MARIANA MOREIRA GONÇALVES SANTOS
TEOREMA DE EXISTÊNCIA PARA EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E
PROPRIEDADES QUALITATIVAS
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como exigência para obtenção do tı́tulo de
licenciado em Matemática pela Universidade
Federal de Alfenas. Área de concentração:
Equações Diferenciais Ordinárias. Orientador:
Prof. Dr. José Paulo Carvalho dos Santos.
ALFENAS, MG
2010
MARIANA MOREIRA GONÇALVES SANTOS
TEOREMA DE EXISTÊNCIA PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
ORDINÁRIAS E PROPRIEDADES QUALITATIVAS
A banca examinadora abaixo-assinada,
aprova o trabalho de conclusão de curso
apresentado como parte dos requisitos para
obtenção do certificado de conclusão do
curso de Licenciatura em Matemática pela
Universidade Federal de Alfenas.
Aprovado em:
de
de 2010.
Prof. Dr. José Paulo Carvalho dos Santos
Universidade Federal de Alfenas
Orientador
Profa . Ms. Angela Leite Moreno
Universidade Federal de Alfenas
Profa . Ms. Luciana Borges Goecking
Universidade Federal de Alfenas
Prof. Dr. Aldı́cio José Miranda
Universidade Federal de Alfenas
Suplente
AGRADECIMENTOS
À Universidade Federal de Alfenas por ter me proporcionado a realização de um sonho,
que era cursar Matemática.
Ao Professor Doutor José Paulo Carvalho Santos, orientador deste trabalho, mas acima
de tudo amigo, que esteve presente em muitos momentos difı́ceis, apoiando e incentivando,
cujos os conselhos em muito me ajudaram. Também o meu obrigado aos meus professores
na UNIFAL que deram enorme contribuição à minha formação e pelo incentivo.
À Climene, minha eterna professora, ao professor José Paulo Neder pelo incentivo e a
todos os meus amigos.
À minha famı́lia, pelo apoio incondicional. À Dona Elvira, ao Senhor João e ao João
Leandro, pelo carinho, paciência e enorme ajuda.
Principalmente a Deus, pois sem Ele não serı́amos alunos, nem professores. Simplesmente não serı́amos.
Muito se fala sobre problemas em cursos de matemática.
Muito pouco se diz sobre a origem desses problemas e
do que fazer com as respostas.[3]
RESUMO
O presente trabalho estuda a existência de soluções de sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias no plano e as propriedades qualitativas desses sistemas. Para isso,
é necessário o estudo do Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais ordinárias e suas consequências, a fim de utilizar a forma geral das soluções dessas
equações no estudo qualitativo. Além disso, esse trabalho também trata da estabilidade
de Sistemas Lineares Autônomos e de Sistemas Lineares Perturbados, ou seja, trata do
estudo do comportamento das soluções desses sistemas quando o tempo tende ao infinito.
Como aplicação, estudamos o caso da competição entre duas espécies, utilizando a teoria
qualitativa. A metodologia utilizada é basicamente a pesquisa e estudo do assunto, em
livros, revistas, entre outros. Além de ser uma ferramenta para a resolução de problemas
em diversas áreas do conhecimento, esse estudo tem como objetivo propiciar maior fundamentação na formação acadêmica, complementando os estudos iniciados na disciplina
de Equações Diferenciais Ordinárias.
Palavras chave: Sistemas de Equações Diferenciais. Existência e Unicidade de Soluções.
Propriedades Qualitativas.
ABSTRACT
The present work studies the existence of solutions of lineal systems of ordinary differential equations in the plan and the qualitative properties of those systems. For that, it
is necessary the study of the Existence and Unicity Theorem for ordinary differentiate
equations and your consequences, in order to use the general form of the solutions of
those equations in the qualitative study. Besides, this work also treats of the stability of
Autonomous Lineal Systems and of Disturbed Lineal Systems, in other words, the study
of the behavior of the solutions of these systems when the limit tends to the infinite.
As application, we studies the case of the competition among two species, using the
qualitative theory. The used methodology is basically the research and study of the
subject, in books, magazines, among others. Besides being a tool for the resolution of
problems in several areas of the knowledge, that study has as objective propitiates larger
base in the academic formation, complementing the initiate studies in the discipline of
Ordinary Differentiate Equations.
Words key: Differential Equations of Systems. Existence and Unicity of Solutions. Qualitative properties.
Sumário
INTRODUÇÃO
1 REVISÃO DE LITERATURA
8
10
2 PRELIMINARES
12
2.1 Introdução às Equações Diferenciais de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . 15
2.2 Sistemas Autônomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 SISTEMAS LINEARES
3.1 Matriz Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Resolução de Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes . . . . . . . .
3.3 Diagrama de Fase para Sistemas Lineares Autônomos no Plano . . . . . .
23
30
34
43
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
50
4.1 Perturbação de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Aplicação em Biomatemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
CONCLUSÃO
64
REFERÊNCIAS
65
SUMÁRIO
8
INTRODUÇÃO
m
Uma equação diferencial ordinária é uma equação da forma F (t, x, dx
, ..., ddtmx ) = 0,
dt
segundo [7], onde a incógnita x é uma função de uma variável.
Durante anos, muitos matemáticos se esforçaram para resolver diversos tipos particulares de equações. Por isso, há vários métodos de solução, o que funciona para um tipo
de equação não se aplica necessariamente a outro [9].
Para equações diferenciais mais gerais, nem sempre é possı́vel expressar a solução em
termos de funções elementares. Assim, com o desenvolvimento da Análise passou-se a
considerar como soluções funções que pudessem ser expressas de maneiras mais gerais,
por exemplo, funções definidas por integrais ou por séries de potências que podem ser
estimadas por métodos numéricos, o que para aplicação em problemas práticos é mais
do que suficiente. Ao longo dos anos houve também uma tentativa de algebrização do
problema através da Transformada de Laplace. O único inconveniente é que tal processo
cai no problema de achar raı́zes de polinômios de grau muitas vezes superior a cinco. Para
alguns tipos de Equações, mesmo que se consiga uma expressão para solução, fica às vezes
difı́cil obter informações. No final do século XIX, introduzida por Poincaré, de acordo com
[7], ocorreu o desenvolvimento da teoria qualitativa de equações diferenciais ordinárias.
Até então, buscavam-se fórmulas que permitissem realizar previsões precisas, através de
integração analı́tica das equações. Poincaré percebeu que as propriedades qualitativas
das soluções podiam ser investigadas, sem que tais soluções precisassem ser determinadas
explicitamente. Assim, em vez de procurar fórmulas, ele partiu para uma abordagem
qualitativa, utilizando técnicas geométricas e topológicas, segundo [6]. Nessa perspectiva
não se insiste na obtenção de expressões exatas para as soluções dos problemas. A ênfase
é em se obter, antes, propriedades das soluções retirando-as através de uma análise das
equações, de acordo com [3].
Uma equação diferencial não tem necessariamente uma solução, e mesmo que possua,
nem sempre é possı́vel exibi-la. Reconhecida a impossibilidade de resolver a maior parte
das equações em forma explı́cita, pôs-se a questão de saber se o problema sob estudo tinha
solução ou não. Chegou-se assim, às questões de existência de soluções de um problema,
sem aquela preocupação de exibir a solução, conforme [3]. O Teorema de Existência e
Unicidade de Picard, segundo [7], foi proposto com essa finalidade.
O objetivo desse trabalho é o estudo do Teorema de Existência e Unicidade de solução
para Equações e Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias com Condições Iniciais, e o
Estudo da Teoria Qualitativa de Equações e Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias,
dada sua importância e aplicabilidade em várias ciências, além de ferramenta em diversas
áreas.
Esse estudo propiciou maior fundamentação na formação acadêmica, complementando
os estudos iniciados na disciplina de Equações Diferenciais Ordinárias.
Este trabalho está dividido em quatro capı́tulos, sendo que o primeiro deles está a
revisão de literatura.
No segundo capı́tulo apresentamos algumas definições, como a norma de vetores e matrizes, integral de uma função vetorial, funções Lipschitzianas, além de uma introdução às
Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem, inclusive o Teorema de Existência
e Unicidade para soluções destas e a definição de sistemas autônomos. Todos esses resultados serão úteis no decorrer do texto.
No capı́tulo três estão a definição e alguns resultados referentes a sistemas lineares
SUMÁRIO
9
de Equações Diferenciais Ordinárias, juntamente com o diagrama de fase para sistemas
autônomos.
Finalmente, no quarto capı́tulo, apresentamos o conceito de estabilidade de sistemas
lineares e também o exemplo de uma aplicação.
1 REVISÃO DE LITERATURA
1
10
REVISÃO DE LITERATURA
Equações Diferenciais é o suporte matemático para muitas áreas da ciência e da engenharia. Muitas leis gerais da Fı́sica, Biologia e Economia são expressas naturalmente
por estas equações, conforme [7].
As equações diferenciais surgiram a partir da tentativa de formular, ou descrever, certos sistemas fı́sicos em termos matemáticos, [9]. O estudo das equações diferenciais teve
inı́cio com os métodos do Cálculo Diferencial e Integral descobertos por Newton e Leibniz, no fim do século XVII. Ainda que Newton tenha atuado pouco na área de equações
diferenciais, seu desenvolvimento do cálculo e a compreensão dos princı́pios básicos da
mecânica forneceram a base para a aplicação das equações diferenciais no século XVIII,
especialmente por Euler. Os irmãos Jakob e Johann Bernoulli fizeram muito sobre o desenvolvimento de métodos para resolver equações diferenciais e para ampliar o campo de
suas aplicações. Ambos contribuı́ram significativamente em diversas áreas da matemática.
Com a ajuda do cálculo, resolveram diversos problemas em mecânica, formulando-os como
equações diferenciais, de acordo com [2]. Taylor, em seus estudos, introduziu o uso de
séries na resolução de equações diferenciais. Esta técnica desenvolvida por ele também
foi usada em outros problemas por alguns matemáticos. No inı́cio do século XVIII, Taylor, dentre outros matemáticos, conseguiram acumular muitos conhecimentos a cerca de
equações diferenciais, no entanto, ainda eram insuficientes uma vez que muitas dessas
equações não possuı́am soluções e não eram conhecidas suas propriedades. Eram muitas
descobertas em casos particulares, mas não havia uma teoria geral, até então. Foi nesse
contexto que Leonard Euler, o maior matemático do século XVIII, segundo [2], aplicando seu vasto conhecimento sobre funções, contribuiu para um grande avanço nesse
estudo. Ele foi o matemático mais produtivo de todos os tempos: são mais de setenta
volumes. Seus interesses incluı́am todas as áreas da matemática e muitos campos de
aplicação. Ele identificou a condição para que as equações diferenciais de primeira ordem
sejam exatas, desenvolveu a teoria de fatores integrantes no mesmo artigo e encontrou a
solução geral para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes. Estendeu
esse último resultado para equações não homogêneas. Em torno de 1750, Euler usou,
com frequência, séries de potências para resolver equações diferenciais. Propôs também,
um procedimento numérico, fez contribuições importantes em equações diferenciais parciais e deu o primeiro tratamento sistemático do cálculo de variações. Um assunto até
então fragmentado, tornou-se coeso e central ao desenvolvimento da matemática aplicada
moderna. Lagrange desenvolveu completamente o método de variação dos parâmetros e
estendeu alguns resultados em mecânica, especialmente equações de movimento e energia
potencial. Ele contribuiu na definição de funções e propriedades, o que contribuiu para a
generalização de alguns métodos usados para casos especı́ficos e para a análise de novas
famı́lias de equações diferenciais. Ele também introduziu equações gerais de movimentos para sistemas dinâmicos, hoje conhecidas como Equação de Lagrange. Progressos
também ocorreram com os estudos de Laplace sobre a estabilidade do sistema solar. A
transformada de Laplace recebeu o nome em sua homenagem. Também a equação de
Laplace é fundamental em muitos ramos da fı́sica, como a astronomia, a eletrostática e a
mecânica de fluı́dos e Laplace a estudou extensamente junto com atração gravitacional,
[2].
No século XIX, a preocupação deixou de ser os métodos para a resolução de equações
diferenciais, uma vez que muitos destes já tinham sido descobertos. A atenção se voltou
1 REVISÃO DE LITERATURA
11
para questões mais teóricas como existência e unicidade, assim como o desenvolvimento de
métodos menos elementares residentes no plano complexo. Por sua grande importância em
fı́sica e matemática, as equações diferenciais parciais também começaram a ser estudadas.
Com isso, muitas funções, soluções de certas equações diferenciais ordinárias começaram a
aparecer em várias situações diferentes. Conhecidas como funções transcendentais, muitas
delas estão associadas a nomes de matemáticos, incluindo Bessel, Legendre, Hermite,
Chebyshev e Hankel, entre outros. Apesar de descobertos inúmeros métodos analı́ticos,
algumas soluções ainda permaneciam sem solução, foi o que motivou estudos de investigação de métodos de aproximação numérica. Em 1900, o problema não eram os métodos,
pois haviam sido desenvolvidos métodos eficientes de integração numérica, mas sim os
cálculos cansativos, ainda feitos à mão ou em equipamentos computacionais ainda primitivos. O que veio a ser solucionado nos últimos cinquenta anos, com o desenvolvimento
da tecnologia computacional. Isso contribuiu para a investigação de inúmeros problemas
utilizando métodos numéricos. Até o final do século XIX, buscavam-se fórmulas que permitissem realizar previsões precisas, através de integração analı́tica das equações. Poincaré
percebeu que as propriedades qualitativas das soluções podiam ser investigadas, sem que
tais soluções precisassem ser determinadas explicitamente. Assim, em vez de procurar
fórmulas, ele partiu para uma abordagem qualitativa, utilizando técnicas geométricas e
topológicas. Seu trabalho é o primeiro sobre teria qualitativa de sistemas dinâmicos. Ele
revitalizou o modo de se lidar com equações diferenciais não lineares [6].
Nos últimos anos, computadores e, especialmente computação gráfica trouxeram uma
nova motivação ao estudo de sistemas de equações diferenciais não lineares. Embora
seja um assunto antigo sobre o qual muito se sabe, as equações diferenciais, em pleno
século XXI, continuam uma fonte fértil de problemas fascinantes e importantes ainda não
resolvidos [2].
2 PRELIMINARES
2
12
PRELIMINARES
Este capı́tulo contém uma coletânea de resultados de equações diferenciais ordinárias e
outros conceitos que serão utilizados nos capı́tulos subsequentes. A bibliografia utilizada
neste capı́tulo é basicamente [4] e [5].
A norma de um vetor x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn é definida por
||x|| = |x1 | + |x2 | + ... + |xn |.
É fácil ver que as seguintes propriedades são válidas.
• ||x|| ≥ 0,
• ||x|| = 0 ⇔ x = 0,
• ||αx|| = |α|||x||,
• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
A norma da matriz A = (aij )i,j=1,...,n é definida por
|A| =
n
X
|ai,j |,
i,j=1
onde são verdadeiras as propriedades seguintes.
• ||Ax|| ≤ |A||x|,
• ||AB|| ≤ |A||B|,
• ||A + B|| ≤ |A| + |B|.
Definição 2.1 Seja I ⊂ R um intervalo aberto. Dadas n funções escalares xj : I → R,
j = 1, ..., n, definimos a função vetorial x : I → R por
x(t) = (x1 (t), ..., xn (t)), t ∈ I.
(1)
Reciprocamente, cada função vetorial x : I → R determina n funções escalares xj : I → R,
j = 1, ..., n, de modo que a relação (1) está satisfeita. As funções xj são as coordenadas
da função vetorial x. As funções vetoriais têm uma interpretação geométrica interessante,
quando t varia em I, o vetor x(t) descreve uma curva Γ em Rn .
Uma função vetorial x(t) tem limite L = (l1 , ..., ln ) em um ponto t0 ∈ I quando
lim |x(t) − L| = 0 (observe que |x(t) − L| é um número real), o que é equivalente a
t→t0
2 PRELIMINARES
13
lim xj (t) = lj , j = 1, ..., n. A derivada de uma função vetorial x em um ponto t0 é
t→t0
definida por
x0 (t0 ) = lim
h→0
x(t0 + h) − x(t0 )
,
h
desde que o limite exista. As derivadas de ordem superior x(m) (t0 ) são definidas indutivamente. É fácil verificar que
(m)
(m)
x(m) (t0 ) = (x1 (t0 ), ..., xn (t0 )).
De acordo com a interpretação geométrica, o vetor x0 (t0 ) é um vetor tangente à curva
Γ no ponto P = x(t0 ), observe a Figura 1.
Figura 1: Derivada de uma função vetorial
Do mesmo modo, definimos as noções de derivada para funções com valores matriciais.
Basta notar que uma matriz n × n pode ser identificada com um vetor em Rnn (caso ela
seja real) ou Cnn (caso ela seja complexa).
São verdadeiras as seguintes propriedades relativas ao produto de funções matriciais e
vetoriais
(A(t)y(t))0 = A0 (t)y(t) + A(t)y 0 (t),
(A(t)B(t))0 = A0 (t)B(t) + A(t)B 0 (t).
Definição 2.2 Se cada uma das funções coordenadas xj (t) for integrável em um intervalo
[a, b] ⊂ I, definimos
Z
b
Z
x(t)dt =
a
b
Z
x1 (t)dt, ...,
a
b
xn (t)dt .
a
Uma desigualdade que será usada frequentemente é
Z b
Z b
≤
x(t)dt
||x(t)||dt.
a
a
2 PRELIMINARES
14
Definição 2.3 Seja f : A ⊂ Rn+1 . Diremos que f (t, y) é lipschitziana relativamente a y
em B ⊂ A se existir uma constante L > 0 tal que
||f (t, y1 ) − f (t, y2 )|| ≤ L||y1 − y2 ||,
∀(t, y1 ), (t, y2 ) ∈ B.
Diremos que f (t, y) é localmente lipschitziana relativamente a y quando f (t, y) for lipschitiziana em uma vizinhança de cada (t0 , y0 ) ∈ A.
Exemplo 2.1 A função f (t, y) = 2y sin t é lipschitziana, pois
|f (t, y2 ) − f (t, y1 )| = 2| sin t||y2 − y1 | ≤ 2|y2 − y1 |.
Teorema 2.1 (Desigualdade de Gronwall) Sejam α > 0 uma constante e u, v funções
contı́nuas não negativas no intervalo [a, b] satisfazendo
Z
t
u(t) ≤ α +
para a ≤ t ≤ b.
u(s)v(s)ds,
a
Então
u(t) ≤ αe
Rt
a
v(s)ds
para a ≤ t ≤ b.
,
Rt
Demonstração: Seja R(t) = α + a u(s)v(s)ds. Então, por hipótese, R(a) = α,
u(t) ≤ R(t). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
R0 (t) = u(t)v(t) ≤ R(t)v(t).
Multiplicando essa desigualdade por e−
R0 (t)e(−
Rt
a
v(s)ds)
Rt
a
v(s)ds
− R(t)v(t)e(−
obtemos
Rt
a
e notando que
v(s)ds)
=
i
Rt
d h
R(t)e(− a v(s)ds)
dt
i
Rt
d h
R(t)e(− a v(s)ds) ≤ 0.
dt
Integrando de a até t, obtemos
R(t)e(−
Rt
a
v(s)ds)
− R(a) ≤ 0.
Agora, como R(a) = α e u(t) ≤ R(t), temos
u(t) ≤ R(t) ≤ αe(
Rt
a
v(s)ds)
.
2 PRELIMINARES
15
Teorema 2.2 (Teste de Weierstrass) Dada a sequência de funções fn : X → R, seja
P
an uma série convergente de números reais an > 0 tais que |fn (x)| < an para todo n ∈ N
P
P
e todo x ∈ X. Nestas condições, as séries
|fn |e
fn são uniformemente convergentes.
2.1
Introdução às Equações Diferenciais de Primeira Ordem
Seja D ⊂ Rn+1 um aberto e seja f : D → Rn uma função contı́nua em A. Uma relação
da forma
y 0 = f (t, y(t)),
(2)
ou simplesmente
y 0 = f (t, y)
é chamada uma equação diferencial ordinária. Uma função vetorial y : I → Rn , definida
em algum intervalo I ⊂ R tal que (t, y(t)) ∈ A, para todo t ∈ I e que satisfaz (2) em I é
chamada uma solução de (2) em I. Quando n = 1, a equação diferencial (2) é dita escalar.
Para um n > 1 qualquer, a equação diferencial (2) é, na verdade, um sistema de equações
diferenciais escalares, pois, se y = (y1 , ..., yn ), f (t, y) = (f1 (t, y1 , ..., yn ), ..., fn (t, y1 , ..., yn )) ,
temos portanto
y10 = f1 (t, y1 , ..., yn ),
..
.
yn0
(3)
= fn (t, y1 , ..., yn ).
Equações da forma (2) (ou equivalentemente, (3)) contém uma grande classe de
equações diferenciais. Por exemplo, a equação escalar de segunda ordem
z 00 = g(t, z, z 0 )
(4)
pode ser escrita na forma (3), fazendo
0
y1 =
z, y2 = z ,
y1
f1 (t, y1 , y2 )
y2
y=
,
f (t, y) =
=
.
y2
f2 (t, y1 , y2 )
g(t, y1 , y2 )
Assim podemos escrever a equação (4) como o seguinte sistema de duas equações de
primeira ordem
y10 = y2
y20 = g(t, y1 , y2 ).
2 PRELIMINARES
16
Observe que o procedimento acima se aplica a um sistema qualquer de equações diferenciais ordinárias. O exemplo a seguir mostra que o problema de valor inicial pode ter
mais de uma solução.
Exemplo 2.2 Consideremos o PVI
p
y 0 = 2 |y|
(5)
y(0) = 0.
A função φ(t) ≡ 0 é solução de (5). Além disso, para cada a > 0, a função
φa (t) =


