UFS - PROMAT
Disciplina: Geometria Diferencial
Professor: Almir Rogério Silva Santos
Lista de Exercı́cios 1
1. Seja α : I → R3 uma curva regular.
(a) Mostre que α é uma reta se α′ (t) e α′′ (t) são linearmente dependentes para todo t ∈ I.
(b) Mostre que α é uma reta se todas as retas tangentes têm um ponto em comum.
(c) Estes resultados valem se α não é regular?
2. Um disco circular de raio 1 no plano xy gira sem escorregar ao longo do eixo Ox, figura
1.7. A figura descrita por um ponto da circunferência do disco é chamada uma ciclóide (Veja
www.impa.br/ arss/figuras/cicloide).
(a) Obtenha uma curva parametrizada α : R → R2 cujo traço seja uma ciclóide e determine
seus pontos singulares (pontos da curva com derivada nula). Suponha que α(0) = (0, 0).
(b) Calcule o comprimento de arco da ciclóide correspondente a uma rotação completa do
disco.
(c) Calcule a curvatura de α nos seus pontos regulares.
3. Seja OA um diâmetro, de comprimento 2a, de um cı́rculo S 1 e sejam OY e AV as retas
tangestes a S 1 , respectivamente, em O e A. Uma semi-reta r é traçada a partir de O e
encontra o cı́rculo S 1 em C e a reta AV em B. Marque na reta OB o segmento Op de
maneira que o comprimento de Op seja igual ao de CB. Girando r em torno de O, o ponto p
descreve uma curva chamada a cissóide de Diocles. Tomando O como a origem do plano xy,
OA como o eixo Ox e OY como o eixo Oy, mostre que
1
(a) O traço de
(
α(t) =
2at2 2at3
,
1 + t2 1 + t2
)
, t ∈ R,
é a cissóide de Diocles (t = tan θ, ver figura 1.8).
(b) A origem (0, 0) é um ponto singular da cissóide.
(c) À medida que t → ∞, α(t) se aproxima da reta x = 2a, e α′ (t) → (2a, 0). Assim, quando
t → ∞, a curva e a sua tangente se aproximam da reta x = 2a; dizemos que x = 2a é
uma assı́ntota da cissóide.
4. Seja α : (0, π) → R2 dada por
t
α(t) = (sin t, cos t + log tan ),
2
onde t é o ângulo que o vetor α′ (t) faz com o eixo Oy. O traço de α é chamado de tractriz
(Figura 1.9). Mostre que
(a) α é uma curva diferenciável parametrizada, regular exceto em t = π2 .
(b) O comprimento do segmento da tangente da tractriz entre o ponto de tangência e o eixo
Oy é constante e igual a 1.
5. Seja α(t) = (aebt cos t, aebt sin t), t ∈ R, a > 0 e b < 0 constantes, uma curva parametrizada.
2
(a) Mostre que quando t → +∞, α(t) aproxima-se da origem, espiralando-se em torno dela
(por causa disto, o traço de α é chamada a espiral logarı́tmica, ver figura abaixo).
(b) Mostre que α′ (t) → (0, 0) quando t → +∞ e que
∫ t
lim
|α′ (t)|dt
t→+∞ t
0
é finito; isto é, α tem comprimento de arco finito em [t0 , ∞).
6. Da origem de R2 trace uma reta passando por qualquer ponto P do cı́rculo de raio a centrado
em (0, a). Seja Q o ponto de interseção desta reta com a reta y = 2a. O ponto de interseção
da reta vertical passando por Q com a reta horizontal passando por P é um ponto pertencente
a curva chamada de Curva de Agnesi. Seja t o ângulo entre o eixo vertical e a reta passando
por (0, 0), P e Q. Mostre que a curva de Agnesi é parametrizada por
α(t) = (2a tan t, 2a cos2 t).
7. Considere a curva
(
α(t) =
)
1
1
√ cos t, sin t, √ cos t , para 0 ≤ t ≤ 2π.
