SEQÜÊNCIAS E SÉRIES
1. CÁLCULO SOMATÓRIO
Consideremos a seguinte soma indicada : 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100. Podemos
observar que cada parcela é um número par e portanto pode ser representada pela forma 2n, neste caso, com n
50
variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada abreviadamente por:
com n variando de 0 a 50”. A letra grega
∑ 2.n , que se lê: “somatório de 2n
n= 0
∑
que é o esse maiúsculo grego (sigma) é denominada sinal de
somatório e é usada para indicar uma soma de várias parcelas.
n
Seja {a1, a 2 , a 3, ..., a n} um conjunto de n números reais, o símbolo
∑a
i
representa a sua soma, isto
i =1
n
é,
∑a
i
= a 1 + a2 + a 3 + ... + a n .
i =1
n
Em
∑a
i
a letra i é denominada índice do somatório (em seu lugar, pode figurar qualquer outra
i =1
letra) e s valores 1 e n, neste caso, são denominados, respectivamente, limites inferior e superior.
E1)Desenvolva os seguintes somatórios:
5
1)
∑
∞
( x 2 − x)
2)
∑
5
( −1) j . j
3)
j= 2
x =1
∑ (−1)
3)
2
3
4
5
10
+
+
+
+ ... +
1 .3 2 .4 3 .5 4.6
9 .11
5
 5 
2) 
i −
i2


 i= 0 
i =0
5
1)
2
n
n= 0
E2)Escreva sob a forma de somatório as seguintes expressões:
1 2 6 24
1) 1 – 3 + 5 – 7 + ...
2) 1 + + + +
2 3 4 5
E3)Calcule o valor de:
n
∑ n!a
∑
.n!
n= 0
∑
1.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO
n
Se
∑
i =p
a i = a p + a p + 1 + L + a n , então
n
∑ ai
tem ( n – p + 1 ) parcelas.
i =p
100
E4) Destaque a parcela central e a décima parcela de
∑ (− 1)
n
.3 n .
n= 0
1.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO
1. Somatório de uma constante
Sejam ai = k, com i = p,...,n.
n
n
∑ k =∑ a
i =p
i
= a p + a p +1 + L + a n = k + k + L + k = ( n − p + 1) k
i =p
n
⇒
∑ k = (n − p + 1).k
i =p
1
2. Somatório do produto de uma constante por uma variável
Sejam ka i , com i = p,...,n.
n
∑
n
ka i = ka p + ka p +1 + L + ka n = k ( a p + a p +1 + L + a n ) = k
i =p
∑
n
ai
⇒
i =p
∑
n
ka i = k
i =p
∑a
i
i= p
3. Somatório de uma soma algébrica
Sejam ai ± b i , com i = p,...,n.
n
∑ (a
i
± b i ) =( a p ± b p ) + ( a p +1 ± b p +1 ) + L + ( a n ± b n ) = (a p + a p +1 + L + a n ) ± ( b p + b p +1 + L + b n )
i =p
=
n
n
∑a ± ∑ b
i
i =p
n
⇒
i
i =p
∑ (a
i
n
n
∑a ± ∑ b
± bi ) =
i =p
i
i =p
i
i =p
4. Separação do último termo
n
∑
ai =
i =p
n −1
∑a
i
+an
i= p
5. Separação do primeiro termo
n
∑
a i = ap +
i =p
n
∑
ai
i = p +1
6. Avanço dos limites
n+ j
n
∑
a i = a p + a p +1 + L + a n = a p +( j− j ) + a p +1+( j − j) + L + a n +( j− j ) ) = a (p + j )− j + a (p + j )+1− j + L + a ( n + j )− j =
i =p
∑a
i= p + j
n
n +j
i= p
i= p+ j
∑ a i = ∑ a i− j
E5) Complete a tabela abaixo:
i
xi
yi
1
1
2
2
1
3
3
2
2
4
3
4
5
4
1
6
0
5
xi 2
yi2
xi 2 y i
∑
E6) Com os valores da tabela acima e o uso das propriedades do somatório, calcule:
2
xi y i
i− j

2) 


6
∑ ( 2x i − 3 y i + 4)
1)
i =1
5
∑
4)
∑
i =1
6
x i 2 + 10
5)
∑
i =1
i =2
5
2

xi  −


5
∑x
6
2
( x i − y i )( x i + y i )
∑
i= 2
3)
i
i =1
5
(x i − y i )2
6)
∑ ( y i + 3) 2
i =1
3
( x i − x i −1 )
∑
i= 2
7)
5
8)
y i+ 2
∑
i= 0
1.3. SOMATÓRIO DUPLO
 x 11

