NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR
1. ESPAÇOS VETORIAIS
1.1. ESPAÇO VETORIAL REAL
Seja um conjunto V ≠ φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar,
tais que ∀u, v ∈ V, u+v ∈ V e ∀α ∈ ℜ , ∀u ∈ V , αu ∈ V . O conjunto V com as operações acima é chamado
espaço vetorial real se forem verificadas as seguintes propriedades:
Em relação à adição:
A1 − u + v = v + u ,
∀u,v ∈ V (a adição deve ser comutatividade )
A 2 − (u + v) + w = u + (v + w) , ∀u,v,w ∈ V (a adição deve ser associativa )
A3 −
A4 −
∃ 0 ∈ V , ∀u ∈ V , u + 0 = u ( deve existir em V o elemento neutro 0 da adição)
∀ u ∈ V , ∃ (-u) ∈ V , u + (-u) = 0 (deve existir em V o simétrico de cada elemento de V)
Em relação à multiplicação por escalar:
M 1 − (α + β)u = αu + βu, ∀α,β ∈ ℜ e ∀ u ∈ V (a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de
escalares)
Μ 2 − α(u + v) = αu + αv, ∀α ∈ ℜ e ∀u,v ∈ V (a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de
vetores)
M 3 − (αβ)u = α(βu), ∀α,β ∈ ℜ e ∀ u ∈ V (a multiplicação deve ser associativa em relação a multiplicação de
escalares)
M 4 − 1u = u, ∀ u ∈ V (o 1(um) deve ser o elemento neutro da multiplicação por escalar)
Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza.
Exemplos de espaços vetoriais:
1. O conjunto ℜ n das n-uplas de números reais com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
2. O conjunto M mxn das matrizes mxn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
n
n −1
3. O conjunto Pn ={a 0 x + a 1 x
+ ... + a n ; a i ∈ ℜ } dos polinômios de grau menor ou igual a “n”, incluindo
o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
4. O conjunto das funções definidas no intervalo [a;b] em relação às operações definidas por
(f + g)(x)= f(x)+ g(x) e (αf)(x) = αf(x) , ∀ α ∈ℜ .
1.2. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES
Sejam os vetores v1 , v 2 ,..., v n de um espaço vetorial V. Um vetor v ∈ V é combinação linear (CL)
dos vetores v1 , v2 ,..., v n se existem os reais a1 , a 2 ,..., a n , tais que a 1v1 + a 2v 2 + ... + a n v n = v .
E1) Verifique se o vetor v = (1,−8, −7 ) é combinação linear dos vetores v1 = (3, −2,1) e v 2 = (4,1,5) . Em caso
afirmativo, escreva o vetor v como combinação linear de v1 e v2 .
1
a 1 v 1 + a 2 v 2 + ... + a n v n = v pode ser representada matricialmente por
MA=V, onde: M é a matriz cujas colunas são os vetores v1 , v2 ,..., v n , A é a matriz coluna formada pelos
coeficientes a1 , a 2 ,..., a n e V é a representação matricial do vetor v.
Importante: A combinação linear
E2) Escreva o vetor v = (-3,2) como combinação linear dos vetores i = (1,0) e j = (0,1).
E3) Escreva o vetor v = (1,3,-2) como combinação linear dos vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1).
E4) Sejam os vetores v1 = ( 2,−1,2) , v2 = (0,3,−2) e v3 = (4,2,0) .
a) Escreva, se possível, o vetor v = (2 ,5,−2 ) como CL dos v etores v1 e v2 .
b) Escreva, se possível, o vetor v1 como CL dos vetores v2 e v 3 .
c) Determine o valor de “m” para que o vetor u = (6, 0, m ) seja CL dos vetores v 1 e v 2 .
1.3. RESPOSTAS
E1) v = 3v 1 - 2v 2
E4) a) v = v1 + 2v2
E2) v = -3i + 2j
b) Impossível
c) m=4
E3) v = i + 3j – 2k
1.4. PRODUTO ESCALAR
Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores u e v o número real representado
por u . v ou < u , v > e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores.
