem para a direita na parte fracionária
1989,4= 1x103 + 9x102 + 8x101 + 9x100+4x10-1
Sistemas Posicionais
A representação posicional fornece uma forma simplificada
para a escrita de números e permite a representação de
qualquer número com um alfabeto (uma coleção de
símbolos) restrito de dígitos.
O sistema decimal tem:
 Base R=10
 Um alfabeto ordenado e 10 dígitos, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9}, e qualquer número pode ser representado com o uso
deles.
Sistemas Posicionais
Outros Exemplos de Sistemas Posicionais
 Sistema posicional binário
base R = 2
alfabeto {0, 1}
 Sistema posicional octal
base R = 8
alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
 Sistema posicional hexadecimal
base R = 16
alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
Sistemas Não Posicionais
 Sistema de Numeração Romano
No número XX, vinte em decimal, o valor do dígito X à
esquerda é o mesmo daquele à direita. Neste caso a
representação é aditiva, com X representando a
quantidade decimal 10, e com a combinação XX
associada a 10+10=20. Por outro lado em IX (nove em
decimal) a representação é subtrativa.
M = 1000
Como antes de M não tinha nenhuma letra,
buscavam a segunda letra de maior valor.
D = 500
Depois tiravam de D o valor da letra que vem
antes.
D – C = 500 – 100 = 400
Somavam 400 ao valor de M, porque CD está
depois de M.
M + CD = 1000 + 400 = 1400
Sobrava apenas o V. Então:
MCDV = 1400 + 5= 1405
Geração de Inteiros
 Algoritmo de avanço de dígitos:
Avançar um dígito de um alfabeto ordenado consiste em
substituí-lo pelo próximo dígito na hierarquia. O dígito de
maior valor do conjunto é sempre avançado para o
aquele de menor valor na hierarquia.
0123 4567890
 Algoritmo de geração de inteiros:
a) o primeiro inteiro é o zero
b) o próximo inteiro é obtido do precedente na lista
avançando-se seu dígito mais à direita. No caso deste
dígito avançar para zero, avança-se, então, o dígito
adjacente à esquerda.
Geração de Inteiros
Exemplo: Gerar os 26 primeiros inteiros do sistema decimal.
0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
12  13  14  15  16  17  18  19  20  21
 22  23  24  25
 Observe que o nove avança para o zero, logo o dígito
mais à esquerda (o zero, não mostrado explicitamente
no número) é avançado para 1 gerando o próximo
número na lista, o 10.
Transformações de Base
 Passagem de uma base R para a base 10
 converte-se a base e cada dígito do número para o
equivalente decimal.
 decompõe-se o número de acordo com a estrutura
posicional e, usando aritmética decimal, efetuam-se as
operações de produtos e somas.
Notação: (...)R ler como o número do parêntesis
expresso na base R.
(1101)2=1x23+1x22+0x21+1x20=8+4+0+1=13
(2B0)16=2x162+(11)x161+0x160= 512+176+0=688
Transformações de Base
 Passagem de uma base 10 para a base R
 Parte inteira: Algoritmo da divisão repetida
Divide-se o inteiro decimal repetidamente pela base R
até que se obtenha um quociente inteiro igual a zero. Os
restos das divisões sucessivas, lidos do último para o
primeiro, constituem o número transformado para a
base R.
(341) = (2331)
10
5
Transformações de Base
 Passagem de uma base 10 para a base R
 Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida
A parte fracionária é multiplicada por R. A parte inteira
desse produto é guardada e a parte fracionária é
novamente multiplicada por R. O processo é repetido
até que se obtenha um número com parte fracionária
nula ou até que se considere a aproximação suficiente.
As partes inteiras dos produtos sucessivos, lidas da
primeira para a última, formam a parte fracionária do
número transformado.
Transformações de Base
 Passagem de uma base 10 para a base R
Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida.
Exemplo:
Então (0,4375)10 = (0,0111)2
Transformações de Base
 Mudança de base entre base binária e base de potência
de 2
 A base para a qual se quer a transformação é expressa
no formato 2n . Se essa base for R=8, por exemplo, o
valor de “n” é 3 porque 8 = 23. Formam-se grupos, a
partir da direita do número binário, contendo uma
quantidade de dígitos igual ao número “n”. Esses grupos
de “n” dígitos são lidos e representados como os dígitos
do sistema para o qual se quer a transformação.
transformação para a base hexadecimal.
