Aula 14
Diferenciais. Aproximações
Lineares e Polinômios de
Taylor
MA111 - Cálculo I
Turmas O, P e Q
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Diferenciais
Se y = f (x), em que f é derivável, então
dy
= f 0 (x).
dx
Diferencial
Escrevemos
dy = f 0 (x)dx,
e chamamos diferencial as quantidades dy e dx.
Interpretação:
Interpretamos dy como sendo a pequena variação que y sofre
quando x sofre uma pequena variação dx.
Note que dy depende tanto de dx como f 0 calculada em x.
Exemplo
O raio de uma esfera tem 21cm, com um possível erro de
medida de no máximo 0.05cm. Qual o erro máximo cometido
ao usar esse raio para calcular o volume da esfera?
Exemplo
O raio de uma esfera tem 21cm, com um possível erro de
medida de no máximo 0.05cm. Qual o erro máximo cometido
ao usar esse raio para calcular o volume da esfera?
Resposta:
dV = 4π(21)2 0.05 ≈ 277cm3 .
Portanto, o erro (absoluto) é aproximadamente 277cm3 .
O erro absoluto é grande ou pequeno?
Exemplo
O raio de uma esfera tem 21cm, com um possível erro de
medida de no máximo 0.05cm. Qual o erro máximo cometido
ao usar esse raio para calcular o volume da esfera?
Erro Relativo
dV
dr
= 3 ≈ 0, 007 = 0, 7%.
V
r
Aproximação Linear
Considere a função f (x) = ex , com x próximo de a = 0.
A reta tangente é dada por:
y − f (a) = f 0 (a)(x − a),
ou seja,
y = 1 + x.
Aproximação Linear
Considere a função f (x) = ex , com x próximo de a = 0.
A reta tangente é dada por:
y − f (a) = f 0 (a)(x − a),
ou seja,
y = 1 + x.
Aproximação Linear
Considere a função f (x) = ex , com x próximo de a = 0.
A reta tangente é dada por:
y − f (a) = f 0 (a)(x − a),
ou seja,
y = 1 + x.
Aproximação Linear
Considere a função f (x) = ex , com x próximo de a = 0.
A reta tangente é dada por:
y − f (a) = f 0 (a)(x − a),
ou seja,
y = 1 + x.
Aproximação Linear
Considere a função f (x) = ex , com x próximo de a = 0.
Conclusão:
Para valores de x próximos de a, a função pode ser
aproximada pela reta tangente.
Aproximação Linear
A reta tangente a curva y = f (x) em (a, f (a)) é
y − f (a) = f 0 (a)(x − a)
⇔ y = f (a) + f 0 (a)(x − a).
Definição (Aproximação Linear ou Linearização)
Para valores de x suficientemente próximos de a, uma função f
derivável pode ser aproximada por
L(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a).
Polinômios de Taylor
Definição (Polinômios de Taylor)
Podemos aproximar uma função f suficientemente derivável
pelo polinômio
Tn (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f (n) (a)
f 00 (a)
(x − a)2 + . . . +
(x − a)n ,
2!
n!
para x suficientemente próximos de a.
Exemplo
Exemplo
Determine o polinômio de Taylor de grau n da função f (x) = ex .
Exemplo
Exemplo
Determine o polinômio de Taylor de grau n da função f (x) = ex .
Polinômio de grau n = 1:
T1 (x) = 1 + x.
Exemplo
Exemplo
Determine o polinômio de Taylor de grau n da função f (x) = ex .
Polinômio de grau n = 2:
1
T2 (x) = 1 + x + x 2 .
2
Exemplo
Exemplo
Determine o polinômio de Taylor de grau n da função f (x) = ex .
Polinômio de grau n = 3:
1
1
T3 (x) = 1 + x + x 2 + x 3 .
2
6
Exemplo
Exemplo
Determine o polinômio de Taylor de grau n da função f (x) = ex .
Polinômio de grau n = 4:
1
1
1 4
T4 (x) = 1 + x + x 2 + x 3 +
x .
2
6
24
Exemplo
Exemplo
Determine o polinômio de Taylor de grau n da função f (x) = ex .
Polinômio de grau n = 5:
1
1
1 4
1 5
T5 (x) = 1 + x + x 2 + x 3 +
x +
x .
2
6
24
120
Exemplo
Exemplo
Determine o polinômio de Taylor de grau n da função f (x) = ex .
Polinômio de grau n:
1
1
1
Tn (x) = 1 + x + x 2 + x 3 + . . . + x n .
2
6
n!
Exemplo
Exemplo
Determine o polinômio de Taylor de grau 2n da função
f (x) = cos(x).
Exemplo
Exemplo
Determine o polinômio de Taylor de grau 2n da função
f (x) = cos(x).
Polinômio de grau n = 0:
T0 (x) = 1.
Exemplo
Exemplo
Determine o polinômio de Taylor de grau 2n da função
f (x) = cos(x).
Polinômio de grau n = 1:
1
T2 (x) = 1 − x 2 .
2
Exemplo
Exemplo
Determine o polinômio de Taylor de grau 2n da função
f (x) = cos(x).
Polinômio de grau n = 2:
1
1 4
T4 (x) = 1 − x 2 +
x .
2
24
Exemplo
Exemplo
Determine o polinômio de Taylor de grau 2n da função
f (x) = cos(x).
Polinômio de grau n = 3:
1
1 4
1 6
T6 (x) = 1 − x 2 +
x −
x .
2
24
720
Exemplo
Exemplo
Determine o polinômio de Taylor de grau 2n da função
f (x) = cos(x).
Polinômio de grau 2n:
1
1
1
T2n (x) = 1 − x 2 + x 4 + . . . + (−1)n
x 2n .
2
4!
(2n)!