Superfícies Mínimas Obtidas
Através da Transformada de
Ribaucour
Disney Douglas de Lima Oliveira
Junho - 2003
Conteúdo
Um pouco de geometria diferencial
 Superfícies Mínimas
 Histórico
 Transformada de Ribaucour
 Superfícies associadas a Superfície de
Enneper
 Superfícies Mínimas associadas ao
Catenóide

Curvas



Uma curva regular é um conjunto unidimensional C que é suave em todos os
seus pontos.
Uma conseqüência da suavidade é que
a reta (secante) que passa por dois
pontos p1 , p2  C se aproxima de uma
posição limite quando p1 e p2 tendem
para um ponto p2  C.
Tal posição limite é chamada a (reta)
tangente a C no ponto p.
Figura 1
Aplicação tangente
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

Seja C uma curva em um plano P. Escolhamos
um sentido de percurso para C e um sentido de
rotação em P; diremos então que C e P estão
orientados.
Associemos a cada p  C um vetor tangente
unitário e1(p) na orientação de C.
Seja S1 um círculo de raio um e centro 0 em P. A
aplicação tangente T:CS1 é definida
associando a cada p  C a extremidade de
e1(p), quando a sua origem é transladada para 0
Figura 2
Curvatura
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

Sejam p e q dois pontos próximos de C e seja s o
comprimento de arco em C de p a q, onde s é positivo se
p se desloca para q na orientação da curva.
Indiquemos por  o ângulo de T(p) a T(q), na orientação
do plano P.
Como conseqüência da suavidade de C, existe o limite
e seu valor é a curvatura de C em p.
Figura 3
Sinal da curvatura
Superfície
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

Uma superfície (regular) é um conjunto bidimensional que é suave em todos os seus
pontos. Em particular dados três pontos
p1,p2,p3  S, o plano determinado por estes
pontos tem uma posição limite quando p1, p2 e
p3 tendem para um ponto p  S.
Este plano é chamado o plano tangente TpS a
S em p.
Pela própria construção, TpS contém as
tangentes às curvas em S passando por p.
Figura 5
Superfície fechada
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
Uma superfície que é limitada (isto é, está
contida no interior de uma bola de raio
suficientemente grande) e não tem fronteira é
chamada uma superfície fechada.
Esferas e elipsóides são superfícies fechadas.
Cilindros e parabolóides infinitos não são
fechadas por não serem limitadas. Por outro
lado, uma parte do cilindro e uma parte do
parabolóide não são fechadas por possuírem
pontos na fronteira.
Figura 6
Parametrização
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

Para uma curva C, digamos, em R3, uma
parametrização significa escolher coordenadas
cartesianas x,y,z em R3, e que as coordenadas x(t), y(t),
z(t) de um ponto da curva são dadas como funções do
parâmetro t que percorrem um intervalo I da reta.
Para uma superfície S  R3, isto significa que as
coordenadas x(u,v), y(u,v), z(u,v) de um ponto da
superfície são funções de dois parâmetros u,v; neste
caso, o par (u,v) percorre o domínio aberto U de um
plano no qual introduzimos u e v como coordenadas
Assim uma curva pode ser representada por uma
aplicação  : I R3 , e uma superfície como uma
aplicação X : U R3
Condição de regularidade
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
A condição de regularidade de uma curva se exprime
dizendo que o vetor tangente ’(t) = (x’(t), y’(t), z’(t)) ≠ 0
 t  I.
Para superfície pode ser expressa fixando (u0 , v0 )  U e
requerendo que os vetores tangentes às curvas
u X(u, v0 ), v X(u0, v ), isto é, que os vetores
sejam L.I.  (u0 , v0 )  U
Curvatura normal
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

Sejam p S, onde S R3 é uma superfície
orientada, e N(p) o vetor normal a S em p, na
orientação de S e seja v uma vetor unitário do
plano tangente TpS.
O Plano Pv que contém v e N, corta a superfície
S segundo uma curva plana Cv , chamada
secção normal de S em p segundo v.
A curvatura normal kv de S em p é definida
como o valor absoluto da curvatura de Cv com
um sinal positivo, se N está voltado para a
concavidade de Cv , e negativa caso contrário.
Temos que kv = k-v
Curvatura (fig)
Curvaturas principais
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
Quando Pv gira em torno de N, v descreve um
círculo de raio um em TpS.
É possível mostrar que kv depende
continuamente de v S1 e, portanto, atinge um
máximo k1 e um mínimo k2 em S1
As curvaturas k1 e k2 são chamadas
curvaturas principais
As direções correspondentes ( os vetores
unitários correspondentes) são chamadas
direções principais.
KH
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


