U NIVERSIDADE DE AVEIRO
D EPARTAMENTO DE E LECTR ÓNICA , T ELECOMUNICAÇ ÕES E
I NFORM ÁTICA
Métodos Probabilı́sticos em Electrotecnia (2014/15)
Problemas teórico-práticos no 1
1.1. Considere uma experiência aleatória em que o espaço de amostragem é S = {1, 2, . . . , 10}.
Sendo A, B e C os acontecimentos A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}, C = {5, 6, 7}, calcule
(a) Ac ∩ B
(b) Ac ∪ B
(c) (Ac ∪ B c )c
(d) (A ∪ (B ∩ C)c )c
1.2. Suponha que o espaço de amostragem de uma experiência aleatória é S = {x : 0 ≤ x ≤
2}. Se A e B forem os acontecimentos A = {x : 0.5 ≤ x ≤ 1} e B = {x : 0.25 ≤ x ≤
1.5}, calcule
(a) (A ∪ B)c
(b) A ∪ B c
(c) (A ∩ B)c
1.3. Prove que A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A.
1.4. Num perı́odo de 24 horas um estudante acorda no instante T1 e vai dormir mais tarde, no
instante T2 . Supondo que o par (T1 , T2 ) é o resultado de uma experiência aleatória,
(a) Defina e faça o esboço do espaço de amostragem.
(b) Considere o acontecimento A “o estudante está acordado às 9 horas”. Represente
graficamente este acontecimento.
(c) Considere o acontecimento B “o estudante passa mais tempo a dormir do que acordado”. Represente graficamente este acontecimento.
(d) Descreva por palavras o acontecimento C = Ac ∩ B.
1.5. Considere os acontecimentos A, B, C. Represente analiticamente e graficamente (diagrama de Venn) os acontecimentos
(a) Ocorre pelo menos um dos acontecimentos.
(b) Nenhum dos acontecimentos ocorre.
(c) Ocorrem todos os acontecimentos.
(d) A e B ocorrem, mas C não ocorre.
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1.6. Dados os acontecimentos A e B, use os axiomas da teoria das probabilidades para provar
que P [A ∩ B] ≥ P [A] + P [B] − 1.
1.7. Calcular P [A ∪ (B c ∪ C c )c ] quando
(a) A, B, C são acontecimentos disjuntos e P [A] = 3/7.
(b) P [A] = 1/2, P [B ∩ C] = 1/3 e P [A ∩ C] = 0.
(c) P [Ac ∩ (B c ∪ C c )] = 0.65.
1.8. A Maria e o António escolheram, ao acaso, um número entre 0 e 2. Partindo do princı́pio
que a probabilidade de um acontecimento é proporcional à área da sua representação no
plano, e de acordo com os acontecimentos
A “o módulo da diferença entre os números é superior a 1/3”,
B “pelo menos um dos números é maior que 1/3”,
C “os números são iguais”,
D “o número da Maria é maior que 1/3”,
calcule P [B], P [C] e P [A ∩ D].
1.9. Determine P [A|B] para
(a) A ∩ B = ∅.
(b) A ⊂ B.
(c) B ⊂ A.
1.10. O desenho de uma peça foi encomendado, em separado, a dois gabinetes de projecto (A
e B). Sabe-se que a probabilidade do gabinete A ter sucesso é 2/3, enquanto que para o
gabinete B é 1/2, e que a probabilidade de uma das equipas ter sucesso é 3/4. Sabendo
que só um dos gabinetes teve sucesso, qual é a probabilidade de ter sido o B?
1.11. Numa turma, 60% são génios, 70% gostam de chocolate e 40% estão em ambos os grupos. Qual é a probabilidade de um aluno ao acaso não ser génio nem gostar de chocolate?
1.12. A gerência de uma livraria resolveu encomendar um estudo sobre os hábitos dos seus
clientes. Concluiu-se que 1/4 dos clientes visitam raramente a loja, embora 1/3 deles
gaste quantias elevadas. No grupo dos clientes assı́duos, apenas 1/10 gasta quantias
elevadas.
(a) Construa uma árvore que descreva o modelo de probabilidade dos clientes da livraria.
(b) Escolhendo um cliente ao acaso, qual é a probabilidade de ele gastar uma quantia
elevada?
(c) Se o cliente gastar uma quantia elevada, qual é a probabilidade de ele pertencer ao
grupo de clientes assı́duos?
1.13. Calcule a probabilidade de duas ou mais pessoas num grupo de 25 fazerem anos no
mesmo dia.
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1.14. Numa série de 50 peças saı́das de uma linha de fabrico há oito defeituosas. Supondo que
se escolhem aleatoriamente dez peças, qual é a probabilidade de três serem defeituosas?
1.15. Uma doença rara é diagnosticada através de um teste que em 95% dos casos dá uma
resposta correcta, ou seja, se a pessoa tem a doença o teste é positivo com probabilidade
0.95 e se não tem o teste é negativo com probabilidade 0.95. Se uma pessoa escolhida
aleatoriamente tiver probabilidade 0.001 de ter a doença, qual é a probabilidade de ela
efectivamente ter a doença se o teste for positivo?
1.16. Dados os acontecimentos A e B independentes, calcule P [Ac ∩ B c ], sabendo que P [A] =
0.2 e P [B] = 0.15.
1.17. Moste que dois acontecimentos são independentes sse P [A|B] = P [A|B c ].
1.18. Um sı́mbolo binário é transmitido por um canal ruı́doso. No receptor, a probabilidade do
sı́mbolo 0 ser recebido como um 1 é ǫ0 = 0.01 e do sı́mbolo 1 ser recebido como um 0 é
ǫ1 = 0.02.
(a) Calcule as probabilidades de cada um dos sı́mbolos ser recebido correctamente.
(b) No transmissor as probabilidades do 0 e do 1 são, respectivamente, p e 1 − p.
Calcule a probabilidade de um sı́mbolo escolhido aleatoriamente ser recebido correctamente.
(c) Qual é a probabilidade da sequência 1011 ser recebida correctamente?
(d) Para aumentar a fiabilidade do canal de transmissão, cada sı́mbolo é enviado três
vezes, sendo descodificado no receptor por maioria.
i. Supondo que foi enviado um 0, qual é a probabilidade do receptor descodificar
o sı́mbolo 0?
ii. Utilizando a regra de Bayes, qual é a probabilidade de se ter enviado o sı́mbolo
0 uma vez que se recebeu o código 101?
1.19. Um fornecedor de serviços de Internet instalou c modems para disponibilizar o serviço a
n clientes. Está estimado que, para um determinado perı́odo do dia, a probabilidade de
cada cliente necessitar de ligação independentemente dos outros é p.
(a) Qual é a probabilidade de haver mais clientes a pedir ligação do que modems?
(b) Calcule essa probabilidade para c = 15, p = 0.1 e n = 100.
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