Aplicações da Integral - Continuação
Superfı́cies de Revolução e Outras Aplicações
Aula 32
Alexandre Nolasco de Carvalho
Universidade de São Paulo
São Carlos SP, Brazil
29 de Maio de 2014
Primeiro Semestre de 2014
Turma 2014106 - Engenharia Mecânica
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
SMA 301 Cálculo I
Aplicações da Integral - Continuação
Cascas Cilı́ndricas
Comprimento de Arco
Área de Superfı́cie de Revolução
Área de superfı́cie de Revolução - Teorema de Papus
Cascas Cilı́ndricas
Considere um sólido S obtido pela rotação, em torno do eixo y , da
região limitada por y = f (x), onde f (x) ≥ 0, e pelas retas
y = 0, x = a e x = b. Seja P = (xi ) uma partição do intervalo
[a, b] e seja ci ∈ [xi −1 , xi ] o ponto médio do i-ésimo intervalo,
ci = (xi + xi −1 )/2. Se o retângulo com base ∆xi = (xi − xi −1 ) e
altura f (ci ) é girado ao redor do eixo y , então o resultado é uma
casca cilı́ndrica cujo volume é
Vi = (2πci )f (ci )∆xi = [circunferência][altura][espessura].
Alexandre Nolasco de Carvalho
ICMC - USP
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Cascas Cilı́ndricas
Comprimento de Arco
Área de Superfı́cie de Revolução
Área de superfı́cie de Revolução - Teorema de Papus
Portanto uma aproximação para o volume V de S é dada pela
soma dos volumes dessas seções:
V ≈
n
X
Vi =
i =1
n
X
(2πci )f (ci )∆xi .
i =1
Esta aproximação torna-se melhor quando kPk = max ∆xi → 0.
1≤i ≤n
Então definimos o volume do sólido S obtido pela rotação, em
torno do eixo y , da região limitada por y = f (x), onde
f (x) ≥ 0, y = 0, x = a e x = b por
V = 2π lim
kPk→0
Alexandre Nolasco de Carvalho
n
X
ci f (ci )∆xi = 2π
i =1
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Z
b
xf (x) dx.
a
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Área de Superfı́cie de Revolução
Área de superfı́cie de Revolução - Teorema de Papus
Exemplo
Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do
eixo y , da região limitada por y = 2x 2 − x 3 e y = 0.
Z 2
Z 2
x(2x 2 − x 3 ) dx
xf (x) dx = 2π
V = 2π
0
0
Z 2
32
16
(2x 3 − x 4 ) dx = 2π(8 − ) = π.
= 2π
5
5
0
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Cascas Cilı́ndricas
Comprimento de Arco
Área de Superfı́cie de Revolução
Área de superfı́cie de Revolução - Teorema de Papus
Comprimento de Arco
Queremos definir o comprimento de uma curva. Se a curva é uma
poligonal, podemos facilmente encontrar seu comprimento
somando os comprimentos dos segmentos de reta que formam a
poligonal. Agora suponhamos que a curva C seja o gráfico da
função y = f (x), onde f é derivável e a ≤ x ≤ b. Seja P = (xi )
uma partição de [a, b]. Então a poligonal com vértices (xi , f (xi )) é
uma aproximação para C . O comprimento da curva C é
aproximadamente o comprimento da poligonal, e a aproximação
torna-se melhor quando kPk → 0.
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Área de superfı́cie de Revolução - Teorema de Papus
O comprimento da poligonal é
L(P) =
n q
X
i =1
(xi − xi −1 )2 + (f (xi ) − f (xi −1 ))2 .
Aplicando o Teorema do Valor Médio em cada intervalo [xi −1 , xi ],
existe um ci ∈ (xi −1 , xi ) tal que
f (xi ) − f (xi −1 ) = f ′ (ci )(xi − xi −1 ) = f ′ (ci )∆xi .
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Área de superfı́cie de Revolução - Teorema de Papus
Segue
L(P) =
n q
X
(∆xi )2 + (f ′ (ci )∆xi )2 =
i =1
n q
X
(1 + (f ′ (ci ))2 ∆xi .
i =1
Então, definimos o comprimento da curva C por
L = lim
kPk→0
n q
X
(1 + (f
′ (c ))2 ∆x
i
i
i =1
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=
Z
b
a
q
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1 + [f ′ (x)]2 dx.
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Exemplo
Calcule o comprimento de arco de y = x 3/2 , 1 ≤ x ≤ 4.
3
Como y = f (x), temos f ′ (x) = x 1/2 , e assim,
2
Z 4r
9
L=
1 + x dx.
4
1
9
13
9
;
Fazendo, u = 1 + x, então du = dx. Quando x = 1, u =
4
4
4
quando x = 4, u = 10. Portanto,
"
3/2 #
Z
8
4 2 3/2 10
13
4 10 √
3/2
=
u du =
.
L=
u 10 −
9 13/4
93
27
4
13/4
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Exercı́cio: Calcule o comprimento
da curva
√
√
2
y = 1 − x 2, 0 ≤ x ≤
. [R : π/4].
2
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Área de Superfı́cie de Revolução
Uma superfı́cie de revolução é formada quando uma curva é girada
ao redor de uma reta. Tal superfı́cie é a fronteira lateral de um
sólido de revolução já discutido anteriormente.
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Considere um tronco de cone circular reto, de geratriz g , raio da
base maior r1 e raio da base menor r2 . Esta é a superfı́cie de
revolução obtida pela revolução de um segmento em torno de um
eixo.
