CAPÍTULO 1
PRELIMINARES
Diariamente nos vemos frente a gráficos, tabelas e ilustrações. Estes são
recursos muito utilizados nos meios de comunicação, pois eles transmitem
diretamente a sua mensagem, enquanto que as palavras para discorrerem a
mesma mensagem são monótonas e cansativas. Os gráficos, tabelas e ilustrações
estão presentes em jornais, revistas, livros, artigos científicos, etc. e serão objetos
de nosso estudo neste trabalho. Mas para compreendê-los devemos lançar mão de
técnicas matemáticas.
Textos científicos, tanto na área biológica quanto em outras áreas,
procuram através de expressões matemáticas uma representação ou formalização
dos fenômenos da natureza e dos experimentos. A partir do momento em que a
biologia deixou de ser uma ciência meramente descritiva e passou a se apoiar em
modelos matemáticos, ela conquistou o status de uma verdadeira ciência.
Por este motivo, faz-se necessário munirmo-nos de ferramentas para
podermos interpretar e analisar a biologia através da matemática. Nosso objetivo
neste capítulo é introduzirmos o estudo das funções, por tratar-se de uma poderosa
“arma” na interpretação dos modelos matemáticos.
De início apresentamos o seguinte problema: Um rato de laboratório
aprende a pressionar uma barra numa caixa de Skinner1 para obter comida. A
relação entre o número de vezes por minuto
y , em que a barra é pressionada e a
quantidade
de
alimento
dado
em
1
recompensa, x , é indicada por y = x . a)
2
Qual o significado desta igualdade? b) Quais
as maneiras de representarmos esta
igualdade? c) Quando quatro unidades de
alimento forem dadas, quantas vezes o rato
pressionará a barra, em um minuto? Para
tratarmos estas questões apresentaremos a
seguir, um breve resumo do produto
cartesiano, das variações e declividade de
retas.
1 P
1
RODUTO CARTESIANO
Skinner realizou a maioria de suas experiências com pequenos animais, principalmente o rato
branco e o pombo. Desenvolveu-se o que se tornou conhecido por Caixa de Skinner como
aparelho adequado para estudo animal. Tipicamente, um rato é colocado dentro de uma caixa
fechada que contém apenas uma alavanca e um fornecedor de alimento. Quando o rato aperta a
alavanca sob as condições estabelecidas pelo experimentador, uma bolinha de alimento cai na
tigela de comida, recompensando assim o rato.
2
Apresentaremos um problema de genética para introduzir o conceito de
produto cartesiano. Os grupos sanguíneos ABO são teoricamente explicados por
três gens ou alelos no mesmo genes. Representamos os alelos por a , b e o , onde
os alelos a e b são dominantes sobre o . O indivíduo que tem a combinação de
genes o o não possui nem antígeno A nem B no seu sangue. Com a combinação
a a ou a o o sangue contém o antígeno A , com as combinações b b ou b o ele
contém o antígeno B e com a combinação a b o sangue contém ambos os
antígenos. Como representar graficamente todas as possibilidades para a
recombinação genética? Cada gameta (óvulo ou espermatozóide) porta um dos
três alelos.
Solução do problema de genética: Chamaremos
T = {a , b, o}
de
o
conjunto
de
alelos.
Representamos
os
possíveis
alelos
do
espermatozóide por pontos em uma reta horizontal
e os possíveis alelos do óvulo por pontos em uma
reta vertical. Traçamos retas perpendiculares aos
eixos que passam por cada ponto e obtemos nove
pontos de intersecção, chamados pontos do
reticulado ou pares ordenados. Cada ponto
representa uma possível recombinação de alelos
em um zigoto (célula fertilizada).
Figura 01
A representação também pode ser dada por:
T × T = {(a, a ), ( a, b), (a, o), (b, a), (b, b), (b, o), (o, a), (o, b), (o, o)}
A solução apresentada aqui, utiliza-se da seguinte definição:
Definição: Dados dois conjuntos R e S definimos o produto cartesiano entre
R e S , denotado por RxS 2, como o conjunto de todos os pares ordenados
da forma (r , s) onde r pertence ao primeiro conjunto R e s pertence ao
segundo conjunto S , isto é:
RxS = {( r , s ) / r ∈ R e s ∈ S }.
Se R possui m elementos e S possui n elementos, então RXS possui
m ⋅ n elementos.
2
A operação de produto com conjuntos (x) não deve ser confundido com a multiplicação entre
números.
3
2
PLANO CARTESIANO
Dados históricos: Os nomes Plano Cartesiano e Produto
Cartesiano são homenagens feitas ao seu criador René Descartes
(1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome Descartes em
Latim é Cartesius, daí a denominação cartesiana. Para mais
informações consulte o final do capítulo, na seção Leitura
Complementar.
Se no produto cartesiano, definido na seção anterior, cada um dos
conjuntos for o conjunto dos números reais IR , obtemos o Plano Cartesiano.
Isto é, se R = S = IR ,
IR × IR = {( x, y ) / x ∈ IR e y ∈ IR}.
Desta forma o plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos
reais comumente denominados x e y, perpendiculares entre si e que se cruzam na
origem (0,0). O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo x ) e o eixo vertical é o
eixo das ordenadas (eixo y ).
Figura 02: Plano Cartesiano
A cada ponto P = (a , b) do plano cartesiano associamos um par
ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada
respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas do ponto (fig. 03).
A abscissa indica o deslocamento a partir da origem para a direita (se
positivo) ou para a esquerda (se negativo). A ordenada indica o deslocamento a
partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo) (fig. 04).
Figura 03: Ponto no plano
Figura 04: Sinais de um ponto
4
Observe na figura abaixo que: a ≠ b ⇒ (a , b) ≠ (b, a ) .
Figura 05: Pares Ordenados
Freqüentemente trabalhamos com conjuntos de pares ordenados, os
quais têm muita utilidade no dia-a-dia de um pesquisador. Vejamos alguns
exercícios, cujas representações gráficas deverão ser feitas pelo leitor:
Exercício 01: Na cinética de uma reação química, a seguinte tabela indica a
pressão P e a quantidade c da substância produzida na reação, em determinadas
condições de temperatura e tempo.
P (atm) 1
2
3
4
5
6
c (g)
8
10
11
11,6
12
5
Exercício 02: Vejamos a seguir o movimento de um ponto sobre uma reta. A
seguinte tabela indica em cada instante t , a posição s do móvel em relação a um
ponto fixo:
t (s)
10
20
30
40
50
60
70
s (cm)
40
80
120
160
200
240
280
Exercício 03: Um biólogo verifica o crescimento de células cancerosas ao se
reproduzirem. A tabela a seguir representa esse crescimento R medido em
unidades de 1000 células por hora e onde o tempo t é medido em horas.
R (1000/h)
0
1
2
3
4
t (h)
1
4
9
16
25
5
Exemplo 01: Observe o esquema que especifica uma teia alimentar e os seres que
dela participam:
consumidor
As setas
têm o significado de indicar o sentido da comida para o
consumidor. A representação gráfica será:
G
L
GA
CO
CA
P
CA
CO
GA
L
alimento
3
PROBLEMAS DE VARIAÇÕES
Problema: Quando analisamos fatos ocorridos na natureza, nos
deparamos com questionamentos de variação de uma grandeza em relação à
outra. Por exemplo, o gráfico a seguir é referente à temperatura T de um bovino3
sob observação, durante o período de 24 horas, em dois dias consecutivos. O início
da tomada da temperatura é referente ao tempo t = 0 .
a) Para t = 6 , qual foi a variação de temperatura, do 1º para o 2º dia? E para t=12?
b) Durante quanto tempo a temperatura manteve-se nos 39º no 2º dia?
c) Qual foi a variação média da temperatura entre a 12ª e a 18ª hora do 2º dia? E
entre 18ª e 24ª hora do 2º dia?
3
A temperatura de um bovino oscila entre 37,5º C a 42,5º C.
6
Figura 06: temperatura de um bovino
Para respondermos às questões acima, iremos analisar a posição entre
dois pontos distintos: P(x1,y1) e P(x2,y2).
1º CASO: P e Q POSSUEM A MESMA ABSCISSA
Para este par de pontos,
observamos que há diferença apenas
entre as ordenadas y1 e y2. Assim:
y1 − y 2 = ∆ y ou y 2 − y1 = ∆ y
Dependendo da análise que
estamos fazendo sobre estes pontos, e o
que eles representam, podemos então
obter ∆ y > 0 ou ∆ y < 0 . Pergunta-se: faz
sentido aqui, ∆ y = 0 ?
Passamos agora para a solução da primeira questão do
problema de temperatura da vaca.
Solução: a) Como a variação da temperatura deve ser dada do 1º para o 2º dia, e
no 1º dia para t=6, temos T=38, resultando em P1(6,38), e no 2º dia para o mesmo
t=6 temos T = 39, obtendo P2(6 , 39). Desse modo a variação da temperatura será:
∆ T = 39 − 38 = 1º
Isto significa que tivemos um aumento de 1º na temperatura, do 1º para
o 2º dia.
Para t = 12 no 1º dia temos T = 39, P 5 (12 , 39) , e no 2º dia T =
39, P5 (12 , 39). A variação de temperatura será então:
∆ T = 39 − 39 = 0º
7
Isto significa que não houve variação de temperatura, do 1º para o 2º
dia.
2º CASO: P E Q POSSUEM A MESMA ORDENADA
Neste caso não há diferença
entre as ordenadas, mas tão somente entre
as abscissas x1 e x2. Assim:
x1 - x2 = Δx ou x2 - x1 = Δx
Dependendo da análise, também
podemos obter Δx >0 ou Δx <0. Neste caso,
o que significa Δx=0?
Solução: No caso do item (b) do problema, ao analisarmos a variação do tempo t
enquanto a temperatura manteve-se nos 39º temos dois pontos: P2 (6, 39) e
P5(12,39), obtemos: Δt = 12 – 6 = 6 horas.
Isto quer dizer que num período de 6 horas a temperatura manteve-se
nos 39º. Neste caso, não faz sentido tomarmos: Δt = 6 – 12 = -6 horas.
3º CASO: P E Q POSSUEM ABSCISSAS E ORDENADAS
DISTINTAS
Neste caso temos diferenças
(variações) tanto para as abscissas como para
as ordenadas. A análise a ser feita, refere-se à
medida de uma unidade em relação a outra,
isto é
∆y
= m,
∆x
que nos indicará se há um aumento ou
diminuição de y , quando há uma variação ∆ x
para x.
Aqui é importante tomarmos bastante cuidado na obtenção de ∆ x e ∆ y ,
pois qualquer descuido com os sinais, terá uma interpretação errônea dos
resultados. O valor de m representa uma taxa de variação ou também chamada de
variação média. Esta taxa média é utilizada para obtermos a velocidade média de
deslocamento de uma partícula em movimento e sua aceleração média, a
velocidade média de uma reação química, a velocidade média de crescimento de
uma população, assim como a declividade de uma reta.
Solução: No caso do item c) do problema sobre a variação de temperatura, os
dados indicam que os pontos são P5 (12,39) e P3 (18,42) . Então:
Δt = 18 - 12 = 6 e ΔT = 18 - 12 = 3
8
Assim, m =
∆T 3
= = 0,5 .
∆t 6
O que significa uma
variação média de aumento de 0,5º por
hora. Este aumento pode ser observado
no gráfico pelo segmento que une P5 a P3
. Ela aumenta (cresce) conforme o tempo
t varia de 12 para 18 horas.
Para que o valor encontrado
em m seja consistente com a questão em
análise, quando calculamos o Δt fixamos
a ordem dos termos na diferença. Temos
então:
Δt = t 3 – t5.
Assim, ao obtermos o ΔT, basta manter a mesma ordem, isto é:
ΔT= T 3 – T5
O que ocorre se invertermos a ordem das coordenadas dos pontos ao
calcularmos o Δt? Neste caso
Δt = t 5 – t3 = 12 - 18
e
ΔT = T 5 – T3 = 39 – 42 = -3.
Assim,
m=
∆T − 6
=
= 0,5 .
∆t − 3
Concluímos que o resultado final de m fica inalterado! A última questão
do problema deixaremos a cargo do leitor.
Exercício: Numa experiência controlada, a área total utilizada para a criação de
algas é anotada a cada 12 horas. Um estudante obtém a seguinte tabela:
Área de criação (cm2)
Tempo (horas)
320
0
500
12
600
24
540
36
504
48
Determine a taxa média de variação na área, nos períodos de t=0 a t =12
e de t = 24 a t = 36, e explique o significado de cada resultado.
9
4
DECLIVIDADE DA RETA
Como já vimos, a declividade4 ou inclinação de uma reta que contém dois
pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2), com x1≠ x2 é dada por:
m=
y − y1
∆y
= 2
.
∆x
x 2 − x1
Isto significa que toda reta possui uma declividade m, podendo ser
positiva, negativa ou nula. Conforme as figuras seguintes e considerando o
deslocamento de P1 para P2, resulta:
Se m > 0 temos uma reta crescente, (figura a)
Se m < 0 temos uma reta decrescente, (figura b)
Se m = 0 temos uma reta estacionária ou constante, isto é, paralela ao eixo x (figura c)
O que ocorre quando x1=x2? A reta não possui declividade m, e a reta
é vertical (figura d).
a)
b)
c)
d)
Exemplo: O crescimento de uma cultura biológica é tal que aumenta de 16 cm 2
para 20 cm2, enquanto o tempo aumenta de 2 para 4 horas. Determine a taxa
média de crescimento desta cultura e represente os pontos no sistema de eixos
coordenados.
Solução:
Podemos
visualizar
os
pontos
correspondentes no plano cartesiano P1(2, 16) e
P2(4, 20).
Traçamos uma reta r passando por P1 e
P2.
∆y 4
= = 2 , isto significa
Obtemos m =
∆x 2
que o crescimento é de 2 cm2 por hora.
4
A declividade de uma reta, comumente, é denotada pela letra
m ou a
10
5
EQUAÇÃO DA RETA
Utilizando ainda o exemplo anterior, se quisermos prever o tamanho
desta cultura quando o tempo for de 7 horas, o que teríamos que fazer? Se
soubéssemos como encontrar a ordenada do ponto P3(7, ?) que pertence à reta r,
teríamos solucionado o nosso problema.
Dispomos dos seguintes dados:
A declividade m=2 da reta r, um ponto P1(2, 16) ou P2(4, 20) de r e a
abscissa x=7 de P3.
Logo, podemos determinar y utilizando o conceito de declividade:
m=
∆ y y − 16
y − 16
=
⇔ 2=
⇔ 10 = y − 16 ⇔ y = 26.
∆x 7− 2
5
Generalizando, se conhecemos um ponto P0(x0, y0), e a declividade m de
uma reta e considerarmos P(x, y) um outro ponto qualquer sobre r, podemos obter
a equação da reta, do seguinte modo:
m=
Ou ainda
y − y0
⇔ y − y 0 = m( x − x 0 ) .
x − x0
y = mx + y 0 − mx 0 ⇔ y = mx + b .
Exercício: Obter a equação da reta do exemplo anterior.
Exemplo 01: A equação de LineWeaver – Burk relaciona velocidade inicial v0 de
uma reação catalisada por enzima com a concentração de substrato [S] da seguinte
forma:
Km 1
1
1
=
+
v 0 v max [S] v max
Onde KM e vmax são constantes. De que outra maneira essa equação
pode ser representada?
Substituindo:
1
= y,
v0
KM
1
= a,
= x e
v max
[S]
1
v max
= b
temos que
y=ax+b.
Exemplo 02: Vamos supor que a temperatura seja mantida constante. Nestas
condições, o volume de um gás dissolvido em um líquido é diretamente
proporcional à pressão parcial do gás no líquido. Se V denota o volume de gás
dissolvido por 100ml de solução e Pg é a pressão parcial do gás dissolvido, em torr
11
(torricelli), então V relaciona-se com Pg através da equação:
V=
100
KP ,
760 g
onde K é uma constante positiva, denominada constante de solubilidade, e V
representa o volume do gás que se dissolverá em 1,0ml de líquido, à pressão
parcial de 760 torr. Na tabela 015, tem-se o valor desta constante de solubilidade
para alguns gases, mantida a temperatura constante a 38ºC.
SOLVENTE
GÁS
Água
Sangue Venoso
Sangue Arterial
Hidrogênio (H)
0,0162
0,0153
0,0149
Hélio (He)
0,0127
-
0,0087
Nitrogênio (N)
0,0127
0,0117
0,0130
Oxigênio (O)
0,0232
0,0209
0,0230
Dióxido de Carbono (CO2)
0,5450
0,5100
0,4700
Tabela 01: Constantes de solubilidade para alguns gases dissolvidos no sangue e na
água mantidos a temperatura a 38ºc
a) Calcule o coeficiente angular, isto é, a inclinação da reta para a
constante de solubilidade do oxigênio no sangue venoso. b) O oxigênio dissolve-se
melhor no sangue arterial ou no venoso? Justifique sua resposta com base nos
dados e hipóteses acima.
Solução:
100
KP , onde K=0,0209, segue que V = 0,00275Pg . Assim,
Temos V =
760 g
o coeficiente angular é 0,00275, para o sangue venoso.
100
0,023Pg ≅ 0,00303Pg . Assim, o oxigênio
Para o sangue arterial Va =
760
dissolve-se melhor no sangue arterial ( o volume é maior).
Exemplo 03: Em um adulto jovem em repouso, a proporção de dióxido de carbono
misturado no sangue venoso é dada por 4,15ml/100ml. Utilizando a constante de
solubilidade da tabela 01, isto é, K= 0,5100, calcule a pressão parcial do CO2
dissolvido no sangue venoso.
5
Extraído de Koc, F. F., An Introduction to Respiratory Physiology, Excerpta Médica, 1973.
12
Solução:
Temos V =
4,15 =
100
KPg . Com V=4,15 ml e K= 0,5100, segue-se que:
760
100
(0,5100) Pg ⇔ 3154 = 51 Pg ⇔
760
Pg = 61,84 torr.
Logo a pressão parcial de CO2 é 61,84 torr.
Exemplo 04: Ainda na hipótese de um adulto jovem e em repouso, o oxigênio
dissolvido no sangue venoso é cerca de 0,12ml/100ml. Calcule a pressão parcial de
CO2 nas veias, sabendo que K=0,0209.
Solução: Temos:
100
V=
KP
760 g
Como V=0,12 e K=0,0209, segue-se que:
0,12 =
6
100
(0,0209) Pg ⇔ 91,2 = 2,09 Pg ⇔ Pg = 43,64 torr
760
FUNÇÃO
Para estudarmos diversos fenômenos da natureza e resolvermos
problemas técnicos, surge a necessidade de examinarmos a variação de uma
grandeza em dependência da variação de outra. Por exemplo:
• O tamanho (w) de uma população de bactérias varia com o tempo (t);
• A amplitude (A) de impulsos elétricos gerados no músculo cardíaco,
cuja representação gráfica é o eletrocardiograma, varia como o tempo
(t);
• A pressão (P) de um gás, à volume constante, varia com a temperatura
(T);
• A posição (S) de um automóvel em movimento depende do tempo (t);
• A área (A) do círculo (A=πR2) varia com o raio (R);
• A cada espécie (S) biológica está associada um número de
cromossomos (n).
Como vimos, a variação de uma grandeza causa a variação de outra.
Mas também podemos observar que nos exemplos citados a univocidade da
associação ocorre apenas em uma direção. Isto é:
• Para cada tempo, teremos apenas certo tamanho de população de
bactérias;
• Para cada tempo, teremos a leitura de uma única amplitude de
impulsos elétricos;
• A pressão de um gás é única para uma determinada temperatura;
• Para um mesmo tempo, não podemos encontrar mais do que uma
13
•
•
posição de um automóvel;
A área A de um círculo é única para um dado raio R;
Não encontramos numa mesma espécie biológica, sem anomalia,
números diferentes de cromossomos.
A cada uma destas associações é que chamamos de FUNÇÃO. Mais
precisamente:
Definição: Uma função f é uma correspondência existente entre dois
conjuntos A e B, de modo que a cada elemento a do conjunto A
corresponde um único elemento b=f(a) de B.
O conjunto A
chama-se domínio da função e o conjunto de valores b de B, associados aos
pontos a do domínio é chamado imagem da função.
Notações: f : A → B , onde f ( a ) = b ou a → f ( a ) . Nos exemplos de 1 a 6 temos:
W(t), A(t), P(T), S(t), A(R), S(n).
A variável a do conjunto A é denominada variável independente ou
argumento. A dependência que existe entre as variáveis a e b se chama funcional.
A letra f que é encontrada na notação simbólica de uma dependência funcional
b=f(a) significa que se tem que realizar certas operações com o valor de a para se
obter b. A variável b é denominada variável dependente6. Tendo em mente o
exposto, podemos agora tratar da 1ª questão do problema do rato, apresentado no
1
início deste capítulo. A igualdade y = x representa uma função, pois dada uma
2
quantidade de alimento de recompensa x, o valor de y, que representa o numero de
vezes por minuto em que a barra é pressionada, é univocamente determinado.
Ao conjunto de valores que a variável independente pode assumir
chamamos de domínio da função. E ao conjunto de valores que a variável
dependente assume quando a variável independente “varre” todo o domínio,
chamamos de imagem da função.
Exemplos:
1. y = x 4 − 2 , D = IR ;
x+ 1
, D = {x ∈ IR / x ≠ 1} ;
2. y =
x− 1
3. V = 1 − P 2 , D = − 1 ≤ P ≤ 1 ;
4. y =
{
}
x 2 − 1, D = x / x ≤ − 1 e x ≥ 1 ;
5. y =
x 2 + 1, D = IR ;
6. w = 1 s 2 − 6 s + 9 .
7. r = (t 3 − 1) − 1 .
6
Na maioria das funções estudadas na matemática utilizamos
generalização de notação.
y = f ( x ) . Mas isto é apenas uma
14
Às vezes temos necessidade de examinar apenas parte do domínio da
1
função. Assim no caso da função y = x , o seu domínio é dado por D = IR . Porém
2
no contexto do problema do rato, x representa a quantidade de alimento. Neste
caso D = 2 Ν , onde Ν é o conjunto dos números naturais.
7
REPRESENTAÇÕES DE FUNÇÕES
As formas de representar uma função podem ser:
NUMERICAMENTE (por meio de tabela de valores): Foram tomadas as medidas
da temperatura T do ar em graus Celsius no período de t=1 à t=9 horas.
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
T
0
-1
-2
-2
-0,5
1
3
3,5
4
Esta tabela determina T como função de t. Observe que neste caso a
temperatura foi medida em intervalos de uma hora.
VISUALMENTE (através de gráficos): É o conjunto de pontos do plano x0y de
equação y=f(x). Por exemplo y=x3, cujas abscissas representam valores da variável
independente x e as ordenadas os valores correspondentes da variável dependente
y.
y
0
Figura 07: gráfico de
x
y = x3 .
Para sabermos se uma curva é o gráfico de uma função, devemos traçar
paralelas ao eixo das ordenadas e estas devem interceptar a curva em um único
ponto, caso contrário, a curva não representa o gráfico de uma função.
ALGEBRICAMENTE (utilizando uma fórmula explícita): É a representação
simbólica de um conjunto de certas operações, que se realizam em uma sucessão
determinada com sinais e letras, que designam grandezas constantes e variáveis
(equações).
y = x 4 − 2, g =
Observações:
x+ 1
, y=
x− 1
1− x 2 , A = π R 2 ,
etc.
15
1. Nem toda tabela, gráfico ou equação representa uma função. Por exemplo,
os dados da tabela seguinte representam os valores de y 2 = x , cujo gráfico
está esboçado a seguir.
x
y
0
0
1
-1
4
-2
9
-3
16
-4
Figura 08: gráfico de
1
1
4
2
9
3
16
4
y2 = x .
2. A partir da expressão algébrica de uma função é sempre possível obter uma
tabela e o respectivo gráfico, entretanto nem sempre é possível encontrar a
equação de uma função a partir de um conjunto de pontos ou de um gráfico.
Para isto é necessário formular um modelo matemático.
3. Os modelos matemáticos podem ser obtidos a partir de análises dos
fenômenos, devendo a equação obtida corresponder aos dados
experimentais; a partir da formulação de um modelo há uma melhor
compreensão da relação entre as variáveis, nos permitindo até fazer
predições a cerca do fenômeno. Para mais informações consulte o final
deste capítulo, em Leitura Complementar.
8
FUNÇÃO DE VARIÁVEL DISCRETA
Como já vimos na definição de função, a variável é uma quantidade que
assume valores em um problema particular. Porém, esses valores podem ser
discretos ou contínuos. Em nosso estudo a ênfase é nas funções de variáveis
contínuas. No entanto em situações experimentais, na maioria dos casos, nos
deparamos com variáveis discretas.
Para podermos melhor compreender estes conceitos consideremos P
um conjunto de pessoas e I o conjunto das impressões digitais dessas pessoas. Se
analisarmos a relação entre esses dois conjuntos, verificaremos que os pares
ordenados (impressão digital, pessoa), resultantes do produto cartesiano IxP é uma
função.
De fato, para cada impressão digital podemos associar (identificar) uma
única pessoa. O mesmo ocorre para o caso de elementos químicos e seus
respectivos números atômicos.
Os exemplos considerados nos mostram que as variáveis discretas
podem assumir um caráter tanto quantitativo quanto qualitativo.
Para entendermos melhor esta questão consideremos o seguinte
exemplo:
Exemplo: Suponhamos que a nossa variável n representa o número de alunos de
16
uma escola, n=1, 2, 3,..., N, tal variável nunca assume valores tais como: 2,3 ou
4,75 ou 20,387, etc. Neste caso, n é uma variável discreta. Agora, observe que, se
m representa o peso desses alunos, m é uma variável contínua, pois seus valores
poderão ser 53kg ou 53,57kg, etc., dependendo da precisão da medida.
Matematicamente dizemos que uma variável é do tipo discreta quando
ela só puder assumir valores pertencentes a um conjunto contável, ou seja um
conjunto finito e enumerável.
Sua representação gráfica é feita como antes descrito.
Tomemos
o eixo das abscissas para a variável
y
independente, e o eixo das ordenadas para a variável
dependente. Observemos que para estas funções seus
gráficos são pontos isolados no plano xy. Não é possível
x
previsões acerca de fatos não descritos na relação.
0
Um exemplo do que estamos tratando é ilustrado pela solução da
segunda questão do problema do rato, o qual possui as seguintes
representações:
ALGEBRICAMENTE: y =
1
x.
2
NUMERICAMENTE:
No. pressões na barra
x (alimento)
0
2
4
6
8
y (pres. na barra)
0
1
2
3
4
E, portanto quando 4 unidades de alimento forem dados, o rato terá
pressionado a barra 2 vezes.
VISUALMENTE:
5 .0
0
4 .0
0
3 .0
0
2 .0
0
1 .0
0
0 .0
0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
Unidades de alimento
Uma questão natural que se pode colocar é a seguinte: como podemos
obter valores intermediários de uma função de variável discreta sem a forma
analítica da mesma?
Problema: O abatedouro “Frango Limpo”, novo no mercado de exportação de
frangos congelados, recebeu uma proposta de venda para entrega em 30 dias.
Para que o negócio seja fechado o abatedouro deverá garantir que nenhum frango
pesará menos que 1,250 Kg. Para atender ao pedido, o dono do abatedouro
necessita saber se seus frangos estarão com peso adequado dentro do prazo, uma
vez que os pintinhos que deverão atender ao pedido nasceram hoje! O proprietário
solicita então ao seu administrador que traga a tabela, fornecida e garantida pela
indústria de rações, de ganho de peso das aves e obtém em suas mãos os dados
abaixo:
Semanas (dias) 0 (0) 1 (7) 2 (14) 3 (21) 4 (28) 5 (35) 6 (42) 7 (49) 8 (56)
17
Peso(g)
42
160
410
759
1202
1689
2184
2657
3078
peso
Sabendo que no abate há uma perda de aproximadamente 5% no peso
da ave, que atitude o proprietário tomou? Ele poderá atender ao pedido e ingressar
no ramo de exportação ou não?
Solução: Para estimar o peso dos frangos no 30º dia, devemos primeiramente
fazer algumas considerações:
1. A relação entre número de dias e peso é uma função?
2. Se for função, quem serão as variáveis independente e
dependente?
3. Essas variáveis são discretas ou contínuas?
2
3 38
Os dados tabelados nos
9
fornecem a representação gráfica ao
2 81
lado. Para quaisquer dois pontos deste
6
2 25
gráfico é possível uni-los por uma reta
1 69
3
1 13
0
Δ(Peso)
5 67
4
0
7
14
21
28
35
42
dias
49
56
∆P
cuja declividade é dada por: Δ(dias) =
∆t
, que é a variação média de peso/dia que
os pintinhos adquirem no período entre
os dois pontos escolhidos. Considerando
que o 30º dia se situa entre o 28º e o 35º
dias, os pontos (28, 1202) e (35, 1689)
são os mais apropriados para a 1ª
aproximação.
Assim, a Taxa Média de Variação (TMV) de peso, em gramas por dia,
neste período está dada por
TMV =
f ( 35 ) − f ( 28 ) 487
=
= 69,57 .
35 − 28
7
O que significa que o frango entre o 28º e o 35º dia aumentará o seu
peso, em média, 69,57 g
Então, se considerarmos a partir do 28º dia, pois 28 está mais próximo
de 30, teremos:
Peso no 30º dia = f(30) = f(28)+69,57.(30-28) = f(28)+69,57. (2)
f(30) = 1202 + 139,14
f(30) = 1341,14 g.
Note que podemos reescrever a TMV da seguinte forma:
f(35) − f(28) f(28 + Δt) − f(28) 487
=
=
= 69,57 ,
35 − 28
Δt
7
da qual resulta f(28+Δt)-f(28)=69,57+Δt ou seja
f(28+Δt)= f(28)+69,57+Δt.
Com os 5% de perda o frango teria aproximadamente
95
1341,14 =
100
1274,08 g no 30º dia. Estaria tudo certo se fosse garantido este peso, mas nós
estamos computando aumentos médios de pesos. Preocupado com os valores
obtidos pela média, o proprietário solicita que seu administrador entre em contato
com a fábrica de rações e obtenha novos dados que possam lhe dar uma garantia
melhor através de dados mais próximos. Mas a fábrica de rações apenas
acrescenta que a previsão de peso de um frango com 32 dias é de 1689 g.
Com este novo dado, calcula-se um novo TMV:
18
f ( 28 + ∆ t ) − f (28) f (32) − f (28) 276
=
=
= 69
∆t
32 − 28
4
Assim,TMV= 69 gramas por dia, o que significa que o peso do frango está
aumentando 69 g entre o 28º e o 32º dia. Finalmente,
Peso no 30º dia:
f(30) = f(28)+69(2) = f(28)+69 (30-28)
f(30) = 1202 + 138 = 1340
O proprietário acha que o resultado está mais próximo que o anterior, e a
chance de erro diminuiu. Na falta de mais dados fez a conta da perda de 5% e
obteve que o peso final dos frangos estará próximo de 1273 g. Como a variação
quando aproximou os dados de 35 para 32 dias foi de 1,08 g, tomou a decisão de
fechar o negócio.
A título de curiosidade, ilustramos a seguir a curva que melhor se
aproxima dos dados da tabela dada.
peso
S = 4.22016932
r = 0.99999640
3 38
2
2 81
9
2 25
6
1 69
3
1 13
0
Função:
y=a+bx+cx2+dx3+ex4
Coeficientes:
a = 42.91453
b = 5.7333407
c = 1.6150179
d = -0.011061312
e = -4.1625042e-005
5 67
4
0
10
21
31
41
51
62
dias
9
DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO
Em quase todas as áreas das ciências, um problema básico é a reunião
e análise de dados. A reunião de dados se faz através de anotações de
experimentos. Por serem esses dados discretos eles não nos fornecem
informações além dos descritos na relação.
Se na análise dos dados desejarmos obter uma projeção futura do
experimento, teremos uma situação problemática. Uma maneira de resolver esse
problema é obter uma expressão matemática (modelo matemático), com variável
contínua que descreva da melhor maneira possível o experimento. Desta forma
teríamos a passagem de um gráfico de dispersão (dados discretos) para um gráfico
de curva contínua.
19
y
0
y
y = cos(x )
x
x
0
Exemplo: Em um experimento programado para determinar o nível de orientação
de um indivíduo, o sujeito é colocado em uma sala especial e nela fica por um certo
tempo. O indivíduo deve encontrar o caminho através de um labirinto. O
pesquisador registra o tempo que o sujeito leva para completar a tarefa e obtêm os
seguintes dados:
Os pontos da tabela abaixo estão plotados na figura a seguir:
Tempo na sala (horas)
Tempo para percorrer o labirinto (minutos)
1
0,6
2
2,3
3
2,4
4
1,8
5
3,3
6
3,6
7
3,1
8
4
4
3,6
3,3
3,1
2,4
2,3
1,8
0,6
1
2
3
4
5
6
7
8
Os dados deste experimento são aleatórios por natureza. Isto é,
supomos que ao repetirmos o experimento, podemos obter diferentes valores de y
para os mesmos valores de x. Caso contrário, os dados do experimento são
determinísticos.
Iremos em seguida determinar a equação de reta y=ax+b que melhor se
ajusta a esses dados. Isto pode ser feito de várias maneiras. Em nosso estudo
utilizamos o método dos mínimos quadrados.
Sejam os r pontos
( x 1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), , ( x r , y r )
onde x1 <x2 < ... <xr. Precisamos encontrar a reta que melhor se ajusta aos dados
de:
y = ax + b .
Para cada xi, obtemos as coordenadas:
20
ax1 + b, ax 2 + b,..., ax r + b ,
as quais não precisam coincidir com as ordenadas y1 , y2 , ..., yr. Assim, surgirão
algumas diferenças positivas, negativas ou nulas7, chamadas desvios:
d 1 = ax1 + b, d 2 = ax 2 + b,..., d r = ax r + b .
Como podemos ver na figura a seguir:
Agora, como uma condição de otimização, determinaremos a e b de tal
maneira que a soma dos quadrados dos desvios assuma o menor valor possível,
isto é, se:
E = d12 + d 22 ... + d r2 ,
ou seja,
E = (y1 − mx1 − b)2 + (y 2 − mx 2 − b)2 + ... + (y r − mx r − b)2 .
Então, E deverá ter o menor valor possível. Esta é a essência do método dos
mínimos quadrados.
O método para obtermos menor valor de E necessita de estudos mais
aprofundados, e não é alvo deste trabalho. O método nos leva às seguintes
equações lineares:
 r b + ( x 1 + x 2 +  + x r ) a = y1 + y 2 +  + y r

