TEORIA DAS PROBABILIDADES
A estatística descritiva (ramo da estatística) permite caracterizar, de uma
forma resumida, um conjunto de dados.
Existe, no entanto, um outro ramo da estatística que permite ampliar a
investigação e obter generalizações aplicáveis a indivíduos que não tenham
sido observados e que se designa por estatística indutiva ou inferencial.
Amostra aleatória
População
Amostra
Estatísticas
(conhecidas)
Parâmetros
(desconhecidos)
Inferência estatística
Os métodos de inferência estatística permitem:
• Estimar as características desconhecidas (parâmetros) de uma população
(por exemplo a percentagem de votos em determinado partido);
• Testar
se
determinadas
hipóteses
sobre
essas
características
desconhecidas são plausíveis (por exemplo, se o que afirma determinado
partido acerca da percentagem de votos que irá ter é provável ou não).
©Raul Laureano
1
Assim, as características de uma população designam-se por parâmetros e
as de uma amostra por estatísticas. As estatísticas que permitem inferir das
características da amostra para a população designam-se por estimadores
(todos os estimadores são estatísticas, mas nem todas as estatísticas são
estimadores).
A inferência estatística pode ser:
• Dedutiva, no caso de se estender as conclusões da população para a
amostra. Neste caso, como as premissas de que se parte são verdadeiras
então também a dedução o será;
• Indutiva, no caso de se estender as conclusões de um grupo mais restrito
(amostra) para um mais lato (população). Neste caso está sempre
associado um certo grau de erro, uma margem de incerteza, medido com
o auxílio da Teoria das probabilidades.
TEORIA DAS PROBABILIDADES – é a teoria matemática que se
ocupa dos métodos de análise que são comuns ao estudo dos fenómenos
aleatórios, seja qual for o campo a que pertençam (Murteira et al., 2002, p.
52)
FENÓMENOS ALEATÓRIOS – fenómenos que por estarem sujeitos a
múltiplas influências casuais não podem ser representados e explicados
com base em modelos matemáticos determinísticos.
A teoria das probabilidades pretende precisamente proporcionar um
modelo – modelo probabilístico – que permita descrever e interpretar os
fenómenos aleatórios, ou seja, acontecimentos influenciados pelo acaso.
Na base da teoria das probabilidades está o conceito de Experiência
aleatória.
©Raul Laureano
2
EXPERIÊNCIA ALEATÓRIA – qualquer processo que dá origem a
resultados observáveis e em que os resultados, embora podendo ser
descritos no seu conjunto, não são determináveis a priori, ou seja, são
incertos devido à influência de factores casuais (múltiplos, desconhecidos
e/ou não controláveis).
Características de uma experiência aleatória:
• O conjunto de resultados possíveis é conhecido antecipadamente;
• Não é possível prever exactamente o resultado individual de cada uma
das experiências;
• Embora não se possam prever os resultados individuais de uma
experiência, devido à sua irregularidade, quando a experiência é repetida
um número elevado de vezes verifica-se uma regularidade estatística no
conjunto dos resultados;
• Possibilidade de repetição da experiência em condições similares. Há, no
entanto, experiências que se podem realizar apenas uma vez (situações
únicas).
ESPAÇO DE RESULTADOS – conjunto de todos os resultados possíveis
de uma experiência aleatória. Representa-se pela letra grega Ω (omega). O
espaço de resultados pode classificar-se em:
• Discreto, quando os resultados possíveis são finitos ou infinitos
numeráveis;
• Contínuo, quando os resultados possíveis são infinitos não numeráveis;
• Qualitativo, quando os elementos de Ω se apresentam em escalas
nominais ou ordinais;
• Quantitativo, quando os elementos de Ω assumem valores numéricos.
