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Tópicos de
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
para uso em sala de aula
TRIGONOMETRIA
Andressa Cerqueira
Beatriz Suzana Levin
Jéferson Alves
Renata Cruz Pissardo
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Apresentação do livro:
Ѻ Livro elaborado por: National Council of Teachers os Mathematics – dos
Estados Unidos da América
Ѻ Tem por proposta:
Criação de um texto que independesse de pré-requisitos específicos
Inclusão de assuntos significativos para todos os níveis escolares
Fornecimento de material com possibilidade de uso imediato em sala de aula
Possibilidade de servir de motivação
Possibilidade de servir de referência
Estrutura do livro:
Ѻ Introdução: visão geral – Edward S. Kennedy
Ѻ Cápsula 1: O almagesto de Ptolomeu – Larry Mossburg
Ѻ Cápsula 2: Ângulo – Jerry W. Shereves
Ѻ Cápsula 3: Ângulos retos – Donald L.Reinknd
Ѻ Cápsula 4: Medida angular – Philip S. Jones
Ѻ Cápsula 5: Seno e co-seno – Roger D. Lowe e Cynthia Schanck
Ѻ Cápsula 6: Tangente e co-tangente – Ruth Anne Miler
Ѻ Cápsula 7: Identidades trigonométrias – Eleanor Hayes
Visão Geral:
Astronomia
Trigonometria
Sombra “Gnomom”
Função Corda [Mediterrâneo]
Sombra e sombra reversa
Seno [Índia]
Seno reverso
Cosseno
A
Visão Geral:
A
[Europa]
Tábuas Sexagesimais
Trigonometria Genuína [Síria e Ásia Central]
Substituição de regras verbais por símbolos
Cálculo Infinitesimal
Fim da trigonometria como ramo independente
da Matemática
Tábuas de sombra:
Ѻ Tábuas de sombra estendida:
Sombra do gnômon projetada no solo.
Hoje:
gnômon
Comprimento do gnômon
Sombra
θ
Sombra projetada
θ
θ
cotg
Tábuas de sombra:
Ѻ Tábuas de sombra reversa:
Sombra projetada por um gnômon horizontal
Hoje:
tg
Comprimento do gnômon
θ
Sombra
Sombra projetada
gnômon
Função Corda:
A
Ѻ Corda:
60
Latim – Chorda (corda de arco)
θ
crd θ
Grego – Chorde (intestino de um animal)
Ѻ Estudado pelos gregos antes da era cristã
B
Ѻ Teon de Alexandria(390 d.C.) mencionou que Hiparco (140 a.C.) havia
escrito doze livros sobre cálculo de cordas, incluindo uma tábua de cordas
Função Seno:
A
Sen(θ/2)
θ/2
Ѻ Seno:
60
Indus: jya, uma das grafias da palavra corda
B
Árabes: jyb lida incorretamente como jayb que significa bolso, golfo ou seio
Latin: Sinus, tradução em latim do árabe
Ѻ Surgiu quando pensou-se em calcular metade da corda de um arco duplo
Ѻ Tábuas mais antigas foram descobertas na Índia, onde se originaram
Ѻ 500 d.C. – matemático hindu Aryabhata já calculava semi-cordas.
Função Seno:
Ѻ Algum tempo depois os matemáticos
hindus calculavam tabuas de seno e
seno reverso (R-cos θ)
Ѻ Rheticus (1550) foi o primeiro europeu que usou as funções trigonométricas
como razões entre os lados de um triângulo retângulo
Ѻ Edmund Gunter (1620): termo co-seno para o complemento do seno de um
ângulo
Analemas:
Ѻ Método geométrico descritivo que visa acomodar em um único plano uma
esfera
Ѻ Projeção Estereográfica: provavelmente foi inventada por Hiparco.
Ѻ Figura plana que pode ser resolvida por
tábuas de sombras e pela função corda.
Ѻ Planisphaerium e Analemma, ambos
de Ptolomeu.
O Almagesto de Ptolomeu:
Ѻ Almagesto: magiste (o maior) + al = Al-magest
Almagesto (13 livros)
Ѻ A circunferência era dividida em 360 partes (graus)
120 porções
divididas em 60 partes (minutae primae)
diâmetro dividido em
divididas em 60
partes (minutae secundae). Daí os termos minuto e segundo.
Ѻ A Tábua de Cordas de Ptolomeu fornece a medida das cordas, de meio em
meio grau, de 0,5º a 180º.
Ѻ Teorema de Ptolomeu:
AD . BC = AC . BD – AB . CD
sen(U – V) = senU cosV – senV cosU
Ѻ Maior contribuição: promoção da ideia de que uma descrição matemática
dos fenômenos naturais é desejável e possível.
Ângulo:
Ѻ Euclides: “Um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas retas que num
plano têm um extremo comum e não estão em prolongamento”. Ângulo raso é
“retilíneo”, cujos lados estão na mesma linha reta.
Ѻ O ângulo é uma quantidade, uma qualidade ou uma relação? (Aristóteles).
Proclus diz que é uma combinação dos três.
Ѻ H. Schotten sumariou as definições de ângulos: diferença de direção entre
duas linhas retas, medida de rotação e a porção do plano contida “entre” as
duas retas que definem o ângulo.
Ѻ Pierre Herigone: usava < e  para representar ângulos. Em 1923 o “National
Commitee on Mathematical Requirements”, recomendou  como padrão.
Ângulos Retos:
Ѻ Os antigos mediam altura de um objeto colocando uma vara em ângulo reto
com o horizonte e comparando as sombras projetadas.
Ѻ Euclides deu uma definição em Elementos e mais adiante enunciou o quarto
postulado.
Ѻ O ângulo reto foi usado como padrão para medir outros ângulos. “Ângulo
Agudo” e “Ângulo Obtuso” respectivamente menor e maior que um ângulo reto.
Ѻ Hilbert (1899): enunciou seis axiomas de congruência de triângulos e
ângulos e posteriormente provou que todos os ângulos retos são iguais.
Medida Angular:
Ѻ Os Babilônios antigos desenvolveram um sistema numérico de base 60.
Ѻ A civilização grega absorveu parcialmente a cultura babilônica. Hipísiles foi o
primeiro astrônomo grego a dividir o circulo do zodíaco em 360 partes.
Ѻ Ptolomeu fez uso genérico das frações sexagesimais em seus cálculos.
Ѻ Thomas Muir e James T. Thomson consideravam a necessidade de uma
nova unidade angular, o radian (radiano).
Ѻ Oliver, Wait e Jones discutiram a expressão de ângulos em termos de “ “. As
razões estavam ligadas na simplificação de fórmulas matemáticas e físicas.
Ѻ “Mil verdadeiro” = ângulo central cujo arco mede 0,001; “Mil” = usado pelo
Exército dos Estados Unidos.
Livro apresentado:
Dados de Catalogação na publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Kennedy, Edward S.
História da trigonometria / Edward S. Kennedy;
trad. Hygino H. Domingues – São Paulo : Atual, 1992 –
(Tópicos de história da matemática para uso em sala de
aula; v. 5)
Bibliografia
ISBN 85-7056-455-4
1. Matemática (2º grau) 2. Matemática –
História 3. Trigonometria – História I. Título. II. Série.