0,
se t < a
 (t − a)2 , se t > a
é solução desse PVI.
Figura 2: Gráfico solução do PVI (5).
O próximo lema será útil na demonstração do Teorema (2.3), que trata da existência
e unicidade de solução de uma equação diferencial ordinária.
Lema 2.1 Suponhamos f contı́nua em D. Uma função contı́nua y(t) é uma solução de
(2) tal que y(t0 ) = y0 no intervalo [t0 − α, t0 + α] se, e somente se, y(t) satisfaz
Z
t
y(t) = y0 +
(f (s, y(s))ds,
t ∈ [t0 − α, t0 + α].
(6)
t0
Demonstração: Suponhamos que y seja uma solução de (2) tal que y(t0 ) = y0 . Então,
integrando de t0 a t (t0 − α ≤ t ≤ t0 + α), obtemos:
Z
t
0
Z
t
t
(f (s, y(s))ds ⇒ y(t) − y(t0 ) =
y (s)ds =
t0
Z
t0
(f (s, y(s))ds,
t0
2 PRELIMINARES
17
donde, substituindo y(t0 ) = y(0), obtemos (6).
Reciprocamente, suponhamos que y seja uma função contı́nua satisfazendo (6). Então
f (s, y(s)) é contı́nua para t0 −α ≤ s ≤ t0 +α. Agora, sendo y dada como integral indefinida
de uma função contı́nua, segue-se que y é de classe C 1 , e podemos derivar (6) e obter
y 0 (t) = f (t, y(t)).
Considerando t = t0 e, por (6), obtemos y(t0 ) = y0 . Isto conclui a demonstração.
Teorema 2.3 Suponhamos que a função f (t, y) seja contı́nua e localmente Lipschitziana
relativamente a y em D. Então, dado (t0 , y0 ) ∈ D, existe uma única solução y = φ(t) de
(2) satisfazendo a condição inicial y(t0 ) = y0 . A solução existe em qualquer intervalo I
contendo t0 para o qual os pontos (t, φ(t)), com t ∈ I, permanecem em D. Além disso, a
solução φ é uma função contı́nua f (t0 , y0 ).
Demonstração: Tomemos a, b > 0 de modo que o retângulo
R = {(t, y) : |t − t0 | ≤ a, ||y − y0 || ≤ b}
esteja contido em D. Como R é compacto, existe m > 0 tal que
||f (t, y)|| ≤ m, ∀(t, y) ∈ R.
Seja L > 0 uma constante de Lipschitiz de f no conjunto R, isto é,
||f (t, y1 ) − f (t, y2 )|| ≤ L||y1 − y2 ||, ∀(t, y1 ), (t, y2 ) ∈ R.
Tomemos o número d = min{a, mb } > 0 e o intervalo I = [t0 − d, t0 + d]. Consideremos
a sequência yn : n = 0, 1, 2, ..., em que as funções yn : I → Rn , n = 0, 1, 2, ..., chamadas
aproximações sucessivas, definidas do seguinte modo
y0 (t) ≡ y0 , t ∈ I
Z t
y1 (t) = y0 +
f (s, y0 (s))ds, t ∈ I
t0
..
.
Z
t
f (s, yn (s))ds, t ∈ I
yn+1 (t) = y0 +
(7)
t0
Afirmação: As aproximações sucessivas yn são funções contı́nuas em I e satisfazem
||yn (t) − y0 || ≤ b, ∀t ∈ I, ∀n ≥ 0,
m (Ld)n
, ∀t ∈ I, ∀n ≥ 1.
||yn (t) − yn−1 (t)|| ≤
L n!
(8)
(9)
2 PRELIMINARES
18
Vamos mostrar (8). Usando indução sobre n, temos
t
Z
||y1 (t) − y0 || ≤
to
||f (s, y0 (s))|| ds ≤ m|t − t0 |.
|
{z
}
≤m
Suponhamos que ||yn (t) − y0 || ≤ b, para todo t ∈ I : de (7) temos
Z
t
||yn+1 (t) − y0 || ≤
to
||f (s, yn (s))|| ds ≤ m|t − t0 | ≤ b, ∀t ∈ I.
|
{z
}
≤m
Vamos mostrar agora (9). Para simplificar a notação, analisaremos o caso t ≥ t0 , uma
vez que o caso em que t ≤ t0 é análogo. Novamente usaremos indução sobre n:
Z
t
||y1 (t) − y0 || ≤
||f (s, y1 (s))ds|| ≤ m|t − t0 |.
to
Temos também
||y2 (t) − y1 (t)|| ≤
Rt
to
||f (s, y1 (s)) − f (s, y0 )||ds ≤ L
≤ mL
Rt
|s − t0 |ds ≤ mL
t0
Rt
to
||y1 (s) − y0 (t)||ds
m (L|t − t0 |)2
|t − t0 |2
≤
.
2!
L
2!
Analogamente, para n ≥ 2, usando a hipótese de indução, temos
||yn (t) − yn−1 (t)|| ≤
m (L|t − t0 |)n
L
n!
Portanto,
||yn+1 (t) − yn (t)|| ≤
Rt
||f (s, yn (s)) − f (s, yn−1 )||ds
Rt
≤ L to ||yn (s) − yn−1 ||ds
to
m Ln+1 R t
|s − t0 |n ds
L n! t0
m (L|t − t0 |)n+1
≤
L n!(n + 1)!
≤
≤
m (L|t − t0 |)n+1
.
L (n + 1)!
Pelo Princı́pio de Indução, a desigualdade (9) é válida para todo inteiro positivo n. Agora,
2 PRELIMINARES
19
observemos que a sequência {yn } e a série
y0 +
∞
X
[yn (t) − yn−1 (t)]
(10)
n=1
são ambas convergentes ou ambas divergentes, pois o termo geral yn (t) da série é
yn (t) = y0 + [y1 (t) − y0 ] + ... + [yn (t) − yn−1 (t)] = yn (t).
Como a série
∞
X
m (L|t − t0 |)n
n=1
L
n!
é convergente, a desigualdade (9) e o critério de Convergência de Weierstrass implicam
que a série (10) converge uniformemente no intervalo I para uma função contı́nua y(t).
Portanto yn (t) → y(t), uniformemente em I. A desigualdade
||f (t, yn (t)) − f (t, y(t))|| ≤ L||yn (t) − y(t)||
implica que f (t, yn (t)) → f (t, y(t)) uniformemente em I. Fazendo n → ∞ em (7), obtemos
Z
t
y(t) = y0 +
f (s, y(s))ds.
t0
Pelo Lema (2.1), y(t) é solução do PVI: y 0 = f (t, y), y(t0 ) = y0 . Para demonstrar a
unicidade e a continuidade relativamente às condições iniciais, vamos usar a Desigualdade
de Gronwall. Consideraremos apenas t ≥ t0 , uma vez que o outro caso é análogo. Sejam
y(t) e z(t) as soluções de (2) no intervalo [t0 , t0 + a] tais que y(t0 ) = y0 e z(t0 ) = z0 ,
respectivamente. Pelo Lema (2.1),
t
Z
y(t) = y0 +
f (s, y(s))ds,
t0 ≤ t ≤ t0 + a,
f (s, z(s))ds,
t0 ≤ t ≤ t0 + a,
t
Z 0t
z(t) = z0 +
t0
então
Z
t
|y(t) − z(t)| ≤ |y0 − z0 | +
|f (s, y(s)) − f (s, z(s))|ds, t0 ≤ t ≤ t0 + a.
t0
Como f é Lipschitziana, |f (s, y(s) − f (s, z(s))| ≤ L|y(s) − z(s)|, temos
Z
t
|y(t) − z(t)| ≤ |y0 − z0 | +
L|y(s) − z(s)|ds, t0 ≤ t ≤ t0 + a.
t0
2 PRELIMINARES
20
Usando a desigualdade de Gronwall, com
u(t) = |y(t) − z(t)|, α = |y0 − z0 |,
temos
Rt
|y(t) − z(t)| ≤ |y0 − z0 |e
t0
Lds
v(t) = L,
≤ |y0 − z0 |eL(t−t0 ) ≤ |y0 − z0 |eLa ,
ou seja,
|y(t) − z(t)| ≤ |y0 − z0 |eLa .
(11)
A unicidade é consequência direta da desigualdade (11), ou seja, se y0 = z0 , o segundo
membro dessa desigualdade é nulo e, portanto, temos y(t) = z(t), t ∈ [t0 , t0 + A].
Para mostrar a continuidade com relação às condições iniciais, notemos que a desigualdade (11) implica que, se |y0 − z0 | < e−La , então |y(t) − z(t)| < ε, para t ∈ [t0 , t0 + A].
2.2
Sistemas Autônomos
Consideremos a equação diferencial
y 0 = f (y),
(12)
em que f : Rn → Rn é de classe C 1 . Uma equação dessa natureza, em que f não depende
explicitamente de t é dita autônoma. O conjunto Rn é chamado de espaço de fase de (12).
Se y(t) é uma solução de (12) no intervalo I, a curva descrita parametricamente por y(t),
t ∈ I, chama-se órbita dessa solução. Qualquer ponto y0 ∈ Rn tal que f (y0 ) = 0 chama-se
ponto de equilı́brio, ponto singular, ou ainda singularidade de (12). Vemos que, se y0 é
um ponto de equilı́brio de (12), então y(t) ≡ y0 é uma solução dessa equação. Podemos
notar que os pontos de equilı́brio são as soluções mais simples de (12). O nosso objetivo
é dar uma descrição completa, tanto quanto possı́vel, do espaço de fase, descrevendo
os pontos de equilı́brio de (12) e as órbitas com a orientação dada pelo sentido de t
crescente. Quando isso é feito, a figura obtida chama-se diagrama (ou retrato) de fase
de (12). No capı́tulo 3 faremos esse estudo e, para dar essa descrição, na maior parte do
tempo trabalharemos em R2 .
Um resultado importante das equações autônomas é o teorema a seguir.
Teorema 2.4 Se x(t) for uma solução da equação (12) no intervalo (a, b) e t1 for um
número real qualquer, então a função y(t) = x(t + t1 ) é solução de (12) no intervalo
(a − t1 , b − t1 ).
Demonstração: Temos y 0 (t) = x0 (t + t1 ) = f (x(t + t1 )) = f (y(t)).
Uma consequência imediata do Teorema (2.4) é que, se x(t) é uma solução do PVI
y 0 = f (y)
y(t0 ) = y0 ,
2 PRELIMINARES
21
então, para qualquer t0 ∈ R, a função y(t) = x(t − t0 ) é solução do PVI
y 0 = f (y)
y(t0 ) = y0 .
Teorema 2.5 Para cada y0 ∈ Rn , existirá uma única órbita passando por y0 . No caso de
y0 ser um ponto de equilı́brio, essa órbita será o próprio ponto.
Demonstração: Seja y0 ∈ Rn . Pelo Teorema (2.3), existe uma única solução y(t) de (12)
tal que y(0) = y0 , portanto existe uma órbita passando por y0 . Suponhamos que γ1 e γ2
sejam órbitas passando por y0 e sejam y1 (t), y2 (t) soluções de (12) que dão origem a γ1 e
γ2 , respectivamente. Existem t1 , t2 ∈ R tais que y1 (t1 ) = y0 e y2 (t2 ) = y0 . A função
z(t) = y1 (t + t1 − t2 )
é uma solução de (12) que representa γ1 . Como, para t = t2 , temos
z(t2 ) = y1 (t1 ) = y0 = y2 (t2 ),
a unicidade de solução implica que
z(t) = y2 (t),
∀t,
ou seja, y(t) representa γ2 . Logo, γ1 = γ2 .
Uma outra consequência interessante do Teorema 2.4 é a seguinte:
Corolário 2.1 Nenhuma órbita de (12) pode se auto-interceptar, a menos que seja periódica.
Demosntração: Seja γ uma órbita de (12) e seja y(t) uma solução que representa γ.
Suponhamos que existam t1 , t2 tais que
y(t1 ) = y(t2 ).
Pelo Teorema (2.4), a função z(t) = y(t + t1 − t2 ) é solução da equação (12). Como
z(t2 ) = y(t2 + t1 − t2 ) = y(t1 ),
a unicidade de solução do PVI implica que z(t) = y(t), para todo t, ou seja,
y(t + t1 − t2 ) = y(t), ∀t.
Logo, y(t) é uma função periódica e o número T = |t1 − t2 | é um perı́odo de y(t).
2 PRELIMINARES
22
Corolário 2.2 Se uma órbita de (12) tende a um ponto v ∈ Rn , então v é um ponto de
equilı́brio.
Demonstração: Suponhamos que y(t) → v, quando t → ∞. Como f é contı́nua, temos
f (y(t)) → f (v),
quando t → ∞.
Escrevendo
y(t) = (y1 (t), ..., yn (t)) e v = (v1 , ..., vn ),
temos yj (t) → vj para cada j = 1, ..., n. Pelo Teorema do Valor Médio, para cada t ∈ R,
existe t∗ ∈ [t, t + 1] tal que
yj (t + 1) − yj (t) = yj0 (t∗j ).
Como
yj (t) → vj , yj (t + 1) → vj ,
t → ∞,
segue que, para cada j = 1, ..., n,
yj0 (t∗j ) = yj (t + 1) − yj (t) → vj − vj = 0,
t → ∞.
Assim, para cada j = 1, ..., n, temos
fj (y1 (t∗j ), ..., yn (t∗j ) = yj0 (t∗j ) → 0,
t → ∞.
(13)
Por outro lado, como cada fj é contı́nua e (y1 (t∗j , ..., yn (t∗j ))) → v (notemos que
t∗j → +∞, pois t ≤ t∗j ≤ t + 1), segue que
fj (y1 (t∗j ), ..., yn (t∗j ) → fj (v),
t → ∞.
De (13) e (14), temos que f (v) = 0. Logo v é ponto de equilı́brio.
(14)
3 SISTEMAS LINEARES
3
23
SISTEMAS LINEARES
Neste capı́tulo estudaremos uma classe especial de sistemas de equações diferenciais
ordinárias. Baseado em [9] e [4].
Se X, A(t) e F(t) denotam, respectivamente, as matrizes