x
Seja a matriz A =  21
M

x m1
x 13 L x 1n 

x 23 L x 2n 
. As somas dos elementos de cada uma das linhas de A
M
M 

x m3 L x mn 
x 12
x 22
M
x m2
são:
n
∑
n
x 1j ,
j=1
∑
n
x 2 j ,L ,
j =1
∑x
.
mj
j =1
Por outro lado, a soma de todos os elementos da matriz A é:
n
n
∑ x +∑ x
1j
j=1
n
2j
+ L+
j =1
∑x
n
mj
∑ (x
=
j=1
n
1j
+ x 2 j + L + x mj ) =
j =1
m
∑∑x
ij
.
j=1 i =1
Observações:
n
a)
m
m
n
n
∑ ∑ x ij = ∑ ∑ x ij .
j= p i =q
b)
i =q j= p
m
∑ ∑ x ij
tem (n – p + 1)(m – q + 1) parcelas.
j= p i = q
E7) Desenvolva os seguintes somatórios:
3
4
∑ ∑ ( xy − 10)
1)
5
3
∑ ∑ (x + y)
2)
x =1 y =2
3
2
3)
x = 2 y =2
4
∑∑x
3
y
4)
x = 2 y =1
4
∑ ∑ (y
j
− xi )
i =1 j =2
E8) Calcule o valor de:
3
1)
2
∑∑
3
( xy − 5)
4
∑∑
2)
x =1 y =1
5
( x − j)
3)
i =1 j =2
3
∑∑
4
z2
4)
x= 2 y= 2
3
∑ ∑ ( x + 1)
2
x = 2 y =2
E9) Escrever sob a forma de somatório as expressões:
1 1 2 2 3 3 4 4
+ + + + + + +
4 5 4 5 4 5 4 5
E10) Encontre uma fórmula (em função de n) para cada um dos somatórios abaixo:
1) 23 + 24 + 25 + 33 + 34 +35
2 n i +1
1)
∑∑
n
n
2)
i =1 j =0
2)
n
∑∑
n
( i + j)
3)
i =1 j =1
n
∑∑
n
( n + i)
4)
i =1 j=1
i
∑∑ i
i =1 j =3
1.4. RESPOSTAS
E1) 1) 0 + 2 + 6 + 12 + 20
2) 2 – 3 + 4 – 5 + ...
∞
E2) 1)
(− 1) i .( 2i + 1)
∑
i =0
E3) 1) – 100
2)170
4
2)
∑
i =0
3) a 0 + a1 + 2a 2 + 6a 3 + 24a 4 + 120a5
9
i!
i +1
3)
E4) a50 =150 e a10 = -27
3
∑
i =1
i +1
i (i + 2)
E6) 1) –5
2) 90
3) –25
4) 40
5) 40
6) 151
7) 3
8) 10
E7) 1) –8 – 7 – 6 – 6 – 4 – 2 – 4 – 1 + 2
2) 16 + 25 + 25 + 36 + 36 + 49 + 49 + 64
3) 2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 + 27 + 81
4) (y 2 – x1 ) + (y 3 – x1 ) + (y 4 – x1 ) + (y2 – x2) + (y3 – x2 ) + (y 4 – x2 )+ (y 2 – x3 ) + (y 3 – x3 ) + (y 4 – x3)
E8) 1) –12
2) 9x – 27
3) 8z2
4) 100
3 5
4 5
i
E9) 1)
ij
2)
i = 2 j =3
i =1 j =4 j
∑∑
E10) 1) n 2 ( 2 n + 5)
∑∑
2) n 2 (n + 1)
3)
n 2 (3n + 1)
2
4)
n (n + 1)( 2n − 5 )
6
2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS
2.1. DEFINIÇÃO
Uma seqüência infinita é uma lista de números numa certa ordem, a1 , a2 , a3 ,...,a n ,..., onde a1 é o 1o
termo, a2 é o 2o termo, ..., an é o n-ésimo termo ou termo geral. Notação: {a1, a2 , a3 ,...,a n,...} ou {an }. Devemos
observar, também, que uma seqüência é uma função definida sobre o conjunto dos números naturais:
f :ℵ → ℜ
.
n → an
Exemplos de seqüências:
n −1
1 2 3
a) a n =
é o termo geral da seqüência 0, , , ,...
n +1
3 4 5
b) A seqüência dos números primos: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...}.
c) an = 2n é o termo geral da seqüência 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... Podemos observar que esta seqüência, como
muitas outras, pode ser definida através de uma fórmula de recorrência:
a 0 = 1
.

 a n = 2 a n −1 , se n > 0
d) A seqüência de Fibonacci é definida por a 1 = 1, a 2 = 1 e an+1 = a n + an-1 , para n ≥ 2 . Os termos da seqüência
de Fibonacci são 1, 1, 2, 3, 5, 8,...
E1) Encontre a seqüência que é a solução das seguintes relações de recorrência:
a = 1
a)  1
.
 a n = 2 a n −1 + 1, se n > 1
a = 1
b)  0
.
 a n = na n −1 , se n > 0
2.2. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA
Dizemos que a seqüência {an } converge para um número real L, ou que tem por limite L, quando
a
=
lim n L. Em outras palavras, an estará próximo de L para n suficientemente grande. Se lim a n não existe,
n →∞
n →∞
dizemos que a seqüência {an} não converge (diverge).
Existem diversos teoremas que ajudam na determinação da convergência ou divergência de
seqüências, sendo que fica como sugestão ao aluno interessado procurar por eles na bibliografia indicada. Por
outro lado, muitos limites de seqüências podem ser estudados como limites ao infinito de funções.
Exemplos:
 n 
1 2 3 4
a) Os termos da seqüência 
 são: , , , ,...
n
+1
2 3 4 5