Euler provou que, conhecidas as curvaturas k1 e
k2 e o ângulo que faz v, digamos, com a direção
correspondente a k1 , kv é dada por
kv = k1 cos2 + k2 sen2
Portanto k1 e k2 determinam todas as curvaturas
normais em p.
Chamamos curvatura gaussiana de S em p o
produto K = k1k2
Chamamos curvatura média a média aritmética
Aplicação normal de Gauss

Seja S uma superfície orientada e S2(1)
uma esfera de raio um e centro 0. A
aplicação normal (ou aplicação esférica
ou aplicação de Gauss) N : S  S2(1) é
definida fazendo corresponder a cada p 
S a extremidade do vetor unitário normal
N(p) da orientação de S, quando a origem
de N(p) é transferida para o centro 0 de
S2(1)
Figura 8
Figura 9
Fig 10
Área



Quando nas vizinhanças de um ponto p  S, a
aplicação normal é biunívoca, podemos tomar
um domínio limitado D S em torno de p, e
medir a área de sua imagem N(D).
Dizemos que a área de N(D) é positiva se a
fronteira de N(D) é percorrido no mesmo sentido
que a fronteira de D
Indiquemos por A a área de D e por à a área de
N(D)
K(p)


Seja p  S. Se não existe uma região D em torno de p na
qual N é biunívoca, fazemos K(P) = 0. Caso contrário,
define-se K(P) como o limite
Obsevamos que esta definição é o análogo para
superfícies da definição de curvatura para curvas planas
(no caso de curvas planas, poderíamos ter tomado a
aplicação normal sem alterar o resultado) e áreas no
lugar de comprimentos.
Figura 10
Superfície Mínima



Definimos superfície mínima como as superfícies
com curvatura média nula.
Fisicamente isto significa que para um
determinado limite uma superfície mínima não
pode ser modificada sem aumentam a área da
superfície
As superfícies mínimas satisfazem à equação
(1  fv )fuu  2fu fv fuv  (1  fu )fvv  0
2
2
(0 )
(cont.)



Encontrar uma superfície de área mínima com
borda específica e constante é um problema de
cálculo das variações, conhecido como
Problema de Plateau
As superfícies mínimas também podem ser
caracterizadas como superfícies de área mínima
para uma dada borda fixa.
Observe que uma esfera é uma “superfície
mínima” no sentido de reduzir a área da
superfície em relação ao volume, o que não a
qualifica como uma superfície mínima no
sentido de nossa definição.
Histórico
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
A história das superfícies mínimas inicia com Lagrange
Em sua famosa autobiografia publicada em 1762,
Lagrange desenvolveu um algoritmo para o cálculo das
variações.
Euler (1740) por meio da rotação da catenária em
relação ao eixo central obteve uma superfície de
revolução que ele chamou de “allyside”, posteriormente
renomeada de catenóide por Plateau.
Costuma-se dizer que o catenóide é a única superfície
mínima de revolução.
Catenóide
Meusnier
Meusnier (1776) obteve uma outra
solução da eq. (0), introduzindo a
condição adicional que as “curvas de
nível” f(x, y) = cosnt. fossem retas.
 A solução neste caso, é um helicóide
 O helicóide pode ser descrito da seguinte
forma:

Descrição
Considere uma hélice que se enrola em
um cilindro circular reto.
 Por cada ponto da hélice, passe uma reta
que encontra perpendicularmente o eixo
do cilindro
 Quando o ponto descreve a hélice, esta
reta descreve uma superfície chamada
helicóide.

Cilindro
Helicóide
• O helicóide possui a propriedade provada por
Cartan em 1842, que ela é (exceto o plano) a
única superfície mínima regrada (isto é, por cada
ponto da superfície passa uma reta contida na
superfície).
Sherk



Sherk (1835) obteve novas superfícies, o que lhe
valeu um prêmio da Academia de Ciências de
Paris.
Ele introduziu na eq. (0) a condição que as
variáveis podiam ser “separadas”.
Mais precisamente ele supôs que
f(x,y) = g(x) + h(y).
Superfície de Sherk
Enneper


Enneper em 1864 descreveu uma superfície
como imagem de uma aplicação X : R2 R3 do
plano R2, com coordenadas (u,v), no espaço R3 ,
com coordenadas x,y,z dadas por :
Observamos que a superfície de Enneper só
envolve somas e produtos. Neste sentido, ela é
mais simples que as superfícies mínimas
apresentadas até agora, cujas representações
são dadas por funções transcendentes (isto é,
que envolvem de maneira essencial a função
exponencial).
Superfície de Enneper
Plateau