x1 (t)
 x2 (t) 


X =  ..  ,
 . 
xn (t)



A(t) = 

a11 (t) a12 (t)
a21 (t) a22 (t)
..
..
.
.
an1 (t) an2 (t)
···
···
...
a1n (t)
a2n (t)
..
.
···
ann (t)



,



f1 (t)
 f2 (t) 


F(t) =  ..  ,
 . 
fn (t)
então o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
dx1
= a11 (t)x1 + a12 (t)x2 + ... + a1n (t)xn + f1 (t),
dt
dx2
= a21 (t)x1 + a22 (t)x2 + ... + a2n (t)xn + f2 (t),
dt
..
..
..
.
.
.
dxn
= an1 (t)x1 + an2 (t)x2 + ... + ann (t)xn + fn (t),
dt
pode ser escrito na forma matricial

 
x1
a11 (t) a12 (t) · · · a1n (t)



x
a
d  2   21 (t) a22 (t) · · · a2n (t)
 . =
..
..
..
...
dt  ..  
.
.
.
xn
an1 (t) an2 (t) · · · ann (t)

 

x1
f1 (t)
  x2   f2 (t) 
  

  ..  +  .. 
 .   . 
xn
fn (t)
ou simplesmente
dX
= A(t)X + F(t).
dt
(15)
Se o sistema for homogêneo, a equação (15) pode ser escrita
dX
= A(t)X.
dt
(16)
As equações (15) e (16) também se escrevem como X0 = AX + F e X0 = AX, respectivamente.
Definição 3.1 Um vetor solução do sistema (15) em um intervalo I é qualquer matriz
3 SISTEMAS LINEARES
24
coluna com n elementos


x (t)
 1 


 x2 (t) 

X=
 .. 
 . 


xn (t)
cujos elementos são funções escalares diferenciáveis que verificam o sistema (15) no intervalo I.
Grande parte da teoria dos sistemas de n equações diferenciais lineares de primeira
ordem é análoga à teoria das equações diferenciais lineares de ordem n.
Problemas de Valor Inicial na Forma Matricial
Seja t0 um ponto no intervalo I e


x1 (t0 )
 x2 (t0 ) 


X(t0 ) =  .. 
 . 
 