2
2
2
 ( x 1 + x 2 +  + x r ) b + ( x 1 + x 2 +  + x r ) a = x 1 y1 + x 2 y 2 +  + x r y r .
Resolvendo o sistema8, obtemos:
r xy −
x y
a = ∑ i i ∑ i∑ i
2
r ∑ xi − ( ∑ xi )2
b=
1
( ∑ yi − a ∑ xi )
r
(1)
(2)
Iremos agora encontrar a equação da reta que melhor se ajusta aos
7
8
O sinal da diferença depende da escolha dos parâmetros a e b .
Primeiramente resolvemos com relação ao parâmetro a , multiplicando a segunda equação por
e a primeira por
−
∑
r
x i e somando as equações. Depois expressamos b em termos de a ,
usando a primeira equação.
21
dados do exemplo 1. Em seguida usaremos a equação obtida para prever quanto
tempo o indivíduo levará para percorrer o labirinto após 24 horas na sala.
Primeiramente, encontraremos todos os somatórios e depois
substituiremos na equação (1)
Total
(∑ x )
2
i
xI
x i2
yi
x i yi
1
1
0,6
0,6
2
4
2,3
4,6
3
9
2,4
7,2
4
16
1,8
7,2
5
25
3,3
16,5
6
36
3,6
21,6
7
49
3,1
21,7
8
64
4
32
36
204 21,1 111,4
1296
r=8
Assim,
a=
8( 111,4 ) − 36( 21,11) 131,6
=
= 0,391 .
8( 204 ) − 1296
336
Agora, substituindo o valor obtido de a na equação (2), resulta:
b=
1
1
[21,1 − ( 0,391)( 36 )] = 7,024 = 0,878 .
8
8
Com os valores de a=0,391 e b=0,878 basta substituir na equação y=ax
+b, obtendo:
y = 0,391x + 0,878 ,
a qual é a equação da reta que melhor se aproxima dos valores dos dados do
problema. Finalmente, para x=24 , obtemos y = 0,391( 24 ) + 0,878 = 10,26 horas.
Exercício: O Peabody Picture Vocabulary Test é usado para avaliar a capacidade
de compreensão do vocabulário por um paciente submetido a terapia de linguagem
após derrame. Para um determinado paciente que se submeteu a um tratamento
médico específico, obtiveram-se os seguintes dados:
Número de semanas de terapia
5
10
20
30
Pontuação no teste
75
80
85
95
22
Encontrar a reta que melhor se aproxima dos dados, e se possível sua
forma analítica.
Nos casos anteriores, os pontos no plano aproximaram-se de uma reta.
Em outros casos, eles podem se aproximar através de outras curvas, como por
exemplo a quadrática (Fig. 1), a cúbica (Fig. 2), etc..
Figura 1:
y = a x2 + b x + c
Figura 2:
y = a x3 + b x2 + c x + d
A
obtenção dos coeficientes para estas curvas, dentre outras, necessita de um
esforço maior do que no caso da reta. Porém, hoje existem recursos disponíveis
(Softwares) que podem nos auxiliar de forma bastante satisfatória, com um esforço
bem menor. A seguir, a título de ilustração, descrevemos o manuseio de um desses
recursos,.
CurvExpert (Fig. 3) é um Software que permite introduzir em uma
tabela, os valores de x e y obtidos em um experimento.
Após digitarmos os dados para x e y, associamos TOOLS no menu
principal e em seguida CURVER FINDER (Fig. 4).
Figura 3: Software CurvExpert
Figura 4
O Software mostra uma janela com as famílias de modelos que você
quer para a sua curva (Fig. 5).
Se for permitido deixe todas selecionadas e clique em OK.
23
Figura 5
Figura 6: Gráfico da curva
Uma outra janela mostrará
os dados plotados em azul e uma linha em vermelho (Fig. 6). Para sabermos que
expressão matemática gerou essa linhas, clicamos no botão INFO.
Nova janela se abrirá(Fig. 7) onde aparecerá o tópico COEFFICIENTS
mostrando a expressão e todos os valores numéricos dos coeficientes.
Voltando a tela principal, observamos uma lista de regressões, no
canto da esquerda (Fig. 8). Elas estão numeradas de 1 a n. Esta lista indica as
aproximações de linhas para os dados. Quanto menor for o número melhor a
aproximação, isto é, menores serão os desvios.
Figura 7: Expressão da Curva
Figura 8: Tipos de regressões
EXERCÍCIOS:
1: Seja x a temperatura em graus Fahrenheit (0F) e y a mesma temperatura em
graus Celsius (0C). Essas duas escalas de temperatura estão relacionadas
linearmente através da seguinte equação:
y=
5
160
x−
.
9
9
a) Encontre y quando x=18, x=32 e x=50;
b) Construa o gráfico de y=f(x)
24
2: Sabe-se que a taxa respiratória y, medida em respirações por minuto, relacionase linearmente com a pressão parcial de dióxido de carbono nos pulmões.
Denotemos por PCO2 = x . Então, quando um indivíduo médio inspira ar de um
recipiente, digamos, um saco plástico, contendo aproximadamente 2% de dióxido
de carbono, a pressão parcial é de cerca de 41 torr e a taxa respiratória
correspondente é de 13,8 respirações por minuto. Se o saco plástico contiver 6%
de CO2, então, neste caso, PCO2 é de cerca de 50 torr e a taxa respiratória é de
19,1 respirações por minuto. a) Expresse a taxa respiratória como função de PCO2 .
b) Calcule ainda a taxa respiratória quando a pressão parcial for 47 torr. c) Esboce
o gráfico desta função, sabendo que os valores de x são tomados no intervalo:
[38,69].
Observação: Temos a seguinte igualdade entre as unidades de medida para
pressão torr (torricelli) e mmHg (milímetro de mercúrio):
1 torr=1 mmHg à 0ºC
Solução: a) Temos para x = 41 torr → y = 13,8 respirações por minuto, e para
x = 50 torr → y = 19,1 respirações por minuto.
Assim, notamos que y depende de x. Essa função y=f(x) é do tipo afim,
deste modo, o gráfico da função é uma reta da forma y=mx+n. Pela equação da
reta vamos encontrar m. Temos
( y − y0 ) = m ( x − x0 ) ⇔ (19,1 − 13,8) = m (50 − 41) ⇔ m =
5,3
53
⇔ m=
.
9
90
Agora para um x arbitrário, teremos um y que depende desse x.
Assim:
53
( x − 41) ⇔ 90 y − 1242 = 53 x − 2173 ⇔ 90 y = 53 x − 931
90
53
931
y = f ( x) =
x−
.
90
90
( y − 13,8) =
25
b) Calculando o número y de respirações por minuto para uma pressão parcial
x=47 torr, resulta:
53
931
2491 931
1560
(47) −
⇔
−
⇔
= 17,3.
90
90
90
90
90
c) Finalmente, o gráfico da reta no intervalo dado e´:
y=
3: Os dados da tabela vêm de um experimento sobre a lactonização do ácido
hidróxidovalérico a 25 0C. É dada a concentração C(t) desse ácido ( em mols por
litro após t minutos. Use esses dados para esboçar um gráfico aproximado da
função concentração e estime a concentração após 5 minutos.
t
C(t)
0
0,08
2
0,0570
4
0,0408
6
0,0295
8
0,0210
4: Os registros de temperatura T (em oF) foram tomados de duas em duas horas a
partir da meia-noite até as 14 horas, em Dallas, em 2 de julho de 2001. O tempo foi
medido em horas após a meia-noite.
t
T
0
73
2
73
4
70
6
69
8
72
10
81
12
88
14
91
Use os registros para esboçar um gráfico de T como uma função de t.
Use seu gráfico para estimar a temperatura às 11 horas da manhã.
5: A relação entre as escalas de temperatura Fahrenheit (F) e Celcius (C) é dada
9
pela função linear F = C + 32 .
5
Esboce o gráfico dessa função.
O que representa a inclinação nesse gráfico? O que representa o
intercepto F do gráfico?
6: Biólogos notaram que a taxa de cantos de uma certa espécie de grilo está
relacionada com a temperatura de uma maneira que aparenta ser linear. Um grilo
canta 113 vezes por minuto a 70 oF e 173 por minuto a 80 oF.
a) Encontre uma equação linear que modele o número de cantos por
minuto N como uma função da temperatura T.
b) Qual a inclinação da reta? O que ela representa?
c) Se os grilos estiverem cantando 150 vezes por minuto, estime a
temperatura.
26
7: A tabela a seguir mostra as taxas de úlcera péptica, medida no decurso de toda
vida, a cada 100 habitantes, para várias rendas familiares, conforme reportado em
1989 pelo National Health Interview Survey.
Renda
familiar
$4.000
$6.000
$8.000
$12.000
$16.000
$20.000
$30.000
$45.000
$60.000
Taxa de úlcera
(a cada 100 habitantes)
14,1
13,0
13,4
12,5
12,0
12,4
10,5
9,4
8,2
a) Faça um mapa de dispersão desses dados e decida se um modelo
linear é apropriado.
b) Faça um gráfico de modelo linear usando o primeiro e último pontos.
c) Encontre e faça um gráfico da reta de regressão de mínimos
quadrados.
d) Use o modelo linear de (c) para estimar a taxa de úlcera
correspondente a uma renda de $25.000.
e) De acordo com o modelo, qual a chance de alguém com uma renda
de $80.000 sofrer de úlcera péptica?
f) Você acha razoável aplicar o modelo a alguém com uma renda de
$200.000?
Experimento: Coloque um grão de feijão em algodão úmido. Acompanhe seu
crescimento e faça uma descrição através de gráfico e tabela.
Você pode mudar para alpiste e fazer comparações do crescimento,
como também pode mudar para acompanhamento de cultura de bactérias.
27
10
LEITURA COMPLEMENTAR
Tudo nos Eixos9
Descartes descreveu figuras geométricas com letras e números e fez o
mundo ver através de gráficos.
Imagine a oscilação da bolsa de valores sem visualizar um gráfico. Ou
então um jogo de batalha sem as coordenadas.
Ao publicar seu mais famoso trabalho, o filósofo e matemático francês
René Descartes (1596-1650) apresentou ao mundo uma nova maneira de pensar e
ao mesmo tempo inaugurou uma nova área na matemática. No “Discurso sobre o
Método”-para bem conduzir a razão e procurar a verdade nas ciências- ele expõe
sua crença de que, entre todas as áreas do conhecimento, só a matemática é certa,
portanto tudo deve ser baseado nela. Como a extensão do título da sua obra
indicada, Descartes prega o uso da razão para a obtenção da verdade, só
alcançável por meio do método. E isso deve ser feito como se procede na
matemática, com o emprego do raciocínio lógico e dedutivo na prova de teoremas.
Surge daí a clássica expressão “cogito, ergo sum” (penso, logo existo), começando
com a dúvida de Descartes sobre sua própria existência, mas depois chegando à
conclusão que uma consciência clara de seu pensamento provava sua própria
existência.
A influência das idéias do filósofo foi tão abrangente que hoje
costumamos dizer que somos cartesianos se agimos racionalmente, objetivamente
ou de maneira lógica.
A maior contribuição do francês para a matemática também está
registrada no “Discurso sobre o Método”.
O X da Questão
Só com Descartes é que passamos a enxergar um ponto no espaço
como um par ordenado de números no eixo cartesiano. As retas, os círculos e
outras figuras geométricas podem então ser representadas por equações em x e y.
Assim surgiu a chamada geometria analítica, quando se usa álgebra na solução de
problemas geométricos. As figuras que antes só eram desenhadas, passaram a ser
representadas por equações, com letras e números. Passamos então a colocar
tudo em gráficos, como a variação da temperatura de um paciente e as oscilações
nas vendas de um produto, em forma de pontos e curvas.
Descartes é o responsável também por algumas notações matemáticas
que costumamos usar. Foi ele quem começou a utilizar as últimas letras do alfabeto
para designar as quantidades desconhecidas (incógnitas) e as primeiras letras para
designar as quantidades conhecidas numa expressão matemática. Ele introduziu
também o sistema de índices em potências ou o costume de designar a ordem da
potência na equação como x2, x3 etc.
Conta a lenda que Descartes tinha suas melhores idéias quando estava
deitado em sua cama. Ele sempre manteve o hábito de ficar sob as cobertas nas
manhãs frias até que se sentisse confortável para levantar. Franzino e de saúde
frágil, enquanto estudava em escola jesuíta, o jovem tinha permissão de ficar
9
Por Carmem Kawano
28
deitado quase toda manhã durante os invernos. Mas depois de se formar em
Direito, o filósofo escolheu dividir sua vida entre viagens, o serviço como soldado
na Holanda, Hungria e Dinamarca e o isolamento para estudar e raciocinar.
Se Descartes teve suas idéias muito cedo, então só as publicou depois
de passados quase 20 anos, quando tinha 41 anos. Nesse meio tempo, passou por
batalhas militares e até arriscou a vida em algumas delas. Ele sobreviveu aos
perigos bélicos e publicou seus trabalhos. Morreu aos 53 anos em decorrência da
mudança de seus hábitos: Descartes havia sido contratado como tutor da jovem e
atlética rainha Cristina, da Suécia, que tomava suas aulas às 5 da manhã nos
salões frios do palácio. Para chegar no horário, Descartes ainda tinha que percorrer
as ruas congeladas no inverno sueco. O filósofo, acostumado ao calor matinal do
cobertor, morreu de pneumonia depois de 5 meses no novo esquema do seu
trabalho.
AleX e EmY vão se encontrar?
Pelas ruas horizontais e verticais da figura em um lance, AleX pode
caminhar 3 quarteirões para a direita ou só um quarteirão para cima. EmY, ao
contrário, é mais rápida no caminho pela vertical. Em um lance ela pode caminhar 2
quarteirões para baixo ou somente 1 para a esquerda.
Saindo de suas posições iniciais indicadas, existe alguma maneira de
eles se encontrarem em alguma esquina do mapa? Resposta10
MODELOS MATEMÁTICOS: Uma relação de funções essenciais (Stewart, pg. 25),
Um modelo matemático é uma descrição matemática (freqüentemente por meio de
uma função ou de uma equação) de um fenômeno do mundo real, como o tamanho
de uma população, a demanda por um produto, a velocidade de um objeto caindo, a
concentração de um produto em uma reação química, a expectativa de vida de uma
10
Só há um jeito de os dois se encontrarem. AleX deve caminhar – no total, em qualquer ordem –
para a direita dois lances (6 quarteirões) e para cima seis lances (6 quarteirões). Já EmY deve
andar para a esquerda cinco lances (cinco quarteirões) e para baixo três lances (6 quarteirões), e
qualquer ordem também.
29
pessoa ao nascer ou o custo da redução dos poluentes. O propósito do modelo é
entender o fenômeno e talvez fazer predições sobre o comportamento futuro [...].
[...]”Dado um problema do mundo real, nossa primeira tarefa é formular um modelo
matemático por meio da identificação e especificação das variáveis dependentes e
independentes e da realização de hipóteses que simplifiquem o fenômeno o
suficiente para torná-lo matematicamente tratável. Usamos nosso conhecimento da
situação física e nossa destreza matemática para obter as equações que relacionam
variáveis. Em situações em que não existe uma lei física para nos guiar, pode ser
necessário coletar dados (de uma biblioteca, da Internet ou conduzindo nossos
próprios experimentos) e examiná-los na forma de uma tabela, a fim de perceber os
padrões. Dessa representação numérica de uma função podemos obter uma
representação gráfica desenhando os dados. Esse gráfico pode até sugerir uma
fórmula algébrica apropriada em alguns casos. O segundo estágio é aplicar a
matemática que sabemos... ao modelo matemático que formulamos, a fim de tirar
conclusões. Então, em um terceiro estágio, interpretamos as conclusões
matemáticas como informações sobre o fenômeno original e oferecemos
explicações ou fazemos predições. A etapa final é testar nossas predições com o
que acontece de novo no mundo real. Se as predições não se ajustam bem à
realidade, precisamos refinar nosso modelo ou formular um novo modelo e começar
novamente o ciclo.
30
CAPÍTULO 2
FUNÇÕES
Neste capítulo trataremos do estudo de algumas funções, que são
encontradas na área biológica, em situações problemas. Inicialmente estudaremos
o seguinte problema: Batimentos Cardíacos e perda de peso. Uma relação
importante na prática de exercícios físicos.
Através da freqüência cardíaca, temos a forma mais eficaz para
determinar a intensidade de um exercício físico, ou seja, o trabalho cardíaco,
geralmente expresso pelos batimentos cardíacos por minuto (bpm), tem uma
relação direta com os exercícios físicos. Pessoas que desejam perder peso por
meio de atividades aeróbicas, isto é, queimar calorias, devem fazê-lo numa
intensidade que eleve sua freqüência acima de 65%, mas não ultrapasse 75% do
número máximo de bpm para sua faixa etária.
A freqüência cardíaca máxima varia de uma pessoa para outra levando
em consideração diversos fatores. Um destes fatores é a idade. Assim, quanto
maior for a idade menor deverá ser sua freqüência cardíaca. O gráfico abaixo
mostra a zona de treinamento para pessoas que querem perder peso:
Observe que este gráfico mostra o número de batimentos cardíacos para
pessoas com idade entre 20 e 65 anos. Para cada intervalo de 5 anos a tabela
mostra a freqüência mínima e máxima a ser alcançada. Por exemplo, para uma
pessoa de 40 anos a freqüência cardíaca deverá ficar entre 117 e 134 bpm.
Problema: Se uma pessoa de 28 anos deseja perder peso através de
exercícios aeróbicos, como ela faria para obter os limites de sua freqüência?
Para obtermos esta resposta, passamos a estudar a função polinomial
do 1º grau.
31
1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
Definição: Uma função é denominada uma função polinomiala do 1º grau se f :
IR→ IR, sendo y = f(x ) = ax + b , com a, b ∈ IR e a ≠ 0, onde a é o coeficiente
angular, b é o coeficiente linear.
Como já sabemos os gráficos das funções polinomiais do 1º. grau são
retas, que podem ser obtidos atribuindo-se valores para a variável x e desse modo
obtendo-se o valor da variável y.
Alguns casos particulares são apresentados a seguir:
Se b = 0, y=f(x) = ax é chamada função linear;
Se b = 0 e a = 1, y = f(x) = x é chamada função identidade;
Se a = 0, y = f(x) = b é chamada função constante.
Apresentamos abaixo um resumo das propriedades desta função:
1. Zero da função: ax + b = 0 ⇔ x = −
2. Crescente para a>0
b
a
,
Decrescente para a<0
3. Sinal da função:
Solução do problema: Para a pulsação máxima observamos que
enquanto as idades variam de 5 em 5 anos, a freqüência máxima sofre uma
variação também constante de 4 bpm. Assim, se chamarmos de ∆I a variação da
idade e ∆B a variação de bpm, teremos:
32
∆B
4
= − =
∆I
5
constante
Este resultado é válido para todo o intervalo da tabela. O que nos leva a
concluir que é possível obter uma reta com declividade negativa passando por
todos os pontos (I,B). Para obter a equação da reta B = a 0 + a1I, necessitamos obter
o valor de a0, pois a1 = −
4
.
5
Se substituirmos qualquer par ( B0 , I0 ) da tabela na
equação da reta, obteremos a0 = 166 . Assim:
4
B = 166 − I
5
o que significa que, para uma pessoa de 28 anos obtemos o número máximo de
batimentos.
B = 166 – 4/5(28) = 143,6 ⇒ B ≈144 bpm
Já para pulsação mínima, observe que ∆ B não é constante, enquanto
que a variação das idades se mantém constante. Então
∆B
≠
∆I
constante
o que impossibilita obter a equação de reta que contenha todos os pontos(I,B).
Neste caso, devemos utilizar o método dos mínimos quadrados, o que nos conduz
a
B = − 0,6484848I + 142,8606061 .
Esta é a equação da reta que melhor se aproxima dos dados do
problema, e ela fornece o valor mínimo do batimento cardíaco de acordo com a
variação da idade.
Assim uma pessoa de 28 anos pode ter no mínimo 125 bpm,
aproximadamente.
Conclusão: um indivíduo que deseja perder peso através de exercícios
aeróbicos deverá manter seus batimentos cardíacos entre 125 e 144.
Tabela do IMC: Índice de Massa Corporal
33
Exemplo 01: Se a pressão for mantida constante, uma amostra de gás
tem volume igual a V0 a 0 0C. A relação entre o volume V do gás em litros e a
temperatura T em graus centígrados é dada pela equação:
 V 
V = V0 +  0  T litros.
 273 
a) Qual é a inclinação desta reta?
b)Como você pode obter a expressão da temperatura em graus
centígrados em função do volume, nas condições acima? explicite esta expressão.
Solução: a) Como a expressão é uma reta, cuja forma é y= mx+n, neste caso
teremos
m=
V0
273
.
b) Da expressão V=V(T) resulta os cálculos:
 V 
V = V0 +  0  T
 273 
 V 
V − V0 =  0  T
 273 
273 V − 273 V0 = V0 T
 V
T = 273   − 273.
 V0 
Exemplo 02: A lei de Boyle estabelece uma relação entre o volume e a
pressão de um gás quando a temperatura é mantida constante, a saber: PV=K,
onde K é uma constante positiva (de fato, K depende da temperatura, e esta foi
considerada constante). Ao levarmos em conta a variação da temperatura, esta lei
passaria a ser enunciada como
PV = n R Tk torr/litro,
onde TK é a temperatura em graus Kelvin e n o número de moles e R a constante
do gás. Sabendo-se que R=62,4 e TK =T + 273, onde T é a temperatura em graus
centígrados, mostre que:
(62,4)(273)n (62,4) n
P=
+
T torr
V
V
Sendo esta a expressão da pressão em função da temperatura em graus
centígrados. Tal expressão é linear quando o número de moles n e o volume V são
mantidos constantes.
Solução: De fato
P V = 62,4 n (T + 273) ⇔ P V = (62,4) n T + (62,4)(273) n ⇔
P=
(62,4)(273)n (62,4) n
+
T.
V
V
34
Exemplo 03: A partir da equação PV = 62,4 n Tk , calcule a pressão de 5
moles de gás, cujo volume é 120L, a uma temperatura de 310 K.
Solução: P =
62,4nT k
62,4(5)310
=
= 0,806 torr.
V
120
Exemplo 4: Seja x a temperatura em graus Fahrenheit (oF) e y a mesma
temperatura em graus Celsius (0C). Essas duas escalas de temperatura estão
relacionadas linearmente através da seguinte equação:
y = f (x) =
5
160
x−
9
9
1. Encontre y quando x = 18, x = 32 e x = 50;
2. Exprima x como função de y, isto é, determine a função inversa que
permite encontrar a temperatura em oF, conhecida a temperatura 0C;
3. Esboce o gráfico de y = f(x).
Observações: Tomemos pontos de referência denominados pontos
fixos, tais que:
1º ponto fixo: temperatura do gelo fundente, sob pressão normal (1 atm);
2º ponto fixo: temperatura do vapor de água em ebulição, sob pressão
normal (1 atm). Estes pontos definem a chamada escala Celsius (ºC). Cada nova
escolha para os valores dos pontos fixos geram outras escalas de temperatura:
Fahrenheit (ºF), Kelvin ou Absoluta (K), etc. A correspondência entre essas escalas
é:
ºC
Solução:
1)
para x = 18
5
160
y = ( 18 ) −
9
9
90 − 160
70
=
= −
9
9
o
y = − 7,8 C
K
ºF
100º
212º
0º
32º
373K
273K
para x = 32
5
160
y = (32) −
9
9
160 160
=
−
9
9
y = 0 ºC
para x = 50
5
160
( 50 ) −
9
9
250 − 160 90
=
=
9
9
o
y = 10 C
y=
35
2) Da expressão y=ax+b resulta os seguintes cálculos:
y=
5
160
5
160
x−
⇔
x= y+
⇔ 5 x = 9 y + 160 ⇔
9
9
9
9
Assim,
x = g ( y) =
9
160
y+
5
5
x=
9
160
y+
.
5
5
.
3) E o gráfico de y é:
2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
A caminhada é uma das atividades físicas mais comuns praticadas pelas
pessoas. A intensidade, vista como a velocidade com que se dão as passadas, e a
duração são os fatores que determinam o gasto de energia (queima de calorias)
durante uma caminhada. Desse modo, podemos pensar em determinar o “melhor
tempo” e a “melhor velocidade” para aperfeiçoar o gasto de energia durante uma
caminhada.
Problema: A tabela a seguir apresenta informações da Organização
Mundial da Saúde (OMS) relativas ao gasto de energia de uma pessoa normal ao
realizar uma caminhada de 3.000 metros. Em quanto tempo a pessoa deve realizar
esta caminhada para aperfeiçoar o gasto de energia?
Tempo
min
h
Velocidade
(Km/h)
60
50
45
40
30
20
10
3
3,6
4
4,5
6
9
18
1
0,833
0,75
0,667
0,5
0,334
0,167
Energia
Consumida
(Kcal)
155
183,92
190,18
190,99
175,95
139,01
80,66
Tabela 02: Relação entre tempo, velocidade e calorias gastos por um adulto durante caminhada de
3000m
Vamos apresentar estes dados em um gráfico tempo x gasto de energia.
36
Figura 01
Observando os dados da tabela e a tendência dos dados no gráfico,
podemos pensar em representar estes dados por meio de uma função quadrática,
ou função do segundo grau: E(t) = a t2 + bt + c
Faremos aqui um parêntese para relembrarmos algumas propriedades
das funções quadráticas, e em seguida retomaremos o problema a ser estudado.
Uma função quadrática é dada pela expressão:
f ( x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0
Como
já
sabemos os gráficos destas funções são parábolas, e podem ser obtidos
atribuindo valores para a variável x, para obter o valor correspondente da variável
y=f(x). Quando analisamos o comportamento destas funções a extração de alguns
dados é fundamental, que passaremos a resumir abaixo.
1. Zeros da função: ax2 + bx +c = 0:
x=
− b±
b 2 − 4ac − b ± ∆
=
2a
2a
∆>0
∆<0
∆=0
Duas raízes reais distintas
nenhuma raiz real
Duas raízes reais iguais
37
2. Vértice e conjunto imagem da função:
xv = −
b
2a
e yv = −
∆
4a
∆ 

Im( f ) =  y ∈ R ; y ≥ −

4a 

∆ 

Im( f ) =  y ∈ R ; y ≤ −

4a 

3. Concavidade
Concavidade voltada para cima (a > 0)
a>0eΔ>0
a>0eΔ=0
a>0eΔ<0
Neste caso observamos também que o gráfico da função é decrescente
para os pontos anteriores ao vértice, e crescente para os pontos posteriores ao
vértice.
Concavidade voltada para baixo (a < 0)
a<0eΔ<0
a<0eΔ>0
A< 0 e Δ = 0
38
Neste caso observamos também que o gráfico da função é crescente para os
pontos anteriores ao vértice, e decrescente para os pontos posteriores ao vértice.
Uma questão importante para reflexão: qual a relevância do vértice na
análise do comportamento da função?
4. Sinal da função
As funções polinomiais de grau superior a dois serão estudadas através
de outros exemplos futuramente. Porém cabe ressaltar que o número de raízes, ou
zeros da função, deve ser analisado sempre que possível por fatoração do
polinômio.
Voltando para a solução do problema: Para encontrar a função
quadrática que se aproxima dos dados podemos usar, por exemplo, o CurveExpert
calorias
S = 0.17356582
r = 0.99999363
.0
20 2
2
.9
17 9
6
.8
15 7
9
.8
13 5
2
.7
11 3
6
Quadratic Fit: y=a+bx+cx^2
Coefficient Data:
a=-0.23828993
b=549.36331
c =-394.07135
9
91 .6
3
69 .6
0.1
0.3
0.4
0.6
0.8
0.9
1.1
tem po
ou então escolher três pontos da tabela para determinar os valores de a, b e c da
equação E(t) = at2 +bt +c. Se utilizarmos o Curve, encontramos:
E (t ) = − 394,07t 2 + 594,36t − 0,238
Se escolhermos três pontos, por exemplo: P1=(0,833;183,92),
P2=(0,667;190,99) e P3=(0,334;139,01), devemos substituí-los na equação
E(t)=at2+bt+c, obtendo um sistema com três equações e três incógnitas.
39
 0,693a + 0,833b + c = 183,92