Plateau (1873) realizou experiências com
membranas e bolhas de sabão, convencendo os
matemáticos da existência de uma solução para o
problema de determinar a superfície de área
mínima sujeita a determinado bordo fixo.
Película de sabão


É possível mostrar que essa superfície de
equilíbrio tem curvatura média H =0. Isso
decorre de uma fórmula, devida a Laplace, que
diz que a pressão em cada ponto exercida
pela superfície sobre o meio ambiente é
dirigida na direção da normal à superfície e
proporcional a H
Como a superfície está em equilíbrio, tal
pressão, donde H, se anula em todos os pontos
Película de sabão (fig)
Resolução do problema




Weierstrass (1861) criou uma representação
(parametrização de Weierstrass) que permite
construir uma superfície em termo de duas
funções
Douglas (1931) e Radó (1930) , solucionaram o
problema de Plateau tendo a brilhante idéia de,
ao invés de minimizar a área, minimizar a
função de energia de Dirichlet.
Courant (1950) Reformulou a teoria de Douglas
e Radó.
Wilson (1970) e Gulliver (1973) mostraram que
a solução mínima não possuía singularidades.
Superfície de Costa


Em 1982, em sua Tese de Doutorado no IMPA, Celso
José da Costa obteve as equações do terceiro
exemplo longamente procurado.
Trabalhando com a representação de Weierstrass
para funções definidas em um toro, Costa obteve uma
superfície mínima completa conformemente
equivalente ao toro menos três pontos. Dois dos fins
da superfície são do tipo catenóide ( no sentido em
que se afastam para o infinito) e o terceiro fim se
aproxima assimtoticamente de um plano que está a
uma distância finita (tais fins são chamados planares)
Transformada de Ribaucour

Seja M uma superfície orientavel do R3, sem
pontos umbílicos, cuja função de Gauss
denotamos por N. Dizemos que
é associado a
M pela transformada de Ribaucour, se e somente
se, existe uma função diferenciável h definida em
M e um difeomorfismo
tal que
a)
onde
é a função de Gauss de
b) O subconjunto p + h(p)N(p), p  M , é uma
subvariedade de dimensão 2
c)  preserva linhas de curvatura
Teorema 1

Seja M uma superfície do R3, sem pontos umbílicos,
cujo Gauss é N. Sejam ei,
as direções
principais ortonormais, i as correspondentes
curvaturas principais. A superfície
é associada a M
através da transformada de Riboucour, se e somente se
M e
são associadas a esfera congruente, cuja
função raio h :M R satisfaz 1 + hi ≠ 0 e

onde

e ij são as formas de conexão de ei .
Proposição 1

Suponha que h é uma função não nula que satisfaz a equação (1), então
é uma 1-forma fechada e existe uma função não nula , definida em um
domínio simplesmente conexo, tal que

Para cada função não nula h, a qual é uma solução de (1), consideramos 
como acima e definimos

Com esta notação

Além disso, a equação (1) é equivalente ao sistema linear dado pelo
seguinte resultado
Proposição 2



A função h é uma solução de (1) definida sobre um
domínio simplesmente conexo, se e somente se,
h =  / W onde  e W são funções que satisfazem
Teorema 2

Seja M e
superfícies orientáveis do R3, sem
pontos parabólicos. Assumindo que é associado
a M pela transformada de Ribaucour, tal que as
linhas normais intersectam a uma função distância
h. Se
h =  / W não é constante ao longo das
linhas de curvatura e as funções i ,  e W
satisfazem a relação
12 + 22 +W2 = 2cW,
onde c é uma constante real, então
é uma
superfície mínima, se e somente se M é mínima.
Proposição 3

Considere a superfície de Enneper parametrizada por
A superfície parametrizada
é uma superfície mínima localmente
associada a X pela transformada de Ribaucour como no Teorema 2
se, e somente se, por um movimento rígido de R3 ,
Superfície mínima associada a superfície de
Enneper com c = 1
Superfícies associadas ao
catenóide
Referências





Carmo, M. do, Differential Geometry of Curves and
Surfaces, Prentice-Hall 1976
Tenenblat, K., Introdução à Geometria Diferencial,
Unb 1990
Gray, A., Modern Differential Geometry of Curves and
Surfaces, CRC Press 2000
Nitsche, J., Lectures on minimal Surfaces, Cabridge
University Press 1989
Corro, A, Tenenblat, K., Minimal Surfaces Obtained by
Ribaucour Trasnformations, Geometric Dedicata, 2003