Se u = (x1 , y 1 )∈ ℜ 2 e v = ( x2 , y 2 ) ∈ ℜ 2 então u.v = x1 .x2 + y 1 .y 2 .
Se u = (x1 , y 1 , z1 ) ∈ ℜ 3 e v = ( x2 , y 2 , z2 ) ∈ ℜ 3 então u.v = x1.x2 + y1 .y 2 + z1 .z2 .
E1) Determinar u . v ,sabendo que u = (1, -2) e v = (4,2).
→
→
E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular AB . BC .
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
a) u . v = v . u
b) u .( v + w ) = u . v + u . w
c) α ( u . v ) = ( α u ). v = u .( α v ), comα ∈ ℜ
d) u.u = | u |2
1.5. MÓDULO DE UM VETOR
Chama-se módulo(ou comprimento) do vetor v o número real não negativo calculado por v.v .
No ℜ 2 , se v =(x,y ) então | v | =
x2 + y2 .
No ℜ 3 , se v =(x,y,z ) então | v | = x 2 + y 2 + z 2 .
E3) Dados os vetores u = (1,-2,2) e v = (4,3), calcular | u | e | v | .
→
E4) Dados os pontos A(1,3,0) e B(-2,m, -2), calcular m para que | AB | = 7.
PROPRIEDADES DO MÓDULO:
a) | u | ≥ 0 e | u | = 0 ⇔ u = 0
b) | -u | = | u |
c) | α u | = |α |.| u |
2
d) | u + v | ≤ | u | + | v |
1.6. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
→
A distância d e ntre dois pontos A e B é o comprimento do vetor AB .
→
No ℜ 2 , se A(x1 , y 1 ) e B( x2 , y 2 ) então AB =(x2 -x1 , y 2 -y 1 ) e d A B = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 .
→
No ℜ 3 , se A(x1 , y 1 , z1 ) e B( x2 , y2 , z2) então AB =(x2 -x1 , y 2 -y 1 , z2 - z1 ) e
d A B = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 .
E5) Determinar no eixo das ordenadas um ponto eqüidistante dos pontos A(1,-3,7) e B(5,7,-5).
E6) Determine o ponto do plano eqüidistante dos pontos (-1,-2) , (1,0) e (3,-2).
1.7. ÂNGULO DE DOIS VETORES
Se u ≠ 0 , v ≠ 0 e θ é o ângulo dos vetores u e v , com 0° ≤ θ ≤ 180 ° .
v
v–u
θ
u
Da lei dos co-senos: |u – v|2 = |u|2 + |v|2 – 2|u|.|v| cosθ (1)
Mas |u – v|2 = (u – v).(u – v) = u.u – 2u.v + v.v = |u|2 – 2 u.v + |v|2 (2)
Comparando (1) e (2): u.v =|u|.|v| cos θ ou cos θ =
u .v
.
| u | .| v |
E7) O que se pode afirmar sobre u.v, se 0° < θ < 90° .
E8) O que se pode afirmar sobre u.v, se 90 ° < θ < 180 ° .
E9) O que se pode afirmar sobre u.v, se θ = 90° .
E10) O que se pode afirmar sobre u e v, se θ = 0 ° .
E11) O que se pode afirmar sobre u e v, se θ = 180° .
E12) Calcular os ângulos entre os vetores u e v , sendo:
a) u =(1,2) e v =(-1,2)
b) u =(2,-1) e v =(1,2)
d) u =(1,1,4) e v =(-1,2,2)
e) u =(2,-1,2) e v =(-1,2,2)
c) u =(0,2) e v =(0,1)
f) u =(0,2,4) e v =(0,1,2)
π
E13) Sabendo que o ângulo entre os vetores u =(2,1,-1) e v =(1,-1,m+2) é , calcular m.
3
1.8. VETORES ORTOGONAIS
Se u é ortogonal a v , o ângulo θ entre os vetores u e v é 90o e portanto, u .v = 0.
u ⊥ v ⇔
u .v=0
E14) Dados os vetores u = (1,-2,2) e v = (4,m,-5), calcular m para que u e v sejam ortogonais.