γ1
 γ2 
 
X0 =  ..  ,
.
γn
e
xn (t0 )
onde os γi , i = 1, 2, . . . , n, são constantes dadas a priori. Então o problema
dX
= A(t)X + F(t)
dt
X(t0 ) = X0
(17)
é denominado problema de valor inicial no intervalo I.
O próximo Teorema estabelece as condições de existência e unicidade de solução para
o sistema (17).
Lema 3.1 Sejam α ≥ 0 e ϕ, v funções contı́nuas e não negativas no intervalo [a, b] satisfazendo
Z
t
ϕ(t) ≤ α +
ϕ(s)v(s)ds,
para a ≤ t ≤ b.
a
Então
ϕ(t) ≤ αe
Rt
a
v(s)ds
,
para a ≤ t ≤ b.
Demontração: Suponhamos inicialmente que α > 0. Seja K(t) = α +
Rt
a
ϕ(s)v(s)ds.
3 SISTEMAS LINEARES
25
Note que K(a) = α e que K(t) ≥ α > 0. Derivando, obtemos
K 0 (t) = ϕ(t)v(t) ≤ K(t)v(t).
Portanto
K 0 (t)
≤ v(t).
K(t)
Logo
s
Z
a
K 0 (s)
ds ≤
K(s)
t
Z
v(s)ds.
a
Fazendo a mudança u = K(s) na primeira integral obtemos
Z
K(s)
K(a)
du
≤
u
t
Z
v(s)ds,
a
logo
ln
K(t)
K(a)
t
Z
≤
v(s)ds,
a
portanto
K(t) ≤ K(a)e
Rt
a
de onde obtemos
ϕ(t) ≤ K(t) ≤ αe
v(s)ds
Rt
a
,
v(s)ds
.
Para o caso em que α = 0, utilizamos o caso anterior e fazemos α = → 0+ .
Teorema 3.1 Suponhamos que os elementos das matrizes A(t) e F (t) sejam funções
contı́nuas em um intervalo comum I que contenha o ponto t0 . Então existe uma solução
única do problema (17) de valor inicial no intervalo.
Demontração: Para a demonstração desse resultado vamos utilizar o método das aproximações sucessivas, definindo a sequência de aplicações Xj : I → Rn , j = 0, 1, 2, ...
onde
X0 (t) = X0 ,
Z
t
Xj+1 (t) = X0 +
(A(s)Xj (s) + F (s))ds.
t0
Vamos mostrar que para todo t ∈ [a, b] ⊂ I, a sequência de funções Xn converge uniformemente para uma solução de
dX
= A(t)X + F(t)
dt
X(t0 ) = X0 .
(18)
3 SISTEMAS LINEARES
26
Seja K = sups∈[a,b] k A(s) k e M = sups∈[a,b] ||X1 (s) − X0 (s)||. Então
Z
t
| A(s)X1 (s) − A(s)X0 (s) | ds ≤ KM | t − t0 | .
| X2 (t) − X1 (t) |≤
t0
Por outro lado,
Z
t
| A(s)X2 (s) − A(s)X1 (s) | ds ≤
| X3 (t) − X2 (t) |≤
t0
K 2M
| t − t0 |2 .
2
Suponha por indução que
K j−1 M
| t − t0 |j−1 .
(j − 1)!
| Xj (t) − Xj−1 (t) |≤
Portanto
t
Z
| Xj+1 (t) − Xj (t) | ≤
| A(s)Xj (s) − A(s)Xj−1 (s) | ds
t
Z 0t
K j−1 M
| s − t0 |j−1 ds
(j
−
1)!
t0
K j M | t − t0 |j
≤
(j − 1)!
j
j
K M
| t − t0 |j .
≤
j!
≤
K
Assim sendo, temos que
sup | Xj+1 (t) − Xj (t) |≤
t∈[a,b]
KjM
(b − a)j .
j!
P
Kj M
Como a série ∞
(b − a)j é convergente, pelo teste de Weierstrass, temos que a
j=0
P∞ j!
série de funções
j=0 Xj+1 − Xj converge uniformemente para uma função contı́nua
n
X : [a, b] → R que satisfaz a equação integral
Z
t
X(t) = X0 +
(A(s)X(s) + F (s))ds.
t0
Portanto X é uma solução do problema linear não homogêneo (18).
Resta-nos, então, mostrar a unicidade da solução de (18). Suponhamos que existam
duas soluções X1 e X2 de (18), portanto X1 e X2 satisfazem as equações integrais
Z
t
X1 (t) = X0 +
Z
t
(A(s)X1 (s) + F (s))ds e X2 (t) = X0 +
t0
(A(s)X2 (s) + F (s))ds.
t0
3 SISTEMAS LINEARES
27
Portanto
Z
t
Z
t
K | X1 (s) − X2 (s) | ds.
| A(s)(X1 (s) − X2 (s)) | ds ≤
| X1 (t) − X2 (t) |≤
t0
t0
Fazendo ϕ(t) =| X1 (t) − X2 (t) |, obtemos
Z
t
ϕ(t) ≤
Kϕ(s)ds,
t0
Rt
e, pela desigualdade de Gronwal temos que ϕ(t) = 0e
t0
Kds
o que implica que
| X1 (t) − X2 (t) |= 0,
para todo t ∈ [a, b]. Esse fato mostra que X1 = X2 , o que finaliza a prova.
Nas próximas definições e teoremas, admitiremos que os aij e as fi sejam funções
contı́nuas em t definidas em um intervalo comum I.
Teorema 3.2 (Princı́pio de Superposição) Sejam X1 , X2 , . . . , Xk , um conjunto de vetores
solução do sistema homogêneo (16) em um intervalo I. Então, a combinação linear
X = c1 X1 + c2 X2 + ... + ck Xk ,
onde os ci , i = 1, 2, . . . , k, são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo
I.
Demonstração: De fato, como Xi , i = 1, . . . , k são soluções de (16) temos então que
Xi0 (t) = AXi0 (t), i = 1, . . . , k e t ∈ I. Logo
(c1 X1 + c2 X2 + ... + ck Xk )0 = c1 X10 + c2 X20 + ... + ck Xk0
= c1 AX1 + c2 AX2 + ... + ck AXk
= A(c1 X1 + c2 X2 + ... + ck Xk ).
Portanto c1 X1 + c2 X2 + ... + ck Xk é solução de (16) o que finaliza a prova.
Definição 3.2 Sejam X1 , X2 , . . . , Xk , um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo (16) em um intervalo I. Diremos que o conjunto é linearmente dependente no
intervalo se existem constantes c1 , c2 , . . . , ck , não simultaneamente nulas, tais que
c1 X1 + c2 X2 + ... + ck Xk = 0
3 SISTEMAS LINEARES
28
para todo t no intervalo. Se o conjunto de vetores não for linearmente dependente no
intervalo, dizemos que é linearmente independente.
Teorema 3.3 Seja S o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo (16) de
ordem n. Então a dimensão de S é igual a n.
Demonstração: Seja t0 ∈ I, e seja {e1 , . . . , en } a base canônica de Rn . Para cada
j = 1, . . . , n indiquemos por Xj (t) a única solução do problema de valor inicial
dX
= A(t)X
dt
X(t0 ) = ej .
Vamos mostrar que X1 , X2 , . . . , Xn é uma base de S. As funções X1 , X2 , . . . , Xn são
linearmente independentes, pois se
c1 X1 (t) + c2 X2 (t) + ... + cn Xn (t) = 0,
para todo t ∈ I, então, em particular para t = t0 , obtemos
c1 e1 + c2 e2 + ... + cn en = 0.
Mas como os vetores {e1 , . . . , en } são linearmente independentes, segue que
c1 = . . . = cn = 0. Portanto X1 , X2 , . . . , Xn são linearmente independentes.
Agora, vamos mostrar que {X1 , X2 , . . . , Xn } gera S. Seja Y (t) uma solução do problema de valor inicial
dX
= A(t)X
dt
X(t0 ) = X0 .
(19)
Como X0 ∈ Rn , existem escalares c1 , . . . , cn tais que X0 = c1 e1 + c2 e2 + . . . + cn en .
Consideremos a solução Z(t) = c1 X1 (t) + c2 X2 (t) + . . . cn Xn (t). Pelo Teorema 3.2 e pelo
fato que
Z(t0 ) = c1 X1 (t0 ) + c2 X2 (t0 ) + . . . cn Xn (t0 ) = c1 e1 + c2 e2 + ... + cn en = X0
temos que Z é solução de (19). Pelo Teorema 3.1 temos que
Y (t) = Z(t) = c1 X1 (t) + c2 X2 (t) + . . . cn Xn (t).
Portanto, qualquer solução do problema de valor inicial pode ser escrita como combinação
linear do conjunto linearmente independente {X1 , X2 , . . . , Xn } de S, logo a dimensão de
S é igual a n.
3 SISTEMAS LINEARES
29
Definição 3.3 Qualquer conjunto X1 , X2 , . . . , Xn de n vetores solução linearmente independentes do sistema homogêneo (16) em um intervalo I é chamado de conjunto fundamental de soluções.
Corolário 3.1 Existe um conjunto fundamental de soluções para o sistema homogêneo
(16) no intervalo I.
Definição 3.4 Seja X1 , X2 , ..., Xn , um conjunto fundamental de soluções do sistema homogêneo (16) em um intervalo I. Define-se a solução geral do sistema no intervalo I
como
X = c1 X 1 + c2 X 2 + . . . + cn X n ,
onde os ci , com i = 1, 2, . . . , n, são constantes arbitrárias.
Teorema 3.4 Seja X1 , X2 , . . . , Xn , um conjunto fundamental de vetores solução do sistema homogêneo associado ao sistema não homogêneo (15) em um intervalo I e seja Xp
um vetor arbitrário solução do sistema não homogêneo (15) no mesmo intervalo. Então,
existem constantes c1 , c2 , . . . , cn tais que toda solução X do sistema não homogêneo (15)
pode ser escrita por
X = c1 X 1 + c2 X 2 + . . . + cn X n + X p .
Demonstração: É fácil ver que se Y1 , Y2 são soluções do problema não homogêneo (15),
então W = Y1 − Y2 é uma solução do sistema homogêneo associado. De fato
W 0 (t) = Y10 (t) − Y20 (t) = A(t)Y1 (t) + F (t) − A(t)Y2 (t) − F (t) = A(t)W (t).
Em particular, se Y é uma solução qualquer do problema não homogêneo (15) e
Xp é uma solução particular conhecida, temos que Y − Xp é uma solução do problema
homogêneo associado. Pelo fato de X1 , X2 , . . . , Xn , ser um conjunto fundamental de
vetores solução do sistema homogêneo associado ao sistema não homogêneo (15), existem
c1 , c2 , . . . , cn , tais que
Y (t) − Xp (t) = c1 X1 (t) + c2 X2 (t) + . . . cn Xn (t),
portanto
Y (t) = c1 X1 (t) + c2 X2 (t) + . . . cn Xn (t) + Xp (t).
Definição 3.5 Seja Xp uma solução dada do sistema não homogêneo (15) em um intervalo I. Denotemos por
X c = c1 X 1 + c2 X 2 + . . . + cn X n
3 SISTEMAS LINEARES
30
a solução geral, no mesmo intervalo, do sistema homogêneo (16) correspondente ao sistema (15). Define-se por
X = Xc + Xp
a solução geral do sistema não homogêneo no intervalo I.
A solução geral Xc do sistema homogêneo (16) é chamada função complementar do
sistema não homogêneo (15).
3.1
Matriz Fundamental
Seja {X1 , X2 , ..., Xn } um conjunto fundamental de soluções do sistema homogêneo (16)
definido em um intervalo I, então sua solução geral no intervalo é
X = c1 X1 + c2 X2 + ... + cn Xn

 
 
  
c1 x11 + c2 x12 + ... + cn x1n
x12
x1n
x11
 x21 
 x22 
 x2n   c1 x21 + c2 x22 + ... + cn x2n  (20)

 
  
 
= c1  ..  + c2  ..  + ... + cn  ..  = 

..

 . 
 . 
 .  
.
c1 xn1 + c2 xn2 + ... + cn xnn
xn1
xn2
xnn
Note que (20) pode ser escrita como o produto das matrizes

 
x11 x12 · · · x1n
c1
 x21 x22 · · · x2n   c2 

 
X =  ..
..
..   ..  .
.
.
 .
.
.
.  . 
xn1 xn2 · · · xnn
cn
Somos motivados a formular a seguinte definição:
 
 
 
x
x
x
 11 
 12 
 1n 
 
 
 
 x21 
x 
x 
 , X2 =  22  , . . . , Xn =  2n 
Definição 3.6 Sejam X1 = 
 .. 
 .. 
 .. 
 . 
 . 
 . 
 
 
 
xn1
xn2
xnn
um conjunto fundamental de n vetores solução do sistema homogêneo (16) definido em
um intervalo I. A matriz

x
x12
 11

 x21 x22
Φ(t) = 
 ..
..
 .
.

xn1 xn2
···
x1n



· · · x2n 

.. 
...
. 

· · · xnn
3 SISTEMAS LINEARES
31
é chamada uma matriz fundamental do sistema (16).
Exemplo 3.1 Os vetores
X1 =
−2t 1
e
e−2t =
−1
−e−2t
6t 3 6t
3e
e X2 =
e =
5
5e6t
são soluções de
1 3
X =
X
5 3
0
no intervalo (−∞, ∞). Assim,
Φ(t) =
e−2t 3e6t
−e−2t 5e6t
é uma matriz fundamental do sistema no intervalo.
Observação 3.1 O desenvolvimento em (20) afirma que a solução geral de qualquer
sistema homogêneo X 0 = A(t)X pode sempre ser escrito em termos de uma matriz fundamental do sistema da forma X = Φ(t)C, onde C é um vetor coluna n × 1 de constantes
arbitrárias.
Além disso, dizer que X = Φ(t)C é uma solução de X 0 = A(t)X significa que
Φ0 (t)C = A(t)Φ(t)C
ou
(Φ0 (t) − A(t)Φ(t))C = 0.
Como a última equação deve-se verificar para todo t no intervalo I e para toda matriz
coluna possı́vel de constantes C, devemos ter
Φ0 (t) − A(t)Φ(t) = 0
ou
Φ0 (t) = A(t)Φ(t).
Em alguns casos, é conveniente formar outra matriz especial n × n, uma matriz em
que os vetores coluna Vi sejam soluções de X 0 = A(t)X que satisfaçam as condições
3 SISTEMAS LINEARES
32
 
 
 
1
0
0
0
1
0
 
 
 
V1 (t0 ) =  ..  , V2 (t0 ) =  ..  , . . . , Vn (t0 ) =  ..  .
.
.
.
0
0
1
Aqui, t0 é um ponto escolhido arbitrariamente no intervalo em que a solução geral do
sistema é definida. Denotamos essa matriz especial com o sı́mbolo Ψ(t). Observamos que
Ψ(t) apresenta a propriedade


0 ··· 0
0 · · · 0

.. . . ..  = I
. .
.
0 0 0 ··· 1
1
0

Ψ(t) =  ..
.
0
1
..
.
onde I é a identidade multiplicativa n × n.
Decorre do Teorema (3.1) que Ψ(t) é a única matriz que satisfaz a condição Ψ(t0 ) = I.
Por último, as matrizes fundamentais Φ(t) e Ψ(t) estão relacionadas por
Ψ(t) = Φ(t)Φ−1 (t0 ).
(21)
A equação (21) fornece um método alternativo para a determinação de Ψ(t).
Teorema 3.5 Se Φ(t) for uma matriz fundamental de (16), então vale a fórmula de
Liouville
Rt
det Φ(t) = det Φ(t0 )e
t0
traço
(A(s))ds
.
Demonstração: Seja ϕ(t) = det Φ(t). Vamos mostrar que ϕ é solução da equação
x0 (t) = traço A(s)x(t).
Seja Φ(t) = [X1 (t), X2 (t), . . . , Xn (t)] na forma de colunas. Como o determinante depende
linearmente das colunas temos que
ϕ0 (t) =
n
X
det[X1 (t), X2 (t), . . . , Xj0 (t), . . . , Xn (t)]
i=1
=
n
X
[X1 (t), X2 (t), . . . , A(t)Xj (t), . . . , Xn (t)].
i=1
Se det Φ(t) = 0, a igualdade já é verificada. Suponhamos, então, que Φ é uma matriz
3 SISTEMAS LINEARES
33
fundamental, portanto podemos escrever A(t)Xj (t) =
A(s) é dado por traço A(s) = a11 + . . . + ann .
Por outro lado, temos que
ϕ0 (t) =
n
X
Pn
i=1
aij Xj (t) e, assim, o traço de
det[X1 (t), X2 (t), . . . , Xj0 (t), . . . , Xn (t)]
i=1
=
n
X
[X1 (t), X2 (t), . . . ,
i=1
=
n
X
n
X
aij (t)Xj (t), . . . , Xn (t)]
j=1
aii det[X1 (t), X2 (t), . . . , Xi (t), . . . , Xn (t)]
i=1
=
traço (A(s))ϕ(t).
O final da prova é consequência do método de separação de variáveis.
Teorema 3.6 Seja Φ(t) uma matriz fundamental do sistema homogêneo (16) em um
intervalo I. Então Φ−1 (t) existe para todo valor de t no intervalo.
Teorema 3.7 Se Φ(t) é uma matriz fundamental de (16), então a solução ϕ de (15) tal
que ϕ(t0 ) = X0 é dada por
Rt
ϕ(t) = Φ(t)[Φ−1 (t0 )X0 +
t0
Φ−1 (s)F (s)ds].
Em particular, ϕ(t) = Φ(t)Φ−1 (t0 )X0 .
Demonstração: Suponha que Xp = Φ(t)U (t) onde U, uma função matricial, seja solução
particular do problema não homogêneo (15). Portanto
Xp0 (t) = Φ(t)U 0 (t) + Φ0 (t)U (t) = Φ(t)U 0 (t) + AΦ(t)U (t)
logo
AΦ(t)U (t) + F (t) = AXp (t) + F (t) = Φ(t)U 0 (t) + AΦ(t)U (t)
o que implica
Φ(t)U 0 (t) = F (t)
portanto
U 0 (t) = Φ−1 (t)F (t)
de onde obtemos
Z
t
U (t) = U (t0 ) +
Φ−1 (s)F (s)ds.
t0
Como uma solução geral do problema não homogêneo é uma solução geral do homogêneo
3 SISTEMAS LINEARES
34
associado com uma solução particular temos que
ϕ(t) = Φ(t)Φ−1 (t0 )X0 + Φ(t)
3.2
Rt
t0
Φ−1 (s)F (s)ds.
Resolução de Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes
Nesta seção vamos estudar os métodos de resolução de sistemas lineares de equações
diferenciais ordinárias, baseado em [9].
Começamos indagando se é sempre possı́vel achar uma solução da forma
 