 0,445a + 0,667b + c = 190,99
 0,112a + 0,334b + c = 139,01

cuja solução é: E(t) = -402,564t2 + 557,47 t – 2,15.
Dependendo dos pontos escolhidos a equação será diferente, porém o
gráfico de cada uma delas é muito próximo um do outro.
. 40
1 96
1 77
calorias
1 58
. 60
. 80
. 00
1 40
. 20
1 21
1 02
. 40
60
8 3.
0.1
0.3
0.4
0.6
0.8
0.9
1.1
tem p o
Estamos interessados em saber em quanto tempo a pessoa deve
realizar a caminhada para aperfeiçoar o consumo de energia. Isto corresponde ao
vértice da parábola:
V = (0,69239 ; 190,84) .
Assim, para t=0,69239 h ou t=41 min teremos o tempo “ideal” para gastar
numa caminhada de 3.000 m. Voltando à tabela, podemos observar que a
velocidade com que a pessoa deve caminhar está entre 4 e 4,5 quilômetros por
hora. A determinação dessa velocidade é como segue:
Tempo
0,75
______
0,69
______
Velocidade
4
X
Tempo
0,667
______
0,69
______
Velocidade
4,5
X
e
As grandezas são inversamente proporcionais e em ambos os casos
obtemos x ≈ 4,3 Km/h. Assim, numa caminhada de 3.000 m, andando a,
aproximadamente 4,3 Km/h, a pessoa gasta 190,84 Kcal. O importante neste
problema é concluir que não é preciso caminhar mais rápido do que 4,3 Km/h para
aperfeiçoar o gasto de calorias numa caminhada de 3.000 m. Assim, gastar mais
calorias, não implica em andar mais rápido, mas em caminhar uma distância maior.
40
Problemas:
1) A temperatura em certa cidade variou de acordo com a equação
1
C ( t ) = − t 2 + 4t + 10 graus centígrados, em um determinado dia.
6
a) Qual a temperatura, às 14 horas?
b) Quanto a temperatura variou, entre 18 e 21 horas?
c) Em que momento ocorreu a temperatura máxima? Qual o valor?
2) População de Bactérias: Em um determinado experimento, uma população de
bactérias esta sendo estudada. O pesquisador observou o crescimento da
população e utilizou a aproximação quadrática dos dados para descrever a
população N em função do tempo t em horas em uma ambiente hostil. Determinar a
função N(t) e a população máxima de bactérias no organismo, sabendo que a
população inicial de 500 bactérias aumentou para 4500 decorridas 3 horas, e após
6 horas a população diminuiu para aproximadamente 3000 bactérias.
Exercícios Complementares:
1- Qual a temperatura em graus centígrados de 2 moles de gás a uma pressão de
650 torr, sendo o volume igual a 40L e R=62,4?
Solução:
P V = 62,4 n Tk ⇔ 650(40) = 62,4(2) Tk
26000 = 124,8Tk ⇔
Tk =
26000
124,8
⇔ Tk = 208,3
Mas queremos em graus centígrados, assim:
Tk = T + 273 ⇔ 208,3 = T + 273 ⇔
T ≅ − 64,7 º C.
2- Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o dióxido
sulfúrico (SO2). Uma pesquisa realizada em Oslo (Noruega) demonstrou que o
número (N) de mortes por semana é uma função linear da concentração média (C)
do SO2 medida em mg/m3. A função é N=94+(0,031)C. O domínio é 50 ≤ C ≤ 700.
a) Plotar o gráfico dessa função;
b) Calcular a imagem
Solução:
.
3- Nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo. O ar exalado tem temperatura
inferior à do corpo, já que o ar é resfriado nas paredes do nariz. Foram feitas
experiências em carriças (pequenos pássaros de cactos do deserto). Para a
temperatura ambiente TA, o domínio foi { TA;12º < TA <30º}. A temperatura do ar
exalado TE depende linearmente da TA: TE = 8,51+0,756 TA. Traçar o gráfico dessa
função e determinar sua imagem.
Solução:
41
Im = {17,5 < TE < 31,19}
4- De acordo com Tomofeeff Ressovsky/Zimmer, o número de mutações ligadas
aos sexos relacionados à Drosóphila Melanogaster cresce quase que linearmente
com uma dose de raio-x que não exceda 6KR (quilo-Roengel). Seja x a dose
medida em KR e y a taxa de mutação (percentagem). Para uma dose zero
nenhuma mutação é observada. Com a dose de 3KR, a taxa de mutação é 8,4%.
Traçar um diagrama e estabelecer uma equação para x e y. Qual o domínio e a
imagem da função?
Solução: Vamos calcular a inclinação m de reta no diagrama, assim:
m=
y − y 0 8,4 − 0
=
= 2,8 .
x − x0
3− 0
Agora, obtemos a equação para x e y genéricos:
y − y 0 = m ( x − x 0 ) ⇔ y − 8,4 = 2,8 ( x − 3)
y − 8,4 = 2,8 x − 8,4 ⇔
y = 2,8 x.
5- Simpson, Roe e Lewontin afirmaram que nas fêmeas da cobra Lampropelts
Polyzono, o comprimento y é uma função linear do comprimento da cauda x, com
grande precisão. O domínio é o intervalo compreendido entre 30mm e 200mm e a
imagem entre 200mm e 1400mm. Determinar a equação de y como função de x e
plotar um diagrama com unidades apropriadas para x e y.
Solução: Vamos obter o coeficiente angular m da reta que representa a função
linear, assim:
y − y0 1400 − 200 1200
m=
=
=
= 7,05.
x − x0
200 − 30
170
Encontraremos agora equação num ponto
(x,y) qualquer, assim:
y − 200 = 7,05 ( x − 30) ⇔ y = 7,05 x − 11,5
6- A temperatura na escala Celsius, representada por x, e a mesma temperatura na
42
escala Fahrenheit, representada por y, estão ligadas pela relação linear 5y-9x=160.
Expressar y como função de x e plotar a função. Preparar uma tabela de conversão
para x= 36,00; 36,10; 36,20 ;...; 37,00 .
Solução:
9
160
5 y − 9 x = 160 ⇔
5 y = 9 x + 160 ⇔
y = x+
5
5
y = 1,8 x + 32.
x
ºC
36
36,1
36,2
36,3
36,4
36,5
36,6
36,7
36,8
36,9
37
y
ºF
96,8
96,98
97,16
97,34
97,52
97,7
97,88
98,06
98,24
98,42
98,6
7- Os produtos farmacêuticos devem especificar as dosagens recomendadas para
adultos e crianças. Duas fórmulas para modificação de dosagem para crianças são:
Regra de Cowling: y =
Regra de Fried:
y=
1
(t + 1)a ;
24
2
t .a ,
25
onde t é a idade da criança, em anos, e a é a dosagem ministrada em adultos.
a) Se a=100, faça o gráfico das duas equações lineares no mesmo
sistema de eixos para 0 ≤ t ≤ 12.
b) Para que idade as duas fórmulas especificam a mesma dosagem?
Solução: a) Para que as quantidades y da droga sejam iguais, temos:
43
1
2
t
1
2
25
( t + 1)a =
ta ⇒
+
=
t ⇒ 25t + 25 = 48t ⇒ t =
= 1,08
24
25
24 24 25
23
Agora, substituímos o valor de t, e
para a=100:
1
( t + 1) a ⇔ = 1  25 + 1 100
y=
24
24  23 
1  48 
4800
y=
⇔ ≅ 8,696 ml.
  100 ⇔ =
24  43 
552
Ou então
y=
2
ta ⇔
25
=
2 25
100 ⇔
25 23
5000
⇔
575
≅ 8,696 ml
8- Um cientista, ao fazer experimentos sobre a relação entre pressão e volume de
um gás, verificou que, quando a pressão é 1atm, o volume é 30cm³. Quando a
pressão é 10atm, o volume é 5cm³. Faça o gráfico desses dois pontos e calcule a
inclinação da reta que eles determinam.
Solução:Temos x0=1 atm e y0=30 cm³, depois x=10 atm e y0=5 cm³, assim:
m =
y − y0
5 − 30
25
=
= −
.
x − x0
10 − 1
9
Por ser m<0 a reta é decrescente, isto ilustra que
pressão e volume são grandezas inversamente
proporcionais.
9- A quantidade x de clorofórmio necessária para manter uma pessoa adormecida
durante h horas pode ser calculada pela equação 3x-5=4x+7-h. Isto pode ser
representado por uma reta? Se puder, escreva sua equação na forma reduzida.
Solução: Temos,
3x − 5 = 4x + 7 − h
Vejamos se x=x(h):
3x − 5 = 4x + 7 − h ⇔ 3x − 4x = 7 + 5 − h ⇔
− x = 12 − h ⇔
x = h − 12.
10- Há diversas maneiras de se calcular a dose infantil de um medicamento, sendo
conhecida a do adulto. É obvio que a dose infantil deverá ser uma fração da dose
do adulto. Normalmente, esse cálculo é feito em função da idade da criança ou de
seu peso. Existem diversas regras para se obter essa estimativa. Citaremos três
delas:
Regra de Young:
(Idade da criança em anos) x (dose do adulto) = dose infantil
(Idade da criança em anos +12)
44
Regra de Fried:(usada para calcular doses para bebês menores de um ano de
idade)
(Idade do bebê em meses) x (dose do adulto) = dose infantil
150
Regra de Clark
(Peso da criança em quilogramas) x (dose do adulto) = dose infantil
70
A dose de sulfato de morfina para adulto é 10mg.
a) Qual deverá ser a dose infantil, tratando-se de uma criança de 12 anos
pesando 30kg? Há discrepância entre o previsto pela Regra de Young e de Clark?
Por quê?
Solução:
Young:
12
10 = 5 mg
12 + 12
Clark:
30
10 = 4,28 mg
70
Sim, pois as fórmulas para os cálculos são distintas; uma calcula a
dosagem pela idade, enquanto que a outra calcula pelo peso. As crianças podem
ter a mesma idade e pesos distintos.
b)Um bebê de 6kg precisa tomar uma dose de acetato de cortisona.
Sabe-se, ainda, que a idade do bebê é de 25 semanas, e que a dose do adulto é de
150mg. Calcule a dose infantil pela regra de Fried.
Solução:
6,25
150 = 6,25 mg
150
c) E quais seriam as doses de cortisona para o mesmo bebê, porém
agora calculadas através das regras de Young e de Clark? Há discrepâncias? Em
caso afirmativo, você tem alguma explicação para o fenômeno?
Solução:
Young:
Clark:
0,5
150 = 6 mg
12,5
6
150 = 12,85 mg
70
Sim, veja item (a).
d) Exprima, em termos de uma função, cada uma das três regras acima
citadas.
Solução:
(Young)
D i (a ) =
a Da
a + 12
(Fried)
D i ( m) =
m Da
150
D i (a ) =
p Da
70
45
(Clark)
Onde:
a: idade da criança em anos;
Da: dose do adulto;
m: idade do bebê em meses;
p: peso da criança em quilogramas;
Di(a): dose infantil em função da idade em anos;
Di(m): dose infantil em função da idade em meses.
11- A Associação Nacional do Coração (EUA) publicou que pelo menos 30% das
calorias diárias ingeridas pelas pessoas vêm da gordura. Um grama de gordura
fornece nove calorias. Jason é do sexo masculino, tem 21 anos e é saudável, sua
quantidade ingerida diariamente está entre 2500 e 3300 calorias.
a) Determine as quantidades mínima e máxima de gordura ingerida
diariamente por Jason;
b) Determine a relação existente entre a gordura e caloria.
Solução:
a) A transformação de calorias para gordura,
Se 1 grama de gordura
← produz
→
9 calorias
xmin
← produz
→
2500 calorias
1
9
2500
=
⇔ 9Xmin = 2500 ⋅ 1 ⇔ Xmin =
Xmin 2500
9
Se 1 grama de gordura
← produz
→
xmax
9 calorias
← produz
→
3300 calorias
1
9
3300
=
⇔ 9Xmax = 3300 ⋅ 1 ⇔ Xmax =
Xmax 3300
9
Assim, concluímos que a quantidade de gordura ingerida por Jason,
diariamente, encontra-se no intervalo:
277,77 ≤ x ≤ 366,66
b)
y − y0 =
∆y
( x − x0 )
∆x
y − 2500 = 9( x −
2500
) ...
9
12- -A craca do Pacífico (Pollicipes polymerus), um crustáceo que se fixa às rochas,
tem um sistema circulatório primitivo. A hemalinfa é bombeada através do corpo por
um músculo não identificado. A freqüência de contração é fortemente dependente
46
da temperatura do corpo. Se a temperatura do corpo (ºC) for plotada em um eixo
horizontal, e a freqüência de contração (bpm) num eixo vertical, a relação é dada
por todos os pontos em um triângulo cujos vértices são:
ºC
7
23
25
bpm
1
15
50
Plotar a relação e decidir se os seguintes pontos satisfazem à relação: (15º, 9 bpm),
(15º, 25 bpm) e (24º, 20 bpm).
13) Um biólogo ao analisar seus experimentos observou que a água do seu aquário
apresentava uma coloração estranha. Então iniciou uma pesquisa para descobrir o
porquê isto havia acontecido. Ele então descobriu que o agente causador eram
bactérias e estas poderiam vir a matar seus peixes ao atingir uma população de
1500 bactérias. As mesmas seguiam uma ordem de crescimento, conforme os
dados:
X (gerações)
0
1
2
3
P(X) (milhares)
95
152
243,2
389,12
a) Obtenha a equação linear das gerações;
b) Verifique a partir de que geração os peixes morrerão.
14) Determinar as funções lineares C(K) e C(F) que determinam a temperatura em
graus Celsius em função das temperaturas em Kelvin e Fahrenheit,
respectivamente, dado a seguinte tabela:
ºC
K
ºF
Água em Ebulição
100
373
212
Água congelada
0
273
32
3 FUNÇÃO EXPONENCIAL
Neste tópico estudaremos a função exponencial, a qual possui várias
aplicações na modelagem de diversos problemas, como por exemplo, a
desintegração radioativa, a eliminação de drogas no organismo, o crescimento
populacional, etc.
Considere então o seguinte problema:
Um indivíduo tomou 60 mg de certa medicação à base de um
determinado sal. A bula do remédio informa que a meia-vida 11 deste sal é de seis
horas. Após 12 horas de ingestão do medicamento, qual é a quantidade do sal
11
Meia-vida: tempo necessário para que uma grandeza física ou biológica reduza à metade de sua
massa.
47
ainda presente no organismo? E após 3 horas da ingestão? E para um tempo t
qualquer, qual é a quantidade de sal no organismo?
Se inicialmente pensarmos em um modelo expresso por uma função
polinomial do 1o grau, chegaríamos à conclusão que após 12 horas não haveria
mais sal no organismo. Segundo este modelo, a variação sofrida a cada intervalo
de 6 horas seria sempre a mesma. Veja o gráfico anterior.
Tal modelo não é adequado, pois pela definição de meia vida, após 6
horas teremos 30 mg do sal, e após mais 6 horas ele se reduz à metade de 30 mg,
isto é 15 mg. Assim
para t = 0 → y = 60
1
1
para t = 6 → y = 60. = 60. 6 / 6
2
2
1 1
1
1
= 60.
2
12
2 2
2
2 /6
1 1
1
1
para t = 18 → y = 60. 2 . = 60. 3 = 60. 18 / 6
2 2
2
2
para t = 12 → y = 60. . = 60.
1 1
1
1
para t = 24 → y = 60. 3 . = 60. 4 = 60. 24 / 6
2 2
2
2
A figura a seguir ilustra os pontos obtidos.
60
mg de sal
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
T em po
Assim, para um tempo t qualquer, teremos:
1
 1
y = 60. t / 6 = 60 
2
 2
t /6
,
onde o valor 60 representa a quantidade inicial, em mg, do sal.
De uma maneira geral, a função
y=aqx, q > 0 e q ≠ 1,
onde a é uma constante e x assume valores reais, é denominada função
exponencial, e satisfaz as seguintes propriedades:
x+ y
= q x .q y
1. q
2. q x − y = q x / q y
3. q 0 = 1
4. q = q
1
5. (q x ) y = q x. y
6. x1 < x 2 ⇒ q 1 < q
x
x2
se q > 1
7. x1 < x 2 ⇒ q 1 > q 2 se q < 1
Os itens 6 e 7 podem ser melhor compreendidos pelos gráficos a seguir:
x
x
48
x1 < x2 ⇒ q x < q x se q > 1
x1 < x2 ⇒ q x > q x se 0< q < 1
D(qx) = IR e Im(qx) = IR+
D(qx) = IR e Im(qx) = IR+
1
2
1
2
Assim, para resolvermos o nosso problema temos que após 3 horas da
ingestão do medicamento encontraremos:
y = 60.2 − 1/ 2
y = 42,426 mg de sal no organismo.
Divisão celular:
Divisão celular é o processo pelo qual uma célula (chamada célula-mãe) se divide em
duas células-filhas. Nos organismos multicelulares, este processo pode levar ao
crescimento do indivíduo (por crescimento dos tecidos), ou apenas à substituição de
células senescentes por células novas. Nos organismos unicelulares, como as bactérias
e muitos protistas, este é o processo de reprodução assexuada ou vegetativa.
(Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.)
O
Este é um exemplo clássico da função exponencial. Observe o esquema a
seguir:
Para t = 0 → 1 célula = 20
Para t = 1 → 2 células = 21
Para t = 2 → 4 células = 22
Para t = 3 → 8 células = 23
número de células para um instante t qualquer é dado
por N = N0 2kt = N0 21.t , onde N0 é o número de células
iniciais (t=0) e k é a constante de crescimento, a qual
neste caso é igual a 1 (unidade do tempo). Se a
duplicação ocorrer a cada 30 minutos ou 0,5 hora esta
constante passa a ser 1/30 ou 2, dependendo da
unidade utilizada. Observe que o expoente da base é
positivo, pois se trata de um crescimento.
49
Meia-vida: A taxa de desintegração radioativa de uma substância, geralmente, é
descrita em termos de meia-vida da
substância, sendo este o tempo que
leva para que metade de uma amostra
se desintegre.
O carbono-14 (conhecido como
radiocarbono) é usado para dar a
idade de descobertas arqueológicas. O
urânio, o potássio e o rubídio são
usados na determinação de idades
geológicas. A seguir apresentamos
alguns exemplos de meia-vida de
alguns isótopos radioativos muito
usados em medicina:
RÁDIO 226..........................1602 anos
CÉSIO 137...............................30 anos
ESTRÔNCIO 90......................28 anos
COBALTO 60.........................5,3 anos
IRÍDIO 192...............................74 dias
IODO 131...................................8 dias
OURO 198...............................2,7 dias
Como visto acima, a meia-vida de uma substância radioativa pode ser
curta ou muito longa, e é por isso que a questão do lixo atômico é um grande
problema, pois pode demorar muitos anos para perder o seu efeito.
Exemplo 1: Em um método de marcação é utilizado como indicador o isótopo de
potássio K 42 . A meia-vida do K 42 é de 12,5 horas. Se No é o número inicial de
átomos, qual é a função que modela o problema? E qual é o número esperado de
átomos após o período de 4 dias e 4 horas?
Solução: A função esperada é do tipo N = N 0 qkt . A meia-vida é de 12,5 h = 25/2 e
q=1/2 e N=N0 para t=0, assim:
N = N0(1/2) t / T
N = N0(1/2) t /(25/2)
N = N 0(2)
-2/25t
.
Sendo esta a função procurada. E após 4 dias e 4 horas (t=100 h),
obtemos:
N = N0 2
-
2
100
25
⇒ N = N 0 2 -8 =
No
.
256
A tabela a seguir nos fornece a meia-vida de outras substâncias
50
radioativas:
Substância
Meia-vida
Xenônio 133
5 dias
Bário140
13 dias
Chumbo 210
22 anos
Carbono 14
5.730 anos
Plutônio
23.103 anos
Urânio 238
4,5 bilhões de anos
Do
site
http://notícias.terra.com.br/ciência/interna,
informações de como se realiza a prova do Carbono 14:
obtemos
A radioatividade do carbono 14: Willard Libby(1908-1980), que era
químico americano (Nobel de Química-1960) utilizou em 1947 um
contador Geiger para medir a radioatividade do C-14 existente em vários
objetos. Este é um isótopo radioativo instável, que decai a um ritmo
perfeitamente mensurável a partir da morte de um organismo vivo. Libby
usou objetos de idade conhecida (respaldada por documentos históricos),
e comparou esta com os resultados de sua radiodatação. Os diferentes
testes realizados demonstraram a viabilidade do método até cerca de 70
mil anos. O C-14 se produz pela ação dos raios cósmicos sobre o
nitrogênio-14 e é absorvido pelas plantas. Quando estas são ingeridas
pelos animais, o C-14 passa aos tecidos, onde se acumula. Ao morrer,
este processo se detém e o isótopo começa a desintegrar-se para
converter-se em nitrogênio-14. A partir desse momento, a quantidade de
C-14 existente em um tecido orgânico se dividirá pela metade a cada
5.730 anos. Cerca de 50 mil anos depois, esta quantidade começa a ser
pequena demais para uma datação precisa. Depois de uma extração, o
objeto a datar deve ser protegido de qualquer contaminação que possa
mascarar a datação. Feito isso, se leva ao laboratório onde se contará o
número de radiações beta produzidas por minuto e por grama de material.
O máximo são 15 radiações beta, cifra que se dividirá por dois por cada
período de 5.730 anos de idade da amostra.
Exemplo 2: A quantidade de células cancerosas existentes num instante t (dias) é
dada por N = 100e 0,1t , onde e é o número de Euler ≅ 2,71828 . Qual é a
velocidade média de crescimento destas células quando t varia do 2º para o 3º
dia?
Solução: N (2) = 100e 0,2 e N ( 3 ) = 100 e0 ,3 .
∆ N 100e 0,3 − 100e 0,2
=
= 100(e 0,3 − e 0,2 )
∆t
3− 2
Uma outra utilização da função exponencial pode ser vista através do
seguinte exemplo:
vel méd =
Intensidade luminosa: Em lagos e mares, a vida
vegetal somente pode existir na camada mais
superficial, que tem grosseiramente 10 m de
profundidade, já que a luz solar é gradualmente
absorvida pela água. Podemos perguntar: como
decresce a intensidade luminosa em relação ao
aumento de espessura da camada?12
Consideremos um feixe de luz vertical
entrando na água com igual intensidade original Io.
12
A reposta é a lei de Bouguer-Lambert [Bouguer (1698-1758)- cientista e explorador francês,
estudou a absorção da luz na atmosfera. Johann Heinrich Lambert (1728-1777)–matemático,
astrônomo e físico alsaciano estudou a lei em geral].
51
Seja I a intensidade reduzida em uma profundidade de x metros. Então a lei afirma
que
I = I 0e− µ x ,
onde μ > 0 é chamado de coeficiente de absorção. Isto depende da pureza da água
e do comprimento de onda do feixe luminoso. Estritamente falando, a intensidade I
nunca será exatamente zero. Entretanto, para um x suficientemente grande, a luz
restante não pode ser mais percebida.
A base e:
Mas por que a base e ? A escolha dessa base diferencia muito a forma
como a função y = a x cruza o eixo y. As retas tangentes ao gráfico de y = 2 x e
y = 3 x no ponto (0,1) têm inclinações 0,69 e 1,1, respectivamente.Veja os gráficos
a seguir. O método para obtenção da inclinação da reta tangente à curva será dado
posteriormente. Interessa-nos, a fim de simplificação de cálculos, escolhermos para
base aquela a qual resulta uma reta tangente a y = a x em (0,1) com inclinação
igual a 1. E este número é o número e , cujo valor está entre 2 e 3. Como veremos
mais adiante, o valor da base com a qual trabalhamos não interfere no resultado
final, desde que sejam mantidas as regras de mudança de base.
Fig (a) y = 2 x
Fig (b) y = e x
Fig (c) y = 3 x
Problema: Em geral, a população de bactérias, mosquitos, etc, é dada pela função
exponencial:
P = P0 e kt ,
onde k é a constante de proporcionalidade e P0 é a população inicial. Se uma
população de bactérias é dada pela fórmula P = P0e 0,02t , onde t é medido em dias.
Encontre a população após 45 dias, sabendo que inicialmente havia 200 indivíduos.
kt
Observação: Os modelos de crescimento, como por exemplo, P = P0 e possui, na
realidade, um comportamento dado pela Fig a). Porém, é comum considerarmos,
por razões práticas, que o gráfico seja o da Fig d).
52
Fig a)
Fig b)
Fig c)
Fig d)
Voltando ao problema inicial, considere a seguinte situação:
Desejamos saber qual o tempo necessário para que esta pessoa tenha 30 mg do
sal no organismo.
Solução: Como já vimos, temos que a função que modela o problema é
y = 60.2 − t / 6 .
Desejamos encontrar o tempo para y=30 mg. Então
30
= 2− t / 6 ⇒ 2− 1 = 2− t / 6
30 = 60.2 − t / 6 ⇒
60
Como as bases são iguais
t
− 1 = − ⇒ t = 6h ,
6
que é exatamente o tempo da meia-vida.
Analisaremos agora qual o tempo necessário para que a quantidade
encontrada seja de 20 mg. Temos
20
= 2− t / 6 ⇒ 3− 1 = 2− t / 6 .
20 = 60.2 − t / 6 e
60
Neste caso a solução da equação não é imediata, pois as bases são
diferentes. Estamos procurando o expoente de 2, tal que o resultado de 2 − t / 6 seja
igual a 1 / 3 . A questão, aqui, é como obter o expoente que satisfaça a
igualdade acima.
Sempre que procuramos o expoente de um número, usamos o logaritmo,
isto é, dados os valores b>0 e 0<a≠1, definimos
c = loga b ⇔ a c = b .
Os logaritmos possuem as seguintes propriedades:
a) loga bc = loga b + loga c , para b, c>0 e 0<a≠1
b
b) loga = loga b − loga c , para b, c>0 e 0<a≠1
c
c) loga b n = n loga b , para b>0, 0<a≠1 e n real
loga b
, para 0<a≠1, 0<c≠1 e b>0 (mudança de base)
loga c
e) logaa = 1
d) logc b =
53
Obs: 1) a loga b = b . Realmente,
loga (a loga b ) = loga ( b ) ⇔ loga b(loga a ) = loga b
E assim loga b.1 = loga b .
2) Se a = e ⇒ loge b = ln b , chamado de logaritmo natural ou neperiano,
devido a John Napier matemático escocês (1550-1617). E pela observação
anterior: e ln b = b .
Então para terminarmos a solução do problema, temos
t
log 3 − 1 = log 2 − t / 6 ⇒ − 1log 3 = − log 2
6
t log 3
log 3
=
⇒ t= 6
6 log 2
log 2
E o resultado final pode ser obtido com o uso de uma calculadora.
t
≅
9,51
Assim,
h.
Problema: Como já vimos o crescimento de uma determinada população é dada
kt
pela função exponencial P = P0 e . Se uma população de bactérias é dada pela
0,02t
fórmula P = P0 e , onde t é medido em dias, após quantos dias a população será o
dobro da população inicial?
Uma outra utilização do logaritmo é a Escala de pH (potencial de
Hidrônio). Quando se dissolve em água um ácido ou uma base formam-se íons
H3O+ e OH- que originam o caráter ácido ou básico da solução. Como a água pura
tem um comportamento anfotérico (reage ora como ácido, ora como base) e se
auto-ioniza segundo a equação:
H 2 O + H 2 O ↔ H 3O + + OH −
a 25º C, [ H3O+] = [OH-] = 10-7 mol/l. A solução será neutra quando [ H3O+] = 10-7
mol/l. Para expressar [H3O+] numericamente, o químico dinamarquês
Sorensen(1868-1939) definiu a escala de pH. Defini-se pH de uma solução como o
logaritmo decimal e do inverso da concentração de íons de H3O+. Isto é,
pH = log
1
+
[ H3 O ]
= − log [ H3 O + ] .
Assim, numa solução neutra pH = − log10 − 7 = 7 , numa solução ácida
pH<7 e numa solução básica pH>7.
O pH sanguíneo de uma pessoa pode ser determinado usando a fórmula
de Henderson-Hasselbach:
pH = 6,1 + log
B
, onde B é a concentração de
C
bicarbonato, que é uma base, e C é a concentração de ácido carbônico, que é um
ácido. Isto é, o pH sanguíneo depende da proporção de bicarbonato e ácido
carbônico presente no plasma sanguíneo. O pH do sangue está normalmente entre
7,35 a 7,45, sendo uma solução levemente alcalina.
Problema:
a) Qual é uma outra maneira de escrever a fórmula de Henderson-
54
-Hasselbach?
b) Obtenha o pH sanguíneo de um indivíduo cuja concentração de
bicarbonato é 25 e que a concentração de ácido carbônico seja 5.
Para generalizarmos a resolução do problema inicial do sal definiremos a
função logarítmica e para tanto necessitamos conceituar o que se entende por
inversa de uma função.
4 FUNÇÃO INVERSA
Dada uma função y=f(x) definida de A em B ( f : A → B ), se para todo
y ∈ B existir um único valor x ∈ A tal que y=f(x), então podemos definir uma função
g(y)=x de B em A ( g : B → A ) denotada por f-1, denominada função inversa de f.
Método para obter a função inversa: Exemplo : y=x-3
Permutar as variáveis x e y
Explicitar y em função de x
x=y–3
x + 3 = y ou y = x + 3
5 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
x
Seja a função exponencial y = a , com a>0, e a≠1. A função y = log a x
é chamada de função logarítmica e é a função inversa de y = a . E seu gráfico é
dado a seguir:
x
loga x , a>1
D(f)={x ∈ IR; x>0} e Im (f) = { y; y ∈ IR}
loga x , 0<a<1
D(f)={x ∈ IR;x>0} e Im (f) = { y; y ∈ IR}
O logaritmo é uma ferramenta muito utilizada na Química, na Física e na
Biologia, pois permite plotar dados de grandezas que possuam medidas tais como
10-20 ou 1030. Estas plotações podem então conter escala logarítmica ou
duplamente logarítmica. Como ilustrado nos seguintes exemplos:
1. Os dados a seguir são aleatórios, sendo utilizados apenas para a construção
55
gráfica.
x
y
x
y
0
1
0.301
2
0.903
8
0.477
3
0.954
9
1
10
0.602
4
1.301
20
0.699
5
1.477
30
0.778
6
1.602
40
0.845
7
1.699
50
P lo ta ç ã o n o r m a l
60
50
Y
40
30
20
10
0
0 .0
0 .3
0 .6
0 .9
1 .2
1 .5
1 .8
X
P lo ta ç ã o s e m i- lo g a rítm ic a
Y (log)
0
10
10
1
0
0 .0
0 .3
0 .6
0 .9
X
2. Gráfico duplamente logarítmico:
1 .2
1 .5
1 .8
56
Exercícios:
1) Degradação radioativa: Consideramos uma substância que contenha átomos
radioativos e admitamos que somente ocorra um tipo de isótopo radioativo. Seja N
o número de átomos radioativos presentes na substância no instante t. Então, as
experiências mostram que a degradação radioativa segue a lei:
N
= No e-λt
onde λ é chamada de constante de
degradação. Obter a meia-vida da substância,
isto é o intervalo de tempo Δt no qual 50% dos
átomos radioativos se decompõem.
Solução: Consideraremos dois instantes de
tempo t1 e t2= t1+ Δt e os respectivos valores de
N1 e N2.
Assim,
N1 = No e-λt1 e N2 = No e-λt2=
No e-λ(t1+ Δt ) = No e -λt e –λΔt
N2 = N1 e - λ Δt.
1
Como admitimos que N2 = ½ N1, então
e - λ Δt = ½
-λ Δt = ln ½ = -0,69315
Δt = 0,69315/ λ.
2) Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma
sala com temperatura ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo
às 21:00 h e constatou que a mesma era de 32 graus Celsius. Uma hora depois
voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que a
mesma estava a 30 graus Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o
indivíduo, sabendo-se que a temperatura média de um corpo humano normal é de
37 graus Celsius?
Solução: Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função
exponencial decrescente que passa pelos pontos (21,32) e (22,30) onde as
abscissas representam o tempo e as ordenadas representam a temperatura do
corpo.Como a curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da
forma:
f(t) = C eA t,
então obtemos que:
A = Ln(30)-Ln(32)
C = 32/ (30/32)21.
A função exponencial que rege o fenômeno de resfriamento deste corpo
é dada por:
f(t) = 124,09468 e-0,0645385t,
e quando f(t) = 37 temos que:
57
t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos,
que pode ser observado através do seguinte gráfico:
3) A concentração de uma droga na corrente sanguínea é dada por K (t ) = 5e ,
onde t é o tempo (em horas) decorrido após a aplicação de uma dose de 5
unidades da droga.
a) Calcule a concentração K(t) nos instantes t= 0,1,2,3,4 e 5 horas;
b) Esboce um gráfico da curva;
c) Supondo que a dose de 5 unidades deva ser aplicada sempre que a
concentração for menor que 0,25 unidades, qual seria o intervalo de
tempo permitido entre duas aplicações?
−t
Solução:
a)
t(em horas h)
K(t)
0
5
1
1,8394
2
0,6767
3
0,2489
4
0,0916
5
0,0337
b)
K(t)
S = 0.00002410
r = 1.00000000
5 .5
0
4 .5
8
3 .6
7
2 .7
5
1 .8
3
0 .9
2
0 .0
0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
T em po (t)
c) K (t ) = 5e − t ⇔ 0,25 = 5e − t ⇔ 0,05 = e − t ⇔ t ≅ 3 horas.
4) O pH sanguíneo de uma pessoa pode ser determinado usando a fórmula de
B
Henderson-Hasselback. A fórmula como sabemos é: pH = 6,1 + log , onde B
C
58
representa a concentração de bicarbonato, que é uma base, e C representa a
contração de ácido carbônico, que é um ácido. A maioria das pessoas tem um pH
sanguíneo em torno de 7,4.
a) Use a propriedade do logaritmo para escrever a equação sem uma fração.
b) Utilize uma calculadora para obter o pH sanguíneo de uma pessoa onde a
concentração de ácido carbônico é 2 e a concentração de bicarbonato é 25.
Solução: a) pH = 6,1 + log B − log C
25
= 6,1 + 1,1 = 7,2
2
Portanto, o pH sanguíneo é aproximadamente 7,2.
b) pH = 6,1 + log
6 CURVA LOGÍSTICA
kt
Como vimos, o modelo N = N 0 e descreve o crescimento de
uma determinada população. Neste caso, supõe-se que o meio ambiente tenha
pouca ou nenhuma influência sobre a população. Desse modo, ele é mais um
indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de dada espécie de uma
população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre. De acordo com
esta equação, se uma população de bactérias duplicasse a cada 20 minutos, dentro
de dois dias, estariam formando uma camada em volta da Terra de 30 cm de
espessura! Do mesmo modo, qualquer população de plantas ou animais que
obedecesse a esta equação estaria, dentro de alguns milhares de anos,
preenchendo todo o universo.
Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a
kt
população obedece ao modelo N = N 0 e . Na realidade quando N aumenta, o meio
ambiente oferece resistências ao seu crescimento e tende a mantê-lo sob controle.
Alguns exemplos de fatores que influenciam esta resistência ambiental são:
quantidade de alimento, espaço, predadores, doenças, etc.
Um dos modelos de crescimento mais importante em Ecologia
de populações trata-se do modelo logístico de crescimento populacional. Ele é
também chamado de densidade-dependente uma vez que a taxa de crescimento
em um determinado instante depende do número de indivíduos existentes na
população. As curvas logísticas ilustram modelos de crescimento populacional,
quando fatores ambientais impõem um limite superior no tamanho possível da
população. Para ilustrarmos este importante modelo matemático temos o seguinte
exemplo:
Exemplo: Consideremos uma situação formada por duas populações de
organismos zooplanctônicos. Colocamos em dois béqueres 3 fêmeas
partenogenéticas grávidas de um microcrustáceo cladócero em condições ideais de
alimentação, temperatura, aeração e iluminação e ausência de predadores. Essas
duas populações cresceram muito bem atingindo respectivamente 650 e 825
indivíduos aos 24 dias. O número da população (A e B) de cada béquer está na
tabela a seguir:
Dias (t)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
59
A
B
Dias (t)
A
B
3
3
13
510
501
7.
4
14
630
650
10.
16
15
638
630
9
18
16
628
730
39
25
39
49
17
666
734
40
51
18
668
777
113
136
19
620
758
180
156
20
663
780
240
267
21
667
771
390
301
22
645
812
480
444
23
690
799
24
650
825
Se colocarmos esses dados em um programa, como por
exemplo, o CurvExpert, obteremos os seguintes gráficos e as fórmulas da função
que melhor se aproximou dos dados:
8 00
Cre scim en to d a P op ulação B
Crescim en to da P opulação A
9 00
7 00
8 00
6 00
7 00
5 00
6 00
5 00
4 00
4 00
3 00
3 00
2 00
2 00
1 00
1 00
0
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
0
26
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Dias (t)
Dias (t)
a
1 + be − ct
onde: a = 661,75981; b = 1012,2092 e
e c = 0,65248036
a
1 + be − ct
Onde : a = 801,824; b = 297,99631 e
c = 0,4861574
a
O gráfico da função L(t ) =
, onde a, b e c são constantes
1 + be − ct
positivas, possui a forma de um S e é chamada curva logística. Observe
graficamente que os valores de L(t) se aproximam de a quando o tempo t cresce
Logistic Model: L(t ) =
Logistic Model: L(t ) =
indefinidamente e neste caso a é chamado de capacidade crítica.
Para fazermos uma análise do que foi dito da função exponencial e da
função logística, limitamos o intervalo de t variando de 1 até 11, para a população
A. Neste caso verificamos que a curva exponencial e a curva logística apresentam
uma pequena variação.
C re s c im e n to d a Po p u la ç ã o A
4 00
4 00
3 20
3 20
2 40
2 40
N(t)
N(t)
C re s c im e n to d a Po p u la ç ã o A
1 60
1 60
80
80
0
0
0
2
4
6
8
10
12
0
2
4
tem po
Exponential Fit:
a=
y = ae bx
2.9510098
6
Tem po
Logistic Model: y
=
a
(1 + be − cx )
8
10
12
26
60
b=
0.4439682
a = 2327.295
b = 1057.14
c = 0.48645293
Neste intervalo é imperceptível a diferença entre os gráficos, mas à
medida que ampliamos o intervalo, a diferença entre eles torna-se significativa.
Exercícios:
1) A pressão atmosférica pode ser determinada usando a equação
P = 14,7.(10) − 0,02.h , onde P é a pressão atmosférica em libras por polegada quadrada
e h é a altitude acima do nível do mar em milhas. Encontre a pressão atmosférica a
uma altitude de 3 milhas acima do nível do mar, expressando em seguida os
resultados no sistema cgs.
Solução:
Substituindo h por 3 milhas devemos apenas resolver a equação.
P = 14,7( 10 )
P = 14,7.
− 0,02.3
⇔ P = 14,7( 10 )
− 0,06
⇔ P = 14,7.
1 ⇔ P = 12,8037L / P 2 .
1,1481
1
100,06
Portanto, a pressão atmosférica acima do
aproximadamente 12,8037 L / P 2 .
1 Libra é equivalente a 0,454kg = 454g.
1 Polegada é equivalente a 2,54 cm.
nível
do
mar
é
Assim;
2
P = 12,8037 4542 ⇔ P = 12,8037 .70,37 ⇔ P = 900,996g / cm .
2,54
2) Para certo tipo de bactéria, k = 0,872 quando t é medido em dias. Quanto tempo
levará para aumentar de 9 para 738 bactérias?
Solução:
Temos que: k = 0,872 t medido em dias
Para este cálculo, devemos usar a seguinte equação:
N = N 0 .e k .t
Note que temos N 0 = 9 , N = 738 e k = 0,872 .
Substituindo na equação acima temos:
738 = 9.e 0,872.t ⇒
738
9
= e 0,872.t ⇒ 82 = e 0,872.t .
Aplicando logaritmo natural, segue-se que:
61
ln 82 = ln e 0,872.t ⇒ ln 82 = 0,872.t. ln e
Como ln e = 1 e ln 82 = 4,406 , segue-se:
4,406 = 0,872.t.1 ⇒ t = 5 .
Logo, para que se aumente de 9 bactérias para 738 bactérias, será
necessário um tempo de 5 dias.
3) O rádio – 226 decompõem-se radioativamente. Sua meia–vida,ou seja o tempo
que leva para metade da amostra se decompor, é 1800 anos. Encontre a constante
k na fórmula de decaimento para este composto.
Solução: Lembrando que a fórmula de decaimento é : N = N 0 .e ,
temos que: N 0 = 226 , N = 113 e t = 1800
Substituindo os dados na fórmula, segue-se que:
k .t
113 = 226e k 1800 ⇒ 113 = e1800 k ⇒ 0,5 = e1800 k
226
.
Aplicando o logaritmo natural, temos:
ln 0,5 = ln e1800.k ⇒ ln 0,5 = 1800.k . ln e .
Como ln 0,5 = − 0,693 e ln e = 1 , seque-se que:
− 0,693 = 1800k.1 ⇒ 1800k = − 0,693 ⇒ k = − 3,85.10 − 4
Assim, encontramos k = − 3,85.10 − 4 .
4) Os paleontólogos estudam a vida na era do passado geológico pelos restos de
fósseis. Eles usam o carbono-14 (C14) para estudar a idade dos fósseis. O C14
deteriora com o tempo. Passados 5760 anos, exatamente metade da massa desta
substância irá restar. Esse período é chamado de meia-vida. Para encontrar a
idade do fóssil com 1/5 do C14 restante, os paleontólogos precisam usar a fórmula
− kt
do decaimento da substância: N = N 0 e . Considerando que a massa inicial é duas
unidades obtenha o valor da constante k.
− kt
− k 5760
⇔ ln 0,5 = ln e − k 5760 = − k 5760 ⇔ k ≅ 0,00012 .
Solução: N = N 0 e ⇔ 1 = 2e
Para o fóssil com 1/5 do C14, teremos
1 / 5 N 0 = N 0 e − 0, 00012.t ⇔ ln 0,2 = − 0,00012 t ⇔ t ≅ 13412 anos.
5) O diâmetro da base de um tronco de uma árvore, em cm, é proporcional a sua
altura, em m, elevada a uma potência de 3/2.
a) Uma sequóia jovem tem 6 m de altura, e o diâmetro de sua base é 19,1 cm. Use
essa informação para obter uma equação para o diâmetro D da base de uma
sequóia se sua altura é h metros.
b) Uma das árvores mais antigas na terra é a General Sherman Tree no parque
nacional das sequóias na Califórnia. Essa árvore tem entre 2.200 a 2.500 anos
de idade. Se sua altura é aproximadamente 83,8 m encontre o diâmetro de sua
base.
62
Solução: a) Temos que D = kh 3 / 2 . Assim, substituindo-se os valores, resulta:
19,1 = k ( 600 )3 / 2 ⇔ k = 19,1 / 14696 ⇔ k = k 600 3 / 2 .
Assim, D = 1,29.10 − 3.h 3 / 2
b) D = 1,29.10 − 3.767,1 = 0,989m = 98cm .
6) Considere uma cultura de bactérias, em laboratório, com alimento ilimitado e
sem inimigos. Se N=N(t) denota o número de bactérias presentes no instante t, é
natural admitir que a taxa de variação de N é proporcional ao próprio N. Se o
número de bactérias presentes no início é N 0 , e esse número dobra após 2 horas,
qual será a população de bactérias após 6 horas? E após t horas?
7) Após 3 dias, 50% de radioatividade produzida por uma explosão nuclear
desaparece. Quanto tempo levará para que 99% da radioatividade desapareçam?
8) A meia vida do rádio é 1620 anos. Que percentagem de uma dada quantidade
de rádio não estará desintegrada após 100 anos?
9) Usa-se amplamente na radiologia médica cobalto 60, com uma meia vida de 5,3
anos. Quanto tempo levará para que 90% de uma dada quantidade decaiam?
10) Em certa reação química um composto C decompõe-se a uma taxa
proporcional à quantidade de C que permanece. Sabe-se por experiência que 8g de
C diminuem para 4g em 2 horas. Em que instante restará somente 1g?
11) O radiocarbono em madeira viva decai à uma taxa de 15,30 desintegrações por
minuto (dpm) por grama de carbono contido. Utilizando o tempo de 5600 anos
como a meia vida do radiocarbono, estime a idade de cada um dos seguintes
espécimes descobertos por arqueólogos e testados com radioatividade em 1950.
a) Um pedaço de perna de cadeira do túmulo do rei Tutancamon, 10,14 dpm;
b) Um pedaço de viga de uma casa construída na Babilônia durante o reinado de
Hammurabi, 9,52 dpm;
c) Excremento de uma preguiça gigante encontrada sob a superfície do solo
dentro de Gysum Cave em Nevada, 4,17 dpm;
d) Madeira encontrada em Leonard Roch Shetter em Nevada, 6,42 dpm.
12)O carbono-14(C14 )é formado na atmosfera superior do nitrogênio-14(N14),pelo
bombardeamento de nêutrons em raios cósmicos. O C14,então se desintegra em
N14, com emissão de partículas β e com uma meia-vida de 5700anos. O resultado é
um equilibrio de cerca de um átomo de C14 por 1012 átomos de carbono na
atmosfera e em seres vivos .Quando uma planta ou animal morre, ele não é mais
abastecido com C14 na taxa de equilíbrio, de modo que sua taxa de C 14 diminui com
o tempo.( A quantidade de C14 em uma amostra é determinada pela contagem das
partículas beta, com um contador Geiger.) Testes mostraram que 20 % do C14 num
pedaço de carvão de lenha de um local arqueológico se desintegraram, pois o
carvão de lenha era uma árvore viva. Que idade tem esse carvão de lenha?
Solução: Temos a equação:
63
 1
Q=Q 0  2 
 