E15) O triângulo de vértices A(5,1,5), B(4,3,2) e C(-3,-2,1) é retângulo?
E16) Determinar um vetor ortogonal ao vetor w = ( −3,1,2 ) .
1.9. RESPOSTAS
E1) 0.
E2) –1.
E3) 3 e 5.
E4) m = -3 ou m = 9.
E5) (0,2,0).
E6) (1,-2).
E7) u.v > 0.
E8) u.v < 0.
E10) Paralelos de mesma direção e mesmo sentido.
3
E9) u.v = 0.
E11) Paralelos de mesma direção e sentidos contrários.
E12) a) θ = arc cos (3/5).
b) 90o
c) 0o
d) 45o
e) 90o
E13) m = -4.
E14) m = -3.
E15) SIM.
E16) qualquer v = (a,b,c), tal que b = 3a –2c.
f) 0o
2. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
2.1. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO
E1) Sejam os vetores v1 = ( 2,−1,2) , v 2 = (0 ,3,−2) e v 3 = (4 ,2,0 ) .
a) Determine os vetores do ℜ 3 que podem ser escritos como CL dos vetores v1 , v 2 e v3 .
b) Determine os vetores do ℜ 3 que podem ser escritos como CL dos vetores v3 e v 4 = ( 2,1, 0) .
Seja A = {v1 , v 2 ,.., v n } um conjunto de vetores de um espaço vetorial V, e seja
S = {v ∈ V / v = a 1v1 + a 2 v 2 + ... + a n v n , a i ∈ ℜ} . O conjunto S, também representado por G(A) ou
[ v1 , v 2 ,...,v n ], é denominado subespaço vetorial gerado por A ou pelos vetores v1 , v 2 ,...,v n .
E2) Se V = ℜ 2 , determine o subespaço gerado por:
a) v 1 = (1, 2)
b) v 1 = (1, −2) e v 2 = (−1,2)
d) v1 = (1, 2) , v2 = (1,1) e v3 = (−1,1)
c) v 1 = (1, 0) e v 2 = ( 2, 2)
e) v1 = (1,2) e v2 = (0, −1)
E3) Se V = ℜ , determine o subespaço gerado por:
a) v1 = (1,3,2)
b) v1 = (1,3,2) e v2 = ( −2, −6,−4)
3
d) v 1 = (1, −1,1) , v 2 = ( −2,2 ,−2) e v 3 = (1,1,1)
c) v1 = ( −1,1,2) e v2 = (1,1,1)
e) v 1 = (1,0 ,0) , v 2 = ( 0,2 ,0) e v 3 = (0 ,0,3)
f) v 1 = (1,1,0) , v 2 = (0 ,1,1) , v 3 = (1,1,1) e v 4 = ( 2, 0,− 1)
2.2. RESPOSTAS
E1) a) ∀v ∈ ℜ 3
{
E3) a) {(x, y, z) ∈ ℜ
c) {(x , y , z) ∈ ℜ
b) v=(2y,y,0) , y ∈ ℜ
}
{
/ y = 3x e z = 2x}
/ x − 3 y + 2 z = 0}
E2) a) (x , y ) ∈ ℜ / y = 2 x
2
3
3
b) (x , y ) ∈ ℜ 2 / y = −2 x
}
c) ℜ 2
{
d) ℜ 2
e) ℜ 2
b) (x, y, z) ∈ ℜ3 / y = 3x e z = 2x
{
}
d) (x , y, z) ∈ ℜ / z = x
3
e) ℜ
3
f) ℜ
}
3
2.3. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Sejam os vetores v1 , v2 ,..., v n de um espaço vetorial V e a equação a 1v1 + a 2v 2 + ... + a n v n = 0 (1).
Os vetores v1 , v 2 ,..., v n são ditos linearmente independentes (LI) caso a equação (1) admita
apenas a solução trivial a 1 = a 2 = ... = a n = 0 .
Se a equação (1) admitir soluções distintas da trivial, então os vetores v1 , v 2 ,..., v n são ditos
linearmente dependentes (LD).
