Diagonal mais longa
Relativamente à incomensurabilidade entre a diagonal mais longa de um
polígono regular de n lados, com n > 4 e o seu lado, vamos considerar dois
casos separadamente:
- Se n é par, então a diagonal mais longa é o diâmetro da circunferência que
circunscreve o polígono, logo a razão entre esta diagonal e o lado do polígono é:
2R
1
=
2R sin n
sin n
Supondo que esta razão é um número racional , temos:
1
sin n
=
2
n
() 1 cos
() t2 + 1 +
=
4
2
2
1
=) sin2
=
1
() 1
)=
2 t = 0 () f (t) = 0
2
() sin n =
1
2 (t + t
2
n
1
2
2
()
1 cos
2
2
n
1
() t + t
1
=
+
2
4
2
()
2 = 0 ()
2 i
onde t = e n e f (x) = x2 + 42 2 x + 1 é um polinómio de grau 2
coe…cientes racionais do qual t é raiz. Mas, já vimos que o menor grau possível
para um polinómio nessas condições era (n). Logo, temos necessariamente que
(n) 6 2, ou seja, n 6 6. Como n é par, os únicos casos possíveis são o quadrado
(n = 4) e o hexágono regular (n = 6). No primeiro caso, a diagonal mais longa
é também a mais curta, uma vez que é a única, sendo incomensurável com o
lado; no segundo caso, a diagonal mais longa é a segunda mais curta, sendo
comensurável com o lado (é o dobro do lado).
- Se n é ímpar, com n = 2m+1, então a diagonal mais longa é a (m 1)-ésima
diagonal mais curta, logo a sua medida é:
2R sin
m
(n 1)
= 2R sin
n
2n
= 2R sin
2
2n
= 2R cos
2n
e a razão entre esta diagonal e o lado do polígono é:
2R cos 2n
cos 2n
cos 2n
1
=
=
=
2R sin n
2 sin 2n cos 2n
2 sin 2n
sin 2 2n
Supondo que esta razão é um número racional , temos:
1
2 sin
=
2n
() 2 sin 2n =
1
=) 4 sin2
1
1
2n
() 2 2 cos n = 2 () 2 (t + t ) =
() t2 + 1 + 12 2 t = 0 () g(t) = 0
i
=
1
2
1
2
() 4
() t + t
1 cos n
2
1
1
+
2
=
1
2
()
2 = 0 ()
onde t = e n e g(x) = x2 + 12 2 x + 1 é um polinómio mónico de coe…cientes racionais do qual t é raiz e de grau 2. Mas, já vimos que o menor grau
1
possível para um polinómio nessas condições era (2n). Logo, temos necessariamente que (2n) 6 2, ou seja, n 2 f1; 2; 3g, o que é impossível uma vez que
estamos a considerar n > 4.
Assim, excepto no caso do hexágono regular, a diagonal mais longa de um
polígono regular é sempre incomensurável com o lado. Em que casos poderemos
demonstrar esta incomensurabilidade por um processo geométrico análogo ao
utilizado no caso da diagonal mais curta? Supondo n > 6, vamos novamente
considerar os dois casos separadamente:
- Se n é par:
Neste caso, a razão
=
1
sin n
terá de ser raiz de um polinómio de grau 2 de
coe…cientes inteiros. Supondo que tal acontece, temos que t = e
polinómio de grau 4, logo vem (n) 6 4.
- Se n é ímpar:
Neste caso, a razão
=
1
2 sin
2 i
n
é raiz de um
terá de ser raiz de um polinómio de grau 2
2n
i
de coe…cientes inteiros. Supondo que tal acontece, temos que t = e n é raiz de
um polinómio de grau 4, logo vem (2n) 6 4. Mas, como, n é ímpar, temos
(2n) = (2) (n) = (n).
Em ambos os casos vem (n) 6 4, ou seja, n 2 f8; 10; 12g. Analisemos as
três situações separadamente:
- Se n = 8,
1
1
=q
1 cos
sin 8
=q
1
=q
1
2
=p
p =
2
2
2
4
2
p
p
p
p
p
p
2 2+ 2
2 2+ 2
2 2+ 2
p
q
p
= p
=
=
=
p
p
p
2
2
2 2+ 2
4 ( 2)2
q
q
p
p
p
=
2 2+ 2= 4+2 2
=
4
p
2
2
1
p
2
2
é raiz do polinómio x4 8x2 +8, sendo este um polinómio mónico de coe…cientes
inteiros, irredutível e de grau 4. Logo, este polinómio divide todos os outros
polinómios de coe…cientes inteiros dos quais é raiz, pelo que nenhum deles
poderá ter grau 2.
- Se n = 10,
=
1
1
=q
1 cos
sin 10
2
=
p
4
6
5
=q
1
1
p
1+ 5
4
=q
1
3
p
8
5
=p
p
8
3
p2
p
( 5 1)( 5 + 1) p
4
p
= 5+1
=
p =p
5 1
5 1
2 5
2
p =
5
é raiz do polinómio x2 2x 4, sendo este um polinómio mónico de coe…cientes
inteiros, irredutível e de grau 2.
- Se n = 12,
=
1
1
=q
1 cos
sin 12
2
=
6
=q
1
1
p
3
2
2
=q
1
2
p
4
3
2
=p
2
p =
3
p
p
q
q
p
p
p
p
2 2+ 3
q
=
2
2
+
3
=
8+4 3= 6+ 2
p
4 ( 3)2
é raiz do polinómio x4 16x2 + 16, sendo este um polinómio mónico de coe…cientes inteiros, irredutível e de grau 4. Logo, este polinómio divide todos os
outros polinómios de coe…cientes inteiros dos quais é raiz, pelo que nenhum
deles poderá ter grau 2.
Portanto, apenas para o decágono regular (n = 10) é possível demonstrar
esta incomensurabilidade por um processo geométrico análogo ao utilizado no
caso da primeira e da segunda diagonal mais curta.
3