Superfícies Quádricas
Superfícies Quádricas
Não-Centradas



Parabolóide Hiperbólico ou Sela
Superfície Cônica
Superfície Cilíndrica
Parabolóide Hiperbólico ou
Sela
Parabolóide Hiperbólico

Os coeficientes da equação de segundo grau
devem ter sinais contrários:
2
2
y
x


cz
2
2
b
a
A equação acima representa a forma da
equação do parabolóide ao longo do eixo dos
z.
Parabolóide Hiperbólico

Outra formas canônicas são:
2
2
z x


by
2
2
c a

2
2
z y
 2  ax
2
c b
Parabolóides hiperbólicos ao longo dos
eixos Oy e Ox, respectivamente.
Parabolóide Hiperbólico


Traço no Plano xOy é o (Par de Retas)
Fazendo z=0, obtém-se:
2
2
y
x
 2 0
2
b
a
Parabolóide Hiperbólico

Rearranjando a equação:
b
y 
x
a
obtém-se as equações das retas.
Parabolóide Hiperbólico


Traço no Plano xOz e yOz.
Fazendo y=0 e x=0, obtém-se as
seguintes equações de parábola:
1
2
z  
x
2
ca
z 
1
cb 2
y2
Parabolóide Hiperbólico

As Parábolas tem o eixo z como eixo
de simetria. E concavidade para baixo e
para cima, respectivamente.
Parabolóide Hiperbólico

Traço no plano z=k é uma hipérbole
cujo eixo real é paralelo ao eixo dos y
se k>0 e paralelo ao eixo dos x se k<0.
2
2
2
2
y
x
 2  ck
2
b
a
x
y
 2  ck
2
a
b
Parabolóide Hiperbólico
Superfície Cônica




É uma superfície gerada por uma reta
que se move apoiada numa curva plana
qualquer e passando sempre por um
ponto não situado no plano desta curva.
Reta: geratriz
Curva plana: diretriz
Ponto Fixo: vértice da superfície cônica.
Superfície Cônica


Vamos considerar o caso em que a
superfície cônica é uma elipse.
Nas condições acima, a superfície
cônica cujo eixo é o eixo dos z:
2
2
2
x
y
z
 2  2 0
2
a
b
c
Superfície Cônica


Traço no plano xOy é o ponto (0,0,0).
Traço no plano yOz, (x=0):
2
2
y
z
 2 0
2
b
c
 y z  y z 
      0
 b c  b c 
Superfície Cônica

Obtém-se duas retas que passam pela
origem:
b
y 
z
c
b
y  z
c
Superfície Cônica


Traço no plano xOz é constituído por
duas retas que passam pela origem.
Os traços nos planos z=k são elipses e
se a=b, são circunferências, obtendo-se
a superfície cônica circular reta.
Superfície Cônica
Superfície Cônica
Superfície Cilíndrica



Seja C uma curva plana e f uma reta
fixa não contida nesse plano.
Superfície cilíndrica é a superfície
gerada por uma reta r que se move
paralelamente à reta fixa f em contato
permanente com a curva plana C.
A reta r que se move é denominada
geratriz e a curva C é a diretriz da
superfície cilíndrica.
Superfície Cilíndrica

Diretriz: Parábola
x  2y
2

Equação da Superfície Cilíndrica:
x  2y
2
Superfície Cilíndrica


Diretriz: circunferência, elipse, hipérbole
ou parábola.
Superfície: circular, elíptica, hiperbólica
ou parabólica.
Superfície Cilíndrica