E1) Verifique se os vetores são LI ou LD.
a) v1 = (1, 2,3) e v2 = ( −2, −4, −6)
b) v1 = (0,1,2) , v 2 = (1,2,3) e v 3 = (1,3, 0)
c) v1 = (1,−1, 2) , v2 = (2,0,3) e v3 = (0, −2,1)
4
2.4. PROPRIEDADES
a) Um conjunto com dois ou mais vetores é LD se, e somente se, pelo menos um dos vetores é CL dos
demais.
b) Se um dos vetores de um conjunto é o vetor nulo então este conjunto é LD.
2.5. RESPOSTAS
E1) a) LD
b)LI
c) LD
2.6. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
Seja B = {v1, v2 ,... vn } um subconjunto de um espaço vetorial V. B é uma base de V, se:
a) B é LI;
b) B gera V.
E1) Seja B o conjunto dado pelos vetores v 1 = (1,0), v2 = (-2,0) e v 3 = (1,2). Verifique se B é uma base do ℜ 2 .
a) B = { v1 }
b) B = { v1 , v2 }
c) B = { v1 , v 2 , v 3 }
d) B = { v1 , v 3 }
E2) Seja B o conjunto formado pelos vetores v1 = (1, 2,0) , v 2 = ( 0,1,1) , v 3 = ( −1,0,0 ) e v 4 = (1,1, −1) .
Verifique se B é uma base do ℜ 3 .
a) B = { v 1 , v2 }
b) B = { v1 , v2 , v 3 }
c) B = { v1 , v2 , v 4 }
d) B = { v1 , v 2 , v 3 , v4 }
2.7. PROPRIEDADES
1. Todo conjunto LI de vetores de um espaço vetorial é uma base do subespaço por ele gerado.
2. Se B = { v 1 , v 2 ,..., v n } é uma base de um espaço vetorial V, então todo subconjunto de V com mais de “n”
vetores é LD.
3. Se B = { v 1 , v 2 ,..., v n } é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor de V se escreve de modo único
como combinação linear dos vetores de B.
4. Todas as bases de um espaço vetorial V têm o mesmo número de vetores.
Exemplo: Qualquer base do ℜ 2 tem 2 vetores e qualquer base do ℜ 3 tem 3 vetores.
Observações:
a) No sistema de eixos adotado no ℜ 2 , temos dois vetores padrão i = (1,0) e j = (0,1).
y
1 j = (0,1)
1
0 i = (1,0)
x
b) No sistema de eixos adotado noℜ 3 , temos três vetores padrão i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1).
z
1 k = (0,0,1)
1
0 j = (0,1,0)
1 i = (1,0,0)
x
5
y
c) Os vetores i = (1,0) e j = (0,1) formam a denominada base canônica do ℜ 2 , enquanto que os vetores i =
(1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) formam a denominada base canônica do ℜ 3 . Os vetores i, j e k também são
representados, respectivamente, por e 1 , e2 e e 3 .
2.8. RESPOSTAS
E1) a) Não
E2) a) Não
b) Não
b) Sim
c) Não
c) Não
d) Sim
d) Não
3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
3.1. TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função f de V em W é chama da transformação linear (TL), se
i) f(u+v) = f(u) + f(v), ∀u , v ∈ V
ii) f( α u) = α f(u), ∀α ∈ ℜ e ∀u ∈ V
No caso de V = W, f é chamada operador linear sobre V.
E1) Mostre que as transformações abaixo são lineares:
a) f: ℜ → ℜ , dada por f(x) = 2x
b) f: ℜ 2 → ℜ 2 , dada por f(x,y) = (x ,0).
E2) Quais das seguintes transformações são lineares ?
a) f(x)= 2x + 1
b)f(x,y) = xy
c)f(x,y,z) = ( 0 , 0 , z )
d)f(x,y) = | x+y |
E3) Numa TL f: V → W, f (u) =2u e f(v)=3v , calcule :
a) f(u+v)
b) f(3u)
c) f(u -v)
d) f(2u+5v)
PROPRIEDADES
a) Se f: V → W é uma TL então f(0V) = 0W .
b) Em qualquer TL, a imagem de uma combinação linear de vetores é igual a combinação linear das imagens
com os mesmos coeficientes, isto é, f(a 1 v1 + a 2 v2 + ... + a n vn ) = a 1f(v 1 ) + a 2 f(v2 ) + ...+ a n f(v n ).