k1
 k2 
 
X =  ..  eλt = Keλt
.
kn
(22)
para o sistema linear homogêneo de primeira ordem
X 0 = AX,
(23)
onde A é uma matriz de constantes n × n.
Se (22) for um vetor solução de (23), então X 0 = Kλeλt , de modo que o sistema
torna-se
Kλeλt = AKλeλt .
Dividindo por eλt e reordenando, obtemos
AK = λK
ou
(A − λI)K = 0
(24)
Para achar uma solução não trivial de (23), devemos achar um vetor K que satisfaça
(24). Mas para que (24) tenha soluções não triviais, devemos ter
det(A − λI) = 0.
Essa última equação é denominada equação caracterı́stica da matriz A. Em outras
palavras, X = Keλt será uma solução do sistema de equações diferenciais (23) se e somente
se λ for um autovalor de A e K um autovetor correspondente a λ.
3 SISTEMAS LINEARES
35
Autovalores Reais Distintos
Quando a matriz A, n × n possuir n autovalores reais distintos λ1 , λ2 , . . . , λn , então
podemos achar um conjunto de n autovetores linearmente independentes K1 , K2 , . . . , Kn
e
X1 = K1 eλ1 t , X2 = K2 eλ2 t , . . . , Xn = Kn eλn t ,
será um conjunto fundamental de soluções de (23) em (−∞, ∞). A seguir, temos o método
para calcularmos a solução geral de Sistemas Homogêneos, quando os autovalores são reais
e distintos.
Sejam λ1 , λ2 , . . . , λn , n autovalores reais distintos da matriz de coeficientes A do sistema (23), e sejam K1 , K2 , . . . , Kn os autovetores correspondentes. Então a solução geral
de (23) no intervalo (−∞, ∞) é dada por
X = c1 K1 eλ1 t + c2 K2 eλ2 t + . . . + cn Kn eλn t .
Autovalores Complexos
Se λ1 = α + iβ e λ2 = α − iβ são autovalores complexos da matriz A de coeficientes
constantes, os autovetores correspondentes também terão elementos complexos.
Por exemplo, a equação caracterı́stica do sistema
dx
= 6x − y
dt
dy
= 5x + 4y
dt
é
6 − λ −1 = λ2 − 10λ + 29 = 0.
det(A − λI) = 5
4 − λ
Pela fórmula quadrática, obtemos
λ1 = 5 + 2i, λ2 = 5 − 2i.
Para λ1 = 5 + 2i, devemos resolver
(1 − 2i)k1
−k2 = 0
5k1 −(1 + 2i)k2 = 0.
Como λ2 = (1 − 2i)k1 , decorre, após escolhermos k1 = 1, que um autovetor é
K1 =
1
.
1 − 2i
(25)
3 SISTEMAS LINEARES
36
Analogamente, para λ2 = 5 − 2i, achamos o outro autovetor
K2 =
1
.
1 + 2i
Consequentemente, duas soluções de (25) são
X1 =
1
1
(5+2i)t
e
e X2 =
e(5−2i)t .
1 − 2i
1 + 2i
Pelo princı́pio da superposição, outra solução é
X = c1
1
1
(5+2i)t
e
+ c2
e(5−2i)t .
1 − 2i
1 + 2i
(26)
Note que os elementos em K2 correspondentes a λ2 são os conjugados dos elementos
em K1 correspondentes a λ1 . O conjugado de λ1 é, naturalmente, λ2 . Escrevemos λ2 = λ1
e K2 = K1 . Assim, acabamos de ilustrar o seguinte resultado:
Seja A a matriz de coeficientes, com elementos reais, do sistema homogêneo (23), e
seja K um autovetor correspondente ao autovalor complexo λ = α + iβ, com α e β reais.
Então
X1 = K1 eλ1 t e X2 = K1 eλ1 t
são soluções de (23).
É conveniente escrever uma solução que contenha funções complexas em termos de
funções reais. Escrevendo a solução (26) em termos de funções, temos:
x = c1 e(5+2i)t + c2 e(5−2i)t
y = c1 (1 − 2i)e(5+2i)t + c2 (1 + 2i)e(5−2i)t ,
Colocando o termo e5t em evidência e usando a fórmula de Euler, temos que
x = e5t [c1 e2it + c2 e−2it ]
= e5t [c1 (cos(2t) + i sin(2t)) + c2 (cos(2t) + i sin(2t))] e
y = e5t [c1 (1 − 2i)e2it + c2 (1 + 2i)e−2it
= e5t [c1 (1 − 2i)(cos(2t) + i sin(2t)) + c2 (1 + 2i)(cos(−2t) + i sin(−2t)).
Reagrupando, obtemos
x = e5t [(c1 + c2 ) cos(2t) + (c1 i − c2 i) sin(2t)] e
y = e5t [(c1 (1 − 2i) + c2 (1 + 2i)) cos(2t) + (c1 i(1 − 2i) − c2 i(1 + 2i)) sin(2t)]
= e5t [(c1 + c2 ) − 2(c1 i − c2 i) cos(2t) + 2(c1 + c2 ) + (c1 i − c2 i) sin(2t)].
3 SISTEMAS LINEARES
37
Substituindo c1 + c2 por C1 e c1 i − c2 i por C2 , temos
x = e5t [C1 cos(2t) + C2 sin(2t)] e
y = e5t [(C1 − 2C2 )] cos(2t) + e5t [(2C1 + C2 ) sin(2t)].
Reescrevendo em termos de vetores,
x
cos(2t)
sin(2t)
5t
X=
= C1
e + C2
e5t .
cos(2t) + 2 sin(2t)
−2 cos(2t) + sin(2t)
y
(27)
Aqui pode-se verificar que cada vetor em (27) é uma solução de (25). Além disso, as
soluções são linearmente independentes no intervalo (−∞, ∞). Podemos ainda supor que
C1 e C2 sejam completamente arbitrárias e reais. Assim, (27) é a solução geral de (25).
Podemos generalizar o processo precedente. Seja K1 um autovetor da matriz A correspondente ao autovalor complexo λ1 = α + iβ. Então, X1 e X2 podem ser escrito como
K1 eλ1 t = K1 eαt eiβt = K1 eαt (cos βt + i sin βt)
K1 eλ1 t = K 1 eαt e−iβt = K 1 eαt (cos βt − i sin βt)
As equações anteriores dão
1
1
i
(K1 eλ1 t + K 1 eλ1 t ) = (K1 + K 1 )eαt cos βt − (−K1 + K 1 )eαt sin βt
2
2
2
i
i
1
(−K1 eλ1 t + K 1 eλ1 t ) = (−K1 + K 1 )eαt cos βt + (K1 + K 1 )eαt sin βt.
2
2
2
1
i
Para qualquer número complexo z = a + bi, notamos que (z + z) = a e (−z + z) = b
2
2
1
i
são números reais. Portanto, os elementos dos vetores coluna (K1 + K 1 ) e (−K1 + K 1 )
2
2
são números reais. Definindo
1
i
B1 = (K1 + K 1 ) e B2 = (−K1 + K 1 ),
2
2
(28)
somos levados ao seguinte Teorema.
Teorema 3.8 Seja λ1 = α + iβ um autovalor complexo da matriz A de coeficientes no
sistema homogêneo (23), e denotemos por B1 e B2 os vetores coluna definidos em (28).
Então
X1 = (B1 cos βt − B2 sin βt)eαt ,
X2 = (B2 cos βt + B1 sin βt)eαt ,
3 SISTEMAS LINEARES
38
são soluções linearmente independentes de (23) no intervalo (−∞, ∞).
As matrizes B1 e B2 em (28) são denotadas também por
B1 = Re(K1 ) e B2 = Im(K1 )
(29)
porque esses vetores são, respectivamente, as partes real e imaginária do autovetor K1 .
Autovalores Repetidos
Até aqui não consideramos o caso em que alguns dos n autovalores λ1 , λ2 , ..., λn de
uma matriz n × n sejam repetidos. Por exemplo, vê-se que a equação caracterı́stica da
matriz de coeficientes em
0
X =
3 −18
X
2 −9
(30)
é (λ + 3)2 = 0 e, assim, que λ1 = λ2 = −3 é uma raiz de multiplicidade dois. Para esse
valor, obtemos o único autovetor
3
K1 =
,
1
e, assim, uma solução de (30) é
3 −3t
X1 =
e .
1
Como estamos interessados em formar a solução geral do sistema, devemos prosseguir
na busca de uma segunda solução.
De modo geral, se m for um inteiro positivo e (λ − λ1 )m for um fator da equação
caracterı́stica, enquanto que (λ − λ1 )m+1 não o é, então dizemos que λ1 é um autovalor
de multiplicidade m. Distinguimos duas possibilidades:
• Para algumas matrizes n × n, é possı́vel eventualmente achar m autovetores linearmente independentes K1 , K2 , ..., Km correspondentes a um autovalor λ1 de multiplicidade m ≤ n. Neste caso, a solução geral do sistema contém a combinação
linear
c1 K1 eλ1 t + c2 K2 eλ1 t + ... + cm Km eλ1 t .
• Se houver apenas um autovetor correspondendo ao autovalor λ1 de multiplicidade
m, então sempre poderemos achar m soluções linearmente independentes da forma
3 SISTEMAS LINEARES
39
X1 = K11 eλ1 t ,
X2 = K21 teλ1 t + K22 eλ1 t ,
..
.
tm−2 λ1 t
tm−1 λ1 t
e + Km2
e + ... + Kmm eλ1 t .
Xm = Km1
(m − 1)!
(m − 2)!
Suponhamos que λ1 seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um
autovetor associado a esse valor. Pode-se achar uma solução da forma
X2 = Kteλ1 t + P eλ1 t ,
(31)
 
 
k1
p1
 k2 
 p2 
 
 
onde K =  ..  e P =  ..  .
.
.
kn
pn
Para verificar, levamos (31) no sistema X 0 = AX e simplificamos:
(AK − λ1 K)teλ1 t + (AP − λ1 P − K)eλ1 t = 0.
Como essa última equação deve ser válida para todos os valores de t, devemos ter
(A − λ1 I)K = 0,
(A − λ1 I)P = K
(32)
(33)
A Equação (32) simplesmente afirma que K deve ser um autovetor de A associado a
λ1 . Resolvendo (32), encontramos uma solução X1 = Keλ1 t . Para achar a segunda solução
X2 , basta resolvermos o sistema adicional (33) em relação ao vetor P.
Quando uma matriz A tem apenas um autovetor associado a um autovalor λ1 de
multiplicidade três, podemos achar uma segunda solução da forma (31) e uma terceira
solução da forma
t2 λ1 t
X3 = K e + P teλ1 t + Qeλ1 t ,
2
(34)
 
 
 
k1
p1
q1
 k2 
 p2 
 q2 
 
 
 
onde K =  ..  , P =  ..  e Q =  ..  .
.
.
.
kn
pn
qn
Levando (34) no sistema X 0 = AX, vemos que os vetores coluna K, P e Q devem
satisfazer
3 SISTEMAS LINEARES
40
(A − λ1 I)K = 0
(A − λ1 I)P = K
(A − λ1 I)Q = P
(35)
(36)
As soluções de (35) e (36) podem ser utilizadas na formulação das soluções X1 e X2 .
Veremos agora que, segundo [4], quando a matriz A(t) é constante, A(t) ≡ A, a forma
canônica de Jordan permite obter informações mais precisas a respeito das soluções do
sistema linear homogêneo
y 0 = A(t)y.
(37)
Lema 3.2 (Forma Canônica de Jordan) Seja A uma matriz n × n, cujos autovalores
distintos são
λ1 , ..., λp , λp+1 , ..., λp+m ,
então existe uma matriz invertı́vel P tal que J = P −1 AP é da forma

J0



J =



0
···
0
..
.
J1 · · ·
.. . .
.
.
0
0
···
0
0
..
.
Jm








em que J0 , J1 , ..., Jm são matrizes quadradas, chamadas blocos de Jordan de ordens p, p1 , ..., pm ,
com p + p1 + ... + pm = n, J0 = diag(λ1 , ..., λp ) e, para cada k = 1, ..., m







Jk = 






λp+k
1
0
···
0
0
···
0
0
λp+k · · ·
..
..
.
.
0
..
.
0
..
.
···
λp+k
0
···
0
λp+k
0
λp+k
1
0
..
.
0
..
.
0
0
0
0
0
0














Observação 3.2 Quando A for diagonalizável, a matriz P será aquela cujas colunas são
os autovalores de A. Quando A não for diagonalizável, P será formada pelos autovetores
generalizados de A.
3 SISTEMAS LINEARES
41
Observação 3.3 O lema anterior tem consequências importantes no estudo dos sistemas
de equações diferenciais lineares y 0 = Ay. Fazendo a mudança de variáveis y(t) = P z(t),
temos
y 0 (t) = P z 0 (t) ⇒ z 0 (t) = P −1 y 0 (t) = P −1 Ay(t) = P −1 AP z(t) = Jz(t),
e obtemos o sistema mais simples z 0 = Jz. Uma vez obtida a solução z(t) desta equação,
voltamos à variável y e obtemos as soluções da equação original.
Vamos concentrar nossa atenção aos casos n = 2 e n = 3 e obter matrizes fundamentais para equações nesses casos.
Matrizes fundamentais quando
n
=2
λ1 0
(i) A é diagonalizável, temos J =
.
0 λ2
Sejam v1 , v2 autovetores linearmente independentes de A associados a λ1 , λ2 , respectivamente e seja P = [v1 v2 ] onde as colunas de P são as coordenadas
de v1 e v2 . É
λ1 t
e
0
imediato que uma matriz fundamental para z 0 = Jz é Z(t) =
.
0 e λ2 t
Observação 3.4 Lembremos que, se os autovalores forem complexos, então λ1 = α + iβ
e λ2 = α − iβ, os correspondentes autovetores são v1 = v + iw e v2 = v − iw. As soluções
complexas
e(α+iβ) (v + iw) e e(α−iβ) (v − iw),
dão origem às soluções reais
eαt cos(βt)v − eαt sin(βt)w e eαt sin(βt)v − eαt cos(βt)w,
e a correspondente matriz fundamental fica
Z(t) = eαt [cos(βt)v − sin(βt)w
λ 1
(ii) A não é diagonalizável, temos J =
.
0 λ
O sistema z 0 = Jz é
z10 = λz1 + z2
z20 = λz2 .
sin(βt)v − cos(βt)w].
3 SISTEMAS LINEARES
42
Resolvendo esse sistema, vemos que uma matriz fundamental é
Z(t) = e
λt
1 t
.
0 1
Logo, uma matriz fundamental de y 0 = Ay é
Y (t) = P Z(t) = e
λt
a b 1 t
λt a at + b
= eλt [v
=e
c ct + d
c d 0 1
vt + w].
Matrizes fundamentais quando
n=3 