4
Representação gráfica da seqüência :
an
1
0,9
Observa-se que: se n cresce sem limites, a n cresce
aproximando-se de 1, isto é,


lim a n = lim  n + 1  = 1
n →∞
n →∞
0,5
Neste caso, dizemos que a seqüência converge para 1.
0,1
n
{
0 1 2
}
∞
n =2
b) Os termos da seqüência n − 2
são: 0, 1, 2 ,
Representação gráfica da seqüência :
3 , 2,
3 4
5
6
7 8
9 10
n
3 4
5
6
7 8
9 10 11
5 ,...
an
3
Observa-se que: se n cresce sem limites, a n também
cresce sem limites, isto é,
2
lim a n = lim n − 2 = ∞
n →∞
n →∞
1
Neste caso, dizemos que a seqüência diverge.
n
0 1 2
3n 3 + 5n
3+ 5
n 2 = 3 , onde dividimos numerador e denominador por n3 .
n → ∞ 5n + n
n→∞ 5 + 1
5
n
sen 1
1
n = lim sen x = lim cos x = cos(0 ) = 1 , onde utilizamos o Teste de L’Hopital.
d) lim n sen = lim
n→∞
n n →∞ 1
x →0 x
x →0 1
n
c) lim
3
2
= lim
( )
E2) Determine, se existir, o limite das seqüências abaixo:
 7 − 4 n 2
a) 
 3 + 2 n 2

.

 n 2
n 2 
e) 
−

 2 n − 1 2 n + 1 
 ( 2n −1)(3 n + 1) 
b) 

n 3 +1


 cos(n ) 
f) 

 n 
 n 2 
c) 

 ln(n + 1) 
  1  n 
d)  1 +  
  n  
 ( −1) n n 
g) 