E4) Se f: ℜ 2 → ℜ 3 é linear e u = (1,2), v = (-1,3), f(u) = (2, -1,-2) e f(v) = (-2,-4,-3) calcule:
a) f(u+v)
b) f(3u)
c) f(2,4)
d) f(2u-3v)
3.2. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA
 2 − 1


Seja a matriz A=  3 0  . Se pensarmos na matriz A como um objeto que atua sobre um vetor v
 5 − 4 
 2x − y 
x 


=   , por multiplicação, o resultado será o vetor u = Av =  3 x  . Logo, a matriz A define uma
y 
5x − 4 y 
transformação f: ℜ 2 → ℜ3 , onde f(v) = A.v ou f(x,y) = (2x-y,3x,5x-4y). Pode-se mostrar que essa
transformação é linear.
Toda matriz A mxn define uma TL f: ℜ n → ℜ m , com f(v) = A.v. Neste caso, A é chamada matriz
natural ou matriz canônica de f e A pode ser representada também por [f]. As linhas de A são,
respectivamente, os coeficientes das componentes da imagem de f.
6
 1 2 − 3
E5) Seja a matriz A = 
, determine :
3 
4 5
a) a lei da TL definida por A.
b) a imagem de v = (1,-1,1), usando a matriz A.
c) a imagem de v = (1,-1,1), usando a lei.
d) o vetor u, tal que f(u) = 0.
E6) Escreva a matriz natural associada a transformação linear f (x,y) = (x+2y,x-y,3x-5y)
E7) Escreva a matriz natural associada a transformação linear:
a) f(x,y,z)=(x+y-z,0)
b) f(x)=(2x,0,-x)
c) f(x,y)=x+y
d) f(x)=3x
− 1 2 
E8) Um operador linear no ℜ2 é definida pela matriz [f ] = 
 . Determine u e v , tal que :
 0 1
a) f(u)=u
b) f(v)=-v
−1
1
2
 1
0
− 3
E9)Um operador linear no ℜ3 é definido pela matriz A =  1 − 2 − 1 . Determine v e w tais que:
a) f(v) = 0
b) f(w) = (2,-1,-3)
2 1 
E10)Um operador linear é definido pela matriz A = 
 . Determine v ≠ 0 e u ≠ 0 tal que:
3 4 
a) Av = 5v
b) Au = -2u
3.3. TL DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DA BASE CANÔNICA
Uma TL f está perfeitamente definida quando são conhecidas as imagens dos vetores da base canônica
do domínio de f e, nesse caso, as imagens dos vetores da base canônica são, respectivamente, as colunas da
matriz canônica de f.
E11) Seja f: ℜ 2 → ℜ 3 a TL definida por f(1,0) = (3,2,1) e f(0,1) = (-2,4, -3). Determine:
a) f(5,4)
b) f(x,y)
c) f(5,4) pela lei
E12) Seja f: ℜ3 → ℜ2 a TL definida por f(1,0,0) = (2,3), f (0,1,0) = (-4,1) e f(0,0,1) = (-2,-1) . Encontre
f(x,y,z) e [f].
E13) Seja f a TL definida por f(1,0) = (3,-2,1) e f(0,1) = (4,0,2). Encontre f(x,y) e [f].
E14) Seja f a TL definida por f(1,0,0) = (1,0), f (0,1,0) = (2,-1) e f(0,0,1) = (4,3). Encontre f(x,y,z) e [f].
3.4. COMPOSTA DE DUAS TL
Sejam f1: V → W e f2 : W → U transformações lineares. A composta de f2 com f1 é a TL f2 of1 : V → U
definida por (f2 of1 )(v) = f2 (f1(v)).
W
w=f1 (v)= [f1 ].v
f1
f2
[f1]
[f2 ]
V
U
f2 of1
v
u= f2 (w)= [f2 ].[f1 ].v
[f2of1 ] = [f2 ]. [f1 ]
Importante:
A matriz que representa uma seqüência de TL é o produto das matrizes das TL na ordem inversa.