λ1 0 0
(i) A é diagonalizável, temos J =  0 λ2 0  .
0 0 λ3
Seja P = [v1 , v2 , v3 ] em que v1 , v2 , v3 são autovetores linearmente independentes de
A associados a λ1 , λ2 , λ3 , respectivamente. Uma matriz fundamental para z 0 = Jz é
Z(t) = [eλ1 t eλ2 t eλ3 t ].
(ii) A não é diagonalizável, daı́ temos duas possibilidades:


λ1 0 0
J =  0 λ2 1 
0 0 λ2


λ 1 0
ou J˜ =  0 λ 1  .
0 0 λ
No primeiro caso, a matriz P é da forma
P = [u1 u2


a1 a2 a3
u3 ] =  b1 b2 b3  ,
c1 c2 c3
em que Au1 = λ1 u1 , Au2 = λ2 u2 e Au3 = λ2 u3 + u2 .
O sistema z 0 = Jz é
z10 = λ1 z1 ,
z20 = λ2 z2 + z3 ,
z30 = λ2 z3 .
Resolvendo esse sistema, vemos que uma matriz fundamental é
 λt

e 1
0
0
Z(t) =  0 eλ2 t teλ2 t  .
0
0
eλ2 t
3 SISTEMAS LINEARES
43
Logo, uma matriz fundamental de y 0 = Ay é

 λ t

a1 a2 a3
e 1
0
0
Y (t) = P Z(t) =  b1 b2 b3   0 eλ2 t teλ2 t 
c1 c2 c3
0
0
eλ2 t
 λt

a1 e 1 a2 eλ2 t eλ2 t (a3 + ta2 )
=  b1 eλ1 t b2 eλ2 t eλ2 t (b3 + tb2 ) 
c1 eλ1 t c2 eλ2 t eλ2 t (c3 + tc2 )
= [eλ1 t u1 eλ2 t u2 eλ2 t (u3 + u2 t)].
No segundo caso, a matriz P é da forma
P = [u1 u2


a1 a2 a3
u3 ] =  b1 b2 b3  ,
c1 c2 c3
em que Au1 = λu1 , Au2 = λu2 + u1 e Au3 = λu3 + u2 .
O sistema z 0 = Jz é
z10 = λz1 + z2 ,
z20 = λz2 + z3 ,
z30 = λz3 .
Resolvendo esse sistema, vemos que uma matriz fundamental é