 n + 1 
h) 1+ (0 .1)n
{
}
2.3. RESPOSTAS
E1) a) a n = 2 n − 1 .
E2) a) – 2.
b) 0.
b) a n = n! .
c) diverge.
d) e.
e) 1/2.
5
f) 0.
g) 0.
h) 1.
3. PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA (PIF)
3.1. O TEOREMA
E1) Verifique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando tua resposta.
“Para n ∈ N, p(n) = n 2 + n + 41 sempre dá um número primo.”
É relativamente simples demonstrar que a afirmação acima é falsa. Para tanto, basta apresentar um
exemplo de número natural (dito contra-exemplo) onde esta afirmação falha. Por outro lado, mostrar que ela é
verdadeira, seria uma tarefa muito trabalhosa, se não impossível, pois teríamos que verifica-la para todos
(infinitos) números naturais. Porém, graças ao Princípio da Indução Finita (também conhecido como
Indução Matemática), enunciado a seguir, podemos demonstrar, de uma forma razoavelmente simples, que
uma afirmação P(n) é verdadeira para qualquer número natural n.
Uma proposição P(n) é verdadeira para todo natural n ≥ n 0 se, e somente se:
i) P(n) é verdadeira para n = n 0 ;
ii) Se P(k) é verdadeira para um certo k natural então P(k+1) também é verdadeira.
Exemplo:
n
Use o PIF para mostrar que
∑ i = 1 + 2 + 3 +L+ n =
i =1
n
Solução: Vamos mostrar que
∑i=
i =1
n (n + 1)
.
2
n ( n + 1)
.
2
i) Para n = 1, os dois lados da igualdade assumem o valor 1, logo P(1) é verdadeira;
k
ii) Vamos supor que P(k) é verdadeira, isto é, que
∑i=
i =1
k +1
P(k+1) também é verdadeira, isto é, que
∑i =
i =1
k +1
Da propriedade 4, seção 1.2,
k
∑i =
i =1
( k + 1)[( k + 1) + 1]
também é verdadeira.
2
k
∑ ∑ i + (k + 1) .
i=
i =1
Da hipótese,
k ( k + 1)
é verdadeira. Agora devemos mostrar que
2
(1)
i =1
k ( k + 1)
.
2
(2)
Substituindo a expressão (2) em (1), obtemos:
k +1
∑i=
i =1
k ( k + 1)
k ( k + 1) + 2 (k + 1) ( k + 1)( k + 2 ) (k + 1)[( k + 1) + 1]
+ (k + 1) =
=
=
.
2
2
2
2
n
Logo, por indução matemática, mostramos que a expressão
∑i =
i =1
E2) Use o PIF para mostrar que:
n
1)
∑ ar
i −1
= a + ar + ar 2 + L + ar n −1 =
i =1
n
2)
∑i
i =1
2
= 1 + 4 + 9 +L+ n 2 =
a − ar n
, para r ≠ 1
1−r
n ( n + 1)( 2n + 1)
6
6
n ( n + 1)
é verdadeira para n ≥ 1.
2
n
3)
∑i
3
= 1 + 8 + 27 + L + n 3 =
i =1
n 2 ( n + 1) 2
4
n
4)
∑ (2i − 1) = 1+ 3 + 5 + L + (2n −1) = n 2
i =1
E3) Encontre uma fórmula (em função de n) para cada um dos somatórios abaixo:
n
1)
∑
(i − 1) 2
n
2)
i =1
∑
n (i + 2)
i =1
n
3)
∑
n +3
n
ni(i + 1)
4)
∑ 2i
5)
i= 0
i =1
∑ ni
i =1
E4) Use o PIF para demonstrar as fórmulas obtidas nos exercícios E10 (da seção 1.3), E1 (da seção 2.1) e E3
acima.
3.2. RESPOSTAS
E1) p(40) = 1681 não é primo, pois é divisível por 41.
n 2 ( n + 5)
n (2 n 2 − 3n + 1)
n 2 (n + 1)( n + 2)
E3) 1)
2)
3)
2
6
3
4) 2n+1 – 1
5)
n (n + 3)( n + 4)
2
4. SÉRIES NUMÉRICAS
4.1. DEFINIÇÃO
∞
Se {an } é uma seqüência infinita, então uma expressão ∑ a n = a 1 + a 2 + ... + a n + ... é chamada série
n =1
numérica infinita de termo geral an . Se somarmos apenas os N primeiros termos desta série, teremos o que
chamamos de soma parcial S N =
N
∑ an .
n =1
Exemplos de séries:
8
a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 é uma seqüência finita e 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = ∑ 2 n é uma série
n =1
finita de termo geral a n = 2n.
∞
b) 1, 2, 6, 24, 120,... é uma seqüência infinita e 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + ... = ∑ n! é uma série infinita de termo
n =1
geral a n = n!.
c) A série harmônica 1 +
∞
1 1
1
1
1
+ + ... + + ... = ∑
cujo termo geral é an = .
2 3
n
n
n
n =1
4.2. SOMA DE UMA SÉRIE
∞
∞
n =1
n =1
Dizemos que o número real S é a soma da série ∑ a n , ou que a série ∑ a n converge para S, se e
somente se, lim S n = S (o limite da seqüência das somas parciais S1 , S2 , S3,...,Sn é S). Neste caso, escrevemos
n →∞
∞
S=
Sn
∑ a n . Quando nlim
→∞
n =1
∞
não existe, dizemos que a série ∑ a n diverge. A divergência pode ocorrer porque
n =1
Sn torna-se infinita ou Sn oscila quando n → ∞ .
7
Exemplos:
∞
a)
∑ n = 1 + 2 + 3 + ... + n + ...
n =1
Soma parciais: S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, S4 = 10, S5 = 15, ..., Sn =
Representação gráfica da seqüência {Sn }
n (n + 1)
= ∞
lim S n = lim
2
n→∞
n→∞
n ( n + 1)
2
Sn
15
Portanto, a seqüência das somas parciais diverge.
10
∞
∑n
Dizemos, neste caso, que a série
diverge.
5
n =1
0
∞
1
2
3
4
5
n
b) ∑ ( −1) = −1 + 1 − 1 + ... + ( −1) + ...
n
n
n =1
 − 1, s e n é impar
Soma parciais: S1 = -1, S2 = 0 , S3 = -1, S4 = 0, S5 = -1, Sn = 
⇒ S n oscila
 0, s e n é par
Representação gráfica da seqüência {Sn }
Sn
lim S n não existe.
n→∞
Portanto, a seqüência das somas parciais diverge.
0
n
∞
Dizemos, neste caso, que a série
∑ (−1)
n
diverge.
n =1
∞
c)
∑
n =1
1
2
n
=
1 1 1
1
+ + + ... + n + ...
2 4 8
2
1
3
2 n −1
7
15
, S2 =
, S3 = , S4 =
, ..., Sn=
2
4
8
16
2n
Representação gráfica da seqüência {Sn }
Sn
2 n −1
1


= lim 1 − n  = 1
lim S n = lim
1
n →∞ 2 n
n → ∞
n →∞
2 
Soma parciais: S1 =
Portanto, a seqüência das somas parciais converge para 1. 0,5
∞
Dizemos, neste caso, que a série
∑2
n =1
1
n
converge para 1.
0
1
2
3
4
5
6
4.3. SÉRIES GEOMÉTRICAS
∞
Uma série geométrica é uma série da forma a + ar + ar2 +ar3 + ...+arn-1 + ... = ∑ ar n −1 com a ≠ 0.
n =1
Da seção 3.1, exercício E2 - 1, a n-ésima soma parcial da série geométrica é
8
n
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1 =
a (1 − r n )
, r ≠ 1.
1− r
a(1 − r n )
a
=
.
n →∞
1−r
1− r
Se | r | < 1 , lim r n = 0 , e assim lim
n →∞
a(1 − r n )
não existe.
n →∞ 1 − r
n →∞
Se r = 1, então Sn = na e portanto, lim S n não existe.
Se | r | > 1, lim r n não existe, e assim lim
n →∞
Se r = -1, então Sn oscila e portanto, lim S n não existe.
n →∞
A série geométrica converg e se | r | < 1 e sua soma é S =
A série geométrica diverge se | r | ≥ 1.
a
.
1−r
E1) Determine se a série é convergente ou divergente, se convergente encontre a soma.
∞
1 1 1
3 9 27
1) 1 + + + + ...
2) 1 + + +
3) ∑ ( −1) n +1
+ ...
2 4 8
2 4 8
n =1
E2) Determine a série infinita que tem a seguinte seqüência de somas parciais:
{ }
 n 2 
3){Sn } = 