2
2
Identifique a curva. Calcule α′ (t), α′′ (t) e L(α).
8. A involuta de um curva regular α : I → R3 é definida como
I(t) = α(t) − s(t)
α′ (t)
.
|α′ (t)|
Mostre que a involuta de uma hélice é uma curva plana.
9. Seja α : I → R2 uma curva p.c.a. Mostre que, a menos do sinal, a curvatura de α é dada por
dθ
ds ,
onde θ é o ângulo entre o vetor tangente T e e1 = (1, 0).
3
10. Considere a curva
(
α(t) =
3
3
(1 + s) 2 (1 − s) 2 s
,
,√
3
3
2
)
,
para
− 1 < s < 1.
Mostre que ∥α′ ∥ = 1. Calcule a curvatura e a torçao. O que você pode dizer sobre esta curva?
11. Mostre que uma curva α(s) é está contida em um cı́rculo se, e somente se, κ > 0 é constante
e τ = 0.
12. (Taxa de variação do comprimento de arco) Seja α(s) uma curva p.c.a., com [a, b]. Considere
um vetor v(s) tal que ⟨v(s), α′ (s)⟩ = 0 para todo s. Considere para ε > 0 suficientemente
pequeno a curva βε (s) = α(s) + εv(s). Se
∫
b
Lβ (ε) =
∥βε′ (s)∥ds,
a
mostre que
∫ b
dLβ (ε) =
−
κ⟨N, v(s)⟩ds.
dε ε=0
a
Observe que se v(s) = N (s), então
L′ (0) = −
∫
b
κ(s)ds
a
13. Seja κ(s) uma função diferenciável. Defina uma curva β por
(∫ 2
)
∫ s
∫
β(s) =
cos θ(u)du,
sin θ(u)du , onde θ(u) =
0
0
u
κ(t)dt
0
Mostre que a curvatura de β(s) é κ(s). Dica: Mostre que ∥β ′ (s)∥ = 1 e calcule Tβ′ .
14. Seja α uma curva plana regular com evoluta E(t). Mostre que a involuta de E é a curva α.
15. Considere a aplicação

−1

 (t, 0, e t2 ), t > 0
− 12
α(0) =
t , 0), t < 0
(t,
e


(0, 0, 0), t = 0
(a) Prove que α é uma curva diferenciável.
(b) Prove que α é regular para todo t e que a curvatura k(t) ̸= 0, para t ̸= 0, t ̸= ±
√
2
3,
e
k(0) = 0.
(c) Mostre que o limite dos planos osculadores quando t → 0, t > 0, é o plano y = 0 mas que
o limite dos planos osculadores quando t → 0, t < 0, é o plano z = 0 (isto mostra que o
vetor normal é descontı́nuo em t = 0 e mostra porque excluı́mos pontos onde k = 0).
4
(d) Mostre que, mesmo sem ser α uma curva plana, pode-se definir τ de forma que τ ≡ 0.
16. Suponha que τ (s) ̸= 0 e k ′ (s) para todo s ∈ I. Mostre que uma condição necessária e
suficiente para que α(I) esteja contida em uma esfera é que
R2 + (R′ )2 T 2 = constante,
onde R = k1 , T = τ1 , e R′ é a derivada de R em relação a s. Dica: Ver [dC].
17. A esfera de raio R em R3 , S2R é o conjunto dos pontos (x, y, z) de R3 tais que x2 +y 2 +z 2 = R2 .
Seja α : [a, b] → R3 uma curva p.c.a. tal que sua imagem esteja contida em S2R . Seja k a
curvatura de α. Mostre que k ≥
1
R.
Dica: Note que ∥α(s)∥2 = R2 para todo s ∈ [a, b].
18. Seja α uma curva regular p.c.a. em R3 . O plano osculador de α no instante s é o plano
contendo o ponto α(s) gerado pleos vetores velocidade T (s) e normal N (s). Suponha que
exista um ponto fixo p em R3 tal que p pertença ao plano osculador a α no instante s, para
todo s (ou seja,) p pertença a todos os planos osculadores de α). Mostre que α é uma curva
plana.