t/T
⇔ 0,8Q0 = Q0 2
−t
T
⇔ log 0,8 =
−t
log 0,8
−t
log 2 ⇔
=
⇔
log 2
5700
5700
−t
( − 1) ⇔ t = 1.834,99.
5700
Portanto a idade do carvão é de aproximadamente de 1.835 anos
⇔ − 0,321928 =
13) A taxa de crescimento de uma população de bactérias é, em todos os
instantes, proporcional ao número presente. Existem 5000 bactérias presentes
inicialmente e o número dobra a cada dez dias. Quantas bactérias existem depois
de 14 dias?
Solução:Temos que a equação que rege o fenômeno é: C= Coekt , sendo C o
número de bactérias da cultura no instante t(dias). Para t=0 tem-se C=5000, logo
C0=5000 e a expressão de C é dada por: C=5000ekt . E como C=10000 quando
t=10 dia, temos:
10000=5000e10k
e10t= 2 .
Agora, aplicando o logaritmo em ambos os lados da igualdade tem-se:
ln e10k = ln 2 ⇔ 10k = ln 2 .
E assim,
k = 0,069 .
Substituindo esse valor em C, temos :
C= 5000e 0,069t
Para t= 14 dias: C=5000e0,069(14) ≅13.137 bactérias
14) O número de bactérias num tubo de ensaio triplica a cada 10 horas. No fim das
primeiras 10 horas existem 30 000 bactérias presentes. Quantas estavam
presentes inicialmente?
Solução: Temos a equação :
Q = Q0 e kt ou 3Q0 = Q0 e10 k ⇔ 3 = e10 k ⇔ 30.000 = Ce10 k ⇔ 30000 = C × 3 ⇔ C = 10.000
Assim, inicialmente, o número de bactérias era C=10000
15) O urânio 328 (U 238 ) se desintegra em chumbo 206( Pb 206 ) com uma meia-vida
de 4,5 bilhões de anos . Numa erupção vulcânica, o chumbo é removido da lava.
Se uma amostra da lava tem uma parte de Pb206 para 99 partes de U238 , quando
ocorreu a erupção vulcânica que a formou?
t
−t
T
Solução: Q = Q0  1  , ou ainda Q = Q × 2 T quando T= 4,5 bilhões de anos ou
0
 2
ainda T= (4,5)109 e temos também Q = 0 ,99Q0
−t
−t
ln 0,99
T
Q = Q0 2 ⇔ 0,99Q0 = Q0 2 T ⇔
=
ln 2
− 0,0144995 =
− t
4,5 × 10
9
− t
4,5 × 10 9
⇔ 0,065248 × 10 9 = t
⇔
64
Assim, t = 6,5249 × 10 7 anos.
16) Uma caixa à temperatura de 10º C é colocada num quarto, com a temperatura
constante de 20ºC. Dois minutos depois, sua temperatura é de 15ºC. Qual é a
temperatura da caixa 5 minutos após ter sido colocada no quarto?
Solução: Pela a lei do Resfriamento de Newton f(t)= Ta –Ae-kt , onde Ta é a
temperatura ambiente. Assim f(t)=20-Ae-kt e para t=0
f ( 0 ) = 20 − A × 1 ⇔ 10 = 20 − A ⇔ − 10 = − A ⇔ A = 10
para t=2 minutos
1
( )
f ( t ) = 20 − 10e − kt ⇔ f ( 2) = 20 − 10e − k 2 ⇔ 15 − 20 = − 10e − 2k ⇔ 5 = 10e − 2k ⇔
= e − 2k
2
⇔ ln 0,5 = − 2k ⇔ 0,6931 = 2k ⇔ k = 0,3465.
Agora em t=5 minutos
f ( 5 ) = 20 − 10e − 5 k ⇔ f ( 5 ) = 20 − 10e − 5 ( 0 ,3465 )
f ( 5 ) = 20 − 10e − 1,7325 ⇔ f ( 5 ) = 18,25.
Após 5 minutos a temperatura será de t=18,23 graus.
17) Suponha que a cada 8 horas uma pessoa doente infecte duas pessoas antes
da doença estar diagnosticada e de ficarem em quarentena. Considere cada oito
horas como período. No início, um indivíduo é infectado. Durante o primeiro período
de tempo, esta pessoa infecta duas outras. Durante o segundo período de tempo, a
primeira pessoa esta em quarentena mas as duas pessoas restantes infectam,
cada uma, outras duas pessoas. Durante o terceiro período de tempo, as duas
pessoas estarão de quarentena também e as quatro restantes infectam, cada uma
delas, duas pessoas restantes também.
a) Sistematize este exemplo numa tabela.
b) O número de pessoas infectadas durante um período y pode ser expresso como
uma função do tempo x, que é o número de períodos de oito horas.
c) Calcule o número de pessoas infectadas após o vigésimo primeiro período e
faça o gráfico de y em função de x.
7 ESTUDO COMPLEMENTAR
Medida da energia absorvida
Quando se expõe um ser humano ou qualquer outra matéria à radiação,
estes absorverão parte da energia e receberão certa dose de radiação. A unidade
utilizada a partir de 1962, por orientação da Comissão Internacional de Unidades e
Medidas Radiológicas (ICRU), para medir a dose absorvida chama-se rad. A partir
de 1985 outra denominação vem substituindo o rad, é o gray(Gy); um Gy=100rad.
Para se ter uma idéia de medida, uma pessoa que receber uma dose de 6 a 8 Gy
65
no corpo todo morrerá. Os nossos órgãos dos sentidos não são capazes de
detectar a radiação, e por isso a importância de se conhecer bem todos os tipos de
radiação, como medí-las, como se comportam, para assim podermos utilizá-las da
melhor maneira possível, aproveitando todos os seus benefícios, de forma
controlada e adequada.
Atividade de um material radioativo:
Chama-se atividade de um material radioativo o número de
desintegrações por unidade de tempo (em geral segundo), ou seja, a velocidade de
desintegração do isótopo radioativo num certo momento. A unidade que mede a
atividade chama-se Curie, em homenagem a Marie Curie. A unidade internacional
mais recente para a atividade é o Becquerel(Bq), que é igual a uma desintegração
por segundo.A relação entre Ci e Bq é:
1Ci = 3,7.10(elevado a 10)Bq.
Tempo útil de um aterro sanitário (um modelo para a função exponencial)
Na cidade de Arapongas – PR foi construída uma “usina de lixo” com a
finalidade de separar os diferentes tipos de lixo recolhidos na cidade. Para alocar o
lixo que não é reciclável e não é orgânico foi construído um aterro sanitário. A área
destinada para o aterro é de 11.414 m2 e a profundidade do aterro é de 15 m. O lixo
é acomodado no aterro em camadas de 1 m de altura cada uma. Cada camada de
lixo é compactada e entre as camadas de lixo compactadas são colocados 15 cm
de terra.
Algumas informações importantes sobre a coleta de lixo na cidade são:
1. a quantidade diária de lixo coletado na cidade é de 42.014 kg, o que
corresponde a 60,02 m3. (700 kg de lixo corresponde a 1m3);
2. A coleta de lixo é realizada durante 312 dias do ano;
3. Apenas 14% do lixo coletado diariamente é depositado no aterro
sanitário uma vez que o restante é lixo reciclável ou orgânico e,
portanto, tem outra destinação.
Algumas informações importantes sobre a população da cidade de
Arapongas, obtidas junto ao IBGE e à Secretaria do Meio Ambiente da cidade são:
1. A população urbana no ano de 2000 era de 81.790 habitantes.
2. A taxa de crescimento populacional, segundo o senso de 2000, é de
3,49% ao ano.
O problema que estamos interessados em estudar é: por quanto
tempo o aterro sanitário de Arapongas suportará abrigar o lixo produzido
pela população?
Levando em consideração estas informações, determinamos que:
 a quantidade de lixo anual produzida por habitante é de
aproximadamente 0,032m3. De fato:60.02x312=18726.24m3 por ano.
Apenas 14% deste lixo ou seja 2621,67m3 vai para o aterro por ano.
Em 2000 havia 81790 habitantes, logo a quantidade de lixo por
2621,67
≈ 0,032m 3 .
habitante era
81790
66
 a quantidade máxima de lixo suportada pelo aterro é de 147241m3
(volume do aterro descontado o volume das camadas de terra ).
Definimos as seguintes variáveis para o problema:
t – tempo (em anos);
P(t)- população da cidade no ano t;
V(t)- volume de lixo acumulado no aterro no ano t.
Vamos supor que o crescimento populacional de 3,49% ao ano se
mantém constante.
Fazendo o estudo considerando-se 2000 como o ano inicial temos:
Para t = 0 temos P(0) = 81.790.
Assim, como a população cresce 3,49% ao ano, resulta:
P(1) = P(0) + 0,0349 P(0)
= P(0) . (1 + 0,0349);
P(2) = P(1)+ 0,0349 P(1) = P(1).(1 + 0,0349)
= P(0). (1 + 0,0349) (1 + 0,0349)
= P(0) (1 + 0,0349)2.
Isto nos induz à expressão ou lei geral:
(1)
P(t) = (1 + 0,0349)t .
Figura: Gráfico da função que descreve o crescimento populacional
De modo similar, passamos agora ao cálculo do volume de lixo
acumulado no aterro o qual depende do crescimento da população expresso na
equação (1). Lembrando que o lixo produzido anualmente por habitante é de
0,032m3 e, que 2000 é o ano inicial, obtemos:
V(1) = 2617;
V(2) = V(1) + 0,032P(1) = 2617 + 0,032[P(0)(1,0349)]
= 2167 + 2167(1,0349 ) = 2167( 1+ 1,0349 )
...
V(t) = 2167(1 + 1,0349 + (1,0349)2 + ... + (1,0349) t − 1) .
(2)
Denotando-se
S t = 1+ 1,0349 + (1,0349)2 + ... + (1,0349) t − 1 ,
Observamos que se trata de uma progressão geométrica de razão
q=1,0349 e primeiro termo a1=1.
67
Portanto:
St =
1 − ( 1,0349) t
1 − 1,0349
Desse modo a expressão (2) pode ser escrita como:

1− (0,0349) t 
V(t) = 2167 
ou V (t ) = − 62091,7. (1 − (1,0349) t ) ,
 1− 1,0349 

(3)

a qual descreve o volume de lixo acumulado no aterro no ano t.
Gráfico da função
V (t ) = − 62091,7. (1 − (1,0349) t )
Uma vez que o volume máximo suportado pelo aterro está em torno de
147241m3 de lixo, pois precisamos descontar as camadas de terra do volume total,
temos:
147241 = − 62091,7. ( 1 − ( 1,0349 )t ) = ( 1,0349 )t = 3,3713 ,
ou seja t =
ln 3,3713
ln 1,0349
= 35,4
anos.
Obtemos então que t=35,4 anos o que corresponde a dizer que o aterro
da cidade suporta o lixo acumulado durante aproximadamente 35 anos e 5 meses.
68
CAPÍTULO 3
LIMITES
Após termos iniciado o estudo do cálculo com os conceitos de produto
cartesiano, plano cartesiano, retas e alguns tipos de funções, vamos nos preparar
para o estudo de limites de funções, um conceito de bastante relevância em tudo
que se segue. Nosso objetivo aqui é o de apresentar este tema de forma intuitiva e
não por meio de uma definição formal.
Quando estudamos o limite L de uma dada função f(x), estamos
interessados no comportamento de f(x) quando os valores da variável x se
aproximam de determinado ponto x0. Pode ocorrer que tal valor limite L em uma
dada situação se torne arbitrariamente grande ( L → ± ∞ ) ou a variável x se torne
suficientemente grande ( x → ± ∞ ).
Esse conceito de “próximo de” ou “próximo a” é muito relativo, como por
exemplo:
•
•
•
Um cientista pode considerar o resultado de uma mensuração
próximo de um valor exato L quando estiver a 10-6 cm de L;
Um astrônomo às vezes mede a proximidade em anos-luz;
Um corredor profissional pode estar próximo da meta quando estiver
a 50 m da reta final.
1 LIMITES
Com o estudo dos limites obteremos uma ferramenta poderosa para a
definição de conceitos tais como taxa instantânea: de crescimento, de degradação,
de reação, de difusão, etc.
Veja o seguinte problema:
Um indivíduo apresenta-se com febre alta e, como receita médica, é
indicado o uso de um antipirético, que deve, em torno de uma hora, provocar queda
de temperatura e seu retorno a valores reais (por volta de 36,5 ºC). A temperatura
estava a 40 ºC e a curva que descreve o efeito do antipirético, para este caso, é:
f ( t ) = 40 −
95 16 2 11 3
t+
t −
t ,
12
3
12
onde t é o tempo em horas, contados a partir da tomada do antipirético, e f(t) é a
temperatura em graus Celsius no decurso das próximas 3,5 horas. Analise o
comportamento desta função em torno de t =1 hora.
69
Solução: Utilizando uma calculadora obtemos a seguinte tabela:
t
0,95
0,96
0,97
0,98
0.99
......
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
f(t)
36,507
36,504
36,502
36,501
36,500
36,500
36,501
36,502
36,504
36,506
Podemos observar que à medida que nos aproximamos de t=1, a
temperatura tende para 36,5 ºC. Realmente, com o auxílio dos dados, podemos
comparar os valores que a função f(t) asume com o valor de f(1)=36,5. Temos que
a idéia intuitiva do conceito de limite de uma função consiste, neste caso, em tornar
a variação ∆ f = f ( t ) − f ( 1) arbitrariamente pequena ( ∆ f → 0 ) quando ∆ t = t − 1 se
tornar suficientemente pequeno, quer dizer, ∆ t → 0 . Isto significa que estamos nos
aproximando o máximo possível de um dado ponto sem que necessariamente o
alcancemos.
lim f ( t ) = 36,5
A notação matemática é:
t→ 1
Lê-se: o limite de f(t), quando t tende a ou se aproxima de 1 é 36,5.
É importante observar que: quando o valor de t se aproxima de 1 -,
inferiormente, ou quando o valor de t se aproxima de 1 +, superiormente, o valor
para o qual a função f(t) se aproxima de 1 é o mesmo: 36,5ºC. Nestes casos, temos
para cada aproximação a notação:
lim− f ( t ) = 36,5 : limite lateral à esquerda.
t→ 1
lim+ f ( t ) = 36,5 : limite lateral à direita
t→ 1
O fato destes limites laterais serem iguais é que nos faz concluir que
lim f ( t ) = 36,5 .
t→ 1
f ( x ) = L se, e somente se, os números reais
DEFINIÇÃO: Dizemos que xlim
→ a
f(x) para os vários valores de x, permanecem arbitrariamente próximos do
número real L, sempre que x estiver suficientemente próximo do valor a.
70
Para melhor entendermos esse fato analisaremos os gráficos a seguir:
Na figura à esquerda, os valores de y se aproximam de L, quando os
f ( x ) = L . Na figura à direita os
valores de x se aproximam de a. Neste caso xlim
→ a
valores de y se aproximam de K, quando os valores de x se aproximam de a pela
direita; e os valores de y se aproximam de L quando os valores de x se aproximam
lim f ( x ) não existe.
de a pela esquerda. Como L ≠ K , x→
a
Exemplo 1: Um gás é mantido a temperatura constante no pistão (ver figura
abaixo). À medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atinja
certa pressão crítica. Ultrapassada essa pressão, o gás assume a forma líquida.
Use o gráfico da figura para obter e interpretar o seguinte:
a)
lim V
P → 100 −
b)
lim V
P → 100 +
c)
lim V
P → 100
Solução: a) Segundo o gráfico, quando a pressão P é baixa, a substância é um
gás e o volume V é grande. Se P aproxima-se de 100 por valores inferiores a 100,
V decresce e se aproxima de 0,8, isto é:
lim V
= 0,8.
O limite lateral 0,8 representa o volume no qual a substância começa a
se transformar de gás em líquido.
b) Se P>100, a substância é um líquido. Se P → 100 + o volume aumenta,
muito lentamente (pois os líquidos são quase sempre incompressíveis)
P → 100 −
lim V
P → 100 +
= 0,3.
O limite 0,3 representa o volume no qual a substância começa a se
71
transformar de líquido em gás.
V não existe, pois os limites laterais são diferentes. Em P=100
c) P →lim
100
as formas gasosa e líquida coexistem em equilíbrio, e a substância não
pode ser classificada, seja como gás ou como líquido.
Exercícios:
( 2x − 3) completando a seguinte tabela:
1) Encontre lim
x→ 4
x
4,4 4,2 4,1 4,01 4,001
2x-3 5,8 5,4 5,2 5,02 5,002
x
3,6 3,8 3,9 3,99 3,999
2x-3 4,2 4,6 4,8 4,98 4,998
lim( 2x − 3) =
x→ 4
2) Esboce o gráfico de f(x)=2x-3, utilizando a tabela do exercício 1.
1
completando a tabela a seguir:
x→ 2 x − 2
3) Encontre lim
x
2,5 2,2 2,1 2,05 2,01 2,001 2,0001
1/(x-2) 2
5
10 20
100 1000 10000
x
1,5 1,7
1,9 1,95 1,99 1,999 1,999
1/(x-2) -2 -3,33 -10 -20 -100 -1000 -10000
4)
Esboce o gráfico de f ( x ) =
1
utilizando a tabela do exercício anterior.
x− 2
5) Um paciente recebe uma injeção de 150mg de uma droga a cada 4 horas. O
gráfico mostra a quantidade f(t) da droga na corrente sangüínea após t horas.
Encontre
lim f(t)
lim f(t)
e
+
−
t → 12
t → 12
e explique o significado desses limites laterais.
Assim, podemos utilizar tabelas para determinarmos limites de funções,
mas teremos de dispor de certo tempo e paciência para a obtenção desses limites.
Entretanto, existem algumas propriedades (teoremas) que facilitam o cálculo dos
limites. São elas:
72
f ( x ) e lim g( x ) existem, então:
Se lim
x→ a
x→ a
c= c
1. Se f(x) = c para todo x, então xlim
;
→ a
lim [ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x )
2.
x→ a
3.
x→ a
x→ a
x→ a
lim [ f ( x ).g ( x )] = lim f ( x ). lim g ( x )
x→ a
x→ a
;
;
lim f ( x )
 f( x) 
x
→ a
lim 
, lim g( x ) ≠ 0 ;
 =
lim g ( x ) x → a
x → a g( x ) 
4.
x→ a
lim [ cf ( x )] = c lim f ( x )
5.
x→ a
x→ a
;
lim [f ( x )] n = [ lim f ( x )]n .
6.
x→ a
x→ a
Observação: Se f(x) é uma função polinomial e a é um número real, então
lim f ( x ) = f (a ) .
x→ a
A seguir apresentamos algumas técnicas que facilitam a obtenção do
limite de funções:
1. Substituição: O numerador se aproxima de um número real e o
denominador tende a um número real não-nulo.
Exemplo: xlim
→ 3
3x
2
x − 4
=
9
5
2. Fatoração: O numerador e o denominador tendem a
zero.
Exemplo:
lim
x2 − 9
x→ 3 x − 3
= lim
x→ 3
( x − 3 )( x + 3 )
( x − 3)
= lim ( x + 3 ) = 3 + 3 = 6
x→ 3
Exercícios: Calcule os limites a seguir:
( x + 4) = 7
a) lim
x→ 3
lim (16 + x − x 3 ) =
x→ 4
-44
[( x + 5)(3x − 4)] = 110
c) lim
x→ 5
e)
x2 − 9
=
-6
−3 x+ 3
lim
x→
b)
3x 2 − 4 x − 4
= 8
x→ 2
x− 2
3
x+ 3= 1
g) xlim
→ −2
1
= 1/3
x→ 3 x
d) lim
f)
lim
h)
73
lim
x→ 1
x3 − x2 + x − 1
x2 − 1
=
1
3
= 3/e3
x→ 3 e x
i) lim
lim ln w = 0
w→ 1
l) xlim
→ 5
x− 5
2
x − 25
=
10
j)
m) lim
t3 − 1
t→ 1 t 2
−1
=
3/2
74
Exemplo 2: Seja c a velocidade da luz (aproximadamente 3,0x108 m/s ou 300.000
Km/s). Pela Teoria da Relatividade de Eisntein, a fórmula de
v2
contração de Lorentz L = L 0 1 − 2 especifica a relação entre: 1) o
c
comprimento L de um objeto que se move a uma velocidade v com
respeito a um observador e 2) seu comprimento L0 em repouso. A
fórmula implica que o comprimento do objeto medido pelo
observador é menor quando o objeto está em movimento do que
L . Porque se
quando está em repouso. Determine e interprete o vlim
→ c−
analisa apenas o limite lateral esquerdo?
Solução:
lim− L = lim− L 0 1 −
v→ c
v→ c

v2
v2
v2 

 = L0 0 = 0
=
L
lim
1
−
=
L
lim
1
−
0
0
v→ c −
v→ c − 
c2
c2
c 2 

Assim, se a velocidade de um objeto pudesse aproximar-se da
velocidade da luz, seu comprimento, medido por um observador em repouso,
tenderia a zero. Este resultado é por vezes utilizado para ilustrar a teoria de que a
velocidade da luz é a velocidade limite do universo; ou seja, nenhum objeto pode
adquirir uma velocidade que seja igual ou superior a velocidade da luz c.
Faz-se necessário considerar o limite lateral esquerdo porque se v>c,
v2
então 1 − 2 não é um número real.
c
2 LIMITE INFINITO E LIMITE NO INFINITO
Antes de estudarmos esses tipos de limites, vamos analisar os seguintes
exemplos:
Exemplo 3: Lei de Boyle- O ar atmosférico é composto de diversos gases e, dentre
eles, dois participam ativamente na respiração – o oxigênio e o gás carbônico. Eles
estão misturados no ar, na água, no sangue e nos próprios tecidos do corpo. No
que se refere à pressão por ele suportada, tanto faz um gás estar na atmosfera,
como no interior do corpo de um animal, pois seu comportamento é o mesmo.
Considere certa quantidade de gás sob temperatura constante,
exercendo pressão igual a P1 quando ocupa um volume V1; mantida a temperatura,
se sua pressão passar a P2, seu volume será V2. A lei de Boyle estabelece
precisamente este fato, expressa do seguinte modo:
P1 V1 = P2 V2 = k ,
onde k é uma constante positiva. Uma vez que P1 e P2 foram considerados
quaisquer, segue-se que essa lei pode ser expressa sob a forma
PV = k .
75
Visto que o volume V é positivo, podemos obter a pressão como função
do volume, isto é
k
P=
V
O gráfico da função f(V)=P pode ser visto ao lado.
Observe que o domínio de f é o conjunto das
abscissas V>0 e que as variáveis são
inversamente proporcionais, isto é, quanto maior o
volume, menor a pressão.
Exemplo 4: Seja S uma fonte de radiação, tal como ondas eletromagnéticas, ondas
sonoras ou radiação nuclear. Admitamos, para simplificar, que S ocupe um espaço
diminuto (um “ponto”) e emita sua energia
uniformemente em todas as direções no espaço
tridimensional. Seja E a energia transmitida pela fonte,
por segundo. Pergunta-se: Qual a intensidade I de
radiação, recebida a uma distância r da fonte S? A
intensidade é definida como sendo a energia recebida
por segundo e por unidade de área. Pontos de igual intensidade estão na superfície
de uma esfera de centro S. Portanto, I é a energia que atravessa a superfície por
segundo, dividida pela área da superfície:
E
I=
.
4π r 2
Quanto maior for r, menor será a
intensidade I. Isto é, I é inversamente proporcional
ao quadrado de r. A duplicação de r reduz I a um
quarto do seu valor original. Com a distância
tendendo para infinito, temos
lim I = 0
.
r→ ∞
Assim, quando r tender para o infinito a intensidade tenderá a zero, ou
ainda, quanto maior o raio, menor a intensidade de radiação.
Exemplo 5: Uma dose de 4 mg de um medicamento é ministrada a um paciente. A
concentração da droga na corrente sangüínea do paciente, após t horas, pode ser
4
calculada por K ( t ) =
.
1 + t3
a) Qual será a concentração da droga ao fim de 1 hora? E após duas
horas?
b) Esboce o gráfico desta função e examine a correspondência entre a
concentração do medicamento e o tempo decorrido após sua
aplicação.
Solução:
a)K(1) = 2 mg e K(2) = 4/9 = 0,45 mg
b)Quanto maior o tempo decorrido, menor a concentração da droga no
sangue.
76
c)
Esses exemplos são introdutórios, e ilustram o conceito de limite no
infinito. As funções aqui tratadas são denominadas funções racionais, pois são
quocientes entre funções polinomiais. Analisaremos agora, o comportamento
destas funções.
Iniciaremos nosso estudo com o exemplo mais simples deste tipo de
função, qual seja f ( x ) =
1
. Esta função, cujo gráfico é uma hipérbole, possui
x
propriedades diferenciadas das funções polinomiais. Observe que em seu domínio
não consta o valor 0 (zero). Da mesma forma, o 0 (zero) não pertence à sua
imagem, como mostramos abaixo:
D( f ) = { x ∈ R ; x ≠ 0}
Im( f ) = { f ( x ) ∈ R ; f ( x ) ≠ 0}
Observe que na
figura quando x assume
valores próximos de zero
(valores à direita), a função
cresce indefinidamente. Esta
frase
pode
ser
matematicamente descrita da
seguinte maneira:
lim f ( x ) = + ∞ .
x → 0+
Lê-se: o limite de f(x) quando x se aproxima de zero, por valores à
direita, é infinito. Observe é que x nunca assume o valor zero! Outro fato é que ∞
não é um número, é apenas um símbolo usado para representar uma grandeza
que cresce indefinidamente, ou sem limitações.
Da mesma forma, quando a variável x assume valores próximos de zero,
por valores à esquerda, a função decresce indefinidamente, ou seja, tende a − ∞
. Esta frase pode ser matematicamente descrita da seguinte maneira:
lim f ( x ) = − ∞
.
−
x → 0
Observe que para x→0, pela direita ou pela esquerda, a distância entre o
eixo y e os pontos da curva se aproxima ou tende a zero. Neste caso o eixo y é
denominado assíntota vertical.
Por outro lado, quando a variável x assume valores positivos muito
77
grandes (x→+∞), a função f(x) assume valores positivos muito próximos de zero.
Desta forma podemos escrever que
lim f ( x ) = + 0
.
x → +∞
O fato de utilizarmos o sinal + antes do algarismo zero é apenas para
indicar que o valor da função assume valores positivos tais como: +0,01, +0,0001,
+0,000001, etc.
Quando a variável x assume valores negativos muito grandes (x→-∞), a
função f(x) assume valores negativos muito próximos de zero. Desta forma
podemos escrever que
lim f ( x ) = − 0
.
x → −∞
O fato de utilizarmos o sinal - antes do algarismo zero é apenas para
indicar que o valor da função assume valores tais como: -0,01, -0,0001, -0,000001,
etc.
Observe que para x → ± ∞ a distância entre o eixo x e os pontos da curva
se aproxima ou tende a zero. Neste caso o eixo x é denominado assíntota
horizontal.
As assíntotas assumem um papel importante para as funções cujos
gráficos se assemelhem às hipérboles ou a um de seus ramos.
1
A função y =
tem gráfico análogo
x+ 1
1
ao da função f ( x ) =
porém deslocado uma
x
unidade à esquerda. Note que a mesma não está
definida para o valor de x=-1. Neste caso,
1
1
lim+
= + ∞ e lim−
= − ∞ , isto é, a assíntota
x→ − 1 x + 1
x→ − 1 x + 1
1
= 0 e
vertical é a reta x=-1. Analogamente, lim
x→ ∞ x + 1
1
lim
= 0 , isto é, a assíntota horizontal é a reta y=0.
x→ − ∞ x + 1
De uma maneira geral, para as funções f ( x + h ) teremos os seus
gráficos deslocados h unidades para a esquerda, quando h for positivo ( fig b) ou h
unidades para a direita, quando h for negativo ( fig c).
Fig a) f ( x ) =
1
x
Fig b) f ( x ) =
1
x+ h
, h>0
Fig c) f ( x ) =
1
x+ h
, h<0
78
A função y =
1
1
+ 1 , tem gráfico análogo ao da função f ( x ) = , porém
x
x
deslocado uma unidade para cima. Neste caso,
1
1
lim + 1 = 1 e lim + 1 = 1 , isto é, a assíntota
x→ ∞ x
x→ − ∞ x
1
horizontal é a reta y=1. Analogamente lim+ + 1 = + ∞
x→ − 0 x
1
e lim− + 1 = − ∞ , isto é, a assíntota vertical é a reta
x→ − 0 x
x=0.
De uma maneira geral, para as funções
f ( x ) + k teremos os seus gráficos deslocados k
unidades para cima, quando k for positivo (Fig e) ou k unidades para baixo, quando
k for negativo (Fig f).
Fig d) f ( x ) =
1
x
Fig e) f ( x ) =
1
+ h,
x
h>o
Fig f) f ( x ) =
1
+ h,
x
h<0
Exercício: Analise também o comportamento das funções logaritmo e exponencial.
A seguir apresentamos outras técnicas que facilitam a obtenção de
outros limites:
1) O numerador se aproxima de um número real não-nulo e o denominador tende a
zero. Método de solução: como o denominador se aproxima de zero, a fração
cresce ou decresce sem limitações e a resposta poderá ser + ∞ ou − ∞ ,conforme
o caso.
Exemplos:
a) xlim
→ 3−
x
3
= = ∞ , não existe
2
( x − 3)
0
4
4
4
4
b) lim − x − 4 = − 0 = − ∞ , não existe
x→ 4
c) lim + x − 4 = + 0 = + ∞ , não existe
x→ 4
79
2) O numerador tende a um número real e o denominador se aproxima de + ∞ ou
− ∞ . Método de solução: a solução é sempre zero.
lim
Exemplo:
x→ ∞
3
3
=
= 0.
x − 4 ∞
2
3) O numerador e o denominador tendem a + ∞ ou − ∞ . Método de solução:
divida o numerador e o denominador pela maior potência da variável.
Exemplo: lim
x→ ∞
3x 2 − 5
3 − 5 / x2
3
=
lim
=
2
2
x
→
∞
5x + 3x − 1
5 − 3 / x − 1/ x
5
Exercícios: Calcule os limites abaixo:
x+ 4
=
a) lim+
x→ 3 x − 3
c) vlim
→ ∞
17
3
v + 11
b) xlim
→ 1+
7
1− x 2
=
=
d) lim
x→ ∞
x+ 9
=
x2 + 9
4x − 2x + 5
=
3x 3 + 6x 2 − 1
3
e) lim
x→ ∞
Como vimos neste capítulo no exemplo 3, para a função P=k/V, quanto
maior for o volume menor será a pressão. Neste caso, só utilizamos os valores
positivos no eixo das abscissas. No exemplo 4, quanto maior o raio, menor a
E
= 0 , como nos mostra o gráfico da
intensidade de radiação. Assim, temos lim
r → ∞ 4π r 2
função. Qual o significado deste último limite? E no exemplo 5, quanto maior o
4
= 0, t ≥ 0 .
tempo, menor a concentração da droga no sangue, isto é, lim
t→ ∞ 1 + t 3
Qual o significado deste limite?
Para esses exemplos podemos considerar o caso geral:
lim
x→ ∞
c
c
= 0 e lim = 0 , onde c é uma constante.
x→ − ∞ x
x
Analisaremos agora as seguintes situações: no exemplo 3, se o volume
tender a zero, o que acontece com a pressão? Na prática isto faz sentido? No
exemplo 4, se o raio, tende a zero, o que acontece com a intensidade de radiação?
Na prática isto faz sentido? No exemplo 4, se diminuirmos muito o raio (r→0), , o
que acontece com a intensidade de radiação? Na prática isto faz sentido? E no
exemplo 5, se o tempo tender a zero, o que acontece com a concentração da
droga no sangue?
80
Exemplo 6: Para certos tipos de medicamentos, os profissionais da área da saúde
y
podem usar a regra de Young: C = y + 12 ⋅ D , para estimar a dosagem adequada
para uma criança, de idade y, quando a dosagem adulta D é conhecida.
a) Se C representa a dose da criança em anos e y a sua idade, use a regra de
Young para estimar a dosagem de amoxilina para uma criança de 8 anos se a
dosagem adulta é 250mg.
b) Conforme o esboço do gráfico da função C( y ) =
Dy
y + 12
determine suas assíntotas
e em seguida faça uma análise da situação do problema.
Solução:
a) Para encontrarmos a dose da criança, basta substituirmos os dados na fórmula:
C =
y
⋅D
y + 12
temos C =
8
200
250 ⇒ C =
⇒ C = 100.
8 + 12
20
Portanto, a dose necessária de amoxilina para uma criança de 8 anos é
100mg.
b) Observe de início que C(0)=0 e para y ≠ 0 C(y) pode ser escrito da seguinte
forma:
C( y ) =
D
D
=
12
z
1+
y
, onde z = 1 +
12
z
. Isto nos indica que o gráfico de C(y) é o de
uma hipérbole eqüilátera. Além disso, observe que em z=0, isto é, para y=-12 a
função apresenta um comportamento assintótico, dado por:
lim C( y ) = + ∞
y → − 12−
lim
C( y ) = − ∞
e y → − 12+
O que significa que para valores a esquerda de -12, o gráfico vai
“encostando” pela parte de cima da assíntota e pela direita de –12, o gráfico vai
“encostando” pela parte de baixo da assíntota, mas nunca chega a tocá-la.
Temos também o seguinte comportamento assintótico:
lim C( y ) = 250
y→ − ∞
e
lim C( y ) = 250.
y→ ∞
Isto indica que à medida
que y aumenta, C vai se
proximando lentamente de 250
(sem chegar a 250).
Em resumo, resulta que
a reta C(y)=250 é a assíntota
horizontal ao gráfico e a reta y=-12
é sua assíntota vertical.
As situações assintóticas analisadas nos
mostram que à medida que y aumenta por valores
positivos C(y) vai se aproximando lentamente de 250
mg, dosagem adulta, sem nunca atingir este valor.
Entretanto a outra situação assintótica não possui
significado algum no contexto do problema. Neste caso,
o gráfico de C(y) é esboçado ao lado.
81
Problemas :
1) Suponha que, t horas após uma droga ser injetada num paciente, a
concentração k(t) da droga no corpo seja dada por k ( t ) =
2t
2
t + 4
. Encontre os limites
desta função para t → ∞ e t → 0 + . Com estes valores esboce o gráfico de K(t).
2) Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias é dada pela fórmula
N( t )
.t 2 + 5000 ,
= 80000
2
t + 1000
onde N (t ) é o número de bactérias passados t dias. Encontre
lim
N ( t ).
t → ∞
Solução:
Calculando o limite,
2
+ 5000 =
lim 80000t
2
t→ ∞
t + 1000
80000 + 5000
2
t
lim
1+ 1000
t→ ∞
t2
= 80000.
3) Várias são as doenças associadas ao cigarro: câncer de pulmão, de laringe, de
boca, de pâncreas, de bexiga, de esôfago, além de contribuir em grande parte para
o infarto do coração, bem como para outras doenças vasculares, como o derrame
cerebral. A pessoa que fuma, tem a sua expectativa de vida reduzida, dependendo
do número de cigarros que fuma e da idade em que inicia o vício. A Sociedade
Americana do Câncer divulgou os dados que apresentamos a seguir, considerando
que a pessoa fuma 1 maço por dia.
Idade
60 55 50 45 40 35 30 25
Redução 2,9 3,5 4,0 4,6 5,0 5,2 5,4 5,5
A equação obtida, utilizando o software curvexpert, é y = a( b − e ct ) , onde
a=3,3757125, b=1,7439094, c=-0,3190436 e y representa redução de expectativa
a( b − e ct ) ? Utilize este resultado para
de vida, em anos. Qual será o valor do t lim
→ ∞
esboçar o gráfico da função.
Solução:

1
lim a( b − e − ct ) = lim  ab − a
t → ∞
et
t→∞

 = ab ≅ 6


82
3 FUNÇÕES CONTÍNUAS
Introduziremos o conceito de continuidade de uma função através dos
seguintes casos:
Caso1: Seja N o número de cães em um canil
comercial e t o tempo em meses cujos dados estão
representados ao lado:
Observe que quando houve um aumento do
número de cães, através de nascimentos ou novas
aquisições, o gráfico apresenta um salto. A redução
do número de cães é representada no gráfico por
uma queda. Nestes pontos, os limites da função não existem.
Caso2:
Um
pesquisa
médica
M(t) de um tumor
t
ao
qual
um
radiação durante o
t 2 − 5t + 6
,
M(t ) =
t− 3
e t em segundos.
ao lado:
Neste
definida no ponto t=3
experimento
para
uma
estabeleceu que a massa
como uma função do tempo
paciente
é exposto
à
tratamento é dada por:
onde M(t) é expresso em mg
Seu gráfico pode ser visto
caso a função não está
Em ambos os casos houve uma interrupção no traçado do gráfico, ou
como comumente dizemos, há uma descontinuidade das funções nos casos
apresentados. Assim, entendemos que para que uma função seja contínua é
preciso que seu gráfico possa ser traçado de uma única vez, sem que seja
necessário levantar o “lápis do papel”. Esta é uma idéia intuitiva de continuidade de
uma função, mas ela pode ser formalizada através das seguintes definições:
Função contínua num ponto – Seja f uma função definida num certo intervalo que
contém o ponto x=x1. Então diz-se que f é contínua no ponto x=x1 e, se somente
se,
lim f ( x ) = L
x → x1
existir e L = f ( x1 ) .
Função contínua num intervalo – Se f for contínua em todos os pontos de um
intervalo, então, diz-se que f é contínua neste intervalo.
Observe que a diferença entre as definições dadas consiste em uma ser
83
local (num ponto) e a outra global (num intervalo). Além disso, a definição de
continuidade num ponto está afirmando que as três condições seguintes devem ser
satisfeitas:
a) f está definida em x1,
b) lim f ( x ) existe e
x→ x1
f (x) = f (x 1 )
c) xlim
→ x1
Se qualquer uma destas três condições não for satisfeita, então a função
f é descontínua no ponto x=x1.
f ( x 1 + ∆ x ) = f ( x1 ) . Para
f ( x ) = f ( x 1 ) é equivalente a ∆ lim
A afirmação xlim
x→ 0
→ x1
isto, basta considerar x = x1 + ∆ x e teremos que x → x1 se, e somente se
x1 + ∆ x → x1 , ou seja, ∆ x → 0 .
Problema: Considerando a função M(t) dada no caso 2 a qual não está definida
para t=3, pergunta-se: Qual deve ser o valor a ela atribuída de maneira que M(t)
seja contínua?
t 2 − 5t + 6
( t − 3)( t − 2)
Solução: lim
= lim
= lim( t − 2) = 3 − 2 = 1 . Assim M(3)=1.
t→ 3
t
→
3
t→ 3
t− 3
t− 3
Isto posto, podemos redefinir M(t) do seguinte modo:
Exercícios:
1) Para fixar, calcule os limites a seguir:
a
b
c
d
e
f
g
h
lim ( x 2 +3x+5)
x→ 2
lim
x→ − 2
x 4 − 4x + 1
3
2
lim x − x + x − 1
x→ 1
x2 − 1
lim (3x-1)
x → 1+
lim (3x-1)
x → 1−
3
2
lim x − x + x − 1
x→ 0
x4 + 1
2
lim 4 x − 4 x − 3
x→ − 1
2
2x + 1
2
lim x − 7 x + 10
x→ 2
x 6 − 64
Resp: 15
Resp: 5
Resp: 1
Resp: 2
Resp: 2
Resp: -1
Resp: -4
Resp: -1/64
84
2
lim 3 x − 2 x + 7
x→ ∞
5x 2 − 8
6
j t lim
→ +∞ t+1
6
k t lim
→ −∞ t+1
2
x− 5
l xlim
→ +∞
x+ 8
2c 3 − 3c + 5
m clim
→ −∞
4c 5 − 2
i
n
o
p
lim+
x
x− 3
lim
x
x− 3
x→ 3
x→ 3
−
Resp:
Resp: 0
Resp: 0
Resp: 2
Resp: 0
Resp: + ∞
Resp: - ∞
2
lim 4 − (2 + h)
h→ 0
1 − (1 − h) 2
2) Para a função
3
5
Resp: -2
 − 1, x < 3


f ( x) =  1, x = 3

 3, x > 3

a) Esboce o gráfico do f(x);
c) Encontre xlim
f(x);
→ 3+
b) Encontre xlim
f(x);
→ 3−
d)
3) Dada a função f(x)=
2
x − x+ 6
, analise
x 2 + 5x + 6
4) Considere a função f representada por:
f(x)=
a) Esboce o gráfico de f(x)
b) Encontre xlim
f(x)
→ 2+
lim
x→ 3
f(x) existe? Justifique.
lim e suas assíntotas.
x→ − 2
85
c) Encontre xlim
f(x)
→ 2−
d) O xlim
f(x) existe? Justifique.
→ 2
e) f(x) é contínua em x=2?
5) Determine todos os números para os quais f é descontínua:
3
a) f ( x ) = 2
Resp: desc p/ x = 2
x + x− 6
e x= −3
x− 1
x + x− 2
x= −2 e x= 1
5
c) f ( x ) = 2
x − 4 x − 12
b) f ( x ) =
Resp: desc. p/
2
Resp: desc. p/ x = − 2 e x = 6
6) Verifique a continuidade de f nos pontos indicados:
a) f ( x ) =
Resp: é contínua.
2x − 5 + 3x
2
b) f ( x ) = 3 x + 7 −
1
− x
Resp: é contínua.
7) Ache todos os valores para os quais f é contínua:
3x − 5
a) f ( x) =
2x 2 − x − 3
Solução: f é contínua para x ≠ − 1 e para x ≠ 3 2 .
x
b) f ( x) = 3
x− 4
Solução: f é contínua para x ≠ 4 .
4x − 7
c) f ( x ) =
( x + 3)( x 2 + 2 x − 8)
Solução: f é contínua para x ≠ -3, x ≠ 2 e x ≠ -4.
d) f ( x) =
x− 1
x2 − 1
Solução: f é contínua para x < − 1 e x > 1 .
8) Determine, se existem, os valores de x ∈ D( f ) , nos quais a função f (x ) não é
contínua.
a)
Solução: Em x = ± 1 a função não é contínua.
86
b) f ( x) =
x− x
x
Solução: f (x) não é contínua em x = 0 , pois não está
definida em x = 0 .
 x 2 − 3x + 4
, x≠ 1

x
f
(
x
)
=
c)

 1,
x= 1

Solução: f (x) não é contínua em x = 1 , pois não
existe lim f ( x) .
x→ 1
 x 2 + 5x + 6 , x ≤ − 3

d) f ( x) = 
− 3< x < −2
 − 1,

Solução: Como lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) , então
x→ − 3−
f não é contínua em x = − 3 .
x→ − 3+
9) Faça o gráfico e analise a continuidade das
seguintes funções:
 ln( x + 1), x ≥ 0

a) f ( x ) = 
x< 0
 − x,

Solução: A função é contínua no seu domínio.
 x
 x , x≠ 0
b) f ( x ) = 

 − 1, x = 0
Solução: A função é descontínua em x = 0 .
87
CAPÍTULO 4
DERIVADA
Introduziremos neste capítulo o conceito de derivada, o qual possui
um lugar de destaque com variadas aplicações nas engenharias, na medicina, na
ciência da computação, na biologia, na física, na química, etc, enfim, em quase
todos os ramos do conhecimento.
Quando analisamos uma função expressa na forma algébrica e
que descreve um fenômeno num determinado intervalo, é importante
compreendermos ou estudarmos como esta função está variando, o quanto está
crescendo ou decrescendo, ou até mesmo se a função atinge seu valor máximo ou
mínimo. A fim de ilustrar esses conceitos, consideremos o seguinte problema:
Problema: Tem sido determinado que após t horas, um gato que tem recebido
certa droga, mostra uma variação na pressão sanguínea (em mm de mercúrio)
t3 7 2
− t + 10 t + 40, 0 ≤ t ≤ 6. a) Através da função dada é possível
dada por: P( t ) =
3 2
saber se houve aumento ou diminuição de pressão? Se houve, em que momento
ocorreu? b) As pressões máxima e mínima ocorreram em que tempo t, e quais
são os seus valores?
Para respondermos estas questões, vamos iniciar nosso estudo
analisando o crescimento ou decrescimento de uma função através das seguintes
definições:
Função Crescente
Uma função f
intervalo I se,
quaisquer x1 e x 2
x1 < x 2 ⇒
é crescente em um
e somente se, para
em I ,
f ( x1 ) < f ( x 2 ) .
Função Decrescente
Uma função f
intervalo I se,
quaisquer x1 e x 2
x1 < x 2
é decrescente em um
e somente se, para
em I ,
⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 ) .
Função Constante
Uma função f é constante em um
intervalo I se, e somente se, para
quaisquer x1 e x 2 em I , temos
f ( x1 ) = f ( x 2 ) .
88
Por outro lado, analisaremos as variações da pressão e
do tempo, e o
∆ P Pf − Pi
=
quociente
, que mede o quanto a pressão variou em um determinado
∆t
tf − ti
intervalo de tempo
, o qual é denominado variação média que como sabemos é
o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (ti,Pi) e (tf,Pf).
t∆
t∆
1. Vimos também que para um determinado intervalo de tempo
∆P
> 0
∆t
t∆
se:
, então dizemos que houve, em média, um aumento da
pressão;
∆P
< 0 , afirmamos que, em média, houve uma diminuição da
2.
∆t
pressão;
∆P
= 0 , dizemos que, na média, não houve variação de pressão,
3.
∆t
pois ∆ P = Pf − Pi = 0 .
Devemos neste ponto tomar cuidado! Quando analisamos a média,
podemos tirar conclusões distorcidas. A seguinte tabela foi obtida atribuindo valores
para t na função P(t):
t
0
1
2
3
4
5
6
P(t) 40,0 46,8 48,7 47,5 45,3 44,2 46,0
Tabela 1
Assim, se considerarmos um intervalo qualquer, por exemplo: ti=1 (o
∆ P 46 − 46,8 − 0,8
=
=
= − 0,16 , o que
tempo inicial), e tf=6 (o tempo final). Teremos
∆t
6− 1
5
nos leva a concluir que: em média, houve uma queda ou decréscimo de 0,16 ml de
mercúrio no intervalo considerado, conforme ilustrado a seguir:
t
1
6
P(t) 46,8 46,0
Vale lembrar que -0,16 é o coeficiente angular da reta que passa pelos
pontos P1(1,46,8) e P2(6, 46). Sendo assim, se quisermos obter valores de P(t) para
t=2, 3, 4 e 5 horas, considerando o decréscimo médio, teremos:
__
P ( t + ∆ t ) = P ( t ) + P ( t )∆ t ,
__
onde P ( t ) é a variação média de P(t). Resulta e então.
89
P(2)= P(1) – 0,16
P(3)= P(1) – 0,16 .2
P(2)= 46,64
P(3)= 46,48
P(4)= P(1) – 0,16
3
P(4)=46,32
.
P(5)= P(1) – 0,16.4
P(5)= 46,16
47
Assim, todos os pontos obtidos através
da variação média pertencem à reta que passa
pelos pontos P1 e P2.
46
45
1
2
3
4
5
6
Mas, como podemos observar no gráfico a seguir, referente à tabela 1, os
valores das variações não são constantes no intervalo de 1 a 6 horas, por os
valores são muito diferentes dos obtidos
pela análise da variação média, haja
vista que a média só utiliza os valores
inicial e final no intervalo considerado.
Além do mais, com os dados no gráfico,
não podemos ainda afirmar de que
maneira a pressão se comporta entre
dois de seus pontos. Seria então
necessário acrescentarmos mais pontos
à tabela para obtermos estas repostas?
Ora, isso implicaria num trabalho
exaustivo que, mesmo assim, não nos conduziria a respostas satisfatórias para o
problema.
Iremos em seguida analisar o comportamento da função P(t) nas
proximidades ou vizinhanças de um ponto (a,P(a)) do seu gráfico.
(c) a função P(t) está
(a) a função P(t) está (b) função P(t) está crescendo decrescendo antes e
após t=a.
crescendo antes e após antes e decrescendo após t=a.
t=a.
90
Assim, (a,P(a)) pode ser um ponto em que a
função mantém o seu comportamento, nos casos (a) e (d),
ou muda o seu comportamento, nos casos (b) e (c).
(d) a função P(t) está
decrescendo antes e
crescendo apos t=a.
O quociente
Observe que quando P(t) for uma função
constante não ocorre crescimento nem decrescimento
numa vizinhança do ponto (a,P(a)). No caso em questão,
isto não ocorre, pois P(t) é um polinômio do 3º grau.
∆P
= a é a inclinação da reta secante ao gráfico de
∆t
t3 7 2
P( t ) =
− t + 10t + 40 . Assim, por exemplo, pelos pontos (1,P(1))=(1;46,833333)
3 2
e (2,P(2))=(2; 48,666666), temos:
∆ P P( 2 ) − P( 1 ) 48 ,666666 − 46 ,833333 1,83333333
a1 =
=
=
≅
> 0.
∆t
2− 1
2− 1
1
Como a inclinação é positiva, a função é crescente no intervalo [1,2],
como era de se esperar! Agora, fixando-se para t=1, faremos a análise do
comportamento da função nas proximidades do mesmo. Para isto tomaremos
pontos cada vez mais próximos de t=1, por exemplo, t=1,5. Assim,
∆ P P( 1,5 ) − P( 1 ) 48 ,25 − 46 ,83333333
a2 =
=
=
= 2 ,83333334 > 0
∆t
1,5 − 1
1,5 − 1
Complete a tabela a seguir com os demais valores indicados para t.
t
∆P
∆t
2
1,5
1,8333333
2,83333334
1,2
1,1
1,01
1,001
1,0001 1,00001
4
No gráfico ao lado, podemos visualizar as
inclinações a1, a2 ... an... Observe que todos os
coeficientes angulares das retas são positivos (an>0)
e medem os crescimentos médios nos intervalos.
E como já vimos, pontos infinitamente próximos
leva-nos à idéia de limite, isto é,
∆P
P (1 + ∆ t ) − P (1) .
a = lim
= lim
∆ t→ 0
∆t
∆ t→ 0
∆t
Neste caso, não mais teremos o coeficiente
angular da reta secante(variação média) e sim o
coeficiente angular da reta tangente à curva, isto é
a variação instantânea da pressão P.
Como sabemos, a função P(t) é contínua em
t=1 como também em todos os demais pontos do
seu domínio, e assim o mesmo procedimento das
secantes pode ser feito tomando-se pontos à
esquerda de t=1. As variações médias também
91
serão positivas, como se verifica facilmente.
Isto implica em afirmarmos que numa vizinhança do ponto considerado a
função está crescendo ilustrando assim o caso (a) tratado anteriormente.
O mesmo procedimento deve ser adotado nos demais pontos do gráfico.
Para se evitar repetições exaustivas do processo, iremos em seguida tratar do caso
geral.
1 A DERIVADA
Dada a função y=f(x), considere o ponto (x,f(x)), que será o ponto de
análise da função e um outro ponto (x+ ∆ x, f(x+ ∆ x)).
Assim, se existe o limite
lim
∆ x→ 0
f( x + ∆ x) − f( x)
= a
∆x
(1)
tal valor é definido como a taxa de variação
instantânea de f no ponto x ou a derivada da
função em x a qual é denotada por f ’(x),
d
dy
f (x) ,
ou ainda Dx f. Se uma função
dx
dx
possui derivada em um ponto, então, dizemos que ela é derivável neste ponto. Ela
diz-se derivável em um intervalo aberto (a,b), se ela for derivável em todos os
pontos deste intervalo. No final deste capítulo, mostraremos que se uma função for
derivável em um ponto então, f será contínua neste ponto.
Voltando ao nosso problema a fim de podermos encontrar a taxa
instantânea, ou a derivada, para outros pontos de P(t) necessitamos saber como
resolver este limite para qualquer tempo t. Para isto os exemplos seguintes nos
auxiliarão neste sentido.
Exemplo1: Seja y=f(x)=c (constante). Calcule f ‘(x) utilizando a equação (1).
c− c
0
= lim
= 0
∆ x→ 0 ∆ x
∆ x→ 0 ∆ x
Solução: f ' ( x ) = lim
Portanto, a derivada da função constante é nula para todo x.
Exemplo2: Seja y=f(x)=x. Calcule f ‘(x).
x+ ∆x− x
∆x
= lim
= 1.
∆ x→ 0
∆ x→ 0 ∆ x
∆x
Portanto, a função possui derivada (taxa instantânea) constante e
positiva, para todo x.
Solução: f ' ( x ) = lim
92
Exemplo3: Seja y=f(x)=x2. Calcule f ‘(x).
Solução:
( x + ∆ x )2 − x 2
∆x
∆ x→ 0
2
x + 2 x∆ x + ( ∆ x )2 − x 2
f ' ( x ) = lim
∆x
∆ x→ 0
f' ( x ) =
f' ( x ) =
lim
lim ( 2 x + ∆ x ) = 2 x .
∆ x→ 0
Portanto, neste caso, a taxa instantânea depende do valor de x.
Exemplo4: Seja y=f(x)=x3. Calcule f ‘(x).
Solução:
(x + ∆ x) 3 − x 3
x 3 + 3x 2 ∆ x + 3x ( ∆ x ) 2 + ( ∆ x ) 3 − x 3
f ' ( x ) = lim
= lim
= lim (3x 2 + 3x∆ x + (∆ x ) 2 ) = 3x 2
∆ x→ 0
∆ x→ 0
∆ x→ 0
∆x
∆x
Portanto, qualquer que seja x, f ’(x)>0, o que
significa taxa instantânea sempre positiva, exceto para
x=0. Assim, a função é sempre crescente para x
diferente de zero.
A análise dos exemplos apresentados nos remete a um resultado geral
para o estudo do comportamento de uma função:
Seja f derivável em um intervalo aberto I:
1. Se f´(x) > 0 em I, então f é crescente
2. Se f´(x) < 0 em I, então
f é decrescente
3. Se f´(x) = 0 em I, então
f é constante
Os
exemplos
anteriores nos permitem ilustrar o resultado apresentado:
1. f(x) = constante em I ⇔ f ' ( x ) = 0 em I;
2. f(x) = x em I ⇒ f ' ( x ) = 1 > 0 em I ⇒ f(x) crescente em I;
3. f(x) = x2 em I ⇒ f ' ( x ) = 2 x e assim f(x) é crescente para x > 0 e
decrescente para x < 0 ;
4. f(x) = x3 em I ⇒ f ' ( x ) = 3 x 2 > 0 em I e assim f(x) é crescente para todo x≠0
em I.
Com os resultados anteriores temos que
d
( x 3 ) = 3x .
dx
d
( x ) = 1,
dx
Generalizando, quando n é um número real:
d
(x n ) = nxn− 1 .
dx
d
( x 2 ) = 2x
dx
e
93
Passemos agora para algumas regras de derivação.
2 TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO
2.1. Derivada do produto de uma constante por uma função
Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por g ( x) = cf ( x)
. Se f ′ (x) existe, então g ′ ( x) = cf ′ ( x) .
Exemplo: f (t ) = 3t 2 ⇒ f ′ (t ) = 3(2t ) = 6t
2.2. Derivada de uma constante
Se c é uma constante e f ( x) = c para todo x real, então f ′ ( x) = 0 .
Exemplo: f ( x) = 3 ⇒ f ′ ( x) = 0
2.3. Derivada da função potência
Seja f ( x ) = x n , onde n é um número real, então f ′ ( x ) = nx n − 1 .
Exemplo: f ( x ) = 3 x − 4 ⇒ f ′ ( x ) = − 12 x − 5
2.4. Derivada de uma soma ou diferença
Seja t um ponto onde f e g são deriváveis. Então, a função [ f ± g ] é
derivável em t é sua derivada é dada por ( f ( t ) ± g ( t ))' = f ′ ( t ) ± g ′ ( t ) .
Exemplo:
d 10
d 10
d 5
(u + u 5 ) =
(u ) +
(u ) = 10u 9 + 5u 4
du
du
du
Para fixar essas regras resolva os exercícios a seguir.
Exercícios:
Calcule a derivadas das funções abaixo:
a) f (r ) = π r 2
b) f ( w) = aw 2 + b
c) f (c) =
1 4 2
c + 6
2
c
Resp: 2π r
Resp: 2aw
Resp: 2c 3 − 12c − 7
94
1 −3
t
2
e) f ( y ) = 6 y 3 + 3 y 2 + 12 y + 6
d) f (t ) = 14 −
Resp:
3 −4
t
2
Resp: 18 y 2 + 6y + 12
f) f (t ) = x 2 − 1
Resp:
2x
3 4 4 3 1 2
t − t + t − 14
4
3
2
g) s =
Resp: 3t 3 − 4t 2 + t
h) y = 3 x 2 + 6
Resp: 6 x
i) y = t 4 − 5t 3 + 2t 2 − 2t
3
Resp:
2
4t − 15t + 4t − 2
1 3
x − x
3
j) y =
Resp:
x2 − 1
l) s = − 10t 10
Resp:
9
− 100t
m) s = 16t 2 − 4t + 9
n) y =
x+
1
1
2 x
−
1
x
Resp:
2 x3
1 4
(v + 2v 2 + 1)
4
x3 1
p) v =
+
3 x3
o) u =
x2 −
Resp: 32t − 4
Resp: v 3 + v
Resp:
3
x4
q) s = 53 t 2
Resp:
10 − 13
t
3
r) y =
4
+ 3 x
x3
− 12 x − 4 +
s) r =
Resp:
3 − 12
x
2
7 − s − s3
s
Resp:
95
−7 − 3
1 − 1
5 3
2 − s
2 −
s
s 2
2
2
2
t) w = 3 u +
2
Resp:
u
−3
3 − 12
u
− u 2
2
Solução do problema inicial: a) Para obtermos os intervalos onde
houve aumento ou diminuição de pressão sanguínea, derivamos a função
P( t ) =
t3 7 2
− t + 10t + 40
3 2
isto é,
P´(t ) = t 2 − 7t + 10 .
Agora, devemos determinar o sinal da derivada. Para isto, calculemos de
início os zeros da função P’(t).
P´(t ) = t 2 − 7t + 10 = 0 ⇔ t=2 e t=5.
Atribuindo valores nos intervalos determinados pelo domínio da função
P’(t) e suas raízes, obtemos a seguinte tabela:
0≤t<2
2<t<5
0<t≤6
P´(t)
+
+
P(t)
crescente
decrescente
crescente
Assim, há aumento da pressão sanguínea para t<2 e t>5, e diminuição
para 2<t<5.
Para as demais questões do problema necessitamos introduzir outros
conceitos.
Problemas:
1) (Psicologia Educacional) Uma escola de línguas determinou que o número de
palavras N(x) gravadas por um aluno após x horas de treinamento é dada por:
N ( x) = 5 + 5 x + x 2 , 0 ≤ x ≤ 6 .
Encontre a taxa de aprendizado após treinamento de:
horas e c) 4 horas
Solução:
a) Taxa de variação: N’(x)=5+2x. Assim N’(1)=7palavras/hora.
b) N’(2)=9 palavras/ hora.
c) N’(4)= 13 palavras/ hora.
a) 1 hora,
b) 2
96
2) (Medicina) Uma colônia de bactérias começa com uma população de 10.000
indivíduos. Passadas t horas, a população é de: P (t ) = 10.000(1 + 0,4t 1,5 + 0,2t 2 ) .
a) Encontre a taxa de variação P em função do tempo.
Solução: Temos
P ' (t ) = 10.000(0.6t 0,5 + 0,4t ) ,
P ' (t ) = 4.000t + 6.000 t .
b) Quantas bactérias existirão após 16 horas?
Solução:
P ( 16 ) = 10.000( 1 + 0,4( 16 )1,5 + 0,2( 16 )2 )
P ( 16 ) = 10.000( 1 + 25,6 + 51,2 )
P ( 16 ) = 778000 bactérias.
2.5. Derivada do Produto
Sejam f e g funções e h a função definida por h( x) = f ( x) g ( x) . Se f ′ (x) e
g ′ (x) existem, então h ′ ( x) = f ′ ( x) g ( x) + f ( x) g ′ ( x) .
Exemplo: h( x ) = ( 2 x 3 − 1)( x 4 + x 2 ) , então
h′ ( x ) = ( 2 x 3 − 1)( 4 x 3 + 2 x ) + ( 6 x 2 )( x 4 + x 2 )
h′ ( x ) = ( 8 x 6 + 4 x 4 − 4 x 3 − 2 x ) + ( 6 x 6 + 6 x 4 )
h′ ( x ) = 14 x 6 + 10 x 4 − 4 x 3 − 2 x .
Exercícios: Calcule a derivada das funções abaixo:
a) s =
2 (t 2 − t )
b) s = (16t 2 − t )(2 +
Resp: 2 2t −
3
t2 )
c) y = ( x + 1)(1 − x 2 )
Resp:
128 5 3 5 2 3
t − t + 64t − 2
3
3
Resp: − 3 x 2 − 2 x + 1
d) y = ( x 2 − 5)(2 − x)
e) v = (2u − 7)(− 15u 4 + 93)
f) v = ( x − 1)( x 2 + x + 1)
g) s = (5t 2 + 2)(4 t + 1)
2
Resp: − 3 x 2 + 4 x + 5
Resp: − 150u 4 + 420u 3 + 186
Resp: 3x 2
Resp: 50t
3
2
+ 4t
−1
2
+ 10t
h) v = (u 2 + 4)(u 2 − 4)
Resp: 4u 3
i) r = (2 s + 1)(3s 2 + 6)
Resp: 18s 2 + 6s + 12
j) r = ( 3s 5 − 1)( 2 − s 4 )
Resp: − 27s 8 + 30s 4 + 4s 3
97
2.6. Derivada de um Quociente
f ( x)
Sejam f e g funções e h a função definida por h( x) =
g ( x ) , onde
g ( x) ≠ 0 . Se f ′ (x) e g ′ (x) existem, então h ′ ( x) =
g ( x) f ′ ( x) − f ( x) g ′ ( x )
[ g ( x )] 2
.
Exercícios:
Use a fórmula de derivação do quociente e calcule as derivadas das
funções:
a) y =
x2 − x − 2
− 2x
b) s =
t+ 3
t− 3
Resp:
d) y =
y′ =
− 6
(t − 3) 2
Resp:
3
( x + 1)(1 − x 2 )
3 + x3
Resp:
x 4 − 2 x 3 − 12 x 2 − 6 x + 3
(3 + x 3 ) 2
e) s =
s′ =
2x 2
Resp:
−1
6v − v + 12
18v 2 − 1
u′ =
(6v 3 − v + 12) 2
c) u =
− x2 − 2
7 − t − t3
− 5t
Resp:
t
5
2
1
− t 2 − 7t
2t
( x + 1)( x + 2)
( x − 1)( x − 2)
− 6 x 2 + 12
y′ =
( x 2 − 3 x + 2) 2
f) y =
−1
2
Resp:
Problema:
(Concentração de Drogas) Suponha que t horas após uma droga ser injetada num
98
paciente, a concentração k(t) da droga no corpo é dada por k ( t ) =
2t
2
(t + 4)
. A que
tempo a concentração da droga está aumentando e diminuindo?
Resolução: Calculando k´(t) segue-se que;
2
2
2
t +8
k´( t ) = 2t 2+ 8 − 42t ⇔ k´( t ) = − 2
2
2 . Desse modo,
(t + 4)
(t + 4)
K´( t ) = − 2t 2 + 8 = 0 ⇔ − 2t 2 = − 8 ⇔ t 2 = 4 ⇔ t = ± 4 ⇔ t = ± 2 .
Estamos interessados em um tempo t maior ou igual a zero. Desprezamos o valor
t=-2, pois o mesmo não tem sentido no contexto.
0≤t<2
t>2
K´(t)
+
-
K(t)
cresc.
decres.
Logo, o tempo em que a concentração da droga será máxima será quando t.= 2h.
3 REGRA DA CADEIA
A regra a seguir é utilizada quando temos funções compostas, tais como:
(x+3) ou x − 1 , etc.. As regras que aprendemos até aqui não nos fornecem uma
solução direta para estes casos.
5
dy
du
Se y = g (u ), u = f ( x ) e as derivadas
e
existem, então a função composta
du
y = g [ f (x )] tem derivada que é dada por:
dy dy du
=
dx du dx
dx
ou y′ (x) = g′ (u)
f ′(x)
.
Exercício: Calcule as derivadas das funções a seguir:
a) f ( x) = 5 x 2 + 3
b) g (t ) =
2t (t 3 + 1)
t2
3
−1
3
c) q (r ) =
Resp:
2r − r 2
x2 + 3
Resp:
t3 + 1
− t 4 (t 3 + 1)
5x
−4
3
Resp:
−r + 1
2r − r 2
99
d) f ( x) = (4 x + 3) 4 ( x + 1) − 3
16( 4 x + 3)
( x + 1)
3
3
3( 4 x + 3)
−
Resp:
4
( x + 1) 4
e) w = ( 4c 3 − c )7 ( 3c 2 + 5c )
1
2
1
Resp: 7( 4c 3 − c ) 6 (12c 2 − 1)(3c 2 + 5c ) 2 +
−1
1
( 4c 3 − c ) 7 (3c 2 + 5c ) 2 (6c + 5)
2
f) v = (5t + 2) 4
20(5t + 2)
g) y =
3
Resp:
3
3 − x2
− 2x
(3 − x 2 )
3
−2
Resp:
3
h) s = (3t 3 − 4t + 1) 3
2
3
(27t − 12)(3t − 4t + 1)
Resp:
2
i) g = (1 − v)(v 2 + 3) 2
− v 4 + 4v 3 − 6v 2 + 12v + 9
j) h( x) =
− 16
( x 3 − 1) 2
k) f ( w) = ( w 2 + w) − 1
l) s =
Resp:
Resp:
96 x 5 − 96 x 2
( x 3 − 1) 4
Resp: ( − 2w − 1)(w 2 + w ) − 2
(t 2 + 2t ) 2
t3 − 3
Resp:
− 3t 6 − 12t 5 − 12t 4 + 4t 3 + 8t 2 + 8t
(t 3 − 3 ) 2
m) f ( x) =
2x + 4
3x − 1
n) f (t ) =
(t − a ) 2
t− b
o) f ( w) =
5w + 7
2w + 2
p) u =
4v 2 + 5
v 3 − 2v − 1
Resp:
Resp
− 14
(3 x − 1) 2
t 2 − 2bt + 2ab − a 2
Resp:
Resp:
(t − b ) 2
−4
(2w + 2) 2
100
− 4v 4 − 23v 2 − 8v + 10
(v 3 − 2v − 1) 2
q) c =
12 s 2 + 3s − 8
3s
r) w =
(u + 2)(3u 2 − 4)
3 − u3
Resp:
36s 2 + 24
9s 2
Resp:
6u 4 − 8u 3 + 3u 2 + 36u − 12
(3 − u 3 ) 2
s) y = (3 x 5 − 7 x 2 − 4)10
Resp:
10(3 x 5 − 7 x 2 − 4) 9 (15 x 4 − 14 x )
t) u = (4t 3 − t ) 7 (3t 2 + 5t )
7( 4t 3 − t ) 6 (12t 2 − 1) 3t 2 + 5t +
u) w =
1
Resp:
2
(6t + 5)(4t 3 − t ) 7
2 3t 2 + 5t
3
(c − 7c + 2) 4
Resp:
2
− 12(2c − 7)
(c 2 − 7c + 2)5
Problemas:
1) (Ecologia) Numa reserva de águias douradas, o tamanho da população destes
animais depende do tamanho da população de roedores, sua fonte primária de
alimentação. Suponha que o número N de águias seja dado por
N = 0,004 x + 0,00008 x 2 , onde x é o número de roedores na reserva. Se o número de
roedores disponível está crescendo à taxa de 200 por ano, com que velocidade a
população de águias cresce quando se tem 500 roedores na reserva?
dN dN dx
=
= ( 0,004 + 0,016 x )200 = 0,8 + 3,2 x
dt
dx dt
dN
p / x = 500 ⇒
= 0,8 + 1600 ≈ 1601 águias / ano.
dt
2) (Medicina) Suponha que o raio de uma úlcera duodenal circular cresce à taxa de
0,002 centímetros por mês. Com que velocidade a área aumenta quando se tem
um raio de 0,12 centímetros?
= 0,002 . Assim dA
= 2.π .r . Devemos
Solução: Temos que A = π .r 2 e dr
dt
dt
encontrar
dA
dt
, quando r0=0,12.
Para isso utilizando a regra da Cadeia, segue-se que:
dA = dA ⋅ dr
dA
dA
dt
dr dt ⇒ dt = 2.π .r .0,002 ⇒ dt = 0,004.π .r .
101
dA
dt
Portanto,
= 0,004 .π .0,12 ⇔
dA
dt
= 4,8.10 − 4 cm
2
mês
.
4 DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
A obtenção da derivada das funções logarítmica e exponencial, tanto na
base e como em uma base qualquer, está na tabela a seguir. O desenvolvimento
para a obtenção das mesmas não é objetivo deste trabalho e podem ser
encontrada nos diversos livros de cálculo.
Função Exponencial
y=ax ⇒ y’=lna.ax
y=au ⇒ y´= lna au.u’
Função Logarítmica
1
y = logax ⇒ y’=
x lna
u'
y = logau ⇒ y’=
u lna
y=ex ⇒ y’=ex
y=eu⇒ y’=euu’
y = ln x ⇒ y’=
1
x
y = ln u ⇒ y’=
u'
u
Exercícios: Calcule a derivada das funções:
2
a) f ( x ) = 2e3 x + 6 x + 7
12e 3 x
2
+ 6x+ 7
b) f ( x ) =
−
Resp:
( x + 1)
1 3− x
e
3
Resp:
1 3− x
e
3
c) f ( x ) = e x
Resp:
e
x
2 x
2
d) f ( x ) = 23 x + 6 x
Resp: 2 3 x
1
e) f ( x ) =  
 2
2
+ 6x
6( x + 1) ln 2
− ln 2 x
Resp: 2
ln 2 x
x
ln 2
102
2
−t
+1
f) f (t ) = e
t
2
Resp:
2
− 2t 2 e − t − e − t − 1
t2
g) f (t ) = e t / 2 (t 2 + 5t )
1
9
et / 2( t 2 + t + 5 )
2
2
et − 1
h) f (t ) =
et + 1
et − 1
Resp:
et
(
)
et + 1 et + 1
2
i) f ( x ) = log 2 (2 x + 4)
Resp:
j) f ( x ) =
2
( 2 x + 4 ) ln 2
1
(bx 2 + c ) − ln x
a
Resp:
2bx 2 − a
ax
l) f (s ) = log 3 s + 1
log 3 e
Resp: 2( s + 1)
m) f ( x ) =
1
ln(7 x 2 − 4)
2
Resp:
7x
7x 2 − 4
1
1
n) f ( x ) = ln + 2
x x