 n +1 
E3) Expresse a dizima periódica 0,222... como uma fração comum.
 4n 
1){Sn } = 

 n + 1
 2n 
2){Sn } = 

 3n +1 
4){S n } = 2 n
4.4. PROPRIEDADES DAS SÉRIES
∞
∞
∞
∞
n =1
n =1
n =1
n =1
a) Se ∑ a n converge e c é um número real, então ∑ ca n também converge e ∑ ca n = c ∑ a n .
∞
5
Exemplo: ∑ n é convergente. Justifique.
n =1 2
∞
∞
∞
∞
∞
∞
n =1
n =1
n =1
n =1
b) Se ∑ a n e ∑ b n convergem , então ∑ ( a n ± b n ) também converge e ∑ ( a n ± b n ) = ∑ a n ± ∑ b n .
n =1
∞
Exemplo: ∑ (
n =1
n =1
1
2n
−
∞
1
3n
) é convergente. Justifique.
∞
∞
n =1
n =1
c) Se ∑ a n converge e ∑ b n diverge, então ∑ ( a n ± b n ) diverge.
n =1
∞
1
n =1
3n
Exemplo: ∑ (
+ 2 n ) é divergente. Justifique.
∞
∞
∞
n =1
n =1
n =1
Observação: Se ∑ a n diverge e ∑ b n diverge, então ∑ ( a n ± b n ) pode convergir ou divergir.
∞
d) Se ∑ a n converge, então lim a n = 0 .
n →∞
n =1
∞
Justificativa: Se ∑ a n converge, lim S n = S e lim S n −1 = S. Como Sn = a1 + a 2 + ... + a n-1 + a n , a n = Sn – Snn =1
n →∞
n →∞
Logo, lim a n = lim S n - lim S n −1 = S – S = 0
n →∞
n →∞
n →∞
E4) Verifique se a série converge, em caso afirmativo, determine a sua soma:
9
∞
1) ∑
n =1
∞
1
2n
2)
∞
∑1
3) ∑
n =1
n =1
1
(série telescópica)
n ( n + 1)
Para muitas séries é difícil ou praticamente impossível encontrar uma fórmula simples para Sn. Em
tais casos, são usados alguns testes que não nos fornecem a soma S da série; dizem-nos apenas se a soma
existe. Isto é suficiente na maioria das aplicações porq ue, sabendo que a soma existe, podemos aproximar o seu
valor com um grau arbitrário de precisão, bastando somar um número suficiente de termos da série.
4.5. TESTE DA DIVERGÊNCIA
∞
Se lim a n ≠ 0 , então a série infinita ∑ a n diverge.
n =1
n →∞
Observação: O lim a n = 0 não garante a convergência da série.
n →∞
E5) Prove que as séries seguintes são divergentes:
∞ n 2 +1
∞
1) ∑
2)
2 .(− 1) n +1
∑
2
n =1 n
n =1
3)
1 2 3
n
+ + + ... +
+ ...
3 5 7
2n + 1
4.6. TESTE DA INTEGRAL
∞
Sejam ∑ a n uma série de termos positivos e f uma função continua, tal que f(n) = an , para todo n.
n =1
∞
∫
Então ∑ a n converge ⇔
n =1
∞
f ( x )dx converge.
1
E6) Determine se a série dada é convergente ou divergente.
∞ 1
∞ 1
∞ 1
∞
1) ∑
2) ∑ 2
3) ∑
4) ∑ e −n
n =1 n
n =1 n
n =1 n
n =1
∞
1
n =1
n ln n
5) ∑
∞
6) ∑ ne − n
n =1
4.7. SÉRIE-P
∞
Uma série do tipo
∑n
1
n =1
p
é denominada série- p. Esta série converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.
∞
Justificativa: Para p = 1, a série -p torna-se
Se p ≠ 1,
∫
Para p > 1,
∞
dx
1
xp
= lim
∫
b
b →∞ 1
1
lim ( b 1−p
1 − p b →∞
Para 0 < p < 1,
1
, chamada série harmônica. Diverge (e xercício E6 - 1).
∑
n=1 n
b
 x −p +1 
1
x − p dx = lim 
lim ( b 1−p − 1) .
 =
b → ∞  − p + 1
b →∞
1
−
p