©Raul Laureano
3
O espaço de resultados pode ser definido em:
• Compreensão
Ω = { x : 0 < x < 12}
• Extensão
Ω = {1, 2,3, 4,5, 6, 7}
Exemplos de experiências aleatórias e de espaços de resultados:
• Lançamento de uma moeda e observação do lado que fica para cima
Ω = { F ,C }
• Lançamento de um dado e registo do número de pontos obtidos
Ω = {1, 2,3, 4,5, 6}
• Tiragem de uma carta do baralho e anotação do naipe
Ω = { E , C ,O , P }
• Registo do número de sinistros por apólice do ramo automóvel durante
uma anuidade
Ω = {0,1, 2,...}
ou
Ω = ℕ0
ou
Ω = { x ∈ ℕ 0 : x ≥ 0}
• Observação da duração de um determinado componente electrónico
Ω = { x ∈ ℝ : x > 0}
• Registo da hora de chegada de um fax à central de comunicações
Ω = { x : 0 ≤ x ≤ 24}
• Registo da hora de entrada e de saída de um cliente de uma loja que abre
às 9h e encerra às 19h
Ω = {( x , y ) : 9 < x < y < 19}
• Registo do número de equipas vencedoras em casa na próxima jornada da
liga de futebol
Ω = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9}
©Raul Laureano
4
ACONTECIMENTO – qualquer subconjunto do espaço de resultados é
um acontecimento definido em Ω. Como qualquer conjunto é subconjunto
de si próprio então Ω é um acontecimento.
Acontecimento
Elementar
(um resultado individual)
Composto ou complexo
(mais de um resultado)
Exemplo:
Experiência aleatória: lançamento de um dado
Espaço de resultados: Ω = {1, 2,3, 4,5, 6}
Acontecimentos:
• Saída da face par: o acontecimento composto A é A = { 2, 4, 6}
• Saída de 6: o acontecimento elementar B é B = {6}
• Saída de um número menor que 3: o acontecimento composto C é
C = {1, 2}
• Saída de um número menor ou igual a 6: o acontecimento certo D é
D=Ω
• Saída de 0: o acontecimento impossível E é E = { } = ∅
Assim:
• ACONTECIMENTO IMPOSSÍVEL – acontecimento cuja totalidade dos
elementos não esteja contido no espaço de resultados;
• ACONTECIMENTO CERTO – corresponde ao Ω
©Raul Laureano
5
ACONTECIMENTO VERSUS RESULTADO – não se deve confundir
acontecimento com resultado. Na verdade:
• Acontecimento é algo que a experiência aleatória pode produzir mas que
não se realiza necessariamente;
• Resultado é algo que a experiência aleatória produziu (só faz sentido
após a realização da experiência aleatória).
Assim, definido um acontecimento A ⊂ Ω , se este se realiza ao efectuar a
experiência aleatória (isto é, se o resultado da experiência é um ponto que
pertence a A ), diz-se que ocorreu um sucesso. Se não se realiza tem-se o
complementar de A ( A ou Ac ) e diz-se que ocorreu um insucesso.
Deste modo, só após a realização da experiência aleatória se pode afirmar
que certo acontecimento se realizou ou não. Sendo ω (ómega) um
resultado, diz-se que A se realizou se ω ∈ A .
Por outro lado, diz-se que o acontecimento A está contido no
acontecimento B ( A ⊂ B ) se todos os resultados individuais que
favorecem a ocorrência de A pertencerem também a B .
E
têm-se
acontecimentos
mutuamente
exclusivos1
quando
os
acontecimentos não têm elementos em comum, ou seja, quando não se
podem realizar em simultâneo.
1
Também designados por acontecimentos incompatíveis ou disjuntos.
©Raul Laureano
6
ALGEBRA DE ACONTECIMENTOS
Por analogia com a álgebra dos conjuntos pode-se ter:
• UNIÃO DE ACONTECIMENTOS: a união de dois acontecimentos A
e B ( A ∪ B ) é o acontecimento que se realiza quando pelo menos um
deles se realiza, ou seja, é o acontecimento que se realiza sempre que A
ou B se realizarem (ou um, ou outro, ou os dois).
A
B
Ω
• INTERSECÇÃO DE ACONTECIMENTOS: a intersecção de dois
acontecimentos A e B ( A ∩ B ) é o acontecimento que se realiza quando
ambos se realizam (os dois em simultâneo).
A
B
Ω
©Raul Laureano
7
• DIFERENÇA DE ACONTECIMENTOS: A − B (ou A \ B ) é o
acontecimento que se realiza se e só se A se realiza sem que se realize
B.