E15) Sejam os operadores lineares definidos por f1 (x,y) = (3x+y , y-x) e f2 (x,y) = (2x-y , 3x).
a) as matrizes das compostas f1 of2 e f 2 of1 .
7
b) as leis das compostas f 1 of2 e f2 of1.
E16) Sejam as TLdadas por f 1 (x,y) = (2x +3y , x+y , 2x) e f2 (x,y,z) = ( x-y , y -z). Determine:
a) as matrizes das compostas f1 of2 e f 2 of1 .
b) as leis das compostas f 1 of2 e f2 of1.
3.5. RESPOSTAS
E2) a) Não
b) Não
c) Sim
d) Não
E3) a) 2u + 3v
b) 6u
c) 2u – 3v
d) 4u + 15v
E4) a) (0,-5,-5)
b) (6,-3,-6)
c) (4,-2,-4)
d) (10,10,5)
E5) a) f(x,y,z) = (x + 2y – 3z, 4x + 5y + 3z)
b) (-4,2)
c) (-4,2)
d) (-7z,5z,z) , z ∈ ℜ
2
1
 2
 1 1 − 1


 
E6) A =  1 − 1
E7) a) A = 
b)
A
=
c) A = [1 1]
d) A =[3]

 0
0
0
0




 3 − 5 
− 1
E8) a) (y , y) , y ∈ ℜ
b) (x , 0) , x∈ ℜ .
E9) a) (3z , z , z) , z ∈ ℜ
b) (3z – 3 , z – 1 , z) , z ∈ ℜ
E10) a) (x , 3x) x∈ ℜ
b) NE
E11) a) (7 , 26 , -7)
b) f(x,y) = (3x – 2y , 2x + 4y , x – 3y)
c) (7 , 26 , -7)
 2 − 4 − 2
.
1 − 1
3
 3 4
1
E13) f(x,y) = (3x+4y,-2x,x+2y), [ f ] = − 2 0 .
E14) f(x,y,z) = (x+2y+4z,–y+3z), [ f ] = 
0
 1 2 
E12) f(x,y,z) = (2x– 4y–2z,3x+y–z ), [ f ] = 
9 − 3
7 1
E15) a) 
 e 9 3
1
1




2
E16) a) 1
b) b) f(x,y) = (9x - 3y , x + y ) e f(x,y) = (7x + y , 9x + 3y)
1 − 3
 1 2

− 1 e 

− 1 1
0 
0
2 − 2
2 4
.
− 1 3
b) f(x,y,z) = (2x + y - 3z , x – z , 2x – 2y ) e f(x,y) = (x + 2y , -x + y)
4. VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS
4.1. DEFINIÇÃO
Seja f:V → V um operador linear. Um vetor não-nulo v ∈ V é chamado vetor próprio ou autovetor
de f se existe λ ∈ ℜ , tal que f(v) = λ v. O real λ é chamado valor próprio ou autovalor de f associado ao
vetor próprio v.
E1) Considere a figura abaixo e identifique os vetores próprios e o s valores próprios correspondentes do
operador linear f.
y
f(v 2)
v3
f(v 3)
v1
v2
0
x
f(v 1)
8
E2) Mostre que se v é um vetor próprio de um operador linear f associado ao valor próprio λ então qualquer
vetor α v, com α ≠ 0 , é também vetor próprio associado ao mesmo λ .
E3) Sejam v 1 = (2, 3) e v 2 = (1, -1), vetores próprios de um operador linear associados aos valores próprios λ 1
= 4 e λ 2 = -1, respectivamente. Encontre:
a) f(4 , 6)
b) f(2 , -2)
c) f(2/3 , 1)
d) f(1/2 , -1/2)
E4) Verifique se o vetor v é vetor próprio da matriz A e determine, se possível, o valor próprio correspondente.
4 5 
1 2 
a) v = (5, 2), A = 
b) v = (1, 2), A = 


2 1 
3 2
4.2. DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS
Seja f:V → V um operador linear e [f] = A.