1
1
1
1
− 1) =
lim ( p −1 − 1) =
. Logo a série p converge.
b
→
∞
1−p
1− p
b
1
lim ( b 1−p − 1) = ∞ . Logo a série p diverge.
1 − p b →∞
Para p < 0, lim a n = lim
n →∞
n →∞
1
n
p
= lim n −p = ∞ . Logo, a série p diverge.
n→ ∞
10
∞
Para p = 0, a série-p torna-se
∑ 1 que é uma série divergente.
n =1
Portanto, a série-p é convergente somente quando p > 1.
4.8. TESTE DA COMPARAÇÃO POR LIMITE
∞
Sejam ∑ a n e
n =1
∞
∑b
an
= c, onde c é um número positivo,
n →∞ b
n
séries de termos positivos. Se lim
n
n =1
então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
E7) Determine se a série dada é convergente ou divergente.
∞
1)
∑ 1+ 3
n =1
∞
5)
∞
1
∑n
n =1
n
n
+1
2
2)
∑n
n =1
∞
6)
∑
∞
1
3)
+2
2
∞
∑ 2 n2 − 1
4)
∑n
n =1
n =1
1
4
+ n2 +2
n +1
n3
n =1
4.9. SÉRIES ALTERNADAS - TESTE DE LEIBNIZ
∞
∞
n =1
n =1
Uma série alternada é uma série da forma ∑ ( −1) n +1 a n ou ∑ ( −1) n a n com a n > 0.
Em uma série alternada, se a n ≥ a n+1 e lim a n = 0 , então a série converge.
n →∞
E8) Determine se as séries alternadas convergem ou divergem.
( −1) n
n =1 n
∞
∞
1) ∑ ( −1) n +1
n =1
n +2
4) ∑ ( −1)
n
(n + 1)
n =1
∞
∞
3) ∑ ( −1) n −1
2) ∑
∞
5) ∑ ( −1)
n
n −1
n =1
n =1
2n
4n − 3
2n
4n 2 − 3
O conceito a seguir permite que utilizemos testes para séries de termos positivos para determinar a
convergência de outros tipos de séries.
4.10. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL
∞
a) Se ∑ | a n | =|a1 | + |a2 | + |a 3 | +...+|a n | +... converge, dizemos que a série
n =1
∞
∑ an
n =1
é absolutamente
convergente .
∞
∞
b) Se ∑ a n converge e
n =1
∑| a
∞
n
| diverge, dizemos que ∑ a n converge condicionalmente .
n =1
n =1
E9) Determine se a série dada é absolutamente convergente.
∞
1) ∑
( −1) n +1
n =1
∞
5)
n
2
( −1)
n
n =1
∑
∞
2) ∑
n =1
n +1
∞
6)
∑
n =1
( −1) n +1
∞
3) ∑
n =1
n
( −1) ( n + 1)
n
n2
11
( −1) n +1
2
n −1
∞
4) ∑ 3 n
n =1
Observações:
∞
a)Se ∑ a n é uma série de termos positivos, então |a n | = an , portanto a convergência absoluta coincide
n =1
com a convergência.
∞
∞
n =1
n =1
b) Se uma série infinita ∑ a n é absolutamente convergente, então ∑ a n é convergente.
4.11. TESTE DA RAZÃO
∞
Seja ∑ a n uma série infinita com a n ≠ 0, para todo n.
n =1
a) Se lim
∞
a n +1
< 1, então ∑ a n converge absolutamente.
an
n =1
b) Se lim
∞
a n +1
a
> 1 ou lim n +1 = ∞ , então ∑ a n diverge.
an
n →∞ a n
n =1
c) Se lim
a n +1
= 1, então nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do teste.
an
n →∞
n →∞
n →∞
E10) Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
∞
1) ∑
n =1
1
n!
∞
5)
( −1) n +1
n
n =1
∑
∞
2) ∑
n =1
∞
n
3)
2
6) ∑ (−1) n
n =1
∞
1
∑ (− 1)
n =1
∞
3n
n!
7)
n!
n
∞
n!
n =1
2n
4) ∑
2
∞
3n
∑n
n =1
n +1
8)
2
∑ (−1)
n =1
n +1
n
2n − 1
Observação: O teste da razão é mais adequado quando an contém potências e produtos e não funciona na
série-p.
4.12. RESPOSTAS
E1) 1) Conv. S = 2
2) Div.
3) Div.
2 1 1
1 1
1
1
1 5 11 19
E2) 1) 2 + + + + L
2) + +
+
+ L 3) + +
+
+L
4) 2 + 2 + 4 + 8 + 16 + ..
3 3 5
2 14 35 65
2 6 12 20
2
E3)
E4) 1) Conv. S = 1
2) Div.
3) Conv. S = 1
9
E6) 1) Div.
2) Conv.
3)Div.
4) Conv.
5) Div.
6) Conv.
E7) 1) Conv.
2) Conv.
3)Div.
4) Conv.
5) Conv.
6) Conv.
E8) 1) Div.
2) Conv.
3)Div.
4) Conv.
5) Conv.
E9) 1) Conv. Abs.
2) Conv. Cond.
3) Conv. Abs.
4) Div.
5) Conv. Cond.
6) Conv. Cond.
E10) 1) Conv.
2) Conv.
3) Div.
4) Div.
5) Conv. Cond.
6) Conv. Abs.
7) Div.
8) Div.
5. SÉRIES DE POTÊNCIAS
5.1. DEFINIÇÃO
∞
Série de potências de x centrada em c é uma série infinita da forma
b 2 (x-c)2 + b3 (x-c)3 + ... + b n (x-c)n + ...
12