A
B
Ω
Em particular, Ω − A designa-se por acontecimento contrário ou
complementar de A e realiza-se se e só se A não se realiza. Representa-se
_
_
por A ou Ac . Evidentemente, A ∩ A = ∅ e A ∪ A = Ω .
A
_
A = Ω− A
©Raul Laureano
8
• ACONTECIMENTOS
INCOMPATÍVEIS
OU
MUTUAMENTE
EXCLUSIVOS: Dois acontecimentos A e B dizem-se mutuamente
exclusivos se e só se a realização de um deles implica a não realização do
outro. A intersecção não é possível (acontecimento impossível).
A
B
Ω
Quer isto dizer que se A ∩ B = ∅ , então A e B são mutuamente
exclusivos.
• IMPLICAÇÃO DE ACONTECIMENTOS: a realização de A implica a
realização de B se e só se qualquer elemento de A é elemento de B
( A ⊂ B ).
• IDENTIDADE DE ACONTECIMENTOS: A e B são acontecimentos
idênticos se e só se possuem os mesmos elementos. A = B significa que
A ⊂ B e B ⊂ A , isto é, a realização de um deles implica a realização do
outro.
©Raul Laureano
9
PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES
• CUMUTATIVA: A ∪ B = B ∪ A ou A ∩ B = B ∩ A
Sair num dado 2 ou 4 é o mesmo que sair 4 ou 2
• ASSOCIATIVA: ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ou ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Sair 2 ou sair (4 ou 6) é o mesmo que sair (2 ou 4) ou sair 6
• DISTRIBUTIVA: ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) ou
( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C )
Sair 2 e (par ou menor que 4) é o mesmo que sair (2 e par) ou (2 e menor
que 4)
• IDEMPOTÊNCIA: A ∪ A = A ou A ∩ A = A
Sair 2 ou 2 é o mesmo que sair 2
Sair par e par é o mesmo que sair par
_
_
• COMPLEMENTO: A ∪ A = Ω ou A ∩ A = ∅
Sair par ou ímpar é o mesmo que sair “tudo”
Sair par e ímpar é o mesmo que sair “nada”
• LEIS DE MORGAN:
______
o
_
_
( A ∪ B) = B ∩ A
Não sair (2 ou 4) é o mesmo que não sair 2 e não sair 4
______
o
_
_
( A ∩ B) = B ∪ A
Não sair (2 e 4) é o mesmo que não sair 2 ou não sair 4
• ELEMENTO NEUTRO: A ∪ ∅ = A ou A ∩ Ω = A
Sair 2 ou sair maior que 7 (impossível) é o mesmo que sair 2
Sair 2 e sair menor que 7 (certo) é o mesmo que sair 2
• ELEMENTO ABSORVENTE: A ∩ ∅ = ∅ ou A ∪ Ω = Ω
Sair 2 e sair maior que 7 (impossível) é impossível
Sair 2 ou sair menor que 7 (certo) é certo
©Raul Laureano
10
CONCEITOS DE PROBABILIDADES
A teoria das probabilidades não ensina o modo atribuir uma probabilidade a
um acontecimento (excepto os casos de P  ∅  = 0 e P  Ω  = 1 , mas ensina
a calcular as probabilidades de certos acontecimentos a partir das
probabilidades de outros acontecimentos, normalmente mais simples do
que os primeiros.
A probabilidade de um acontecimento depende da interpretação que é dada
ao conceito de probabilidade.
PROBABILIDADE é uma medida do grau de incerteza atribuído à
realização de acontecimentos, a qual é susceptível de várias interpretações
(Murteira et al., 2002). Assim, consideram-se três conceitos de
probabilidade:
• PROBABILIDADE A PRIORI (CONCEITO CLÁSSICO)
A probabilidade de um acontecimento A se realizar, designada por
P  A  , é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis ao
acontecimento – n ( A ) – e o número de casos possíveis – N .
P  A  =
n( A)
= Casos favoráveis a A
N
Casos possíveis
ou
P  A  = # A
#Ω
©Raul Laureano
11
Pressupostos:
Conhecimento prévio ou a priori de todos os resultados possíveis
da experiência;
Igual probabilidade de todos os resultados possíveis da
experiência aleatória.