19. Seja α : [a, b] → R3 uma curva regular, não necessariamente p.c.a. Sejam k(t) a curvatura de
α e τ (t) sua torção, t ∈ [a, b]. Mostre que
k(t) =
∥α′ (t) × α′′ (t)∥
∥α′ (t)∥3
τ (t) = −
e
⟨α′ (t) × α′′ (t), α′′′ (t)⟩
∥α′ (t) × α′′ (t)∥2
para t ∈ [a, b].
20. Suponha que todas as normais a uma curva parametrizada passem por um ponto fixo. Mostre
que o traço da curva está contido em um cı́rculo. Dica: Ver [dC].
21. (a) Sejam A, B constantes, com A > 0. Encontre uma curva p.c.a. α : R → R3 com curvatura
k ≡ A e torção τ ≡ B (Considere cada um dos casos B > 0, B < 0 e B = 0).
(b) Mostre que uma curva regular α : [a, b] → R3 com curvatura k > 0 é plana se e somente
sua torção é identicamente nula.
22. Mostre que a curvatura é invariante por isometrias. Isto é, mostre que se α : [a, b] → R3 é
uma curva regular com curvatura kα e f : R3 → R3 é uma isometria, então β(t) := f (α(t))
é uma curva regular com curvatura kβ (t) = kα (t), t ∈ [a, b]. Sugestão: Uma transformação
linear ortogonal preserva o produto interno. Use o problema 5.
23. Mostre que a torsão é invariante por isometrias, a menos de um sinal.
5
24. Mostre que o conhecimento da função vetorial b = b(s) (vetor binormal) de uma curva α, de
torção não nula em toda parte, determina a curvatura k(s) e o valor absoluto da torção τ (s)
de α. Dica: Ver [dC].
25. Determine todas as curvas regulares p.c.a. tais que o seu vetor binormal é dado por


1 
1
s
B(s) = √
−√
, −√ √
, 1
2
2
2
1+ s
2 1+ s
2
2
e tais que passam pelo ponto (0, 1, 0) quando s = 0. Sugestão: Use as equações de Frenet.
d
1
Dica:
.
(sinh−1 )(x) = √
dx
1 + x2
26. Seja k : (a, b) → R uma função diferenciável. Seja t0 ∈ (a, b). Sejam x0 e v0 ̸= 0 em
R2 . Mostre que existe uma, e uma única curva regular α : (a, b) → R2 tal que α(t0 ) = x0 ,
α′ (t0 ) = v0 e k é a curvatura de α. Exiba a curva no caso em que x0 = (0, 0), v0 = (1, 0) e
1
k(t) = √
, t ∈ (−1, 1).
1 − t2
27. Mostre que o conhecimento da função vetorial n = n(s) (vetor normal) de uma curva α, de
torção não nula em toda parte, determina a curvatura k(s) e a torção τ (s) de α. Dica: Ver
[dC].
28. Mostre que a curvatura k(s) ̸= 0 de uma curva parametrizada regular α : I → R3 é a
curvatura em t da curva plana π ◦ α, onde π é a projeção ortogonal sobre o plano osculador
em t. Dica: Ver [dC].
29. O concóide de Nicomedes em coordenadas polares é r =
a
cos θ
+ c, a ̸= 0, c ̸= 0, −π ≤ θ ≤ π.
Esboce e encontre uma representação em coordenadas retangulares.
30. Seja κ(s) uma função diferenciável. Defina uma curva β por
(∫ 2
)
∫ s
∫
β(s) =
cos θ(u)du,
sin θ(u)du , onde θ(u) =
0
0
u
κ(t)dt
0
Mostre que a curvatura de β(s) é κ(s). Dica: Mostre que ∥β ′ (s)∥ = 1 e calcule Tβ′ .
[dC] do CARMO, M. Geometria Diferencial de Curvas e Superfı́cies. SBM.
6