b n (x − c) n = b0 + b 1(x-c) +
∑
n =0
Quando em uma série de potências a variável for substituída por um número, a série resultante é
numérica e pode c onvergir ou não.
5.2. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA
∞
Para cada série de potências
∑ b n ( x − c) n , exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira:
n =0
a)
b)
c)
A série converge somente quando x = c.
A série converge absolutamente para todo x real.
Existe um número real positivo R, tal que a série é absolutamente convergente se |x – c| < R e é
divergente se |x – c| > R. Neste caso, R é chamado raio de convergência da série e (c – R, c+ R) é
dito o intervalo de convergência da série.
Procedimento para encontrar o intervalo de convergência de uma série de potências.
1. Aplicar o teste da razão.
2. Resolver a inequação resultante.
3. Analisar os extremos individualmente.
E1) Determine os intervalos de convergência das séries:
∞
1) ∑
n =1
∞
xn
n
5) ∑ nx n
n =0
∞
n+2
n =0
3n
2) ∑
(x-2)n
xn
n =0 n !
∞
3) ∑
∞
∞
6) ∑ n! ( x + 1) n
7) ∑ x n
n =0
n =0
10 n (10 − x ) n
n!
n =1
∞
4) ∑
∞
8)
∑
xn
n =1
n
5.3. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS
∞
Uma série de potências de x pode ser encarada como uma função de variável x, f(x) =
∑ b n (x − c) n ,
n =0
onde o domínio de f é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente.
Cálculos numéricos utilizando série de potências são a base para a construção de calculadoras.
Cálculos algébricos, diferenciação e integração podem ser realizados com o uso de séries. O mesmo acontece
com as funções trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmicas e hiperbólicas.
E2) Ache uma função f representada pela série de potências 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ...
E3) Considere o exercício E2 e calcule o valor aproximado de f(1/10)
a) usando os dois primeiros termos da série.
b) usando os três primeiros termos da série.
c) usando os quatro primeiros termos da série.
d) usando os cinco primeiros termos da série.
E4) Calcule o valor de f(1/10) usando a lei.
E5) Comparando os valores encontrados em E3 e E4, o que se pode concluir ?
E6) Considere o exercício E2 e calcule o valor aproximado de f(2)
a) usando os dois primeiros termos da série.
b) usando os três primeiros termos da série.
c) usando os quatro primeiros termos da série.
E7) Calcule o valor de f(2) usando a lei.
E8) Comparando os valores encontrados em E6 e E7, o que se pode concluir ?
E9) Considere o exercício E2 e obtenha uma representação em série de potências para
1
1
1
1)g 1 (x) =
2) g 2 (x) = −
3) g 3 (x) =
1+ x
1− x
1− x2
5.4. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS
13
∞
Se f(x) =
b n ( x − c) n
∑
n =0
está definida no intervalo (c – R, c + R) para algum R > 0, então:
∞
a) f é derivável e f’(x) =
∞
∑ nb n (x − c) n −1 = ∑ ( n + 1)b n +1 ( x − c) n , para todo x ∈ (c – R, c + R).
n =1
b) f é integrável e
n =0
∞
b n (x − c)
n +1
n =0
∫0 f ( t) dt = ∑
x
n +1
, para todo x ∈ (c – R, c + R).
∞
1
= ∑ x n , determine:
1− x
n =0
1) f ’(x) e a série que representa f ’(x).
2) ∫ f (x ) dx e a série que representa ∫ f ( x )dx .
E10) Seja f(x) =
1/ 2
1/ 2
3) ∫0 f ( x)dx e a série que representa ∫0 f ( x)dx .
5.5. SÉRIES DE TAYLOR
∞
Se f é uma função que admite uma representação em séries de potências f(x) =
b n (x − c) n , quem
∑
n =0
serão os coeficientes bn ?
f(x) = b 0 + b 1 (x-c) + b 2(x-c)2 + b 3 (x-c)3 + b4 (x-c)4 + ... + b n (x-c)n + ... ⇒ f(c) = b 0
f ' (c)
1!
f ' ' (c)
2
n-2