Exemplos:
• Lançamento ao ar de uma moeda perfeita:
Ω = { F ,C }
A = {F}
B = {C }
P  A  = P  B  = 1 = 0,5
2
• Lançamento de duas moedas perfeitas:
Ω = { FF , FC ,CF ,CC }
A = { FC ,CF } sair só uma face, então
P  A  = 2 = 1 = 0,5
4
2
B = { FF , FC } sair uma face na primeira moeda, então
P  B  = 2 = 1 = 0,5
4
2
C = { FC ,CF ,CC } sair pelo menos uma coroa, então
P C  = 3 = 0, 75
4
©Raul Laureano
12
Problemas deste conceito de probabilidade:
E se os resultados não forem equiprováveis (por exemplo, moeda
viciada)?;
E se o número de casos possíveis não for finito e nem sequer
numerável?
• PROBABILIDADE A POSTERIORI (CONCEITO FREQUENCISTA)
A probabilidade é o limite, quando existe, do quociente entre o número
de sucessos e o número total de experiências realizadas, ou seja, é o
limite de f A = n , em que n representa o número de vezes que se
N
verificou o acontecimento A e N representa o número de realizações da
experiência aleatória:
P  A  = lim f A ou
N →∞
número de realizações de A (n)
N →∞ número de experiências efectuadas (N)
P  A  = lim
Ou seja é o número para o qual tende a frequência relativa do
acontecimento A quando se aumenta o número de vezes que a
experiência aleatória é efectuada.
Prova-se empiricamente que quando N aumenta há uma tendência para a
estabilização da frequência relativa (lei dos grandes números).
©Raul Laureano
13
Exemplo:
• Observação do sexo de um recém-nascido numa grande cidade:
Ω = { Feminino , Masculino}
Como esta experiência já se realizou muitas vezes sabe-se que a
probabilidade de um recém-nascido ser do sexo feminino é de 0,48.
Nados-vivos (N.º) por Sexo
Período de referência
dos dados
Sexo
2005
HM
109457
H
56643
2004
N.º
M
52814
HM
109356
H
56242
53114
M
Nados-vivos (N.º) por Sexo - Anual; INE, Nados-Vivos
A utilização do conceito clássico de probabilidade, em que os
elementos do espaço de resultados são equiprováveis, levaria a
cometer um erro, já que a probabilidade de um recém-nascido ser do
sexo feminino seria de 0,5 (igual à probabilidade de ser do sexo
masculino).
Problema deste conceito de probabilidade:
Por vezes as experiências não são repetitivas nas mesmas
condições ou em condições semelhantes, então não é possível
usar as frequências relativas (por exemplo vencedores em casa na
primeira jornada da liga.
©Raul Laureano
14
Exemplos da Lei dos grandes números
Soma dos pontos com dois dados:
probabilidade e frequência relativa ao fim de 6000 lançamentos
Probabilidade - Frequência relativa
Soma dos pontos
Probabilidade
Frequência relativa
2
0,027778
0,027667
3
0,055556
0,052000
4
0,083333
0,085167
5
0,111111
0,111100
6
0,138889
0,131833
7
0,166667
0,173167
8
0,138889
0,136500
9
0,111111
0,113500
10
0,083333
0,086333
11
0,055556
0,053167
12
0,027778
0,029667
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Soma dos pontos dos dois dados
Probabilidade
Frequência relativa
Fonte: Murteira, Ribeiro, Silva e Pimenta (2003, p.68)
©Raul Laureano
15
Evolução da frequência relativa da "coroa" em 100 lançamentos
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
fn
1,000
0,500
0,667
0,750
0,600
0,667
0,571
0,625
0,556
0,500
0,455
0,500
0,538
0,500
0,467
0,438
0,412
0,389
0,421
0,450
0,476
0,455
0,435
0,417
0,400
n
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
fn
0,385
0,407
0,429
0,448
0,433
0,452
0,438
0,424
0,441
0,457
0,472
0,486
0,474
0,462
0,450
0,439
0,452
0,465
0,455
0,467
0,457
0,447
0,458
0,469
0,480
n
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
fn
0,490
0,481
0,491
0,481
0,473
0,482
0,491
0,500
0,508
0,500
0,492
0,484
0,476
0,469
0,462
0,470
0,478
0,485
0,478
0,471
0,465
0,472
0,479
0,473
0,480
n
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
fn
0,487
0,494
0,487
0,494
0,488
0,481
0,488
0,494
0,500
0,494
0,488
0,483
0,489
0,483
0,489
0,495
0,489
0,495
0,500
0,505
0,500
0,495
0,490
0,495
0,500
Fonte: Murteira, Ribeiro, Silva e Pimenta (2003, p.67)
1,0
Frequência relativa da coroa
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Número de lançamento (n)
©Raul Laureano
16
• PROBABILIDADE SUBJECTIVA (CONCEITO PERSONALISTA)
“A probabilidade subjectiva constitui uma aproximação quantitativa à
credibilidade que se atribui a um acontecimento” (Murteira et al. 2002,
p.69).