Determinação dos Valores próprios:
f(v) = λ v
⇔
A.v = λ v
⇔
A.v - λ v = 0
⇔
A.v - λ I.v = 0
⇔
(A - λ I).v = 0.
O sistema homogêneo correspondente admitirá soluções v ≠ 0 se, e somente se, det(A - λ I) = 0 (1).
A equação (1) é chamada equação característica de f e suas raízes são os valores próprios de f.
Determinação dos Vetores próprios:
Os vetores próprios são as soluções da equação (A - λ I).v = 0 para cada valor próprio encontrado.
Exemplo: Encontre os valores e vetores próprios do operador linear definido por f(x,y) = (3x,4x+y).
Solução:
Cálculo dos valores próprios :
det(A - λ I) = 0
3 0
A=

4 1 
⇒
0 
3 − λ
A- λI= 
1 − λ 
 4
⇒
det(A - λ I) =
3− λ 0
=0
4
1−λ
λ 1 = 1 ou λ 2 = 3
Cálculo dos vetores próprios:
(A - λ I).v = 0
Para λ 1 = 1 e v = (x,y)
2
(A - λ I).v = 0 ⇔ 
4
0  x  0 
.
=
0  y  0 
⇔
v = (0,y), com y ≠ 0 .
Para λ 2 = 3 e v = (x,y)
0 x  0 
0
(A - λ I).v = 0 ⇔ 
. =  
4 − 2  y  0 
⇔
v = (x,2x), com x ≠ 0 .
E5) Calcule os valores e vetores próprios :
a) do operador linear definido por f(x,y) = (4x + 5y , 2x + y)
9
⇔ λ 2 − 4λ + 3 = 0 ⇔
b)
c)
do operador linear definido por f(x,y) = (x + 2y , 3x + 2y)
do operador linear definido por f(x,y,z) = (x , -2x - y , 2x + y + 2z)
0 0 0 


d) da matriz A = 0 0 9 
0 4 0 
3 2 1


E6) Sabendo que λ = 2 é valor próprio de A = 1 4 1  calcule os vetores próprios correspondentes.
1 2 3
4.3. RESPOSTAS
E1) v1 =(2,2), λ 1 = −1 e v 2 =(4,2), λ 2 = 2 .
E3) a) (16,24)
b) (-2,2 )
c) (8/3,4)
d) ( -1/2 , 1/2 )
E4) a) Sim λ = 6
b) Não
E5) a) λ1 = −1 , v1 = ( x,− x), x ≠ 0 e λ 2 = 6 e v 2 = (5 t ,2 t ) , t ≠ 0
b)
λ1 = −1 , v1 = ( x,−x), x ≠ 0 e λ2 = 4 e v 2 = ( 2t,3t) , t ≠ 0
c)
λ1 = −1 , v1 = (0, − 3z, z), z ≠ 0 e λ 2 = 1 e v 2 = ( −z , z , z ) , z ≠ 0 e λ3 = 2 , v3 = (0,0, z), z ≠ 0
d) λ1 = − 6 , v1 = (0, 3t , −2 t ), t ≠ 0 e λ 2 = 0 e v 2 = ( x,0,0) , x ≠ 0 e λ 3 = 6 , v 3 = (0 ,3t , 2t ), t ≠ 0
E6) v= (x ,y ,- x - 2y), com x e y não simultaneamente nulos
5. BIBLIOGRAFIA
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BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues;Ribeiro,Vera Lúcia S.S.;Wetzler,Henry G. Algebra
Linear. Ed. Harbra, 1980.
KOLMAN, Bernard. Introdução à Algebra Linear com aplicações. 6.ed. Ed. Prentice-Hall do Brasil,
1998.
LAY, David C. Algebra Linear e suas aplicações. 2. Ed. Livros Técnicos e Científicos S. A., 1999.
MOREIRA, Francisco Leal. Álgebra linear e geometria analítica, Material Didático, FAMAT/PUCRS,
2004.
STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. McGraw-Hill, 1987.
10