Transformações de Base
Exemplos:
(25)10 = (011|001)2 = (31)8, grupos de 3 dígitos (8=23)
a partir da direita do número binário para
transformação para a base octal.
(25)10 = (0001|1001)2 = (19)16, grupos de 4 (16=24)
Operações Aritméticas
 Soma na base 10, Soma na base 2, Soma na base
R (explicar com exemplos no quadro)
 Complemento de 1:
O complemento de 1 de um número
binário é obtido trocando-se cada dígito 1 por 0 e vice-versa. A
notação C1 (...) é usada para designar o complemento de um do
número entre parêntesis.
 Complemento de 2:
O complemento de 2 de um número
binário é obtido trocando-se inicialmente todos os 0s por 1s e viceversa. Após isso adiciona-se 1 ao número obtido. Notação C2(...)
Operações Aritméticas
 Subtração por complemento de 1:
Soma-se o minuendo
ao complemento de 1 do subtraendo. O bit que se propaga após a
última coluna da adição é somado de volta ao bit menos significativo
do resultado.
(resolver exemplo no quadro)
 Subtração por complemento de 2:
Soma-se o minuendo
ao complemento de 2 do subtraendo. O bit que se propaga após a
ultima coluna da adição é desprezado.
(resolver exemplo no quadro)
Álgebra de Boole
George Simon Boole
(1815-1864)
O criador da álgebra dos
circuitos digitais
Álgebra de Boole
1- A Álgebra de Boole é aplicável ao projeto dos circuitos lógicos e
funciona baseada em princípios da lógica formal, uma área de
estudo da filosofia.
2- Um dos pioneiros no estudo da lógica formal foi Aristóteles (384322 AC), que publicou um tratado sobre o tema denominado "De
Interpretatione".
3- Boole percebeu que poderia estabelecer um conjunto de símbolos
matemáticos para substituir certas afirmativas da lógica formal.
Publicou suas conclusões em 1854 no trabalho “Uma Análise
Matemática da Lógica”
4- Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de mestrado no MIT)
que o trabalho de Boole poderia ser utilizado para descrever a
operação de sistemas de comutação telefônica. As observações de
Shannon foram divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise
Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".
Álgebra de Boole
 Definição da Álgebra de Boole:
1- A álgebra de Boole é um sistema matemático
composto por operadores, regras, postulados e
teoremas.
2- A álgebra booleana usa funções e variáveis, como na
álgebra convencional, que podem assumir apenas um
dentre dois valores, zero (0) ou um (1).
3- A álgebra booleana trabalha com dois operadores, o
operador AND, simbolizado por (.) e o operador OR,
simbolizado por (+). O operador AND é conhecido como
produto lógico e o operador OR é conhecido como soma
lógica. Os mesmos correspondem, respectivamente, às
operações de interseção e união da teoria dos conjuntos.
Álgebra de Boole
 Operadores da Álgebra Booleana
As variáveis booleanas serão representadas por letras
maiúsculas, A, B, C,... e as funções pela notação
f(A,B,C,D,...)
Álgebra de Boole
 Operadores Booleanos Fundamentais
Operador AND (interseção)
1- Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais
variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as
variáveis estiverem no estado lógico 1.
2- Símbolo
3- Tabela
Lógico
Verdade
Álgebra de Boole
 Operadores Booleanos Fundamentais
Operador OR (união)
1- Definição: A operação lógica OR entre duas ou mais
variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos uma das
variáveis estiver no estado lógico 1.
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
 Operadores Booleanos Fundamentais
Operador NOT (inversor)
1- Definição: A operação de complementação de uma
variável é implementada através da troca do valar
lógico da referida variável.
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
 Operadores Booleanos Secundários
Operador NAND
1- Definição: A operação lógica NAND entre duas ou
mais
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
 Operadores Booleanos Secundários
Operador NOR
1- Definição: A operação lógica NOR entre duas ou mais
variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as
variáveis estiverem no estado lógico 0.
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
 Operadores Booleanos Secundários
Operador EXOR (OU exclusivo)
1- Definição: A operação lógica EXOR entre duas
variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente
uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou
seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos
diferentes).
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
 Operadores Booleanos Secundários
Operador EXNOR (negativo de OU exclusivo)
1- Definição: A operação lógica EXNOR entre duas
variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se
as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico.
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Postulados da Álgebra de Boole
O significado dos postulados pode ser entendido facilmente se fizermos a
associação com a teoria dos conjuntos
Álgebra de Boole
Teoremas da Álgebra de Boole