Ou seja, exprime o grau de credibilidade que um indivíduo, com o
conhecimento que possui da situação, associa a certo acontecimento. É
neste sentido que, em geral, a palavra probabilidade aparece na
linguagem corrente.
Exemplo:
• A taxa de desemprego no próximo ano vai cair para 5%.
Como sou especialista em economia posso dizer que tal
acontecimento tem uma probabilidade de 0,8.
©Raul Laureano
17
AXIOMAS E TEOREMAS DA TEORIA DAS PROBABILIDADES
Recordando, probabilidade é uma medida do grau de incerteza atribuído à
realização de acontecimentos.
MEDIDA DE PROBABILIDADE é uma função P que a cada
acontecimento A , A ⊂ Ω , faz corresponder um número real: P  A  .
A probabilidade do acontecimento A ( P  A  ) verifica os três axiomas2:
1. P  A  ≥ 0 para todo A ⊆ Ω
2. P  Ω  = 1
3. P  A ∪ B  = P  A  + P  B 
se
A∩B = ∅
(se A e B são mutuamente exclusivos)
Generalizando a n acontecimentos:
 n


 i =1


P ∪ Ai  =
n
∑ P  Ai 
i =1
se Ai ∩ A j = ∅ para i ≠ j
(se A1 , A2 ,..., An mutuamente exclusivos)
2
Axiomas são proposições (fundamentais) não demonstráveis.
©Raul Laureano
18
A probabilidade do acontecimento A ( P  A  ) verifica os seis teoremas3:
1. P  A  = 1 − P  A 


2. P  ∅  = 0
para qualquer acontecimento A definido em Ω
sendo ∅ o acontecimento impossível
3. P  A − B  = P  A  − P  A ∩ B 
a probabilidade da diferença entre dois
acontecimentos é igual à diferença
entre a probabilidade de um deles e a
intersecção de ambos.
4. P  A ∪ B  = P  A  + P  B  − P  A ∩ B 
a probabilidade da união de
dois acontecimentos é igual à
soma
das
respectivas
probabilidades, deduzida da
probabilidade da intersecção de
ambos
com três acontecimentos
P [ A ∪ B ∪ C ] = P [ A ] + P [ B ] + P [C ] − P [ A ∩ B ] − P [ A ∩ C ] − P [ B ∩ C ] + P [ A ∩ B ∩ C ]
5. P  A  ≤ P  B 
se A ⊂ B
se A está contido em B então a probabilidade de A é
menor ou igual à probabilidade de B
6. P  A  ≤ 1
Note-se ainda, por exemplo, que:
P  B  = P  A ∩ B  + P  A ∩ B  ;
P  B  = P  A ∩ B  + P  A ∩ B  ;
P  A ∩ B  = P  A ∩ B ∩ C  + P  A ∩ B ∩ C  ;
P  A ∩ B  = P  B  − P  A ∩ B  .
3
Teoremas são proposições obtidas por dedução lógica a partir dos axiomas e/ou outros teoremas. Os
axiomas e os teoremas dão corpo à teoria das probabilidades.