f ’’(x) = 2b2 + 3.2b 3 (x-c) + 4.3b 4 (x-c ) + ... + n(n-1)b n (x-c) + ... ⇒ f ’’(c) = 2b2 = 2!b2 e b 2 =
2!
f ' ' ' (c)
f ’’’(x) = 3.2b 3 + 4.3.2b4 (x-c) + ... + n(n-1)(n-2)b n (x-c)n-3 + ...
⇒ f ’’’(c) = 3.2b 3 = 3!b 3 e b 3 =
3!
f ’(x) = b 1 + 2b 2 (x-c) + 3b 3 (x-c )2 + 4b 4 (x-c )3 + ... + nb n (x-c)n-1 + ... ⇒ f ’(c) = b 1 = 1!b 1 e b 1 =
⇒ f (IV)(c) = 4.3.2b 4 = 4!b 4 e b 4 =
f (IV)(x) = 4.3.2b 4 + ... + n(n-1)(n-2)(n-3)bn (x-c)n-4 + ...
f (IV ) (c)
4!
∞ f (n ) (c)
f (n ) ( c)
para n ≥ 1 e portanto f(x) = f(c) + ∑
( x − c) n que é denominada Série
n!
n!
n =1
de Taylor para f de centro em c, para todo x pertencente ao intervalo de convergência.
Logo b0 = f(c) e b n =
Se c = 0, a série de Taylor assume a forma
f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3
f (n ) (0) n
x +
x + ... +
x + ...
2!
3!
n!
que é denominada Série de MacLaurin para f.
f(x) = f(0) + f ’(0) x +
E11) Encontre a série de Taylor de centro em c = 1 para:
1
x
E12) No exercício anterior, para que valores de x a série encontrada representa a função f ?
E13) Encontre a série de Taylor de centro em c = 0 para:
1) f(x) = ln x
2) f(x) = e x
3) f(x) =
2
1) f(x) = ln(1+ x)
2) f(x) = e x
3) f(x) = e x
5) f(x) = sen x
6) f(x) = sen 2x
7) f(x) = cos x
14
4) f(x) = e -2x
1
8) f(x) =
x −1
Se truncamos a Série de Taylor para um dado N natural, ou seja, consideramos o somatório PN (x) =
f (c) +
N
f ( n ) ( c)
( x − c) n , obtemos o chamado Polinômio de Taylor de grau N de f no ponto c. É provado
n
!
n =1
∑
que PN (x) é uma aproximação para f(x), cujo erro diminui quanto menor for a distância entre x e c e e quanto
maior for o valor N.
E14) Se f(x) = ln(x), determine o Polinômio de Taylor para N = 3 e c = 1. Utilize este polinômio para
aproximar o valor de f(1.1), apresentando o erro cometido.
E15) Aproxime cos(61o ) através do polinômio de Taylor de cos(x) com N = 2 e c = π/3.
5.6. RESPOSTAS
E1) 1) [-1,1)
3) ℜ
2) (-1,5)
4)
1
, (-1,1)
E3) a) 1,1
1− x
E4) 1,111...
E6) a) 3
b) 7
E2) f(x) =
∞
E9) 1)
∑
b) 1,11
( −1) n x n , | x | < 1
∞
∑
n =1
2)
∑
( −1)
∞
1
7) (-1,1)
c) 1,111
d) 1,1111
(1 − x )
2
,
∞
−x n , | x | < 1
3)
n −1
( x − 1) n
n
( −1) n +1 x n
n
n =1
∑
( −1) n +1 x 2 n −1
∑
( 2n − 1)!
n =1
e.( x − 1) n
n!
n =0
∑
3) -ln
∑ ( −1) n ( x − 1) n
E12) 1) (0,2]
n =0
2) ℜ
∞
xn
n =0 n!
∑
3)
∞
6)
1 1 1 1
1
, + +
+
+L
2 2 8 24 64
∞
3)
∞
2)
∞
E14) ln(x ) ≈ (x −1) −
x 2n , | x | < 1
n =0
∞
2)
∑
xn
2) –ln (1 – x ), ∑
n =1 n
nx n −1
∑
n =1
8) [ -1,1)
E7) –1
∞
∞
5)
6) {-1}
n =0
E10) 1) f ’(x) =
E13) 1)
5) (-1,1)
c) 15
∞
n =0
E11) 1)
ℜ
( −1) n +1 ( 2x ) 2 n −1
∑
( 2 n − 1)!
n =1
∞
x 2n
n =0 n!
∑
4)
∞
7)
(− 2) n .x n
n!
n =0
∑
∞
(− 1) n .x 2 n
∑
( 2 n )!
n =0
( x − 1) 2 ( x − 1) 3
+
; ln(1.1) ≈ 0.0953; Erro ≈ 0.0000102.
2
3
3) (0,2)
8)
−x n
∑
n =0
E15) cos(61o ) ≈ 0.48481.
6. BIBLIOGRAFIA
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.
EDWARDS, C, PENNEY, David. Cálculo com geometria analítica. 4.ed. Rio de Janeiro: PrenticeHall do Brasil, 1997.
LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2.ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil,
1982.
MOREIRA, Francisco Leal, Cálculo II – Sistemas de Informação, Material Didático, FAMAT/PUCRS,
2004.
SHENK, Al. Cálculo e geometria analítica. 2.ed. Rio de Janeiro: Campus, 1985.
SILVA, Jaime Carvalho e. Princípios de análise matemática aplicada. Alfragide: McGraw -Hill de
Portugal, 1994.
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
SWOKOWSKI, Earl William. Cálculo com geometria analítica. 2.ed. São Paulo: Makron Books,
1994.
15