2
1 t t2!
Z(t) = eλt 0 1 t  .
0 0 1
Voltando à variável y, obtemos a matriz fundamental
eλt [u1 tu1 + u2
3.3
t2
u1 + tu2 + u3 ].
2!
Diagrama de Fase para Sistemas Lineares Autônomos no
Plano
Os métodos estudados permitem-nos fazer uma análise geométrica minuciosa das
soluções de
x0 = ax + by
y 0 = cx + dy.
(38)
3 SISTEMAS LINEARES
44
em termos de autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes
A=
a b
.
c d
Nosso objetivo é esboçar o plano de fase para o sistema (38) e, para simplificarmos,
analisaremos o caso em que o determinante de A é diferente de zero, isto é, ∆ = ad−bc 6= 0.
Isso garante que X0 = (0, 0) é o único ponto crı́tico. Se τ = a + d é o traço da matriz A,
então a equação caracterı́stica det(A − λI) = 0 pode ser escrita como
λ2 − τ λ + ∆ = 0.
Como det A 6= 0, temos λ1 , λ2 6= 0, e os autovalores de A são λ =
Sejam
a
v1 = 1
b1
(τ ±
√
τ 2 − 4∆)
.
2
a
e v2 = 2 ,
b2
os autovetores de A associados a λ1 e λ2 , respectivamente, então as funções
z1 (t) = v1 eλ1 t
e z2 (t) = v2 eλ2 t
são soluções de (38). Se v1 e v2 forem linearmente independentes, z1 (t) e z2 (t) formam
uma base de soluções de (38).
Teremos os três casos usuais das raı́zes λ1 e λ2 , conforme τ 2 −4∆ seja positivo, negativo
ou zero.
Caso I: Autovalores reais distintos (τ 2 − 4∆ > 0)
A solução geral de (38) é dada por
z(t) = c1 v1 eλ1 t + c2 v2 eλ2 t .
(39)
Colocando o termo eλ1 t em evidência, obtemos
z(t) = eλ1 t [c1 v1 + c2 v2 e(λ2 −λ1 )t ].
(40)
(a) Se ambos os autovalores forem negativos (τ 2 − 4∆ > 0, τ < 0 e ∆ > 0), segue que
z(t) − c1 v1 eλ1 t = c2 v2 eλ2 t .
Supondo que λ1 > λ2 temos
lim (z(t) − c1 v1 eλ1 t ) = 0
t→∞
3 SISTEMAS LINEARES
45
e
lim (z(t) − c1 v1 eλ1 t ) = ∞.
t→−∞
Assim z(t) → c1 v1 eλ1 t quando t → ∞. Em outras palavras, z(t) ≈ c1 v1 eλ1 t para grandes
valores de t.
Se c1 6= 0, z(t) tende para 0 segundo uma das duas direções determinadas pelo autovetor v1 , correspondente a λ1 .
Se c1 = 0, z(t) = c2 v2 eλ2 t e z(t) tende para 0 ao longo da reta determinada pelo
autovetor v2 .
O ponto crı́tico é chamado nó estável quando ambos os autovalores são negativos.
Observe a Figura 3, que foi obtida através do programa Maxima, com instruções de [8].
Figura 3: Nó estável
Figura 4: Nó instável
Figura 5: Ponto de sela
(b) Se ambos os autovalores forem positivos (τ 2 − 4∆ > 0, τ > 0 e ∆ > 0), a análise é
análoga ao caso (a). Por (39), z(t) torna-se arbitrariamente grande quando t cresce. Além
disso, por (40), z(t) se torna arbitrariamente grande em uma das direções determinadas
pelo autovetor v1 (quando c1 6= 0) ou ao longo da reta determinada pelo autovetor v2
(quando c1 = 0). Esse tipo de ponto crı́tico, correspondente ao caso em que ambos os
autovalores são positivos, é chamado nó instável, conforme Figura 4.
(c) Os autovalores possuem sinais opostos (τ 2 − 4∆ > 0 e ∆ < 0). Se c1 = 0, a solução
tem órbita na direção de v2 e tende a (0, 0) quando t → −∞. Se c2 = 0, a solução tem
órbita na direção de v1 e tende a (0, 0) quando t → ∞. Se c1 6= 0 e c2 6= 0, então, no
instante t, escrevemos a solução como z(t) = eλ2 t (c1 e(λ1 −λ2 )t v1 + c2 v2 ) e vemos que ela tem
direção do vetor w(t) = c1 e(λ1 −λ2 )t v1 + c2 v2 .
Agora, quanto t → ∞, temos e(λ1 −λ2 )t → 0, pois λ1 − λ2 < 0, e, portanto, w(t) → c2 v2 .
Esse ponto crı́tico é chamado ponto de sela. Veja Figura 5.
Caso II: Um autovalor real repetido (τ 2 − 4∆ = 0)
Uma solução geral, nesse caso, toma uma de duas formas diferentes, conforme possamos achar, para o autovalor repetido λ1 , um ou dois autovetores linearmente independentes.
(a) Temos dois autovetores linearmente independentes.
3 SISTEMAS LINEARES
46
Se v1 e v2 são dois autovetores linearmente independentes correspondentes a λ1 , então
a solução geral é dada por
z(t) = c1 v1 eλ1 t + c2 v2 eλ1 t
= (c1 v1 + c2 v2 )eλ1 t .
Se λ1 < 0, z(t) tende para 0 ao longo da reta determinada pelo vetor c1 v1 + c2 v2 ,
o ponto crı́tico é chamado nó estável degenerado. Invertem-se as setas quando λ1 > 0.
Temos, então, um nó instável degenerado.
(b) Temos um único autovetor linearmente independente.
Quando existe um único autovetor linearmente independente v1 , a solução geral geral
é dada por
z(t) = c1 v1 eλ1 t + c2 (v1 te(λ1 t + P e(λ1 t ),
onde (A − λI)P = v1 e a solução pode ser posta na forma
h
c2 i
c1
.
z(t) = teλ1 t c2 v1 + v1 +
t
t
Se λ1 < 0, lim teλ1 t = 0, decorrendo que z(t) tende para 0 segundo uma das direções
t→∞
determinadas pelo vetor v1 . O ponto crı́tico é novamente chamado nó estável degenerado.
Quando λ1 > 0, as soluções se apresentam com as setas invertidas. A reta determinada
por v1 é uma assı́ntota para todas as soluções. O ponto crı́tico é chamado nó instável
degenerado.
Figura 6: Nó estável
degenerado
Figura 7: Nó instável
degenerado
Caso III: Autovalores complexos (τ 2 − 4∆ < 0).
Se λ1 = α + βi e λ1 = α − βi são os autovalores complexos e v1 = B1 + B2 i é um
autovetor complexo correspondente a λ1 , então a solução geral pode ser posta na forma
z(t) = c1 X1 (t) + c2 X2 (t), onde
X1 (t) = (B1 cos βt − B2 sin βt)eαt e
X2 (t) = (B2 cos βt − B1 sin βt)eαt .
3 SISTEMAS LINEARES
47
Temos, então, uma solução na forma
x(t) = eαt (c11 cos βt + c12 sin βt),
y(t) = eαt (c21 cos βt + c22 sin βt).
(41)
Vamos analisar o caso em que as raı́zes imaginárias são puras e o caso em que temos
a parte real não nula.
(a) Raı́zes imaginárias puras (τ 2 − 4∆ < 0, τ = 0)
Quando α = 0, (41) é da forma
x(t) = c11 cos βt + c12 sin βt,
y(t) = c21 cos βt + c22 sin βt.
(42)
Resolvendo o sistema de equações (42) em relação a cos βt e sin βt e utilizando a
identidade sin2 βt + cos2 βt = 1, é possı́vel mostrar que todas as soluções são elipses com
centro na origem. De fato, consideremos o sistema (42), com as constantes reais c1 , c2 , c3
e c4 para simplificar a notação, ou seja
x = c1 cos βt + c2 sin βt,
y = c3 cos βt + c4 sin βt.
Substituindo cos βt por a e sin βt por b, temos
x = c1 a + c2 b,
y = c3 a + c4 b.
Isolando a na primeira equação temos
a=
c2
x
− b.
c1 c1
(43)
Substituindo na segunda equação, obtemos
b =
c1
c1 c4 − c2 c3
y−
c3
c1 c4 − c2 c3
x.
Substituindo em (43), temos
a =
c1 c4
c1 (c1 c4 − c2 c3 )
x−
c2
c1 c4 − c2 c3
y.
Fazendo outra substituição em (44), para facilitar os cálculos, de modo que
(44)
3 SISTEMAS LINEARES
w1 =
48
c2
c1
c3
c1 c4
, w2 =
, w3 =
e w4 =
c1 (c1 c4 − c2 c3 )
c1 c4 − c2 c3
c1 c4 − c2 c3
c1 c4 − c2 c3
(45)
e sabendo que a2 + b2 = 1, temos
(w12 + w32 ) x2 + (−2w1 w2 − 2w3 w4 ) xy + (w22 + w4 ) y 2 = 1
(46)
Voltando aos coeficientes anteriores de (46), temos
c21 c24
c1 c2 c4
c1 c3
2
x + −2
−2
xy+
c21 (c1 c4 − c2 c3 )2
c1 (c1 c4 − c2 c3 )2
(c1 c4 − c2 c3 )2
c22
c23
+
+
y2 = 1
2
2
c1 (c1 c4 − c2 c3 )
(c1 c4 − c2 c3 )
Assim
c21 c24 + c41
c21 (c1 c4 − c2 c3 )2
2
x +
−2c1 c2 c4 − 2c21 c3
c1 (c1 c4 − c2 c3 )2
xy +
c22 + c23
(c1 c4 − c2 c3 )2
y
2
=1
(47)
Observe que (47) tem a forma Ax2 + Bxy + Cy 2 = 1. Para satisfazer a equação de
uma elipse, devemos ter
B 2 ≤ 4AC.
Mas
B2 =
4 [c21 c2 (c2 c24 + 2c1 c3 c4 ) + c41 c23 ]
c21 (c1 c4 − c2 c3 )4
e
4AC =
4 [c21 c22 (c24 + 1) + c21 c23 (c24 + c1 )]
c21 (c1 c4 − c2 c3 )4
Se B 2 > 4AC, terı́amos
4 [c21 c2 (c2 c24 + 2c1 c3 c4 ) + c41 c23 ]
4 [c21 c22 (c24 + 1) + c21 c23 (c24 + c1 )]
>
c21 (c1 c4 − c2 c3 )4
c21 (c1 c4 − c2 c3 )4
⇔ 2(c1 c2 )(c3 c4 ) > (c1 c2 )2 + (c3 c4 )2
3 SISTEMAS LINEARES
49
O que é uma contradição, pois, como, para quaisquer valores de x e y,
(x − y)2 ≥ 0 =⇒ x2 − 2xy + y 2 ≥ 0,
o que nos dá
2xy ≤ x2 + y 2
para quaisquer x e y reais. Assim, (47) satisfaz a equação da elipse.
Nesse caso, o ponto crı́tico (0, 0) é chamado centro. As elipses são todas elas percorridas seja no sentido horário, seja no sentido anti-horário(Figura 8).
(b) Parte real não nula (τ 2 − 4∆ < 0, τ 6= 0)
Quando α < 0, eαt → 0 e as soluções são semelhantes a elipses e circulam em torno da
origem, cada vez mais próximas dela. O ponto crı́tico é chamado ponto espiral estável.
Quando α > 0, o efeito é o oposto. Uma solução semelhante a uma elipse é afastada
cada vez mais da origem, e o ponto crı́tico é chamado ponto espiral instável (Figura 9).
Figura 8: Centro
Figura 9: Espiral instável
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
4
50
ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E
APLICAÇÃO
Neste capı́tulo vamos fazer um estudo sobre a estabilidade de sistemas lineares, baseado
em [4].
Consideremos a equação diferencial
y 0 = f (t, y).
(48)
em que f (t, y) é contı́nua e lipschitziana a y na região A = [0, ∞) × D, em que D ⊂ Rn
é um aberto. Suponhamos que f (t, 0) ≡ 0. Isto implica que a função φ(t) ≡ 0 é solução
de (48). Dado (t0 , y0 ) ∈ [0, ∞) × D, denotaremos por y(t) = y(t, t0 , y0 ) a única solução de
(48) tal que y(t0 ) = y0 .
Definição 4.1 A solução y(t) ≡ 0 é dita:
1. estável se, dados > 0 e t0 ∈ [0, ∞), existir δ = δ(, t0 ) > 0 tal que |y0 | < δ implica
|y(t, t0 , y0 )| < , ∀t ≥ t0 .
2. uniformemente estável se o número δ > 0 da definição de estabilidade puder ser
escolhido independente de t0 .
3. assintoticamente estável se ela for estável e existir b = b(t0 ) > 0 tal que |y0 | < b implica
|y(t, t0 , y0 )| → 0 quando t → +∞.
4. uniformemente assintoticamente estável se ela for uniformemente estável, o número
b da definição de estabilidade assintótica puder ser escolhido independente de t0 e, para
todo η > 0, existe T = T (η) > 0 tal que
|y0 | < b ⇒ |y(t, t0 , y0 )| < η, ∀t ≥ t0 + t(η).
5. ou instável quando a solução y(t) ≡ 0 não for estável.
Observação 4.1 Podemos observar que
1. se a solução nula de (48) for uniformemente estável, então ela será estável;
2. se a solução nula de (48) for uniformemente assintoticamente estável, então ela será
uniformemente estável;
3. a solução nula de (48) pode ser uniformemente estável e não ser assintoticamente
estável.
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
51
Exemplo 4.1 Considere a equação y 0 = 0. Temos y(t, t0 , y0 ) = y0 . É imediato ver que a
solução y(t) ≡ 0 é uniformemente estável, mas não é assintoticamente estável.
y0
. A solução
1 + y0 t0 − y0 t
y(t) ≡ 0 é instável porque existem condições iniciais arbitrárias próximas de y0 = 0 cujas
Exemplo 4.2 Seja a equação y 0 = y 2 . Temos y(t, t0 , y0 ) =
soluções não estão definidas no futuro.
Observação 4.2 É interessante definir estabilidade de uma solução qualquer φ(t), e não
apenas da solução nula.
Definição 4.2 A solução φ(t) é estável se, dados > 0 e t0 ≥ 0, pode-se achar
δ = δ(, t0 ) > 0 tal que
|y(t0 ) − φ(t0 )| < δ implica |y(t) − φ(t)| < , ∀t ≥ t0 .
Uma maneira alternativa é fazer a mudança de variável y = z + φ(t), daı́
y 0 = z 0 + φ0 (t) = z 0 + f (t, φ(t)).
Como y 0 = f (t, y), temos
z 0 + f (t, φ0 (t)) = y 0 = f (t, y),
donde
def
z 0 = f (t, y) − f (t, φ(t)) = f (t, z + φ(t)) − f (t, φ(t)) = F (t, z).
Dizemos, então, que a solução φ(t) de y 0 = f (t, y) é estável (respectivamente uniformemente, uniformemente assintoticamente estável) se, e somente se, a solução nula
de z 0 = F (t, z) for estável (respectivamente uniformemente, uniformemente assintoticamente estável).
Quando a função f (t, y) não depende de t, isto é, g = g(y) tal que f (t, y) ≡ g(y), então
as noções de estabilidade e estabilidade uniforme da solução nula coincidem. O mesmo
acontece com as de estabilidade assintótica e estabilidade assintótica unifome.
Teorema 4.1 Se a solução nula ϕ(t) ≡ 0, de
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
y 0 = f (t, y),
52
(49)
for estável (respectivamente assintoticamente estável), então ela será uniformemente estável
(respectivamente assintoticamente estável).
Demonstração: Suponhamos que ϕ(t) = 0 seja estável. Dado > 0, existe δ > 0 tal
que
|y0 | < δ ⇒ |y(t, 0, y0 )| < , ∀t ≥ 0.
Lembremos que y(t, 0, y0 ) denota a solução de (49) tal que y(t0 ) = y0 . Lembremos
também que, para qualquer t0 ∈ R, a solução z(t) de (49) tal que z(t0 ) = y0 é y(t−t0 , 0, y0 ),
ou seja,
y(t, t0 , y0 ) = y(t − t0 , 0, y0 ).
Agora, para qualquer t0 ≥ 0, temos
|y0 | < δ ⇒ |y(t, t0 , y0 )| = |y(t − t0 , 0, y0 )| < , ∀t ≥ t0 .
Isto significa que ϕ(t) ≡ 0 é uniformemente estável.
Suponhamos agora que ϕ(t) ≡ 0 é assintoticamente estável. Então ϕ(t) ≡ 0 é estável
(pela discussão anterior, ela é uniformemente estável) e existe b > 0 tal que
|y0 | < b ⇒ |y(t, 0, y0 )| → ∞.
(50)
E, para qualquer t0 ≥ 0, temos
|y0 | < b ⇒ |y(t, t0 , y0 )| = |y(t − t0 , 0, y0 )| → 0, quando t → ∞.
Logo, o número b da definição de estabilidade assintótica não depende de t0 .
De (50) temos que, dado γ > 0, existe T (γ) > 0 tal que
|y0 | < b ⇒ |y(t, t0 , y0 )| < γ, ∀t ≥ T (γ).
Agora, dado t0 ≥ 0, seja z(t) a solução de (49) tal que z(t0 ) − y0 , com |y0 | < δ. Então
z(t) = y(t − t0 , 0, y0 ). Portanto,
t ≥ t0 + T (γ) ⇒ t − t0 ≥ T (γ) ⇒ |z(t)| = |y(t − t0 , 0, y0 )| < γ.
Logo, a solução ϕ(t) ≡ 0 é uniformemente assintoticamente estável.
Agora faremos uma análise da estabilidade para sistemas lineares autônomos, conforme
os autovalores obtidos a partir da matriz de coeficientes desses sistemas.
Considere o sistema de equações no plano
y 0 = Ay.
(51)
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
53
˜ em que
Vimos que existe uma matriz P tal que P −1 AP = J ou P −1 AP = J,
λ 0
J= 1
0 λ2
λ 1
˜
ou J =
,
0 λ
em que λ1 , λ2 são os autovalores de A. A mudança de variável y = P z transforma (47) no
sistema mais simples
z 0 = Jz.
(52)
ou z 0 = Jz, no caso de A ter um autovalor com multiplicidade 2, vimos que uma matriz
fundamental para (52) é
λt
e 1
0
Z(t) =
.
0 eλ2 t
Portanto, a solução z(t) de (52) tal que z(t0 ) = v é
λ (t−t )
e 1 0
0
z(t) = Z(t − t0 )v =
v.
0
eλ2 (t−t0 )
Analisaremos as várias possibilidades.
(I) λ1 , λ2 são reais com λ2 < λ1 < 0.
Temos que |Z(t − t0 )| = eλ1 (t−t0 ) + eλ2 (t−t0 ) ≤ 2eλ1 (t−t0 ) ; portanto,
|z(t)| = |Z(t − t0 )v| ≤ |Z(t − t0 )||v| ≤ 2eλ1 (t−t0 ) |v|.
Essa desigualdade implica estabilidade uniforme, pois, como λ1 (t − t0 ) ≤ 0, para todo
t ≥ t0 , temos
|z(t)| ≤ 2eλ1 (t−t0 ) |v| ≤ 2|v|, ∀t ≥ t0 .
Assim, dados > 0 e t ∈ R, tomando δ = 2 , temos
|v| < δ ⇒ |z(t)| ≤ 2|v| < ,
∀t ≥ t0 .
Agora, tomando b = 1, vemos que |v| ≤ 1 implica que |z(t)| ≤ 2eλ1 (t−t0 ) |v| → 0, quando
t → ∞, uma vez que λ1 < 0, donde segue a estabilidade assintótica.
Além disso, dado γ > 0, tomando T (γ) = max{1, (ln γ − ln 2)}, temos
t ≥ t0 + T (γ) ⇒ t − t0 ≥
ln γ − ln 2
λ1
Como λ1 < 0 segue que
λ1 (t − t0 ) ≤ ln
γ 2
⇒ eλ1 (t−t0 ) <
γ
.
2
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
54
Isto implica a estabilidade assintótica uniforme,
|z(t)| ≤ 2eλ1 (t−t0 ) |v| < γ,
∀t ≥ t0 + T (γ).
(II) λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ são complexos e α < 0.
A matriz fundamental é
eαt cos βt eαt sin βt
Z(t) =
.
−eαt sin βt eαt cos βt
Segue que
|z(t)| ≤ (2eαt | cos βt| + 2eαt | sin βt|)|v|
≤ 4eαt |v|.
Isto implica a estabilidade uniforme.
Se α > 0, a discussão segue de modo análogo ao anterior.
