Soluções Numéricas de
Sistemas Não Lineares
Método Iterativo Linear
2008.1
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Diversas Equações
• Nos tópicos de solução de equações,
aprendemos resolver a equação:
f(x) = 0
• Em diversas situações, precisamos resolver
problemas onde mais de uma variável e mais de
uma equação estão interligadas:
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Sistema 2x2
• Consideremos o caso de duas variáveis e duas
incógnitas:
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Método Iterativo Linear
(Analogia com caso de uma variável)
Para o caso de uma variável queríamos:
f(x) = 0
Reescrevíamos na forma:
x = ψ(x)
E obtínhamos o seguinte processo iterativo:
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Método Iterativo Linear
(Analogia com caso de uma variável)
Para o caso de uma duas variáveis queremos:
Reescrevemos na forma: :
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MIL para Sistemas Não Lineares
(Convergência)
Condições suficientes (mas não necessárias) para
convergência:
a) F,G e suas derivadas parciais de primeira ordem
são contínuas numa vizinhança V da raiz (x,y)
b) As seguintes desigualdades são satisfeitas:
|Fx| + |Gx| ≤ k1 < 1
|Fy| + |Gy| ≤ k2 < 1
para todo ponto (x,y) pertencente à vizinhança V.
c) (x0,y0) pertence à V.
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MIL para Sistemas Não Lineares
(Exemplo)
Exemplo:
Podemos reescrever este sistema na forma:
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MIL para Sistemas Não Lineares (Cont.)
F e G satisfazem as condições de convergência ?
Tomemos por exemplo o ponto (x0,y0) = (0.9,1.1)
Em (0.9,1.1): |Fx| + |Fy| = 0.76 < 1
|Gx| + |Gy| = 0.719 < 1
Se (x0, y0) está na vizinhança de uma raiz, então a
condição c) está garantida
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MIL para Sistemas Não Lineares (Cont.)
Exemplo
Convergindo para (1,1) - que é raiz do sistema.
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Referências
Ruggiero, M. A. G., Lopes, V. L. R., Cálculo Numérico –
Aspectos Teóricos e Computacionais,
Pearson/Markron Books, 2a. Edição, 1998.
Cláudio, D. M. e Martins, J. M., Cálculo Numérico
Computacional, Ed. Atlas, 1987.
Barroso, L, Barroso, M.M.A., Campos Filho, F. F.,
Cálculo Numérico com Aplicações, Ed. Harbra, 1987.
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