©Raul Laureano
19
APLICAÇÃO
Em determinada população, 9,8% das pessoas adquirem a revista A, 22,9%,
a revista B, e 5,1% adquirem ambas.
Admite-se que a medida de probabilidade é a proporção dos indivíduos da
população que adquirem as revistas (interpretação frequencista).
Considerando os seguintes acontecimentos:
A – adquirir a revista A
B – adquirir a revista B
Determine:
a) A probabilidade de adquirir somente a revista A.
_
Corresponde ao acontecimento A ∩ B = A − B
P  A − B  = P  A  − P  A ∩ B  = 0, 098 − 0, 051 = 0, 047
b) A probabilidade de uma pessoa ao acaso adquirir pelo menos uma das
revistas.
P  A ∪ B  = P  A  + P  B  − P  A ∩ B  = 0, 098 + 0, 229 − 0, 051 = 0, 276
c) A probabilidade de não adquirir nem a revista A, nem a revista B.
P  A ∩ B  = P  A ∪ B  = 1 − P  A ∪ B  = 1 − 0, 276 = 0, 724

©Raul Laureano



20
PROBABILIDADE CONDICIONADA, PROBABILIDADE DA
INTERSECÇÃO E ACONTECIMENTOS INDEPENDENTES
Dados dois acontecimentos A e B definidos em Ω com P  A  ≠ 0 e
P  B  ≠ 0 , a probabilidade de que A se realize sabendo que B já se
realizou representa-se por P  A | B  4 – probabilidade de A dado B – e é
dada pelo quociente:
P  A ∩ B 
P  B 
P  A | B  =
Assim, corresponde à restrição do espaço de resultados global ( Ω ) ao sub-espaço B , ou seja, ao cálculo da proporção entre a parte de A comum a B
sobre o total de B .
Trata-se do cálculo de uma probabilidade tendo subjacente outra, ou seja,
estamos perante uma probabilidade condicionada por outra.
Então, a probabilidade da intersecção dos acontecimentos A e B é:
P  A ∩ B  = P  A | B  . P  B 
ou
P  A ∩
4
B 
=
P  B
|
A  . P  A 
já que
P  B
|
A 
=
P  A ∩ B 
P  A 
Por vezes a probabilidade condicionada aparece também representada por P [ A / B ] .
©Raul Laureano
21
Axiomas e teoremas das probabilidades na probabilidade condicionada
– todas as propriedades já apresentadas são válidas quando se utiliza um
mesmo acontecimento condicionante. Assim, temos por exemplo:
• P  A | C  ≥ 0
• P  Ω | C  = 1
• P  ( A ∪ B ) | C  = P  A | C  + P  B | C  − P  A ∩ B | C 


• P  A \ B | C  = P  A | C  − P  A ∩ B | C 
•…
Se o conhecimento da realização de B em nada afecta a probabilidade da
realização de A e vice-versa, então os acontecimentos A e B dizem-se
acontecimentos independentes e virá:
P  A | B  = P  A 
P  B | A  = P  B 
P  A ∩ B  = P  A  . P  B 
(condição para a independência)
Assim, dois acontecimentos de probabilidade não nula são independentes
se e só se a probabilidade da intersecção igualar o produto das respectivas
probabilidades.
Esta conclusão generaliza-se para mais acontecimentos. No entanto, é
preciso ter em consideração que se os vários acontecimentos forem
independentes entre si (conjuntamente), então também o são dois a dois;
mas se forem independentes dois a dois, podem não ser independentes
entre si. Note-se que se A e B são independentes então A e B ; A e B ; e
A e B também são independentes.
©Raul Laureano
22
ACONTECIMENTOS INDEPENDENTES E ACONTECIMENTOS
MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
• Dois acontecimentos dizem-se independentes quando o acontecimento
de um não condiciona a ocorrência do outro.
• Dois acontecimentos dizem-se mutuamente exclusivos quando não
ocorrem simultaneamente.
Os acontecimentos "ir trabalhar" e "estar a chover" são à priori
acontecimentos independentes, na medida em que não se trabalha menos
quando chove, nem quando não chove. Não são mutuamente exclusivos,
pois podem ocorrer simultaneamente.