(III) λ1 = λ2 = 0, mas A é diagonalizável (a multiplicidade geométrica de λ é 2).
Neste caso as soluções são constantes e a solução nula é uniformemente estável. Uma
análise semelhante pode ser feita para o caso em que um dos autovalores é negativo e o
outro é nulo.
(IV) λ1 = λ2 = λ < 0 tem multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1.
Vimos que a matriz fundamental é
Z(t) = e
λt
1 t
.
0 1
A análise é semelhante ao caso (I), se notarmos que, como λ < 0, temos
|Z(t)| = eλt (2 + |t|) → 0,
t → ∞.
Em todos esses casos, temos estabilidade uniforme (ou estabilidade assintótica uniforme) da solução nula. Se um dos autovalores tiver parte real positiva, a solução nula é
instável: haverá uma solução com uma componente da forma eαt (c1 cos(βt) + c2 sin(βt)),
com α > 0. As discussões anteriores provam o seguinte Teorema:
Teorema 4.2 (a) Se os autovalores da matriz 2×2, A, tiverem parte real negativa, então
a solução nula do sistema (51) é uniformemente e assintoticamente estável.
(b) Se um dos autovalores de A tiver parte real positiva, então a solução nula do sistema
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
55
(51) será instável.
(c) Se λ = 0 for autovalor de A com multiplicidade algébrica e geométrica iguais a 2,
então a solução nula de (51) será uniformemente, mas não assintoticamente estável.
(d) Se λ = 0 for autovalor de A com multiplicidade algébrica igual a 2 e multiplicidade
geométrica 1, então a solução nula de (51) será instável.
4.1
Perturbação de Sistemas Lineares
Consideremos agora o sistema não linear
y 0 = Ay + f (y),
(53)
para o qual, vamos assumir que
(H1) os autovalores de A tem partes reais negativas,
f (y)
= 0.
(H2) f é de classe C 1 em Rn e satisfaz lim
y→0 |y|
Seja Y (t) a matriz fundamental especial de (53) em t0 = 0, isto é, a matriz fundamental
de y 0 = Ay tal que Y (0) = I. A hipótese (H1) implica que existem constantes M, a > 0
tais que
||Y (t)Y −1 (s)|| ≤ M e−a(t−s) .
A hipótese (H2) significa que para todo > 0, existe δ > 0 tal que
0 < |y| ≤ δ ⇒ ||f (y)|| ≤ |y|.
(54)
Em particular, como f é contı́nua, devemos ter f (0) = 0. Assim, ϕ(t) ≡ 0 é solução
de (53).
Teorema 4.3 Suponhamos satisfeitas as hipóteses (H1) e (H2). Então a solução nula
de (53) será uniformemente assintoticamente estável.
Demonstração: Como o sistema é autônomo, basta mostrar que a solução ϕ(t) ≡ 0 é
assintoticamente estável.
Sejam M, a > 0 (podemos supor M ≥ 1) tais que
||Y (t)Y −1 (s)|| ≤ M e−a(t−s) , para s ≤ t < ∞.
Pela hipótese (H2) existe δ1 > 0 de modo que
|y| < δ1 ⇒ ||f (y)|| ≤
a
|y|.
2M
(55)
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
56
δ1
. Seja y(t) uma solução de (53) tal que y(t0 ) = y0 , em que |y0 | ≤ δ e
M
t0 ≥ 0. Como y(t) é uma função contı́nua e ||y(t0 )|| < δ, existe um intervalo J à direita
de t0 , J = [t0 , t1 ], tal que
|y(t)| < δ, ∀t ∈ J.
Tomemos δ =
Vamos mostrar que podemos tomar t1 = ∞. Em outras palavras, queremos dizer que a
desigualdade acima vale para todo t ≥ t0 . Sabemos que y(t) satisfaz
y(t) = Y (t)Y
−1
t
Z
Y (t)Y −1 (s)f (y(s))ds, ∀t ∈ [t0 , t1 ),
(t0 )y0 +
t0
então
|y(t)| ≤ |Y (t)||Y
−1
t
Z
|Y (t)Y −1 (s)||f (y(s))|ds, ∀t ∈ [t0 , t1 ).
(t0 )||y0 | +
t0
Usando a desigualdade (55) podemos escrever
|y(t)| ≤ M e
−a(t−t0 )
Z
t
M e−a(t−s)
|y0 | +
t0
a
|y(s)|ds, ∀t ∈ [t0 , t1 ).
2M
Multiplicando os dois membros dessa desigualdade por ea(t−t0 ) , obtemos
a(t−t0 )
e
Z
t
|y(t)| ≤ M |y0 | +
t0
a a(s−t0 )
e
|y(s)|ds, ∀t ∈ [t0 , t1 ).
2
Agora, aplicando a desigualdade de Gronwall, com u(t) = ea(t−t0 ) |y(t)|, α = M |y0 | e
v = a2 , obtemos
ea(t−t0 ) |y(t)| ≤ M |y0 |ea(t−t0 )/2 , ∀t ∈ [t0 , t1 ),
donde
|y(t)| ≤ M |y0 |e−a(t−t0 )/2 , ∀t ∈ [t0 , t1 ).
Como M |y0 | < M δ < δ1 e e−a(t−t0 )/2 < 1, temos
|y(t)| < δ1 , para t0 ≤ t < t1 .
Desta desigualdade, temos que t1 = ∞, pois suponha que t1 < ∞, logo
δ1 = lim |y(t)| ≤ lim M |y0 |e−
t→t1
a(t−t0 )
2
t→t1
a(t1 −t0 )
= M |y0 |e− 2
< M |y0 | < δ1
Donde δ1 < δ1 , o que é um absurdo. Logo t1 = ∞ e |y(t)| < δ1 , para todo t ≥ t0 . Temos,
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
57
portanto
|y(t)| ≤ M |y0 |e−a(t−t0 )/2 ,
∀t ∈ [t0 , ∞).
(56)
Logo a solução nula de (53) é assintoticamente estável.
Observação 4.3 Um fato relevante a respeito do Teorema (4.3) é que ele permite concluir
a estabilidade do ponto de equilı́brio y = 0 sem o conhecimento das soluções da equação
diferencial (53).
Observação 4.4 As conclusões do Teorema (4.3) tem um alcance maior do que aquele
dado no enunciado. Na verdade, esse teorema permite analisar a estabilidade de qualquer
ponto crı́tico de um sistema autônomo para o qual a parte linear seja assintoticamente
estável. Mais precisamente, consideremos a equação diferencial
x0 = g(x),
(57)
em que g(x) é continuamente diferenciável e seja x0 um ponto de equilı́brio de (57), ou
seja, g(x0 ) = 0, tal que todo autovalor da matriz jacobiana g 0 (x0 ) tenha parte real negativa.
Denotando
A = g 0 (x0 ) e f (y) = g(x0 + y) − Ay,
f (y)
= 0, quando |y| → 0. Assim, o sistema (57) pode ser colocado na
|y|→0 |y|
forma (53) e estão satisfeitas as hipóteses (H1) e (H2). O Teorema (4.3) implica que a
temos lim
solução ψ(t) ≡ x0 de (57) é uniformemente assintoticamente estável.
4.2
Aplicação em Biomatemática
Neste capı́tulo fazemos o uso da Teoria Qualitativa de Equações Diferenciais Ordinárias
num estudo de um modelo de competição entre duas espécies analisado por Bassanezi,
[1].
Para isto, vamos definir o que é uma isóclina e enunciarmos o Teorema (4.4):
Definição 4.3 Os coeficientes angulares das tangentes a uma curva solução de uma
equação diferencial são dados pela função f (x, y) = y. Quando f (x, y) é constante, ou
seja, quando y = c, estamos afirmando que o coeficiente angular das tangentes às curvas
soluções tem o mesmo valor constante ao longo de uma reta horizontal. Qualquer membro
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
58
da famı́lia f (x, y) = c é chamado isóclina, uma curva ao longo da qual a inclinação (das
tangentes) é a mesma.
O próximo Teorema garante que, sob certas condições, localmente as soluções do
sistema autônomo não linear se comporta como seu linearizado.
Teorema 4.4 Seja X1 um ponto crı́tico isolado do sistema autônomo X 0 = g(x), onde
P (x, y) e Q(x, y) têm derivadas parciais de primeira ordem contı́nuas em uma vizinhança
de X1 .
(a) Se os autovalores de A = g 0 (X1 ) têm partes reais negativas, então X1 é um ponto
crı́tico assintoticamente estável de X 0 = g(x).
(b) Se A = g 0 (X1 ) tem um autovalor com parte real positiva, então X1 é um ponto crı́tico
instável de X 0 = g(x).
Competição Entre duas Espécies
A interação entre duas espécies A e B se processa de maneira que cada espécie afeta
negativamente a outra na luta pela sobrevivência (espaço, alimentação, etc). Como os
recursos são limitados, o modelo de crescimento logı́stico é o mais indicado para cada
espécie, na ausência da outra:
dx
= ax − bx2 , se y = 0,
dt
dy
= cy − dy 2 , se x = 0.
dt
onde x e y são as populações das espécies A e B, respectivamente. Se incluirmos o efeito
da competição, a interação será modelada, supondo que a taxa de crescimento de cada
espécie seja reduzida por um fator proporcional à população da outra espécie. Assim as
equações que governam tal ecossistema são
dx
= x(a − bx − αy),
dt
dy
= y(c − dy − βx).
dt
(58)
indicando que as respectivas taxas de crescimento são inibidas de uma maneira linear
pelas duas populações.
O sistema de equações diferenciais (58) não tem necessariamente uma solução analı́tica;
por isso, neste caso especı́fico, um estudo qualitativo das soluções é imprescindı́vel.
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
59
Os pontos crı́ticos de (58) são dados pelas soluções do sistema algébrico
x(a − bx − αy) = 0,
y(c − dy − βx) = 0.
Obtemos, então, os seguintes pontos crı́ticos:
• A origem (0, 0) (intersecção das retas x = 0 e y = 0);
• A intersecção da reta a − bx − αy = 0 com a reta y = 0 (eixo x), resultando
a
b
,0 ;
• A intersecção da reta c − dy − βx = 0 com a reta x = 0 (eixo y), resultando 0,
• A intersecção das retas a−bx−αy = 0 e c−dy−βx = 0, resultando
c
;
d
ad − cα cb − aβ
,
bd − αβ bd − αβ
desde que bd − αβ 6= 0.
Para analisarmos o ponto de equilı́brio (0, 0) vamos linearizar o sistema (58), ou seja,
vamos substituirmos A(t)X no sitema autônomo original (58) por termos lineares
que melhor se aproxime de A(t)X. Usaremos o sinal ≈ para indicar essa aproximação.
x0
∂P = P (x, y) ≈
∂x ∂P (x − x1 ) +
(y − y1 )
∂y (x1 ,y1 )
(x1 ,y1 )
= (a − 2bx − αy) x − αx y = ax
(0,0)
(0,0)
e
y0
∂Q ∂Q (x − x1 ) +
(y − y1 )
= Q(x, y) ≈
∂x ∂y (x1 ,y1 )
(x1 ,y1 )
= −βy x + (c − 2dy − βx) y = cy
(0,0)
(0,0)
Logo, o sistema linearizado é
dx
= ax
dt
dy
= cy
dt
Nesse sistema, λ1 = a e λ2 = c são as raı́zes do polinômio caracterı́stico associado. Assim (0, 0) será sempre um nó instável, independentemente dos valores dos
coeficientes que aparecem em (58).
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
60
a
, 0 , tomamos a mudança de variáveis x = + u e y = v.
Para a análise do ponto
b
b
O sistema (58) se modifica em
a
du
a
= −au − αv − bu2 − αuv
dt
b
dv
aβ
= c−
v − dv 2 − βuv
dt
b
Assim,
u0
∂P = P (u, v) ≈
∂u (u1 ,v1 )
= (−a − 2bu − αv)
∂P (u − u1 ) +
∂v (v − v1 )
(u1 ,v1 )
αx − αu u−
b
a
(0,0)
(0,0)
a
v = −au − αv
b
e
v0
∂Q ∂Q = Q(u, v) ≈
(u − u1 ) +
(v − v1 )
∂u ∂v (u1 ,v1 )
(u1 ,v1 )
aβ
aβ
− 2dv − βu v = c −
= −βv u + c −
v
b
b
(0,0)
(0,0)
Logo, o sistema linearizado é
du
a
= −au − αv
dt
b
aβ
dv
= c−
v
dt
b
βa
As raı́zes do polinômio caracterı́stico associado são λ1 = −a e λ2 = c −
. Como
a b
c
a
λ1 é sempre negativo, se
< , então λ2 < 0 e o ponto
, 0 será um nó
β
b
b
c
a
a
assintoticamente estável; se > , então λ2 > 0 e o ponto
, 0 será um ponto
β
b
b
de sela (instável.)
c
c
temos λ1 = a − x e λ2 = −c.
Analogamente para o ponto de equilı́brio 0,
d
d
a
c
a
c
Logo, se < , o ponto será um nó assintoticamente estável e se > , será um
α
d
α
d
ponto de sela.
ad − cα cb − aβ
Para que o ponto
,
com bd − αβ 6= 0 esteja no primeiro quadbd − αβ bd − αβ
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
61
rante, é necessário que
c
a
>
d
α
e
a
c
>
b
β
(59)
a
c
<
d
α
e
a
c
< ,
b
β
(60)
ou
pois em ambos os casos teremos xe =
ad − cα
cb − αβ
> 0 e ye =
> 0.
bd − αβ
bd − αβ
Fazendo a mudança de variáveis x = xe + u e y = ye + v, no sistema (58) temos um
sistema quase linear o qual linearizado corresponde a
du
= −bxe u − αxe v
dt
dv
= −βye u − dye v
dt
Como a matriz dos coeficientes referente ao sistema acima é
−bxe −αxe
−βye −dye
,
o polinômio caracterı́stico
p(λ) = λ2 + (bxe + dye )λ + (bd − αβ)xe ye = 0
tem como raı́zes
1
1
1
λ1,2 = − (bxe + dye ) ± [(bxe + dye )2 − 4(bd − αβ)xe ye ] 2
2
2
e
∆ = (bxe + dye )2 − 4(bd − αβ)xe ye = (bxe − dye )2 + 4αβxe ye > 0.
Se
c
a a
c
> e > ⇒ αβ − bd > 0, logo λ1 > 0 e λ2 < 0.
d
α b
β
Neste caso, o ponto de equilı́brio será um ponto de sela. Analogamente no caso em
(60).
c
a a
c
< e < , temos (αβ − bd) < 0 e, portanto, λ1 < 0 e λ2 < 0, o que implica
d
α b
β
que o ponto (xe , ye ) é um nó assintoticamente estável.
Se
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
62
No plano de fase a equação (não separável)
dy
y(c − dy − βx)
=
dx
x(a − bx − αy)
não admite solução envolvendo funções elementares. Neste plano, os eixos são ambos
isóclinas e curvas soluções. As outras isóclinas são
c − dy − βx = 0,
onde
dy
=0e
dx
a − bx − αy = 0,
onde
dx
= 0.
dy
Dependendo da posição relativa dessas retas, temos quatro casos distintos, onde os
pontos crı́ticos são marcados como nos diagramas a seguir.
c
a
c
a
Quando >
e
> , o ponto (0, 0) é um nó estável, o ponto (0, dc ) é um nó
d
α β
b
assintoticamente estável e o ponto ( ab , 0) é um ponto de sela. Nesse caso, a espécie
c
y sobrevive e sua população limite será y∞ = , enquanto a espécie x será extinta,
d
a
a não ser que y0 = 0; logo x∞ = . Veja Figura 10.
b
Figura 10: Caso 1
c
a
a
c
<
e
> , o ponto (0, 0) é um nó estável, (0, dc ) é um ponto de
d
α
b
β
sela e ( ab , 0) é um nó assintoticamente estável. Analisando o gráfico na Figura 11,
a
concluı́mos que a espécie x sobrevive e tende a x∞ = e a espécie y será extinta, a
b
c
não ser que x0 = 0; e daı́ y∞ = .
d
a
c
c
a
Quando
>
e
> , (0, 0) é um nó estável, tanto (0, dc ) quanto ( ab , 0) são
α
d
β
b
pontos de sela e (xe , ye ) é um nó assintoticamente estável. Nesse caso, as duas
Quando
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
63
Figura 11: Caso 2
ad − cα
cb − αβ
e y∞ = ye =
, com
bd − αβ
bd − αβ
bd − αβ > 0 e há uma fraca competição entre as duas espécies. (Figura 12).
espécies sobrevivem e tendem a x∞ = xe =
Figura 12: Caso 3
a c
a
c
> e < , temos os seguintes pontos singulares: (0, 0) que é um nó
d
α β
b
estável, (0, dc ) e ( ab , 0) que são nós assintoticamente estáveis e (xe , ye ) que é um ponto
de sela (instável). Nesse caso, haverá extinção de uma das espécies, dependendo da
condição inicial das populações. Só pode haver coexistência das espécies se o ponto
inicial estiver na trajetória divisória (separatriz), que é composta das duas órbitas
que se dirigem para (xe , ye ). (Figura 13).
Quando
De acordo com [1], o “Princı́pio de Exclusão Competitiva”ou Lei de Gause estabelece
que não podem coexistir duas espécies competindo, pois uma delas será extinta em
todos os casos. No entanto, no caso em que (xe , ye ) é um nódulo estável, podemos
ver que as espécies, na verdade, não estão competindo, pois bd − αβ > 0 indica que
os fatores de competição α e β são bem pequenos. Um exemplo disso é a interação
existente entre tilápias e carpas convivendo em um mesmo tanque.
4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO
64
Figura 13: Caso 4
CONCLUSÃO
O estudo da Teoria Qualitativa de Equações Diferenciais Ordinárias é de muita importância, devido a sua vasta utilização nas ciências em geral, principalmente no estudo
da dinâmica de população e competição entre espécies. Muitas vezes não é possı́vel achar
soluções de sistemas em termos de funções elementares, mas através da Teoria Qualitativa podemos obter informações valiosas sobre a natureza e a geometria dessas soluções,
analisando inicialmente os pontos crı́ticos e procurando soluções periódicas.
Este estudo propiciou maior fundamentação teórica na formação acadêmica, complementou e aprofundou os estudos iniciados na disciplina de Equações Diferenciais Ordinárias, uma vez que teoremas envolvendo a teoria geral dessas equações não são abordados com o devido rigor em um primeiro curso.
REFERÊNCIAS
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Referências
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Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE
ALFENAS- UNIFAL-MG
MARIANA MOREIRA GONÇALVES SANTOS
TEOREMA DE EXISTÊNCIA PARA EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E
PROPRIEDADES QUALITATIVAS
ALFENAS, MG
2010