−x− 2
Resp: x( x + 1)
o) f ( x ) = ln
1+ x
1− x
Resp:
2
1− x 2
5 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO IMPLÍCITA
Resp:
103
Se uma função for dada sob a forma y = f (x) , dizemos que a mesma
está na forma explícita. Porém, se a função for dada sob a forma f ( x, y ) = 0 ,
dizemos que está na forma implícita.
Exemplos: a) y = (3 x 2 − 7 x 2 − 4)10 --forma explícita:
b) x 3 + y 3 − 9 xy = 0 -- forma implícita
Observe que no exemplo b não é possível explicitar y em função de x.
Assim, para obtermos a derivada
dy
dx
utilizamos a técnica de derivação
implícita.
Ilustremos esta técnica no exemplo considerado. Devemos então
determinar y´ , onde: x 3 + y 3 − 9 xy = 0 .
1º) Deriva-se a relação dada com respeito a x, utilizando as regras anteriores de
derivação:
3 x 2 + 3y 2
2º) Fatora-se em seguida
dy
dx
dy
dy
− 9y − 9x
= 0;
dx
dx
obtendo o resultado:
dy
( 3y 2 − 9 x ) = 9y − 3 x 2
dx
ou ainda
dy 9 y − 3 x 2
=
dx 3 y 2 − 9 x
Desta forma, conseguimos obter y ' sem termos explicitado a função.
Observe, também, que y ' contém y . Isto não chega a ser um problema, pois
quando estamos utilizando a ferramenta derivada na resolução de algum problema,
queremos o valor da derivada da função em um determinado ponto (x,y). Para
tanto, basta substituir os valores de x e y na derivada da função.
Exercício:
Use a técnica de derivação implícita para determinar y' :
a) 8 x 2 + y 2 = 10
Resp: y´=
− 8x
y
b) x 2 y + xy 2 = 6
Resp: y´=
− 2 xy − y 2
x 2 + 2 xy
c) 2 x + x y + y = 8
3
2
3
− 6 x 2 − 2 xy
Resp: y´=
x2 + 3y2
104
Resp: y´=
d) x 3 − xy + y 3 = 1
e) x + 4 x y − 3xy + 2 x = 0
4
f)
x+
2
2
3
y = 100
g) y 5 − y 3 − x 2 + 3x + 4 = 0
Resp: y ′ =
− 3x 2 + y
− x + 3y 2
− 4 x 3 − 8 xy 2 + 3 y 3 − 2
8 x 2 y − 9 xy 2
Resp: y ′ = −
Resp: y ′ =
y
x
2x − 3
5 y5 − 3y 2
2 xy 3 − y − 3
x − 3x 2 y 2
h) xy − x 2 y 3 + 3 x = 4
Resp: y ′ =
i) x 2 + y 2 = 4
Resp: y ′ = −
2
j) y =
x− 1
x+ 1
l) 2 xy + y 2 = x + y
Resp: y ′ =
Resp: y ′ =
x
y
− y2 + 1
2 y ( x + 1)
1− 2y
2x + 2 y − 1
x(1 − ( x − y ) 2 − x 2 − yx)
− x 3 + yx 2 + y
Até o presente momento temos considerado tão somente as diversas
técnicas de derivadas aplicadas às funções. Uma questão natural seria analisarmos
que relação existe entre os conceitos introduzidos de derivada e continuidade.
Neste sentido, apresentamos nas seções seguintes a conexão entre tais conceitos.
m) x 2 ( x − y ) 2 = x 2 − y 2
Resp: y ′ =
6 DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE
Temos o seguinte resultado: Se a função f é derivável no ponto x=x1,
então f é contínua neste ponto.
Este resultado pode ser facilmente verificado como segue:
Como f (x) é derivável no ponto x=x1 temos que
f ( x1 + ∆ x ) − f ( x1 ) existe.
f ´(x1 ) = lim
∆ x→ 0
∆x
Agora, observe que:
f ( x1 + ∆ x ) − f ( x1 )
f ( x1 + ∆ x ) − f ( x1 ) =
∆ x = f ' ( x1 ) lim ∆ x = 0
∆x
∆ x→ 0
Desse modo, quando ∆ x → 0 e já que f(x) é derivável em x=x 1, temos
105
que, os limites existem, resultando após tomada dos limites em cada um dos
membros:
f ( x1 + ∆ x ) − f ( x1 )
lim [ f ( x1 + ∆ x ) − f ( x1 )] = lim
lim ∆ x
∆x
∆ x→ 0
∆ x→ 0
∆ x→ 0
Assim, lim f ( x1 + ∆ x ) = f ( x1 ) e desse modo f(x) é contínua em x=x1.
∆ x→ 0
Devemos observar que a recíproca do resultado anterior não é
verdadeira; ou seja, o fato de uma função f(x) ser contínua não implica que f(x)
seja derivável. Por exemplo, a função
 x se x ≥ 0

f(x)= x = 
 − x se x < 0

é contínua em todo o seu domínio, que é o conjunto dos números reais, como pode
ser observado em seu gráfico esboçado acima.
No entanto, a função não é derivável em x=0.
f ( x + ∆ x )− f ( x )
Realmente
em x=0 nos dá:
∆x
 + 1, se∆ x ≥ 0
f ( x + ∆ x )− f ( x ) ∆ x 
=
= 
∆x
∆x 
 − 1, se∆ x < 0
Portanto,
f ( ∆ x )− f (0 )
f ( ∆ x )− f (0 )
lim
= 1 ≠ − 1 = lim
.
∆x
∆x
∆ x→ 0+
∆ x→ 0−
Isto nos indica que os limites laterais são distintos e portanto f’(0)
não existe.
7 FUNÇÕES CONTÍNUAS QUE NÃO POSSUEM DERIVADA
Desse modo é possível que uma função f não possua derivada num
ponto x0, mesmo sendo contínua nesse ponto.
Uma situação mais geral que do exemplo tratado está esboçada na fig-a.
Observe que neste exemplo, quando x→x0 o coeficiente angular das retas secantes
possui limites diferentes pela direita e pela esquerda, de modo que a curva
apresenta um vértice quando x=x0.
Uma outra situação na qual f(x) é contínua em um ponto e não derivável
neste ponto está apresentada na fig-b na qual o coeficiente angular das retas
f ( x ) − f ( x 0)
secantes, ou seja
tende a + ∞ ou a − ∞ quando x → x0+ e x → x0− ,
x − x0
respectivamente.
106
Fig-a
Fig-b
Problemas:
1) A concentração de um fármaco no sangue, após sua administração por via intra-
10 t
, onde t é o tempo em
t + 2t + 1
horas. Determinar os intervalos onde a concentração da substância no sangue está
aumentando e onde está diminuindo.
muscular, em uma única dose, é dada por c( t ) =
2
2) O peso fetal varia com o tempo de gestação. Se P= peso fetal e t= tempo, Mc
Dawell e Allen propõem a seguinte equação: P( t ) = a ( t − b) c onde alguns valores
para as constantes a, b e c estão expressos na tabela a seguir. A constante b
representa a fase lag, isto é, o período durante o qual a placenta se fixa.
Espécie
Rato
Porco
Vaca
Macaco rhesus
Homem
a106
1,0
0,9
15
5
7
b
8
19
58
35
41
c
3,0
2,9
2,7
2,4
2,7
a) Esboce a função de P para cada um dos casos e compare
b) Se denotarmos o tempo do nascimento por tn e Pn =Pn(tn), mostre que, para o
2,7 Pn
dP
(t n ) =
homem
.
dt
t n − 41
3) A quantidade de células cancerosas existentes no instante t é dada por
N = 100e 0,1t . Calcule a taxa média da variação de N’ no intervalo de t=0 a t=10.
4) A quantidade de bactérias presentes numa cultura controlada, no instante t
(horas), pode ser calculada pela equação N = 150e t / 3 .
a) Qual a quantidade inicial de bactérias?
b) Qual a quantidade depois de 1 hora?
c) Qual a velocidade de crescimento no instante t=1h?
107
TABELA DE DERIVADAS
Função
Derivada
1.
2.
y= c
y' = 0
y = xn
y' = nx n − 1
3.
y = wn
y = u .v
y' = nwn− 1w'
y' ( x ) = u' v + uv'
u' v − uv'
y' =
v2
4.
5.
y=
u
v
6.
y = ex
y' = e x
7.
y = eu
y' = u' eu
8.
y = ax
y' = a x ln a
9.
10.
y = au
y = ln x
11.
y = ln u
12.
y = log a x
13.
y = log a u
y' = u' a u ln a
1
y' =
x
u'
y' =
u
1
y' =
x ln a
u'
y' =
u ln a
108
CAPÍTULO 5
EXTREMOS
Vamos agora estudar como obter a pressão máxima e a pressão mínima
solicitada no problema inicial do capítulo anterior. Analisaremos com mais
detalhes a forma do gráfico de uma função em um intervalo, determinando os seus
valores máximos e mínimos, chamados extremos da função. A determinação dos
valores extremos de uma função é de suma importância em situações que
envolvem: tempo, temperatura, volume, pressão, poluição do ar, entre outros.
O gráfico a seguir foi obtido através de dados coletados por um
instrumento que mede a variação de uma quantidade física. Por exemplo: o eixo-x
representa o tempo e o eixo-y as mensurações
tais como temperatura, pressão sanguínea de
um indivíduo, quantidade de um produto químico
em uma solução, contagem de bactérias em
uma cultura, etc.
Nota-se que a curva cresce nos
intervalos [a,c], [d,e] e [f,g] e decresce nos
intervalos [c,d], [e,f] e. [g,b]. No intervalo [a,d] a
curva possui um valor máximo em c, assim como
nos intervalos [d,f] e [f,h] com valores máximos
em e e g, respectivamente. Nos intervalos [c,e] e
[e,g] a curva possui valores mínimos em d e f,
respectivamente.
1 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES
Nestes casos descritos, os valores máximos e mínimos por serem
restritos a um subintervalo de [a,b] são denominados extremos relativos ou
locais. No intervalo [a,b], verificamos que a quantidade (eixo-y ) tem seu valor
máximo em g e seu mínimo em a, os quais denominamos máximo absoluto e
mínimo absoluto, respectivamente.
Em nosso estudo estaremos, sempre que possível, utilizando funções
contínuas para representarmos os dados obtidos por fenômenos da natureza.
Sendo assim poderemos utilizar um forte resultado para nosso estudo:
Se uma função f é contínua para todos os pontos de um
intervalo fechado I, então f assume tanto o seu valor máximo M
como o valor mínimo m em I.
109
Os exemplos seguintes para a função y=x2 ilustram o que estamos
considerando:
(-∞,∞)
Somente
absoluto
mínimo
[0,2]
Mínimo e máximo
absoluto
(0,2]
Somente
absoluto
(0,2)
máximo
Não possui extremo
absoluto
Já os extremos locais podem ser obtidos através da seguinte definição:
Seja c um ponto interior do domínio da função f, então, f(c) será:
a) um valor máximo local em c se, e somente se, f(x) ≤ f(c) para
qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.
b) um valor mínimo local em c se, e somente se, f(x) ≥ f(c) para
qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.
2 TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA
O estudo de extremos de funções nos permite analisar o comportamento
das funções em certos pontos do seu domínio, facilitando desse modo a construção
de seus gráficos.
Uma maneira de encontrarmos os extremos de funções consiste em
determinarmos seus pontos críticos, ou seja, pontos x1 onde sua derivada se
anula ou é descontínua (f’(x1)=0 ou f’(x) é descontínua em x1).
Observe, como ilustrado, que num ponto de máximo ou mínimo local de
uma função f(x) e se f(x) for aí derivável, então f’(x)=0.
110
f'(x)=0 em x1 e x2 .
f'(x) é descontínua em x0.
f'(x) é descontínua em x0
Seja f(x) uma função derivável num intervalo aberto I. O teste da derivada
primeira consiste dos seguintes passos:
1. Determine f’(x)
2. Calcule todos os pontos críticos tais que f’(x)=0.
3. Teste cada um dos pontos críticos, o qual poderá ser o ponto onde
ocorre um valor máximo ou mínimo da função. Para isto tome
valores à sua esquerda e depois à sua direita. Se f’ mudar de sinal:
a. de + para -, então a função f tem um máximo local neste
ponto crítico.
b. de – para +, então a função f tem um mínimo local neste
ponto crítico.
Se f’ não mudar de sinal, então nada podemos afirmar sobre os
extremos locais da função nesse ponto.
Máximo local em x=0
Mínimo local em x=0
Não possui
relativo
extremo
Exemplo: Como tossimos. Quando tossimos a traquéia se contrai aumentando a
velocidade do ar que por ela passa. Isso levanta questões sobre quanto a traquéia
deveria se contrair para maximizar a velocidade e se ela realmente se contrai tanto
assim quando tossimos. Considerando algumas hipóteses razoáveis sobre
elasticidade da parede da traquéia e de como a velocidade do ar próximo às
paredes é reduzida pelo atrito, a velocidade média v do fluxo de ar pode ser
modelada pela equação:
111
v = c(r 0 − r )r 2
cm/s,
r0
≤ r ≤ r0 ,
2
onde r0 é o raio, em centímetros, da traquéia em repouso e c é uma constante
positiva cujo valor depende, em parte, do comprimento da traquéia. Mostre que v é
máxima quando r = (2 / 3)r 0 , ou seja, quando a traquéia está cerca de 66%
contraída. (o importante é que imagens obtidas com raios X confirmam que a
traquéia se contrai assim durante a tosse).
Solução: Temos:
dv
= 2cr0 r − 3cr 2 = 0 ⇔ cr ( 2r0 − 3r ) = 0 ⇔ r = 0
dr
ou r =
2
r0 .
3
Analisemos agora se está ocorrendo mudança de sinal de v’(r). Temos a
seguinte tabela:
v’(r)
r <
2
r0
3
2
r > r0
3
+
-
Assim, pelo teste da derivada primeira, em r =
2
r
3 0
ocorre um máximo
local para a função v(r). No entanto, na escala normal, tal máximo não é observado,
razão pela qual efetuamos uma mudança de escala e o mesmo tornou-se visível.
Gráfico em escala normal
Gráfico com zoom próximo à origem
Exercícios: Determinar os intervalos em que a função é crescente ou decrescente;
achar também os valores onde a curva tem tangente horizontal:
a) f ( x) = x 3 + x 2 − 8 x − 1
Solução: f ′ ( x ) = ( x + 2)(3x − 4) . f (x) é crescente para x < − 2 , decrescente para
− 2 < x < 4 e crescente para x > 4 . Quando x = − 2 ou x = 4 , a curva tem
3
3
3
tangente horizontal.
b) f ( x) = 3 x + 4
Solução: f ′ ( x) = 3 . Como f ′ ( x) = 3 > 0 , f é crescente para todo x ∈ R .
c) f ( x) = x 2 − 6 x − 7
Solução: f ′ ( x) = 2 x − 6 = 0 , a função será decrescente para x < 3 e crescente para
x > 3. A função terá tangente horizontal em x = 3 .
d) f ( x) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 15
112
Solução: f ′ ( x) = 3 x 2 − 6 x − 9 , logo a função será crescente para x < − 1 e para
x > 3 , e decrescente para − 1 < x < 3 . A função terá tangente horizontal quando
x = − 1 e x = 3.
x2
e) f ( x) = 2
x +1
2x
= 0 se, e somente se, x = 0 . Logo, a função será
Solução: f ′ ( x ) = 2
( x + 1) 2
crescente para x > 0 e, decrescente para x < 0 . Quando x = 0 , a curva tem
tangente horizontal.
f) f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 1
Solução: f ′ ( x) = 3 x 2 − 6 x = 0 , assim x = 0 ou x = 2 , portanto, a função será
crescente em ( − ∞ ,0] e [ 2, ∞ ) e será decrescente em [ 0,2] .
g) f ( x) = x 3 + 2 x 2 + x + 1
1
, portanto, a função é
3
crescente em ( − ∞ ,− 1] e − 13 , ∞ , e decrescente em − 1,− 13 .
1
h) f ( x) = x +
x
1
Solução: f ′ ( x) = x − 2 , assim x = − 1 ou x = 1 , portanto, a função cresce em
x
( − ∞ ,− 1] e [1, ∞ ) , e decresce em [ − 1,0[ e ]0,1] .
Solução: f ′ ( x) = 3 x 2 + 4 x + 1 , assim x = − 1 ou x = −
[
i) f ( x ) =
)
[
]
3x 2 + 4 x
1+ x2
− 4x 2 + 6x + 4
1
, assim x = 2 ou x = −
, portanto, a função cresce
2 2
(1 + x )
2
em [ − 1 2 ,2] , e decresce em ( − ∞ ,− 1 2] e [ 2, ∞ ) .
Solução: f ′ ( x) =
j) f ( x ) = − x 4 + 4 x 3 − 4 x 2 + 2
Solução: f ′ ( x ) = − x 3 + 3 x 2 − 2 x , assim x = 1 ou x = 2 , portanto, a função cresce em
( − ∞ ,0] e [1,2] , e decresce em [ 0,1] e [ 2, ∞ ) .
3
CONCAVIDADE DE CURVAS
Quando estamos estudando uma função sua derivada é uma ferramenta
útil na análise do seu comportamento. Como a derivada de uma função é também
uma outra função, e se for derivável, ela é denominada derivada segunda ou
derivada de segunda ordem, a qual é denotada por: y ´´ = f ´´ ( x ) =
exemplo:
d 2f (x)
d x2
=
d 2y
d x2
. Por
113
f ( x) = 3 x 2 − 7 x ⇒ f ' ( x) = 6 x − 7 ⇒ f ' ' ( x) = 6
Vimos que o sinal da derivada primeira nos dá informações úteis quanto
à existência de máximos e mínimos locais das funções. Como veremos a seguir, o
sinal da derivada segunda nos dará informações tanto quanto com relação à forma
do seu gráfico como também na caracterização de seus pontos de máximos ou
mínimos. Temos os seguintes conceitos:
Diz-se que uma curva é convexa ou tem concavidade voltada para cima, num
intervalo a<x<b, se, e somente se, a curva estiver sempre acima das retas
tangentes à curva, para todo x do intervalo. A concavidade para cima será
indicada por  .
Diz-se que uma curva é côncava ou tem concavidade voltada para baixo, num
intervalo a<x<b, se, e somente se, a curva estiver sempre abaixo das retas
tangentes à curva, para todo x do intervalo. A concavidade para baixo será
indicada por  .
Fig a) A curva está acima de suas
retas tangentes. À medida que x
cresce, a inclinação da tangente
cresce, ou seja, f' é uma função
crescente.
4
Fig b) A curva está abaixo de suas
retas tangentes. À medida que x
cresce, a inclinação da tangente
decresce, ou seja f' é uma função
decrescente.
TESTE DA DERIVADA SEGUNDA
Seja f(x) uma função que possui derivada de segunda ordem num
intervalo aberto I. O teste da derivada segunda consiste no seguinte:
a)
b)
Se f(x) > 0 para todo x no intervalo I, então f(x) é côncava
para cima em I.
Se f(x) < 0 para todo x no intervalo I, então f(x) é côncava
para baixo em I.
114
Exemplo: No modelo já apresentado sobre o movimento da traquéia, a função
velocidade
está
v' ( r ) = 2cr0 r − 3cr 2
dada
por
v = c(r 0 − r )r 2
r0
≤ r ≤ r0 .
2
cm/s,
Temos
que
e v' ' ( r ) = 2c( r0 − 3r ) . Desse modo, obtemos a seguinte tabela:
r0 > 3r
r0 < 3r
v’’(r)
+
-
concavidade


Agora, observe os gráficos a seguir:
Fig c) No ponto (0,0) a curva muda de Fig. d) No ponto (-2,0) a curva muda
concavidade.
de concavidade.
No caso da Fig. c), no ponto (0,0), a tangente cruza a curva, e neste
ponto a curva muda de concavidade. Este é um exemplo típico de ponto de
inflexão, que passamos a definir:
Um ponto (x1, f(x1)) no gráfico de y=f(x), onde há mudança no sentido da
concavidade, é chamado de ponto de inflexão.
No modelo da traquéia vimos que v’’(r 0/3)=0 e que no ponto (r0/3, v(r0/3))
ocorre uma mudança de concavidade da curva. Portanto temos aí um ponto de
inflexão de v(r).
No entanto, devemos salientar que em geral, se f’’(x 0)=0, não se pode
concluir que o ponto (x0, f(x0)) seja de inflexão do gráfico, como podemos observar
no caso da função f(x)=x4.
O teste da derivada segunda também pode ser utilizado para obter os
extremos relativos da função, pois quando f"(x) > o , a concavidade está voltada
para cima e, portanto a curva apresenta um mínimo local. Caso contrário, isto é,
quando f"(x) < o , a concavidade está voltada para baixo e, portanto a curva
apresenta um máximo local.
Solução do problema inicial do capítulo 4: A função que nos dá a pressão
3
sanguínea do gato em termos do tempo é: P ( t ) = t − 7 t 2 + 10t + 40, 0 ≤ t ≤ 6 , cuja
3
2
115
derivada é: P ' (t ) = t 2 − 7t + 10 .
Segue-se que seus pontos críticos ocorrem quando t=2 e t=5. Observe que P’(t) é
positiva para 0 ≤ t < 2 e para 2 < t < 5 ela é negativa. Logo, pelo teste da derivada
primeira, P(t) tem um máximo local em t=2. Além disso, P’(t) é positiva para 5 < t ≤ 6
. Portanto P(t) tem um mínimo local em t=5 (ver Fig. e) e f)).
Fig. e)
Fig. f)
Podemos chegar à mesma conclusão utilizando o teste da derivada
segunda. Temos que P’’(t)=2t-7 e desse modo nos pontos críticos de P(t):
P’’(2)=-3<0 e P’’(5)=3>0. Portanto, por este teste, P(t) assume o valor máximo local
em t=2 e o valor mínimo local em t=5; ou seja
P(2)=48,8 e P(5)=44,2 são, respectivamente, as
pressões máxima e mínima do gato em mm de
Hg. Agora, observe que P’’(t)=2t-7 resulta:
P’’(t) concavidade

t<7/2

t>7/2
+
Assim, em t=7/2 ocorre um ponto de
inflexão no gráfico da função P(t). Isto então nos
possibilita a representação gráfica de P(t)
conforme a figura ao lado:
Devemos observar que em algumas situações não necessitamos utilizar
ferramentas tão poderosas, como é o caso da derivada segunda, para obtermos
informações sobre o comportamento de dadas funções, como está ilustrado no
exemplo seguinte, no qual, tão-somente o gráfico da função nos fornece a
informação desejada.
Exemplo: Resposta do organismo a um medicamento. A resposta do corpo a
uma dose de medicamento às vezes é representada por uma equação na forma
C M
R = M2 −

 2 3
, onde C é uma constante positiva e M a quantidade de medicamento
absorvida no sangue. Se a resposta for uma variação na pressão sanguínea, então
R deve ser medido em milímetros de mercúrio; se a resposta for uma variação de
temperatura, R será medido em graus centígrados e assim por diante. Calcule a
quantidade de medicamento à qual o organismo é mais sensível determinando o
valor de M que maximiza a derivada dR/dM. Esta derivada é chamada de
sensibilidade do corpo ao medicamento.
116
Solução:
maximizar.
2
d R
dM 2
dR
C M
= 2M  −
 + M 2 ( − 1 / 3) = MC − M 2 .
dM
2
3


Portanto,
ainda
= C − 2M = 0 ⇔ M = C / 2 .
teremos
Esta é a função que queremos
que
obter
a
derivada
segunda:
Este é um valor crítico para a função derivada. Como o
gráfico da função derivada é uma parábola com a concavidade voltada para baixo,
para o valor M=C/2, tem-se o máximo da função derivada, ou seja:
dR C
C
=
C−  
dM
2
 2
2
=
C2 C2
1
−
= C2 .
2
4
4
Utilize agora, como exercício, o teste da derivada segunda para chegar
às mesmas conclusões do exemplo anterior.
Exercícios
1- Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos de f . Comece por
esboçar seu gráfico.
a) f ( x ) = 8 − 3x, x ≥ 1 .
Solução: f (1) = 5 é ponto de máximo absoluto.
2
b) f ( x) = x , 0 < x < 2 .
Solução: Nenhum ponto de máximo e mínimo local ou absoluto.
c)
 1 − x, se 0 ≤ x < 2

f (x) = 
 2 x − 4, se 2 ≤ x ≤ 3

Solução: Máximo absoluto f (3) = 2 .
2- Encontre os pontos críticos da função:
a) f ( x) = 5 x 2 + 4 x
Solução: f ′ ( x ) = 10 x + 4 : 10 x + 4 = 0 ⇒ x = −
4
 − 4 − 8
 =
. Ponto crítico f 
.
10
 10  10
b) f (c) = c 3 + 3c 2 − 24c
Solução: f ′ (c) = 3c 2 + 6c − 24 :
3c 2 + 6c − 24 = 0 ⇒ c = 2 ou c = − 4 . Pontos críticos f ( − 4) = 80 e f (2) = − 28 .
c) f (u ) = 3u 4 + 4u 3 − 6u 2
Solução: f ′ (u ) = 12u 3 + 12u 2 − 12u
117
12u 3 + 12u 2 − 12u = 0 ⇒ 12u (u 2 + u − 1) = 0 ⇒ u = 0
u=
− 1+ 5
2
ou u =
− 1− 5
. Pontos críticos
2
ou
f (0) = 0 ,
assim,
u2 + u − 1 = 0,
 − 1+ 5 
 = − 0,90982 e
f 