Em regra, dois acontecimentos não podem ser simultaneamente
independentes e mutuamente exclusivos. Contudo a excepção é o caso em
que um dos acontecimentos é impossível (um acontecimento impossível é
sempre independente e mutuamente exclusivo de qualquer acontecimento
possível).
Se P  A  > 0 e P  B  > 0 então:
• Se os acontecimentos forem mutuamente exclusivos verifica-se que
P  A ∩ B  = 0 e, portanto, não podem ser independentes já que para isso
teríamos que P  A ∩ B  = P  A  . P  B  > 0 (o que não acontece);
• Se
os
acontecimentos
forem
independentes
então
P  A ∩ B  = P  A  . P  B  > 0 e, portanto, não podem ser mutuamente
exclusivos já que para isso teríamos que P  A ∩ B  = 0 . Só seriam
independentes se um acontecimento tivesse probabilidade nula.
©Raul Laureano
23
Exemplos (Ramos, 2004):
Cem indivíduos foram classificados segundo dois atributos: sexo e grau de
preconceito
Grau de preconceito
Elevado
Baixo
Total
Sexo
Feminino Masculino
50
25
10
15
60
40
Total
75
25
100
a) A probabilidade de escolher um indivíduo com elevado preconceito será:
P  E  =
75
= 0,75
100
b) A probabilidade de escolher um indivíduo do sexo masculino com
elevado grau de preconceito será:
P  M ∩ E  =
25
= 0,25
100
c) Probabilidade de escolher um indivíduo do sexo feminino sabendo que
tem elevados preconceitos:
P  F ∩ E 
P  F | E  =
=
P  E 
50
100
75
100
=
50
= 0,6(6)
75
d) Escolher uma pessoa com baixos preconceitos sabendo que é do sexo
feminino:
P  B ∩ F 
P  B | F  =
=
P  F 
10
100
60
100
=
10
= 0,1(6)
60
e) Verifiquemos que P  E ∩ F  ≠ P  E  . P  F  e, portanto, que E e F não
são acontecimentos independentes:
P  E ∩ F  =
50
= 0,5
100
P  E  . P  F  =
©Raul Laureano
P  E  =
75
= 0,75
100
P  F  =
60
= 0,6
100
75
60
.
= 0,45
100 100
24
Considere-se um baralho de 52 cartas.
a) Retiram-se sucessivamente duas cartas do baralho, com reposição. Qual
a probabilidade de saírem duas cartas de espadas?
A - sair espadas na 1ª extracção
B - sair espadas na 2ª extracção
P  A ∩ B  = P  A  . P  B  = 13 . 13 = 1 = 0,0625
52 52
6
Como a extracção é feita com reposição a probabilidade de sair uma carta
de espadas na segunda tiragem não é afectada pelo facto de ter saído uma
carta de espadas na primeira tiragem, portanto os dois acontecimentos são
estatisticamente independentes.
b) Suponha agora que a extracção é feita sem reposição. Neste caso a
probabilidade de sair uma certa carta de espadas na segunda tiragem já é
afectada pelo facto de ter saído uma carta de espadas na primeira
tiragem. Logo os dois acontecimentos não são estatisticamente
independentes e portanto virá:
P  A ∩ B  = P  A  . P  B | A  = 13 . 12 = 1 = 0,0588
17
52 51
c) Se por exemplo, extrairmos três cartas em vez de duas considerando o
acontecimento C, "saída de espadas na terceira tiragem", então a
probabilidade de ocorrerem espadas na 1ª, 2ª e 3ª extracção sendo esta
sem reposição virá:
P  A ∩ B ∩ C  = P  A  . P  B | A  . P C | A ∩ B  =
= 13 . 12 . 11 = 11 = 0,0129
52 51 50
850
Se a extracção fosse com reposição então os acontecimentos seriam
independentes, pois a ocorrência de espadas na primeira extracção não
afectaria a probabilidade de saída de espadas na segunda extracção e a
saída de espadas nas duas primeiras não alteraria a probabilidade de
ocorrência de espadas na terceira extracção. Assim,
P  A ∩ B ∩ C  = P  A  . P  B  . P C  = 0,0156
©Raul Laureano
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