✻
m
r2
g
r1
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A área lateral, AT , do tronco de cone é dada por
AT = π(r1 + r2 )g = 2πrg ,
onde r =
1
(r1 + r2 ).
2
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Podemos então calcular a área de uma superfı́cie gerada pela
revolução de uma poligonal plana em torno de um eixo deste plano
pois a área desta superfı́cie é a soma das áreas laterais de troncos
de cones.
Seja A a área lateral da superfı́cie gerada pela rotação da poligonal
da figura abaixo. Então temos
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✻
q
✻
q
r1 q ℓ1
q
q
r2 q ℓ
2
q
q
q
q
rn q ℓn
q
q
q
A = 2π r1 ℓ1 + · · · + 2π rn ℓn
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Agora vamos deduzir a área lateral de um sólido de revolução
qualquer em torno do eixo x pela aproximação da soma das áreas
laterais de vários troncos de cone.
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Consideremos f definida e positiva em [a, b] com derivada contı́nua
em (a, b). Seja P = (xi ) uma partição de [a, b]. Consideremos a
poligonal com vertices (xi , f (xi )) e girando-a ao redor do eixo x
obtemos uma aproximação para a superfı́cie. A área de cada
tronco de cone é
q
f (xi ) + f (xi −1 )
1 + [f ′ (ci )]2 ∆xi ,
Ai = 2π
2
onde ci ∈ [xi −1 , xi ], como foi feito anteriormente. Quando ∆xi é
pequeno temos que f (xi ) ≈ f (ci ) e também f (xi −1 ) ≈ f (ci ) pois f
é contı́nua.
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Portanto,
q
Ai ≈ 2πf (ci ) 1 + [f ′ (ci )]2 ∆xi ,
e então uma aproximação para a área da superfı́cie é
n
X
i =1
q
2πf (ci ) 1 + [f ′ (ci )]2 ∆xi .
Esta aproximação torna-se melhor quando kPk → 0. Então
definimos a área da superfı́cie obtida por rotação, ao redor do
eixo x, da curva y = f (x), f (x) ≥ 0, a ≤ x ≤ b, como
S = lim
n
X
∆P → 0
i =1
Z b
q
q
2πf (ci ) 1+[f ′ (ci )]2 ∆xi = 2π f (x) 1+[f ′ (x)]2 dx .
Alexandre Nolasco de Carvalho
a
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Exemplo
Encontre
√ a área da superfı́cie obtida pela rotação da curva
y = R 2 − x 2 , −R ≤ x ≤ R, ao redor do eixo x.
−x
, e assim,
Temos f ′ (x) = √
R2 − x2
s
Z R p
x2
S = 2π
dx
R2 − x2 1 + 2
R − x2
−R
Z R
Z R p
2
2
2
1 dx = 4πR 2 .
R −x √
dx = 2Rπ
= 2π
R2 − x2
−R
−R
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O Centro de massa de uma curva e o Teorema de Pappus
Inicialmente definimos o ponto médio de um segmento como o seu
centro de massa. Assim o centro de massa de uma poligonal é
dado por:
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xc =
ℓ1
y✻
q
q
q
(x1 ,y1 )
q
=
q
(xc ,yc )
q
ℓn
q (xn ,yn )
q
✲
=
Alexandre Nolasco de Carvalho
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ℓ 1 · x1 + · · · + ℓ n · xn
ℓ1 + · · · + ℓn
yc =
x
c · ℓ 1 · x1 + · · · + c · ℓ n · xn
c · ℓ1 + · · · + c · ℓn
c · ℓ 1 · y1 + · · · + c · ℓ n · yn
c · ℓ1 + · · · + c · ℓn
ℓ 1 · y1 + · · · + ℓ n · yn
ℓ1 + · · · + ℓn
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r
r
x1
r
x2
r
r
xn
r
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Área de superfı́cie de Revolução - Teorema de Papus
r
ℓ1
r
r
r
r
r
r
r
A = 2π x1 · ℓ1 + · · · + 2π xn · ℓn
ℓ2
= 2π
(x1 ℓ1 + x2 ℓ2 + · · · + xn ℓn )
·L
ℓ1 + · · · + ℓn
= 2π xc · L ,
ℓn
Semelhantemente, para a rotação
em torno do eixo x
A = 2π yc · L
Alexandre Nolasco de Carvalho
L = ℓ1 + · · · + ℓn
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Um processo de passagem ao limite (tomando mais e mais pontos
sobre a curva) resulta no seguinte resultado
Theorem (Teorema de Pappus)
Se uma linha plana gira em torno de um eixo de seu plano a área
da superfı́cie gerada é igual ao comprimento dessa linha
multiplicado pelo comprimento da circunferência descrita por seu
centro de massa. Isto é
p
Rb
Z bq
′
2
a f (x) 1 + f (x) dx
1 + f ′ (x)2 dx
A = 2πyc L = 2π R b p
′ (x)2 dx
a
1
+
f
a
para a rotação em torno do eixo x ou
Rb p
Z bq
′
2
a x 1 + f (x) dx
A = 2πxc L = 2π R b p
1 + f ′ (x)2 dx
′ (x)2 dx
a
1
+
f
a
para a rotação em torno do eixo y .
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Aplicações da Integral - Continuação
Área do Toro
✒
✛
Alexandre Nolasco de Carvalho
R
Ac = 2πr · 2πR
✶r
✲✒
ICMC - USP
= 4π 2 Rr
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