2


 − 1− 5 
 = − 12,0901 .
f 

2


d) g (t ) = 5t
2
3
+ t
5
3
10 − 13 5 2 3 10 − 13 5 2 3
t + t ⇒ t + t = 0⇒ t = −2.
3
3
3
3
g´(t ) não é definida em t = 0 , logo os pontos críticos são t = 0 e t = − 2.
Solução: g ′ (t ) =
e) f ( x ) = x ln( x )
Solução: f ′ ( x ) = ln( x ) + 1 : ln( x) + 1 = 0 ⇒ x =
f) f ( z ) =
z+ 1
z + z+ 1
1
1
. Ponto crítico x = .
e
e
2
− z 2 − 2z
= 0 ⇔ z 2 + 2 z = 0 ⇒ z = 0 ou z = − 2 .
Solução:
:
2
2
2
2
( z + z + 1)
( z + z + 1)
Pontos críticos em z = 0 ou z = − 2 .
f ′( z ) =
− z 2 − 2z
g) f ( x) = xe 2 x
Solução: f ′ ( x ) = xe 2 x + 2xe 2 x : e 2 x ( 1 + 2 x ) = 0 ⇒ x =
−1
.
2
−1
.
2
3- Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f no intervalo dado:
Ponto crítico x =
2
a) f ( x ) = 3 x − 12 x + 5; [ 0,3] .
Solução: f ′ ( x) = 6 x − 12 : 6 x − 12 = 0 ⇒ x = 2 (ponto crítico).
Máximo: f (0) = 5
Mínimo: f (2) = − 7 .
3
b) f ( x ) = x − 3 x + 1; [ 0,3] .
Solução: f ′ ( x) = 3 x 2 − 3 : 3 x 2 − 3 = 0 ⇒ x = − 1 (não serve) ou x = 1 .
Máximo: f (3) = 19
Mínimo: f (1) = − 1 .
3
2
c) f ( x ) = 2 x − 3 x − 12 x + 1; [ − 2,3] .
Solução: f ′ ( x) = 6 x 2 − 6 x − 12 : 6 x 2 − 6 x − 12 = 0 ⇒ x = − 1 ou x = 2 .
Mínimo: f ( 2) = − 19
Máximo: f (− 1) = 8 .
118
d) f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 2 ; [ − 1,4] .
Solução: f ′ ( x) = 3 x 2 − 12 x + 9 : 3 x 2 − 12 x + 9 = 0 ⇒ x = 1 ou x = 3 .
Máximo: f (1) = f (4) = 6
Mínimo: f (− 1) = − 14 .
e) f ( x ) = x − 2x + 3; [ − 2,3] .
4
2
Solução: f ′ ( x) = 4 x 3 − 4 x : 4 x 3 − 4 x = 0 ⇒ x = 0 ou x = − 1 ou x = 1 .
Máximo: f (1) = f (− 1) = 2
Mínimo: f (3) = 66 .
2
3
f) v ( u ) = ( u − 1) ; [ − 1,2] .
Solução: v ′ (u ) = 6u (u 2 − 1) 2 : 6u (u 2 − 1) 2 = 0 ⇒ u = 0 ou u = 1 ou u = − 1 .
Máximo: v( 2) = 27
Mínimo: v(0) = − 1 .
g) f ( t ) =
t2 − 4
t2 + 1
; [ − 4,4] .
Solução: f ′ (t ) =
10t
10t
= 0⇒ t = 0.
2 :
2
(t + 1) (t + 1) 2
2
12
17
f
Mínimo: (0) = − 4 .
Máximo: f ( − 4) = f ( 4) =
−c
h) y ( c ) = ce ; [ 0,2] .
Solução: y ′ (c) = − ce − c : − ce − c = 0 ⇒ c = 0 .
2
Máximo: y ( 2) = 2
e
Mínimo: y (0) = 0 .
i)
f ( i ) = i − 3 ln( i ); [1,4]
Solução: f ′ (i ) = 1 −
.
3
3
: 1− = 0 ⇒ i = 3 .
i
i
Máximo: f (1) = 1
Mínimo: f (3) ≅ − 2,3 .
4- Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, seus valores de
máximo e mínimo locais, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
a- f ( a) = a 3 − 12a + 1 .
Solução: f ′ ( a) = 3a 2 − 12 e f ′′ ( a) = 6a .
6a = 0 ⇒ a = 0 .
3a 2 − 12 = 0 ⇒ a = 2 ou a = − 2 ;
o f é crescente em ( − ∞ ,− 2 ) e ( 2, ∞ ) ; e f é decrescente em ( − 2,2 ) .
119
o Valor máximo: f ( − 2) = 17 , Valor mínimo: f ( 2) = − 15
o Concavidade para baixo em ( − ∞ ,0 ) , Concavidade para cima em ( 0, ∞
o Ponto de inflexão: (0,1)
b) f ( x) = x 4 − 2 x 2 + 3 .
Solução: f ′ ( x) = 4 x 3 − 4 x e f ′′ ( x ) = 12 x 2 − 4
4 x 3 − 4 x = 0 ⇒ x = 0 ou x = − 1 ou x = 1 e
− 3
3
ou x =
.
12 x 2 − 4 = 0 ⇒ x =
3
3
)
Problemas:
1. O crescimento da E.coli em um caldo de cultura pode ser representado pela
equação N( t ) = 100 + 80t − 9 t 2 , onde o tempo t varia de 0 a 10 dias. Estudar o
comportamento de N(t) em termos da ocorrência de pontos críticos.
2. Cinqüenta animais ameaçados de extinção são colocados em uma reserva.
Decorridos t anos a população P desses animais é estimada por
50( t 2 + 6 t + 30)
. Em que instante essa população animal atinge seu
P( t ) =
t 2 + 30
máximo? Quanto ela vale?
3. Em fisiologia tem grande importância a avaliação do coeficiente de difusão
do oxigênio através de tecidos com respiração ativa. Para descrever tal
a
Hx − x 2 , que
fenômeno, Warburg (1923) propôs a equação: y = C −
2D
relaciona a tensão de oxigênio com a distância x à superfície da fatia em
qualquer ponto. Tem-se ainda que:
y= tensão de O2 (em atmosferas) em pontos situados a x cm a partir da
superfície do tecido;
C= tensão externa de O2 (em atm)
a= taxa respiratória do tecido (em ml de O2) consumidos/min/ml de de tecido;
H= a espessura da fatia do tecido (em cm) e
D= o coeficiente de difusão de O2 (em unidades de Krogh).
Mantendo-se constantes c, a, H e D, pede-se:
a) Estabelecer o domínio desta função.
b) Neste domínio, estimar o máximo e mínimo e para quais valores do
domínio eles ocorrem.
c) Para o(s) valor(es) de máximo, tem-se y’=0?
d) Tem-se y(0)=y(H)=c. Interprete este fato.
e) Esboce o gráfico.
f) Faz sentido termos y<0? Justifique.
(
)
4. Uma substância química é introduzida na corrente sanguínea de um animal.
Depois de t horas da aplicação, a concentração desta substância pode ser
2t
descrita por K(t) =
. Depois de quanto tempo a concentração é
16 + t 3
máxima?
120
5. Estima-se que uma colônia de bactérias tenha uma população dada por
24t + 10
P( t ) =
, em milhares, t horas após a introdução de uma toxina.
t2 + 1
Determine o tempo no qual a população é máxima e calcule a população
neste tempo.
6. Em 1949, E. Heinz descobriu que a concentração y(t) de uma droga injetada
c
e − at − e − bt , t ≥ 0 , onde t=horas
intramuscularmente é dada por y( t ) =
(b − a )
após a injeção e a, b e c são constantes positivas com b>a. Considere a=1,
b=3 e c=2 e determine quando ocorre a concentração máxima.
(
)
7. Suponhamos que a concentração y=c(t), em mg/100ml, de um certo
metabólico (substância orgânica de baixo peso molecular que participa de
reações do metabolismo) em um meio líquido de cultura seja expressa pela
equação y = c( t ) = ( t − 2 ) 4 − 2( t − 2 ) 2 + 2 sendo t o tempo transcorrido em
horas. Supomos aqui que 0 ≤ t ≤ 4 para a duração total do experimento.
Determine onde a concentração é máxima e mínima e os intervalos onde a
função cresce ou decresce.
8. A reação do organismo a uma droga às vezes é representada por uma
D
2 C
função do tipo R (D) = D  −  onde C= quantidade máxima que pode ser
 2 3
administrada, D= quantidade usada ( 0 ≤ D ≤ C ) e R estima a intensidade de
reação do organismo à droga ( p. ex: pressão sanguínea em mm de Hg,
temperatura do corpo, etc.). Pede-se traçar o gráfico de R(D).
9. Uma pulga saltando na direção vertical alcançou a altura h (em metros)
como uma função do tempo t ( em segundos):
h = (4,4)t − (4,9)t 2 .
Calcular a velocidade no tempo t = 0, a altura máxima e a aceleração
causada pela gravidade.
10. Suponha que, t horas após uma droga ser injetada num paciente a
concentração k(t) da droga no corpo é dada por k ( t ) =
2t
2
(t + 4
. Em que tempo
a concentração da droga será máxima?
11. Uma droga experimental está sendo testada numa colônia de bactérias, foi
descoberto que t dias após tratar a colônia, o número N (t ) de bactérias por
centímetro cúbico é dado por: N (t ) = 20t 2 − 120t + 800 , 0 ≤ t ≤ 7 . Quantos
dias após o início do tratamento o número de bactérias por centímetro cúbico
alcança o seu valor mínimo? Qual é este mínimo?
12. Suponhamos que o número de pessoas, em certa cidade, que estão doentes
t dias após o início do surto da epidemia de gripe, é dado por:
121
P (t ) = − t 2 + 120t + 20 . Em que dia o número de pessoas doentes será o
máximo, e quantas serão as pessoas doentes?
122
CAPÍTULO 6
INTEGRAL
Como vimos até agora, a derivada pode ser interpretada como a taxa de
crescimento populacional, taxa de velocidade, taxa com a qual os recursos naturais
estão se esgotando, taxa de decaimento, entre outras. Em muitos problemas, no
entanto, a derivada da função é conhecida e o objetivo é determinar a função.
Portanto, esta é uma situação inversa que até o momento temos considerado.
A fim de ilustrarmos tal situação, apresentamos os seguintes problemas:
Problema 1: Uma cidade é atingida por uma epidemia de gripe e as pessoas caem
doentes à razão de 360t − 9t 2 pessoas por dia. Sabendo que hoje há 150 casos
registrados, quantas pessoas estarão infectadas daqui a uma semana?
Para resolver este problema precisamos saber qual é a expressão que
nos fornece o número total de pessoas acometidas pele gripe em cada dia. Como a
dN
= 360t − 9t 2 , onde N é o número total de indivíduos doentes
taxa é dada por
dt
para cada dia, o que procuramos é a expressão N que depende de t. Então,
desejamos encontrar a função N(t) cuja derivada é 360t − 9t 2 .
Problema 2: Um estudo do meio ambiente de certa comunidade indica que, daqui
a t anos, a taxa de monóxido de carbono no ar estará variando segundo
f (t ) = 0,1t + 0,1 partes por milhão por ano. Se a taxa de monóxido de carbono hoje é
de 3,4 partes por milhão, qual será a quantidade daqui a 4 anos?
Também, neste caso, devemos encontrar a função cuja taxa f(t) é dada,
isto é, a função cuja derivada é f (t ) = 0,1t + 0,1 .
O processo para se determinar uma função f(x) a partir de um de seus
valores conhecidos e sua derivada f’(x) consiste de dois passos. O primeiro é obter
uma fórmula que nos dê todas as funções que poderiam ter f como derivada. Essas
funções são chamadas primitivas de f, e a fórmula que fornecem todas elas é
denominada integral indefinida de f. O segundo passo é utilizar o valor conhecido,
ou valor inicial, para selecionar a primitiva particular desejada dentre aquelas na
integral indefinida.
Como em ambos os problemas as taxas são dadas por funções
polinomiais, vamos tratar inicialmente a técnica para se obter tais primitivas.
1.
2
F ' ( x) = x ⇔ F ( x ) = x ;
2.
3
F ' ( x) = x 2 ⇔ F ( x ) = x ;
3.
4
F ' ( x) = x 3 ⇔ F ( x ) = x ;
4.
n+ 1
F ' ( x) = x n ⇔ F ( x ) = x
.
2
3
4
n+ 1
123
Em todos os casos citados, F (x ) é uma solução, também chamada
primitiva da função dada y=f(x)=F’(x). Mas, tal primitiva não é única! Se a cada
F (x ) adicionarmos uma constante C, ainda assim teremos uma solução para cada
um dos casos:
x2
+ C , pois y= F' ( x ) = x
2
x3
2
2. y = x 2 ⇔ F ( x ) =
+ C , pois y= F ' ( x) = x
3
x4
3
3. y = x 3 ⇔ F ( x ) =
+ C , pois y= F ' ( x) = x .
4
De um modo geral, temos a seguinte regra:
1. y = x
⇔ F(x) =
xn+ 1
+C
n+ 1
y = x n ,n ≠ − 1 ⇔ F( x ) =
, pois y= F ' ( x) = x n .
1 INTEGRAL INDEFINIDA
Em geral, F ( x ) + C é o conjunto de todas as primitivas de f(x), onde C é
uma constante qualquer. Na solução dos problemas, como veremos mais adiante,
poderemos observar melhor esta condição. Desse modo, uma função possui várias
primitivas. A figura a seguir ilustra três primitivas da função f(x)=2x
O conjunto de todas as primitivas de f (x ) é
chamada de integral indefinida de f (x ) e é
representada por
F ( x ) = f ( x )dx ;
Onde o símbolo
∫
∫
é o sinal de integração (lê-se: integral
de) e indica que será calculada a antiderivada da
função que vem depois do sinal. dx indica a variável em
relação a qual a integral será efetuada.
É importante observar que se a variável de
integração for t, v, P, etc. teremos as seguintes notações: F ( t ) = ∫ f ( t )dt ,
F (v ) =
∫
f (v )dv , F ( P )
Assim
=∫
y = x n ,n ≠ − 1
f ( P )dP , etc.
⇔
∫
x n dx =
xn+ 1
+C
n+ 1
, pois F ' ( x) = x n .
124
A seguir destacamos algumas propriedades:
Propriedade
Exemplo
n+ 1
∫ kdx = k ∫ dx = kx + C
x6
x6
5
5
(
−
3
x
)
dx
=
−
3
x
dx
=
−
3
+
C
=
−
+C
∫
∫
6
2
∫ 7dx = 7 ∫ dx = 7 x + C
∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx
3
3
2
∫ (2 x − x )dx = 2 ∫ xdx − ∫ x dx = x −
n
∫ kx dx
= k ∫ x n dx = k
x
+ C
n+ 1
x4
+ C
4
Exercício: Obtenha a integral indefinida das funções a seguir:
a) f (u ) = 3u ;
7 3
b) f (t ) = t ;
4
c) g (m) = m − 1 ;
d) m( s ) = s 3 / 2 ;
e) f ( x) = 2 x − 1 / 4 .
Agora, podemos retomar os nossos problemas do início deste capítulo.
dN
= 360t − 9t 2 , separando as variáveis, obtemos:
Problema 1: Como
dt
t2
t3
2
2
N (t ) = ∫ (360t − 9t )dt = 360 ∫ tdt − 9 ∫ t dt = 360
−9 + C
2
3
2
3
N (t ) = 180t − 3t + C .
Devemos obter o número de infectados no 7o dia (t=7), mas antes temos
que encontrar C. O problema diz que hoje há 150 casos de infectados, isto é, para
t=0, N (0) = 150 . Substituindo em N (t ) , obtemos N (0) = 150 = C . Então,
N (t ) = 180t 2 − 3t 3 + 150 .
Quando t=7:
N( 7 ) = 8820 − 1029 + 150 = 7941 .
o
Portanto, no 7 dia contrairão a gripe 7941 pessoas.
Problema 2: Para encontrar a quantidade de monóxido de carbono ao final de 4
anos, devemos integrar:
f ' ( t ) = 0,1t + 0,1 ,
resultando
t2
F (t ) = ∫ (0,1t + 0,1)dt = 0,1 + 0,1t + C .
2
Como a quantidade de monóxido para t=0 é de 3,4 partes por milhão,
temos:
t2
F (t ) = 0,1 + 0,1t + 3,4
2
E finalmente, para t=4, obtemos:
125
42
F ( 4 ) = 0 ,1
+ 0 ,1.4 + 3 ,4 = 4 ,6
2
Assim, daqui a 4 anos teremos 4,6 partes por milhão de monóxido de
carbono.
Antes de prosseguirmos, vamos fixar um pouco mais o que já foi
apresentado. É bom lembrar que você sempre pode testar se o resultado da sua
integral indefinida está correto. Para isto basta que ao derivá-lo obtenha a função
que foi integrada.
Exercício: Calcule as integrais indefinidas:
1. ∫ 8 xdx
2x
dx
∫
7x 3
6.
2. ∫ (5 x − 1)dx
3
∫
7
2
x − 2x + 7 x
dx
x
3. ∫ dx
8.
 2

3
∫  5 − 3 − 9  dx
x
x

4. ∫ (13 − 5 x 4 + 8 x − 2 )dx
9. ∫
3
x2
dx
8
5. ∫ 5 dx
x
10. ∫ 2 x dx
5
3
)dx
11. ∫ (2 x − x +
x
Exercício: Quando uma reação química está sendo realizada a volume constante,
a entalpia é dada por ∆ H = ∫ C v dt , onde Cv é a capacidade calorífica a volume
2
constante. Se Cv = 2t + 3t + 7 , calcule ∆ H .
2 INTEGRAL DEFINIDA
As questões que temos considerado até agora com respeito a integrais,
todas elas referem-se a um dado instante de tempo t. Entretanto, existem situações
nas quais devemos levar em conta um intervalo de tempo. Isto ocorre, por exemplo,
nos problemas tratados no início deste capítulo, bastando que se façam pequenas
alterações em seus dados.
126
Problema 3: Uma cidade é atingida por uma epidemia de gripe e as pessoas caem
doentes à razão de 360t − 9t 2 pessoas por dia. Sabendo que hoje há 150 casos
registrados, quantas pessoas, no total, estarão infectadas no período de t=2 a t=9
dias?
Problema 4: Um estudo do meio ambiente de certa comunidade indica que, daqui
a t anos, a taxa de monóxido de carbono no ar estará variando f (t ) = 0,1t + 0,1
partes por milhão por ano. Se a taxa de monóxido de carbono hoje é de 3,4 partes
por milhão qual será a quantidade total despejada no período de t=1 a t=4 anos?
As questões a serem resolvidas referem-se a um intervalo de tempo.
O valor numérico destes cálculos denomina-se integral definida de f(t)
que representamos por:
b
∫ a f ( t )dt ,
onde a e b são os valores inicial e final do intervalo.
3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA
Podemos interpretar a integral definida como sendo a área sob o gráfico
de uma dada função f ( x) > 0 . Para isto, considere o seguinte exemplo:
Seja a função y = x , cujo gráfico se encontra
ao lado. Temos que no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 a função
delimita a região triangular com vértices nos pontos:
(0,0), (1,0) e (1,1). Sabemos que a área deste triângulo
é dada por:
1
1
unidade de área.
A∆ = ( base x altura ) =
2
2
Neste caso, o cálculo da área da região, ou
seja, a área sob o gráfico da curva é bastante simples.
No entanto, se considerarmos a função y = x 2 no
mesmo intervalo, já não dispomos de recursos técnicos que nos possibilitem a sua
solução.
A técnica para resolvermos situações desta natureza é apresentada a
seguir e a mesma está desenvolvida utilizando o exemplo já considerado.
Para isto considere os seguintes passos:
(1) Subdividimos o intervalo [0,1] em dois subintervalos iguais e calculamos as
áreas utilizando retângulos, conforme a figura a seguir.
Retângulo
I
II
Área
1 1 1
. =
2 2 4
1 1
1. =
2 2
127
Neste caso, a área total é:
1 1
+ = 0,5 + 0,25 = 0,75 ,
2 4
a qual é superior à área
do triângulo.
(2) Subdividimos o intervalo [0,1] em quatro subintervalos iguais e calculamos as
áreas utilizando retângulos, conforme a figura a seguir:
Retângulo
I
Área
1 1 1
. =
4 4 16
1 1 1
. =
4 2 8
II
Neste
1 3 1 1 10
+
+ +
=
= 0,625 ,
4 16 8 16 16
Retângulo
III
IV
Área
1 3 3
. =
4 4 16
1
1
.1 =
4
4
caso, a área total é:
que também é superior à
área do triângulo, mas inferior à anterior.
(3) De modo similar quando subdividimos em oito subintervalos, temos:
Retângulo
I
II
III
IV
Área
1 1 1
. =
8 8 64
1 1 1
. =
8 4 32
1 3 3
. =
8 8 64
1 1 1
. =
8 2 16
Retângulo
V
VI
VII
VIII
Área
1 5 5
. =
8 8 64
1 3 3
. =
8 4 32
1 7
7
. =
8 8 64
1
1
.1 =
8
8
Neste caso, a área
total
é:
16 2 1 36
+ +
=
= 0,5625 ,
64 8 16 64
que também é superior à área
do triângulo, mas inferior à
anterior e se encontra mais
próxima do valor da área do
triângulo.
(4) Vamos agora melhorar a aproximação dividindo o intervalo em n subintervalos
de largura 1/n.
Então, a área sob o gráfico da função será dada aproximadamente por
excesso, como a soma das áreas dos n retângulos.
Retângulo
1
Área
1 1
1
. =
n n n2
Retângulo
3
Área
1 3
3
. =
n n n2
2
1 2
2
. = 2
n n n
...n
1 n
n
. = 2
n n n
Portanto, a área total está dada por:
1
A Total =
(1 + 2 + 3 + ... + n ) .
n2
Verificamos que a expressão entre parênteses, neste caso particular, é a
soma dos n termos de uma PA de razão 1:
128
A Total =
1 (n + 1).n n 2 + n
n2
n
1 1
=
=
+
= +
2
2
2
2
2
2 2n
n
2n
2n
2n
.
Portanto quando n for um valor suficientemente grande a área total se
aproxima de ½ com um erro por excesso muito pequeno. Usando a notação de
limites, temos:
1 1  1
A = lim  +
=
n→ ∞  2
2n  2
Logo a área sob a curva pelo processo de aproximação utilizando
retângulos e para n tendendo a infinito, é a melhor aproximação para a área do
triângulo calculada inicialmente.
Estas considerações nos conduzem à seguinte conceituação:
Seja f ( x ) > 0 e contínua no intervalo [a,b]. A integral definida de f de a até b
está dada por:
n
b
∑ f ( xk )∆ xk
∫ a f ( x )dx = nlim
→ ∞ k= 1
Este processo de aproximação pode ser utilizado para outras funções,
desde que as mesmas satisfaçam as condições descritas acima. Porém faremos a
seguir algumas considerações sobre esta definição:
1. No exemplo analisado temos considerado os subintervalos com a mesma
largura ( ou comprimento), a qual tende a zero quando n tende a infinito. No
caso geral temos a seguinte expressão limite:
∫ ab f ( x )
b
∫a
2. A integral definida
= lim
n
∑
n→ ∞ k = 1
max ∆ xk → 0
f ( x k )∆ x k
f ( x) dx se existir, será um único número real. Isto se
deve ao fato de que se a integral definida é um limite, quando este limite
existe, ele é único.
3. Temos considerado a nossa função f(x) contínua num intervalo. Entretanto,
no caso geral f(x) é tão-somente limitada em [a,b].Uma classe de funções
para os quais este limite existe é a das funções contínuas, como pode ser
mostrado. De um modo geral, quando tal limite existe dizemos que a f é
integrável em [a,b].
4. A área a ser calculada é sempre um valor positivo.
5. A variável x em
b
∫a
f ( x )dx é denominada variável muda, e indica a variável
da função a ser integrada.
6. Podemos escolher qualquer ponto x’i, onde x i − 1 ≤ x 'i ≤ x i , não sendo
necessário tomarmos o ponto médio ou ainda, podemos dividir o intervalo
em subintervalos com amplitudes distintas. Como salientado, qualquer caso,
o resultado será o mesmo, se existir o limite quando n tender ao infinito.
7. A integral definida não tem necessariamente o significado de uma área.
Dependendo do problema, ela pode estar representando o volume, a
quantidade de bactérias, etc. O significado da área dos retângulos pode
129
ser o produto entre uma taxa de variação, como por exemplo, o crescimento
de uma cultura de bactérias pelo tempo.
8. Se f(x) for uma taxa de variação, então
b
∫a
f ( x)dx é a variação total.
130
4 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO (TFC)
A determinação da integral definida é facilitada se fizermos uso do
Teorema Fundamental do Cálculo juntamente com algumas propriedades descritas
a seguir:
TFC- Sejam f uma função contínua no intervalo [a,b] e F uma primitiva de f, ou
seja, F’(x)=f(x), então,
b
∫a
f ( x )dx = F(b ) − F(a ).
É usual encontrarmos a notação [F( x)]ba ou F( x)]ba para representar o valor
de F(b)-F(a).
Nas propriedades seguintes as funções consideradas são integráveis nos
intervalos dados.
P1:
a
f ( x)dx = 0
b
f ( x )dx = −
b
f ( x)dx +
∫a
Ex:
2
∫2
x 2 dx = 0
a
∫a
∫ b f ( x)dx
3
-1
2
2
(
x
+
x
−
7
)
dx
=
−
∫ -1
∫ 3 ( x + x − 7)dx
P2:
P3:
∫a
P4:
∫a
6
b
c
∫b
kf ( x)dx = k
6
b
∫a
c
∫a
P5:
∫a
kdx = k(b − a) , k = constante
P6:
∫a
[ f ( x ) ± g ( x)]dx =
7
∫1
Ex:
2
∫ -2
x 2 dx =
f ( x)dx , k = constante
∫3
b
Ex:
f ( x)dx
4 x dx = 4
b
∫3
f ( x) dx =
Ex:
0
∫ -2
x 2 dx +
2
∫0
x 2 dx
Ex:
x dx
∫a
b
f ( x)dx ±
Ex:
∫a
b
10
∫0
3dx = 3( 10 − 0 )
g ( x)]dx
7 − 2
7 − 3/ 2
( x − 2 + x − 3 / 2 )dx =
x dx +
x
dx
∫1
∫1
Agora, voltando aos problemas 3 e 4, teremos as seguintes soluções:
Problema 3:
∫
9
[
]
 360t 2 9t 3 
2
3
2
3
( 360t − 9t )dt = 
−
 = 180.9 − 3.9 − 180 .2 − 3.2 = 13860 − 2163 = 11697
2
2
3

2
9
2
Portanto, estarão infectadas 11.697 pessoas.
131
4
 0 ,1t 2

(
0
,
1
t
+
0
,
1
)
dt
=
+
0
,
1
t
Problema 4:

 = 1,05 ppm .
∫
 2
 1
Portanto, serão despejadas 1,05 partes por milhão de monóxido de
carbono no ar.
Outros problemas serão dados a seguir, a fim de fixarmos o conceito de
integral definida e suas aplicações.
4
1
Problemas:
1) Com seu equipamento anti-poluição funcionando, uma indústria ainda lança
poluentes em um rio de sua vizinhança, durante o x-ésimo ano de operação
do equipamento, de acordo com a equação y = 10000 / 3 x 2 . Os padrões
estabelecidos pelo órgão de proteção do meio ambiente exigem que o total
de poluentes lançados ao rio nos próximos 27 anos seja menor que 80 000
toneladas. Calcule aproximadamente a quantidade de poluentes que será
despejada neste período e verifique se os padrões de proteção ao meio
ambiente serão observados.
2) Uma grande cidade é atingida por uma epidemia de gripe e as pessoas
caem doentes à razão de 270t − 9t 2 pessoas por dia. Aproximadamente
quantas pessoas terão apanhado a gripe entre o primeiro e o vigésimo dia,
inclusive?
3) Uma cidade foi atingida por uma epidemia de sarampo no mês de maio .
Parte da população caiu doente à razão 7+x pessoas por dia.
Aproximadamente, quantas pessoas irão contrair a doença neste mês?
Considere o mesmo com 31 dias.
4) Um estudo indica que daqui a x meses, a população de determinada cidade
crescerá a uma taxa de 2+6 x pessoas por mês. Qual será o aumento da
população da cidade nos próximos 4 meses?
5) Uma reação química ocorre apenas quando o valor de energia livre, de
Gibbs, for negativa:
P
∆ G = ∫ P 2 VdP ,
1
onde V= volume, P= pressão e ∆ G = variação na energia livre, de Gibbs. Se
V = 3P 2 + 2P + 4 , verifique se há reação química no intervalo de P1=3 a
P2=7.
6) Em Química, o trabalho obtido a partir de um processo pode ser calculado
por:
trabalho =
∫ PdV
onde P representa pressão e V o volume. Se P = 6V + 2V 2 , determine o valor
do trabalho, quando o volume varia de 1 a 60 cm3.
132
7) Uma forma pela qual os biólogos estudam o crescimento de uma cultura de
bactérias é observar a percentagem de bactérias que se regeneram em dado
40
intervalo de tempo. Se a equação de regeneração é dada por: B = 2 x + 2 ,
x
a quantidade de bactérias com uma margem de probabilidade de a até b por
cento de se regenerar é dada pela integral de B neste intervalo. Calcule o
número de bactérias:
a) com probabilidade de se regenerar entre 10 e 20 por cento;
b) Com probabilidade de se regenerar entre 20 e 40 por cento.
8) Estima-se que um lago poluído contém 50000 toneladas de poluentes.
Planeja-se interromper definitivamente o lançamento de qualquer poluente
no lago e calcula-se que, pela difusão natural dos poluentes, o nível de
poluição decrescerá. A taxa de crescimento é dada pela função
P ' (t ) = 50000 − 1500t − 200t 2 . Calcule a quantidade, em toneladas, de
poluentes no lago no ano 2020, tomando o ano de 2000 como o instante
inicial.
5 TÉCNICA DE INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Existem funções cujas integrais não podem ser calculadas pelos métodos
que discutimos. Porém, há técnicas de integração que permitem ampliar os tipos de
funções das quais podemos encontrar as integrais. Uma destas técnicas faz uso da
fórmula:
n
Seja u=f(x): ∫ u du =
1 n+ 1
u
+ C,
n+ 1
n ≠ − 1.
e é chamada técnica de integração por substituição.
Exemplo 1: Usar a técnica de integração por substituição para obter
2
.
∫ x + 1 2x dx
Solução: Considere u = x 2 + 1 . Assim,
du
= 2x , ou ainda du = 2xdx . Fazendo as
dx
substituições na integral teremos:
∫
x 2 + 1 2 xdx =
∫
u du =
∫
u 1 / 2 du =
u 3/ 2
+ C.
3/ 2
Substituindo u por x 2 + 1 , resulta:
2
x 2 + 1 2 xdx = ( x 2 + 1)3 / 2 + C .
3
∫
Exemplo 2: Usar a técnica de integração por substituição para obter
∫
x 2 + 1 xdx .
133
Solução: Considere u = x 2 + 1 . Assim,
du
du
= 2x , ou ainda
= xdx . Fazendo as
dx
2
substituições na integral teremos:
du 1 1 / 2
1 u3/ 2
=
u du =
+ C.
2 2
2 3/ 2
Substituindo u por x 2 + 1 , resulta:
1
x 2 + 1 xdx = ( x 2 + 1) 3 / 2 + C .
3
∫
x 2 + 1 xdx =
Cuidado!!! A integral
∫
∫
u
∫
∫
x 2 + 1 dx não pode ser integrada utilizando este método.
Quando fazemos a substituição de variável, no caso x por u, a integral deve ficar
inteiramente com uma única variável. E nesta última integral isto não é possível.
Agora observe o seguinte exemplo:
Exemplo 3: Calcule a integral
∫ (x
− 3) 2 xdx
2
Solução: Considerando u= x 2 − 3 , temos
du
du
= 2x ⇔
= xdx . Fazendo-se as
dx
2
substituições na integral vem:
du 1 2
1 u3
=
u du =
+ C.
2 2
2 3
Substituindo novamente u= x 2 − 3 , resulta:
1
( x 2 − 3) 2 xdx = ( x 2 − 3) 3 + C .
6
∫
( x 2 − 3) 2 xdx =
∫
Mas, se ao invés de
∫
∫ (x
2
∫
u2
− 3) 2 xdx tivermos
∫ (x
2
− 3) 2 dx o método da
substituição será possível, mas a integral pode ser obtida desenvolvendo
primeiramente a potência no integrando.
∫
2
3
5
Exemplo 4: Calcule ( x − 1)( x − 3 x) dx
3
Solução: u = ( x − 3x ) ⇒
du
du
= 3x 2 − 3 = 3( x 2 − 1) . Assim,
= ( x 2 − 1) . Substituindo
dx
3
na integral, temos:
∫
du 1 5
1 u6
=
u du =
+ C
3 3
3 6
1 3
( x 2 − 1)( x 3 − 3 x) 5 dx =
( x − 3x ) 6 + C .
18
( x 2 − 1)( x 3 − 3 x) 5 dx =
∫
∫
u5
∫
Alisemos uma outra situação, ainda utilizando o método da substituição.
Exemplo 5: Utilizar a técnica de substituição para obter:
∫x
b) ∫ x
x + 2 dx
a)
3
9 − x 2 dx
134
Solução: a) Considere u = x + 2 . Então x = u − 2 e
du
= 1 ⇒ du = dx . Fazendo as
dx
substituições na integral vem:
∫x
x + 2 dx = ∫ ( u − 2 ) u du = ∫ ( u 3 / 2 − 2u 1 / 2 )du =
2 5/2 4 3/ 2
u
− u
+ C.
5
3
Substituindo u por x+2, finalmente temos:
2
5/2 4
3/ 2
∫ x x + 2 dx = 5 ( x + 2 ) − 3 ( x + 2 ) + C .
b) Considerando u = 9 − x 2 , temos que x 2 = 9 − u e du = − 2 xdx
1
1
1
2

x 3 9 − x 2 dx = −
(9 − u ) u du = −
(9u 1 / 2 − u 3 / 2 )du = −  6u 3 / 2 − u 5 / 2  + C
2
2
2
5

1
x 3 9 − x 2 dx = − 3(9 − x 2 ) 3 / 2 + (9 − x 2 ) 5 / 2 + C .
5
Quando estivermos considerando uma integral definida, basta
aplicarmos, ao final, o Teorema Fundamental do Cálculo.
∫
∫
∫
∫
Exemplo 6:
∫
1
0
x 2 + 1 2 xdx =
3
[
]
1
2
2 2
2
( x + 1 )3 / 2 = ( 1 + 1 )3 / 2 − ( 0 + 1 )3 / 2 = ( 8 − 1) .
3
3
0 3
du
3
1
1
1
, assim ∫ 0 e − 4 x dx = − e − 4 x = − ( 1 − e − 4 ) .
Exemplo 7: ∫ 0 e − 4 x dx ⇒ u = − 4 x ⇔ dx = −
4
4
4
0
1
2 ln x
dx , considere u= lnx o que implica em du = dx e
Exemplo 8: ∫ 1
x
x
2
2
2
ln x
u
ln x 2 ln 2 ln 2 1 ln 2 2
2 ln x
.
Assim:
.
dx
=
u
.
du
=
+
C
dx
=
=
−
=
∫ x
∫
∫1 x
1
2
2
2
2
2
Exercícios: Calcule as integrais a seguir:
a)
∫
dx
x 3 ln x
3
23
Resp: (ln x )
+C
2
ln x
dx
b) ∫
x
(ln x )2
+C
2
( 2 + ln x )10
c) ∫
dx
x
( 2 + ln x )11
+C
11
Resp:
Resp:
135
d)
e)
∫e
− 4x
Resp:
dx
−
1 − 4x
e
+C
4
∫
x 2 e 3 x dx
3
Resp:
1 3x3
e
+C
9
3
f)
∫
e x
dx
Resp:
xdx
Resp:
2
x
1 3
− e x +C
3
∫3
x2
h) ∫ 5
− 2x
g)
2
1
3 x +C
2 ln 3
−
i)
∫
dx
Resp:
1
5 − 2 x +C
2 ln 5
10 x
x
Resp:
dx
2
10 x +C
ln 10
4
j)
( 2 + ln x )10
dx
∫
x
2
[
Resp:
]
1
( 2 + ln 4 )11 − ( 2 + ln 2 )11 ≅ 56120 ,65
11
3
k)
∫e
− 4x
dx
Resp:
0
1
( 1 − e − 12 ) ≅ 0 ,25
4
4
l)
∫
1
10 x
x
dx
Resp:
180
≅ 78 ,17
ln 10
6 TÉCNICA DE INTEGRAÇÃO POR PARTES
Este método permite a redução de uma integral complicada a outra mais
simples. O seu uso depende, porém, da habilidade com que se emprega a
seguinte fórmula, na qual u e v são funções deriváveis:
136
∫ udv = uv − ∫ vdu .
Observe que sendo u e v funções deriváveis, seu produto uv também é
derivável e temos:
d (uv) du
dv
=
v+ u
⇔ d (uv) = du.v + u.dv .
dx
dx
dx
Integrando ambos os lados da igualdade, temos:
∫ d (uv) = ∫ udv + ∫ vdu .
∫ d (uv) = uv + C e obtemos:
∫ udv = uv + C − ∫ vdu .
Como
1
1
Ao calcularmos a integral do segundo membro ∫ vdu aparecerá uma outra
constante de integração que junto com C1 serão incorporadas no cálculo desta
integral. Então,
∫ udv = uv − ∫ vdu .
∫
Exemplo 9: Calcule x ln xdx .
Solução: Sejam u = ln x
du =
e
1
dx
x
dv = xdx
v=
e
∫ xdx =
x2
.
2
∫ udv = uv − ∫ vdu obtemos:
x
x 1
x
1
ln x − ∫
dx =
ln x − ∫ xdx =
2
2 x
2
2
Usando a fórmula
∫ x ln xdx =
Assim,
2
2
∫
Exemplo 10: Calcule
Solução: Sejam u = x
2
x ln xdx =
x2
x2
ln x −
+ C.
2
4
∫ xe dx .
x
e
dv = e x dx .
du = dx e
Então
x2
x2
ln x −
+ C.
2
4
v=
∫ e dx = e
x
∫ xe dx = xe − ∫ e dx = xe
x
x
x
Exercícios: Calcule as seguintes integrais
x
x
.
− ex + C .
137
1.
∫
2.
∫ ln( x )dx
x 2 ln( x )dx
Resp:
x3
ln( x ) −
3
∫
x3 1
× dx
3 x
Resp: x ln( x ) − x + c
3.
∫ ln
3
Resp:
( 2 x )dx
x ln 3 ( 2 x ) − 6 x ln 2 ( 2 x ) + 24 x ln( 2 x ) − 24 x
2 x
5.
∫ x e dx
−x
∫ xe dx
6.
∫ xe
4.
4x
Resp: x 2 e x − 2 xe x + 2e x + c
Resp: − xe − x − e − x + c
Resp:
dx
x
7. ∫ x 2 dx
e4 x
e4 x
x−
+c
4
16
Resp:
2x x
2x
−
+c
ln( 2 ) (ln( 2 ))2
8.
∫x
3 x
Resp:
3 dx
x3 3 x
[ ln( 3 )]
−
3x2 3 x
+
6 x3 x
−
6 × 3x
[ ln( 3 )] 2 [ ln( 3 )] 2 [ ln( 3 )] 4
+c
Problemas:
1) Ao estudar os efeitos de uma doença, pesquisadores contam o número de
vezes que uma população de controle de ratos exibe os sintomas da doença. A
quantidade de ratos afetados no x-ésimo dia após a exposição ao portadortransmissor pode ser estimada pela equação
x+ 2
N= 2
.
x + 4x + 4
Calcule a área sob a curva entre as retas x=0 e x=2. O valor desta área tem
algum significado?
40
2) Um biólogo está estudando o desenvolvimento de bactérias. Se N = 2 x +
x
representa a quantidade de novas bactérias no x-ésimo dia, calcule,
aproximadamente, a quantidade existente no vigésimo dia. (440+40ln21)
3) A taxa de variação da quantidade de sal em um tanque que contém uma
dQ
3
= −
Q . A quantidade
solução de sal é dada pela equação diferencial
dt
100
inicial de sal em t=0 é conhecida, sendo igual a Q 0. Determine uma fórmula que
dê a quantidade de sal da solução, em qualquer instante t.
Sugestão: Para resolver esta equação diferencial, utilize o método da separação
dQ
3
= −
dt e integre
das variáveis, isto é: reescreva a equação na forma:
Q
100
138
ambos os lados da igualdade. A solução obtida, em que aparece a constante C
de integração, é chamada de solução geral da equação diferencial. Para obter o
valor de C considere a condição inicial do problema para, ou seja, para t=0.
4) Um pesquisador utiliza a seguinte função para representar a taxa de decaimento
ds
1
= − s . Escreva uma
de uma substância radioativa em função do tempo:
dt
4
expressão que dê a quantidade, em gramas, da substância radioativa s, em
qualquer instante t. Se existem inicialmente 100 g da substância, quantos
gramas restarão após 2 horas? ( S ≅ 61g )
5) Quando se considera o efeito da gravidade sobre gases, a seguinte equação
dP PM g
diferencial é usada: −
. Determine uma fórmula que expresse P em
=
dh
RT
função de h.
6) Certa substância radioativa tem meia-vida de T anos, e a quantidade y(t) em
dy
= ry . Obtenha a expressão que relaciona y
uma amostra satisfaz a equação
dt
e t. (y(t)=c(1/2)t/T)
7) Um tanque contém 100l de solução com 200g de sal na solução. Despeja-se a
água no tanque, contendo 1 g de sal por litro a uma taxa de 3 l/min, e a mistura,
mantida uniforme, é drenada com a mesma taxa. Calcule a quantidade de sal ao
final de 90 minutos. [(e-0,03t+1)/0,01]
8) Sob certas condições, cana-de-açúcar em água é transformada em dextrose a
uma taxa proporcional à quantidade não transformada em qualquer instante t.
Se de 75 g no tempo t, 0,8 g são transformados durante os trinta primeiros
minutos, e calcule a quantidade transformada em uma hora e trinta minutos.
(Sugestão: dQ/dt =k(75-Q) e então k=0,0038 e Q=75(1-e-0,0038t) e Q=21,6 g)
9) Um Verão quente e úmido está causando uma explosão da população de
mosquitos em uma cidade turística. O número de mosquito está aumentando a uma
taxa estimada de 2.200+10e0,8t, por semana. De quanto aumenta a população de
mosquitos entre a quinta e a nona semanas de verão.
10) O método da diluição do contraste é usado para medir a capacidade cardíaca
com 8mg de contraste. As concentrações de contraste , em mg/l, são modeladas
1
por c(t)= t(12-t) 0 ≤ t ≤ 12 , onde t é medido em segundos. Calcule a capacidade
4
cardíaca.
7 EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Temos visto, em alguns problemas da seção anterior, exemplos de
equações nas quais a função incógnita se encontra sob sinal de derivação. Tais
139
equações são denominadas equações diferenciais.
Uma situação que nos apresenta comumente é a seguinte: encontrar
dy
= F' ( t ) .
dt
y=f(t), sabendo-se que
O método de obtenção da solução desta equação diferencial é chamado
método da separação de variáveis.
dy = F' ( t )dt ⇔
∫ dy = ∫ F' ( t )dt ⇔
⇔ y = F ( t ) + C.
Tal solução é denominada solução geral da equação diferencial, e a
mesma consiste de uma família de funções (curvas) contínuas correspondentes
aos vários valores de C.
Exemplos:
dy
= 3 x 2 ⇔ dy = 3 x 2 dx ⇔ ∫ dy = 3 ∫ x 2 dx ⇔ y = x 3 + C (Fig a)
a)
dx
dN
= 2t ⇔ dN = 2tdt ⇔ ∫ dN = 2 ∫ tdt ⇔ N = t 2 + C (Fig b)
b)
dt
Fig (a)
Fig (b)
Quase sempre o problema ou modelo expresso por uma equação
diferencial nos fornece informações iniciais (condição inicial da equação
diferencial) para se determinar a constante C. A solução com o valor determinado
de C é chamada de solução particular da equação diferencial.
Exemplo: Determine a solução particular da equação diferencial y 2
condição inicial y(0)=1.
Solução: Separando as variáveis, obtemos:
y 2dy = xdx ⇔
∫
y 2dy =
∫
xdx ⇔
y 3 x2
=
+ C1 ⇔ 2y 3 = 3 x 2 + C , onde C=6C1.
3
2
dy
= x , dada a
dx
140
2
Assim, y = 3 3 x + C é a solução geral da equação.
2
Da solução geral obtida 2y 3 = 3 x 2 + C e aplicando a condição inicial
encontramos C=2. Desse modo y =
3
3x 2 + 2
é a solução particular da equação.
2
8 DINÂMICA POPULACIONAL
Denote por N=N(t) uma dada população, onde t é o tempo. Dizemos que
N(t) cresce a uma taxa proporcional à população atual13 N, se
dN
= rN ,
dt
r uma constante
Neste modelo populacional descrito pela equação diferencial
apresentada, o fator de proporcionalidade ou taxa r, quando positivo, descreve o
crescimento da população e quando negativo o seu decrescimento.
No caso desta população sofrer uma ação predatória, o modelo da taxa
de crescimento desta população é dado por:
dN
= rN − k
dt
,
onde k é a taxa predatória.
Na leitura complementar deste capítulo apresentamos um modelo
matemático em ecologia animal no qual esta equação diferencial é obtida. Além
disso, é feito também um estudo de interações competitivas utilizando-se tãosomente de métodos gráficos.
Problema: Uma população de ratos cresce a uma taxa de 0,5 por mês, ou seja:
dN
= 0,5N .
dt
Admita também que diversas corujas moram na mesma vizinhança e que
elas matam 15 ratos por dia. Desse modo, a equação anterior passa a ser:
dN
= 0,5N − 450 .
dt
a) Encontre a função N(t) que dá a população de ratos em qualquer instante
t em ambos os casos.
b) Esboce o gráfico de N(t) no segundo caso, quando N(0)=800 e
N(0)=1000.
Problemas:
13
Aparentemente o economista britânico Thomas Malthus (1766-1834) foi o primeiro a observar que
muitas populações biológicas crescem a uma taxa proporcional à população. Seu primeiro artigo
sobre populações apareceu em 1798.
141
1) Poluição de reservatórios de água. A taxa segundo a qual determinado
poluente é introduzido em um ecossistema depende, entre outros fatores, do
tempo, do nível de produção industrial dos estabelecimentos próximos, etc.
Suponhamos uma indústria despejando seus dejetos industriais em uma lagoa
próxima durante todo o ano. Denotemos por x o volume em m 3 de poluentes
acumulados na lagoa, após t anos. Neste caso, a taxa à qual esta lagoa está sendo
contaminada se expressa por dx dt ; consequentemente, o volume de poluentes
que se acumulou na lagoa durante o intervalo [ t1 , t 2 ] é dado por:
t2
dx
1
dt
∫t
dt .
dx 200t 3
=
m /ano. Se t=0 corresponde ao
dt 5t + 4
instante quando foram iniciadas as atividades industriais, determine qual o volume
de poluentes despejados na lagoa após 5 anos.
Considere a situação para a qual:
2) Uma epidemia está se alastrando a partir de um ponto central. Digamos que
dados colhidos em pesquisas de campo nos permitam concluir que a expressão:
154 x
− 5
y=
7
representa a densidade dos acometidos a x quilômetros a partir da origem, isto é, o
número de pessoas que contraíram a doença por quilômetro quadrado. Quantos
indivíduos contraíram a doença nesta região, sabendo-se que 0 ≤ x ≤ 35 ?
3) Biólogos observando uma cultura de fungos, concluíram que a sua taxa de
160
proliferação (fungos/semana) é dada por: P = 2 + 4t . Pede-se o valor de fungos
t
no intervalo de 5 a 20 semanas.
4) As bactérias de certa cultura crescem de acordo com a Lei
N=2000 no início e N=4000 quando t=3h, determine:
a) o valor de N quando t=1h;
b) o valor de t quando N=48000.
dN
= KN . Se
dt
142
9 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Vamos analisar em seguida situações em que a primitiva F(x) de uma
função não pode ser expressa em termos de funções elementares, tais como:
polinômios, quociente de polinômios, função exponencial ou logarítmica ou ainda
como uma combinação destas. Entretanto, na maioria das aplicações práticas
dispomos apenas de dados tabelados, e a forma de integração neste caso, é feita
sem se necessitar da expressão analítica para a função, é denominada integração
numérica.
Desta forma, a integração numérica pode ser utilizada quando o valor da
integral definida não é possível, ou dificilmente, ser determinada utilizando-se o
Teorema Fundamental do Cálculo.
Para exemplificar, considere a seguinte situação problema:
Débito Cardíaco: O volume de sangue bombeado pelo coração humano por
unidade de tempo fixo é denominado capacidade cardíaca, ou taxa de fluxo na
aorta. Para uma pessoa saudável e em repouso esta taxa deve girar em torno de 5
a 6 litros por minuto. Durante exercícios físicos intensos a taxa pode chegar a 30
litros por minuto. A técnica utilizada é o método de diluição de contraste. Para isto,
injeta-se um corante em uma importante veia perto do coração. O corante é levado
para o lado direito do coração, bombeado através dos pulmões e, retorna ao lado
esquerdo do coração e para dentro da aorta, onde a concentração do corante pode
ser medida em intervalos regulares de tempo. Por exemplo:
Uma quantidade de 5,6 mg de corante é injetada no átrio direito. A
concentração de corante é medida na aorta em intervalo de 2 segundos, como
mostrado na tabela a seguir, onde t representa segundos após a injeção e Q(t) a
concentração, em mg/l, de corante (ajustada para a recirculação).
t
Q(t)
5
0
7
3,8
9
8,0
11
6,1
13
3,6
15
2,3
17
1,45
19
0,91
21
0,57
23
0,36
25
0,23
27
0,14
29
0,09
31
0
Para obtermos a capacidade cardíaca temos que dividir o
número de miligramas de corante pela área sob a curva da concentração de
corante, isto é,
mg corante
mg
mg l
l
=
=
.
=
unidade de área dentro da curva mg .segundos
s mg s .
l
Logo, a capacidade cardíaca é dada por
M
F=
, onde M é a quantidade ministrada
31
Q
(
t
)
dt
∫
5
do corante e
31
∫5
Q( t )dt é a área sob a curva que
descreve a concentração.
Em nosso exemplo, como não temos a
função Q(t) que descreve o experimento,
143
apresentaremos dois processos de cálculos aproximados da área sob a curva:
10 REGRA DO TRAPÉZIO:
a. Se tivermos apenas os pontos P0 , P1 , ..., Pi , Pi+1, ... , Pn do experimento,
cujas coordenadas são (x0, y0), (x1, y1), ... , (xi, yi), (xi+1, yi+1), ... (xn, yn), a área
de cada um dos trapézios com vértices em Pi e Pi+1 é dada por:
Área T =
yi + 1 + yi
base maior + base menor
( xi + 1 − xi )
altura =
2
2
A área total será aproximadamente a soma das áreas de todos os
trapézios definidos pelos pontos obtidos no experimento. Se o experimento
foi realizado em intervalos (xi+1 - xi) iguais, a equação da área total será:
n y
b
i + 1 + yi ∆ x
f
(
x
)
dx
≅
.
∑
∫a
2
i= 0
b. Se tivermos a função f(x), mas a sua primitiva é de difícil obtenção,
b− a
dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimento h =
.
n
Consequentemente, teremos n trapézios de área:
Área T =
y + yi .
= i+ 1
h
E a área total2 sob a
curva será:
∫
b
f ( x )dx
a
≅
n
yi + 1 + y i
h.
2
i= 0
∑
Para solucionarmos o exemplo do débito cardíaco utilizaremos a regra
dos trapézios do caso a): o intervalo é [5,31], h=2 e Qi(t) = yi. Assim
144
31
∫5
0 + 3,8
3,8 + 8
8 + 6,1
0,14 + 0,04
0,04 + 0
2+
2+
2 + ... +
2+
2≅
2
2
2
2
2
≅ 0 + 3,8 + 3,8 + 8 + 8 + 6,1 + ... + 0,14 + 0,04 + 0,04 + 0 .
Q( t )dt ≅
Desse modo, obtemos:
31
∫5
Q( t )dt ≅ 2( 3 ,8 + 8 + 6 ,1 + 3 ,6 + 2 ,3 + 1,45 + 0 ,91 + 0 ,52 + 0 ,36 + 0 ,23 + 0 ,14 + 0 ,04 )
5,6mg
31
≈ 0,1016 l / s .
Logo, ∫ 5 Q( t )dt ≅ 2( 27,55 ) = 55,1 e portanto F =
55,1( mg / l )s
11 MÉTODO DE SIMPSON
A Regra de Simpson para calcular
b
∫ a f ( x )dx ,
baseia-se em fazermos
aproximações para f em pequenos trechos de seu gráfico usando arcos de
parábolas. Primeiramente, divide-se o intervalo [a,b] em um número par, n, de
b− a
subintervalos de comprimento h =
. Depois, consideram-se os pontos das
n
extremidades de cada subintervalo como sendo: x0, x2, x4, x6,..., x2n e os valores
intermediários como x1, x3, x5, x7,..., x2n-1. A área de cada subintervalo será
determinada pela aproximação de um arco de parábola que passará pelos pontos
de abscissas: x0, x1 e x2 , x2, x3 e x4 e assim sucessivamente.
Agora, seja uma parábola y = Ax 2 + Bx + C que passa por três pontos
consecutivos P0(x0, y0), P1(x1, y1), e P2(x2, y2), onde para simplificação, faremos um
deslocamento dos eixos de tal forma que os valores das abscissas passem a ser
x0=-h, x1=0 e x2=h e consequentemente y0=Ah2-Bh+C, y1= C e y2=Ah2+Bh+C. Observe
que tal deslocamento não altera o valor da área sob a curva (Figuras a e b)
Figura a
Figura b
A área abaixo da curva correspondente ao polinômio quadrático
y = Ax + Bx + C é dada por:
2
∫
h
( Ax 2
−h
Área =
Ax 3 Bx 2
+ Bx + C )dx =
+
+ Cx
3
2
h
, e assim:
−h
3
2 Ah
h
+ 2Ch = ( 2 Ah 2 + 6C ) .
3
3
Verificamos que, y0 + 4 y1 + y 2 corresponde ao termo 2 Ah 2 + 6 C .
Então, temos:
145
h
( y0 + 4 y1 + y 2 ) .
3
Analogamente, para o próximo subintervalo com os pontos P2, P3 e P4 a
área sob a parábola será:
h
∫ − h ( Ax
2
+ Bx + C )dx =
Área =
h
( y 2 + 4y 3 + y 4 ) .
3
Uma vez que a área total é a soma de todas as subáreas, obteremos:
b
∫ a f ( x )dx ≈
=
h
h
h
( y0 + 4 y1 + y 2 ) + ( y 2 + 4 y 3 + y 4 ) + ... + ( y n − 2 + 4 y n − 1 + y n )
3
3
3
h
( 1y0 + 4 y1 + 2 y 2 + 4 y 3 + 2 y 4 + ... + 2 y n − 2 + 4 y n − 1 + 1y n ) .
3
É importante destacarmos que quanto maior for o valor de n em cada um dos
métodos numéricos maior será a aproximação do valor real da área abaixo da curva.
Aplicando este método para o problema proposto anteriormente obtemos:
31
∫5
f ( x )dx ≈
2
( 0 + 4( 3 ,8 ) + 2( 8 ) + 4( 6 ,1 ) + 2( 3 ,6 ) + 4( 2 ,3 ) + 2( 1,45 )
3
+ 4( 0 ,91 ) + 2( 0 ,57 ) + 4( 0 ,36 ) + 2( 0 ,23 ) + 4( 0 ,14 ) + 2( 0 ,09 ) + 0 )
2
= 82 ,32 = 54 ,88 .
3
5 ,6
= 0 ,1020 l / s .
Logo F =
54 ,88
Problemas:
1) Uma população de abelhas cresce a uma taxa de r(t) abelhas por semana,
conforme a tabela. Use a Regra de Simpson e o método dos trapézios com 6
subintervalos para estimar o aumento da população de abelhas durante as
primeiras 24 semanas.
Solução:
t
r(t)
Considere n os subintervalos de iguais comprimentos, logo n=6 e
0
0
4
300
(24 − 0)
8
3000
∆ x = (b − a) / n logo: ∆ x =
= 4 . Aplicando a regra de Simpson temos:
6
12
11000
16
4000
∆x
[ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x3 ) + 2 f ( x4 ) + 4 f ( x5 ) + 2 f ( x6 )] ,
20
500
S6=
3
24
0
4
isto é, S6= [ (0 + 1200 + 6000 + 44000 + 8000 + 2000 + 0)] = 81600 .
3
Logo o aumento da população nas primeiras 24 semanas será de 81600
abelhas.
146
2) Depois de uma injeção de 8mg de contraste, as leituras de concentração do
contraste com intervalos de dois segundos são mostradas na tabela. Use a Regra
de Simpson e o método dos trapézios para estimar a capacidade cardíaca.
Solução:
Solução: Temos que n=10 subintervalos e ∆ x = (b − a ) / n , isto é
(20 − 0)
t c(t)
∆x=
= 2 . Aplicando a regra de Simpson temos:
10
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2,4
5,1
7,8
7,6
5,4
3,9
2,3
1,6
0,7
0
∆x
[ f ( x 0 ) + 4f ( x1 ) + 2f ( x 2 ) + 4f ( x 3 ) + 2f ( x 4 ) + 4f ( x 5 ) + 2f ( x 6 ) +
3
S10 =
+ 4f ( x 7 ) + 2f ( x 8 ) + 4f ( x 9 ) + 2f ( x10 )]
2
[ 0 + 4( 2,4 ) + 2( 5,1) + 4( 7,8 ) + 2( 7,6 ) + 4( 5,4 ) + 2( 3,9 ) +
3
2
+ 4( 2,3 ) + 2( 1,6 ) + 4( 0,7 ) + 2( 0 )] = ( 0 + 9,6 + 10,2 + 11,8 + 15,2 + .
3
2
+ 21,6 + 7,8 + 9,2 + 3,2 + 2,8 + 0 ) = .91,4 ≅ 60,93.
3
=
Assim, a capacidade cardíaca é aproximadamente 60,93 mg/l.
3) Certa curva é dada pelas suas coordenadas cartesianas, conforme tabela a
seguir. Calcule a área aproximada entre a curva, o eixo x e as retas x=1 e x=9
usando a Regra de Simpson e o método dos trapézios.
x
y
1
0
2
0,6
3
0,9
4
1,2
5
1,4
6
1,5
7
1,7
8
1,8
9
2
12 ÁREAS DE REGIÕES PLANAS
Frequentemente, os morfologistas têm que determinar as áreas de
determinadas células, as quais podem ser consideradas como figuras planas. Não
há dificuldades em calcularmos a área de quadrados, retângulos, etc. Entretanto,
quando as regiões são limitadas por curvas, surgem dificuldades.
Uma maneira de se fazer tal cálculo consiste em dividirmos a região em
quadrados de mesmo tamanho e consequentemente mesma área. Porém,
podemos observar que próximos à fronteira existem quadrados que cobrem apenas
parcialmente a região. Como indicado nas figuras a seguir.
Malha : 1:1
Malha: ½ : ½
Malha: ¼ : ¼
Quando o centro de um quadrado da malha está no interior da região
considerada, este é marcado com um ponto. Após a marcação de todos os centros,
o número de pontos é totalizado. E então este total deve ser multiplicado pela área
do quadrado da malha. Este resultado fornece uma estimativa da área da região.
Para obtermos uma melhor aproximação, devemos utilizar uma malha “mais fina”,
por exemplo, a metade da anterior, e assim sucessivamente.
147
13 LEITURA COMPLEMENTAR
13.1. Crescimento populacional
Faremos uma breve explicação do uso de modelos matemáticos em
ecologia animal. Para tanto, descrevemos os modelos obtendo suas soluções
através de métodos gráficos.
Os fatores que causam o acréscimo de uma população de tarântula de
500 para 800 aranhas poderão ser muito diferentes dos fatores que causam um
risco à população que decresce de 10 para 8 pássaros. Todas as mudanças no
tamanho de uma população podem ser classificadas de maneira adequada em
quatro categorias:
1.
2.
3.
4.
populações que aumentam por nascimentos e decrescem
por mortes;
populações que aumentam por imigração e diminuem por
emigração;
populações cujo tamanho varia por mudanças de
características, e
variações que combinam fatores destas anteriores.
No exemplo da tarântula, a população inicial de 500 aranhas pode
produzir 400 novas aranhas durante o ano e perder 100 aranhas adultas, sem
movimento de indivíduos. Alternativamente, podemos ter 50 nascimentos e 50
mortes, com 300 emigrações e 600 imigrações de outras populações. Ambas as
situações levam-nos a um aumento de 300 aranhas.
Podemos expressar matematicamente tal crescimento populacional da
seguinte maneira:
Nt+1=Nt+B-D+I-E ,
onde Nt representa a população no tempo (discreto) t, B representa o número de
nascimentos por unidade de tempo, D o número de mortes nesse período, I o
numero de imigrações e E o número de emigrações em um intervalo de tempo de t
a t+1.
Estamos interessados na variação do tamanho da população ∆ N que é
dada por:
∆ N = N t + 1 − Nt = B − D + I − E
Para simplificar, assumiremos que nossa população é fechada, isto é,
não há movimento entre indivíduos de outras populações: I=E=0.
Assim
∆ N = B − D.
Também assumiremos que a população estudada está crescendo
suavemente, de maneira que nascimentos e mortes ocorrem de linearmente e,
portanto contínua. Para o exemplo da tarântula, lembramos que a população cresce
300 aranhas em um ano e, consequentemente a população cresce 150 aranhas em
148
6 meses. E, se contarmos a população após 2 dias, encontraremos (2/365).
300=1,64384 aranhas a mais! Em outras palavras, o período de tempo não pode –
para esta expressão usada na modelagem – ser demasiado pequeno em função do
tipo de reprodução.
Observa-se assim que o crescimento perfeitamente contínuo não existe,
porque não há reprodução com valores fracionários. Entretanto, o crescimento
populacional de organismos longevos (duradouros) e em número de indivíduos
suficientemente alto pode ser aproximadamente descrito como sendo contínuo.
Matematicamente isto nos permite descrever crescimento de populações como
uma equação diferencial em vez de uma equação de diferenças (estas, mais
adequadas, inclusive, a reproduções sazonais). Então, o crescimento de uma
população é medido como a variação no tamanho da população dN durante um
intervalo muito pequeno de tempo dt:
dN
= B− D.
dt
Uma vez que, na equação diferencial, estamos considerando variações
infinitesimais da população, necessitamos obter mais informações sobre os
parâmetros B e D durante o intervalo de tempo dt. Uma questão fundamental é
determinarmos quais fatores interferem nos nascimentos B e nas mortes D.
Inicialmente, analisaremos os nascimentos os quais certamente dependem do
tamanho da população.
Se cada fêmea produz o mesmo número (em média, evidentemente!) de
crias durante um curto intervalo de tempo, o número de nascimentos em uma
população será diretamente proporcional ao número de fêmeas ou, considerando a
proporção funcional de fêmeas na população como sendo ½ da população,
proporcional ao tamanho dessa população. Denotando por b a taxa de nascimentos
por indivíduo por unidade de tempo, decorrido um curto intervalo de tempo, o
número de nascimentos em uma população é o produto entre a razão de
nascimentos e o tamanho da população:
B=bN.
Similarmente, podemos definir a taxa de mortes d, cuja unidade é o
número de mortes por indivíduo por unidade de tempo. Neste caso, o produto da
taxa de mortes pelo tamanho da população nos dá o número de mortes durante o
intervalo estudado:
D=dN.
Assim,
dN
= (b − d)N .
dt
Fazendo-se b-d = r, a taxa instantânea de crescimento está dada por:
dN
= rN .
dt
149
Uma questão importante é sabermos quando a população permanecerá
estacionária, ou seja, quando
dN
= 0,
dt
isto significando que uma população nunca crescerá ou decrescerá quando a taxa
de crescimento for igual a zero – e isto ocorre se r = b – d = 0, ou a taxa de
natalidade é igual à da mortalidade.
Nos demais casos a população cresce exponencialmente para r > 0, ou
decresce exponencialmente para r < 0, pois, como já vimos:
dN
= rN ⇔ N = N0 e rt .
dt
É importante salientar que estas equações não são sempre aplicáveis no
mundo real. Em alguns casos, o número de nascimentos não depende do atual
tamanho da população. Por exemplo, numa população de plantas, sementes
permanecem dormentes no solo por vários anos em um banco de sementes.
Conseqüentemente, o número de nascimentos pode refletir a estrutura da
população de plantas em anos anteriores. Um modelo para tal população incluiria
um atraso de tempo porque a razão de crescimento atualmente depende do
tamanho da população há muito tempo atrás. Por outro lado, para populações de
países, é precisamente este tipo de informação que caracteriza o crescimento. É
precisamente o parâmetro r que é usado pelo IBGE para descrever o que ocorre no
Brasil ou em suas regiões, por exemplo.
Quando a população de uma espécie se ressente de faltas em função do
crescimento populacional (faltam espaço, alimento, condições de reprodução...),
um modelo matemático que pode descrever um impedimento ao crescimento
populacional é dado pela equação dita logística:
  N 2 
dN
= rN 1 −    ,
dt
  k  
onde k, que é usado aqui como coeficiente de restrição de espaço, é denominado
de capacidade de suporte (representando a máxima população que aquele meio
em que vive a população consegue manter e sustentar – e que é inversamente
proporcional ao crescimento da população). De certa forma, este termo representa
a competição de indivíduos da mesma espécie por alimento e espaço no meio: se
houver indivíduos demais, morrem mais, também. De certa forma, tem-se ainda a
taxa intrínseca de reprodução r, e um fator de aumento de mortalidade, que
depende do tamanho da própria população.
A obtenção de N, por ser de difícil solução algébrica, será apresentada
graficamente a seguir, utilizando-se o software Populus. No ensaio exibido,
N(0)=100, o período analisado é o intervalo de 0<t≤100 e os coeficientes são r=0,01
e k=5,2.
150
Podemos observar que há um decrescimento exponencial nos primeiros
10 anos e que a população decresce para um valor que o meio em que ela vive a
consegue manter Um comportamento semelhante seria obtido se a população
inicial fosse, por exemplo, de N(0)=1. Neste caso a população N iria aumentar para
5,2, precisamente a capacidade de suporte desse meio.
13.2. Modelos de interações competitivas
Nem sempre, porém, espécies sobrevivem sozinhas num meio e a
modelagem deve levar em conta a interação entre duas ou mais espécies. A seguir
faremos uma descrição dos tipos de interações competitivas e, em alguns casos, a
solução gráfica dos modelos que a representam.
No estudo de crescimento populacional, um dos fatores de interferência é
o de interação competitiva, isto é, é aquela para a qual duas espécies se
influenciam negativamente nas respectivas razões de crescimento, diminuindo
assim mutuamente a velocidade de crescimento de cada uma das populações.
Em alguns casos, as populações de uma mesma espécie sofrem
competição de destruição. Isto ocorre quando populações dizimam uma à outra
na disputa por recursos, seja em alimento, nutrientes, ou mesmo espaço. Como
exemplo, temos populações de peixes que procuram ou se alimentam do mesmo
tipo de alga – e no mesmo local, ou, também plantas que competem que competem
entre si por um mesmo suprimento limitado de água.
A competição de interferência ocorre quando um indivíduo ou
população age no sentido de reduzir a exploração eficiente de outro indivíduo ou
população. Como exemplo, citamos os pássaros canoros que mantêm um território
bem estabelecido de procriação, e colônias de formigas que matam invasores para
comer.
151
Ainda, com relação a competições, podemos classificá-las em:
a) Competição intraespecífica: ocorre entre membros de uma mesma
espécie.
b) Competição interespecífica: ocorre entre duas ou mais espécies
diferentes.
Tais competições podem ser representadas através dos seguintes
modelos:
a) Competição intraespecífica: Para Lotka-Volterra:
dN
= (aN − bN 2 ) = (a − bN)N
dt
,
onde a é o fator de crescimento de N (ou, como indicado acima, sua taxa intrínseca
de crescimento), bN é a “influência
ruim” – a mortalidade causada pela
disputa do convívio, e o fator NN
representa o convívio entre os
indivíduos da mesma espécie.
Utilizando o software Populus
podemos ver o desenvolvimento de
uma competição intraespecífica, no
decorrer de um período de 0 a 100.
b) Competição interespecífica: Para duas populações distintas, N=N(t) e
 dN
 dt = (aN − bPN) = (a − bP)N

 dP = (uP − vPN) = (a − bN)P

P=P(t), temos:  dt
,
onde, na primeira equação, bP é a “influência ruim”causada pela presença da
população P sobre a espécie competidora, N. Por outro lado, se a influência, em
vez de descrever a competição, descrever o mutualismo isto é , se abordar uma
cooperação positiva, como no caso da presa em relação a um predador, teremos:
dN
= (aN + bPN) = (a + bP )N
dt
Pode-se observar que o termo +bPN faz aumentar a velocidade com que cresce a
dN
.
população N=N(t), contribuindo positivamente para
dt
152
13.3. Soluções de equilíbrio
Em uma dada população N(t) os seus pontos críticos, ou seja, pontos
para os quais N’(t)=0, algumas vezes são denominados soluções ou estado de
equilíbrio. Em tais pontos N(t) pode eventualmente apresentar um valor máximo ou
mínimo, conforme as figuras a seguir.
Fig. a
Fig. b
Alguns fatores podem influenciar ou perturbar uma dada solução de
equilíbrio e desejamos analisar as conseqüências dessa perturbação sobre o nosso
sistema, isto é, se a tendência dessa população é de voltar ao seu estado de
equilíbrio (fig. a) ou dele se afastar para não mais retornar (fig.b).
Pontos como aqueles da Fig. a são denominados pontos estáveis ou
atratores e da Fig. b, pontos instáveis ou repulsores.
Iremos em seguida analisar graficamente o comportamento de duas
espécies em competição com respeito à estabilidade de seus pontos de equilíbrio.
Consideremos agora duas espécies P e Q em competição interespecífica,
dada pelo sistema:
 dP
 dt = aP − bPQ
.

 dQ = cQ − dPQ
 dt
Os pontos de equilíbrio são obtidos de:
153
dP
dQ
= 0 e
= 0.
dt
dt
154
Resulta então:
a

 ( a − bQ )P = 0 ⇒ Q = b

 ( c − dP ) Q = 0 ⇒ P = c

d
ou
P= 0
ou
Q= 0
Assim, da primeira equação temos que a solução de equilíbrio de Q ocorre
quando Q = a/b(constante).e seu crescimento quando dP/dt>0, isto é,
(a - bQ)P > 0 ⇔ a - bQ > 0 ⇔ Q < a/b .
Da segunda equação a solução de equilíbrio de P ocorre quando P =
c/d(constante)
e
seu
crescimento
quando
dQ/dt>0,
isto
é,
(c - dP)Q > 0 ⇔ c - dP > 0 ⇔ P < c/d .
Graficamente temos:
Solução de equilíbrio para Q
Solução de equilíbrio para P
→=
crescimento de P
← = decrescimento de P
↑ = crescimento de Q
↓ = decrescimento de Q
Visualizando os gráficos simultaneamente e tomando a resultante dos
vetores que se formaram, temos:
Observemos que, neste caso, o ponto (c/d, a/b) será sempre repulsor!
Uma outra situação nos é dada num modelo presa-predador: iremos
considerar as presas P como pescadinhas e iremos supor que Q são tubarões.
Neste caso, o sistema está dado por:
 dP
 dt = (a − bP − eQ)P
.

 dQ = (c + rP − sQ)Q
 dt
Na primeira equação, -bP representa as mortes das pescadinhas numa
competição umas contra as outras enquanto que o termo -eQ refere-se às mortes
de pescadinhas por efeito de ações predatórias dos tubarões. Na segunda
equação, +rP representa a contribuição positiva do alimento em forma de
pescadinhas para os tubarões e -sQ está representando as mortes dos tubarões
por competição dentro da espécie.
Os pontos de equilíbrio são obtidos de se igualar ambas as equações a
zero:
155
 dP
 dt = (a − bP − eQ)P = 0

 dQ = (c + rP − sQ)Q = 0
 dt
⇔
P= 0
ou
⇔
Q= 0
ou
a b
− P
e e
.
c r
c + rP − sQ = 0 ⇔ Q = + P
s s
a − bP − eQ = 0 ⇔ Q =
Estas duas equações, aliás duas retas, representam regiões em que,
respectivamente, dP/dt e dQ/dt são nulas. Além disto:
a b
 dP
 dt = (a − bP − eQ)P > 0 ⇔ a − bP − eQ > 0 ⇔ Q < e − e P
.

 dQ = (c + rP − sQ)Q > 0 ⇔ c + rP − sQ > 0 ⇔ Q < c + r P
 dt
s s
A solução de equilíbrio é dada graficamente por:
Observe-se que o ponto de interseção das duas retas é o ponto de
equilíbrio estável de presas e predadores.
Outras possibilidades para a localização destas retas no plano P,Q, ou
seja, para os pontos de interseção das retas com o eixo das ordenadas, a/e e c/s,
são:
N
atrator.
interseção é atratora.
c/s
a/b é atrator.
TABELA DE INTEGRAIS
é
156
1
kdx = kx + c
. ∫
2 n
x n+ 1
x
dx
=
+ c
. ∫
n+ 1
3
.
∫
1
dx = ln x + c ,
x
( n ≠ − 1)
X≠ 0
4 x
e dx = e x + c
. ∫
5
1 x
a x dx =
.a + c
. ∫
ln a
6
ln xdx = x ln x − x + c
. ∫
7 ∫ udv = uv − ∫ vdu
.
(a > 0, a ≠ 1)