Experiências aleatórias e probabilidade
L.J. Amoreira
UBI
Novembro 2010
Experiências aleatórias
I
Experiências aleatórias são aquelas cujos resultados não
são conhecidos de antemão.
I
Espaço de resultados de uma experiência aleatória é o
conjunto de todos os resultados possı́veis
Exemplos:
I
I
I
I
O lançamento de um dado. O espaço de resultados é o
conjunto {1,2,3,4,5,6}. A priori, não sabemos qual “sairá”.
Um resultado de um jogo de futebol entre duas equipas A e
B. O vencedor será um dos concorrentes, mas
“prognósticos, prognósticos, só no fim do jogo”. O espaço
de resultados é o conjunto {A,B}
Abre-se uma lista telefónica ao acaso e toma-se como
resultado da experiência o último algarismo do último
número da página da direita. O resultado é um dos dı́gitos
{0-9}
Acontecimentos
I
Chama-se acontecimento a qualquer sub-conjunto do
espaço de resultados de uma experiência aleatória.
I
No lançamento de um dado, são acontecimentos o “sair”
, o “sair” , mas são também acontecimentos “sair” um
número par, “sair” um resultado maior que 5, etc
I
Quando se selecciona um candidato a um emprego, são
acontecimentos diferentes ser escolhido uma mulher, uma
pessoa com menos de 35 anos, um praticante de
Tae-kwen-do, etc.
Complementar de um acontecimento
I
Dado um evento, chama-se complementar desse evento
ao sub-conjunto do espaço de resultados formado por
todos os resultados que não pertencem a esse evento
I
Exemplos:
Dados:
E ={ ,
Ē = { ,
};
, ,
}
Jogo de cartas:
E = { };
Ē = { , , }
Selecção de candidatos:
E = {Mulher};
Ē = {Homem}
Dado um neutrão isolado, considera-se o acontecimento de ele
decair antes de passarem 10 s da sua criação. O acontecimento
complementar é ele só decair depois desses 10 s.
O complementar do acontecimento “determinado aluno passa a
Fı́sica da Informação” é...
(Depois não digam que eu não avisei...)
Intersecção de dois acontecimentos
I
A intersecção de dois acontecimentos é o acontecimento
constituı́do por todos os resultados que pertencem
simultaneamente a esses dois acontecimentos.
Dados:
I
Cartas:
Candidatos:
A = {r |r é par}
A = {∗ , ∗ }
B = {r |r ≤ 3}
B = {A , A , A , A }
B = {c|I < 20}
A ∩ B = {2}
A ∩ B = {A , A }
A ∩ B = {♀, I < 20}
A = {c|c ♀}
Dois acontecimentos dizem-se incompatı́veis se a sua
intersecção é o vazio
A intersecção dos acontecimentos “O almoço será antes das
duas” e “o almoço será depois da uma” é o acontecimento “o
almoço será entre a uma e as duas”
A intersecção dos acontecimentos “O almoço será antes das
duas” e “o almoço será depois das duas” é o acontecimento
vazio
União de acontecimentos
I
A união de dois acontecimentos é o acontecimento
constituı́do pelos resultados que pertencem a um ou ao
outro desses acontecimentos
Dados:
A = {r |r é par}
A = {c|c é K}
B = {r |r ≤ 3}
B = {c|c é figura }
A∪B ={ ,
I
Cartas:
,
,
,
}
A ∪ B = {K , K , K , K , Q , J }
A união de dois acontecimentos complementares é o
espaço de resultados.
Algo que é um pinheiro ou é outra árvore qualquer, é com
certeza uma árvore
Se o almoço for até às duas ou a partir das duas, poderá ser a
qualquer hora
No lançamento de um dado, qualquer resultado pertence à
união dos acontecimentos “sai par” e “sai ı́mpar”
Diagramas de Venn
I
Representamos o espaço de resultados com um
rectângulo e os acontecimentos como porções desse
rectângulo
I
Representam-se graficamente as combinações de
acontecimentos
Intersecção A ∩ B:
União A ∪ B:
Acont. disjuntos:
Complementar Ā:
Definição de probabilidade
I
Dada uma experiência com espaço de resultados S,
probabilidade é qualquer função dos resultados da
experiência que satisfaça
1. 0 ≤ P(E) ≤ 1, ∀E ∈ S
2. P(S) = 1
3. Dados acontecimentos incompatı́veis E1 , E2 , . . . , EN ,
P
I
N
∪ Ei
i=1
=
N
X
P(Ei ),
E1 , . . . , EN ∈ S
i=1
De 2 e 3 resulta imediatamente P(C) = 1 − P(C̄)
Acontecimentos equiprováveis
I
Se uma experiência tem N resultados elementares
possı́veis R1 , R2 ,. . . , RN , com igual probabilidade P,
então, de (3) e (2),
1 = P(S) =
N
X
Pi = NP
⇒ P = 1/N
i=1
I
Nesse caso, a probabilidade de um acontecimento que se
verifica se se der qualquer um de k resultados
elementares é, de acordo com (3), dada pela Regra de
Laplace:
P=
Número de resultados favoráveis
k
=
Número de resultados possı́veis
N
Exemplo
I
I
I
I
De uma caixa com 6 bolas vermelhas e 5 bolas azuis,
retiram-se três ao calhas. Qual a probabilidade, P(1, 2), de
serem retiradas 1 bola vermelha
e 2 azuis?
11
Casos possı́veis:
3
6
5
Casos favoráveis:
1
2
Probabilidade:
6
5
1
2
4
=
P(1, 2) =
11
11
3
Probabilidade da união
Acontecimentos incompatı́veis:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
(Prop. 3)
Acontecimentos não incompatı́veis:
P(A) + P(B) conta duas vezes A ∩ B.
Então, em geral,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Generalização:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
− P(A ∩ B) − P(B ∩ C) − P(C ∩ A)
+ P(A ∩ B ∩ C)
Probabilidade da união
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Exemplo: escolhe-se aleatoriamente um inteiro entre 1 e 50
(incl.). Qual a probabilidade de ser divisı́vel por 6 (A) ou por 8
(B)?
I Resultados possı́veis (50):
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
I Número de resultados favoráveis a A: 8 → P(A) = 8/50
I Número de resultados favoráveis a B: 6 → P(B) = 6/50
I Número de resultados favoráveis a A ∩ B: 2
→ P(A ∩ B) = 2/50
I Probabilidade da união:
8
6
2
12
P(A ∪ B) =
+
−
=
50 50 50
50
Probabilidade condicional
Um inteiro r é escolhido ao acaso entre 1 e 10 (inclusive). Qual
a probabilidade de (acontecimento A) ser divisı́vel por 4?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
)
o
N de resultados possı́veis: 10
2
1
P(4er ) =
=
o
10
5
N de resultados favoráveis: 2
Um inteiro r é escolhido ao acaso entre 1 e 10 (inclusive). Qual
a probabilidade de ser divisı́vel por 4, sabendo que é par
(acontecimento B)?
123456
)7 8 9 10
No de resultados possı́veis: 5
2
P(A ∩ B)
P(4er | 2er ) = =
o
5
P(B)
N de resultados favoráveis: 2
Probabilidade condicional:
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B) 6= P(B|A)
Num voo regular, a probabilidade de não haver atrasos na
saı́da é P(S) = 0, 83;
a probabilidade de não haver atrasos na chegada é
P(C) = 0, 75;
a probabilidade de não haver atrasos na saı́da nem na
chegada é P(S ∩ C) = 0, 71.
Então
I
Probabilidade de chegar a horas sabendo que partiu a
horas:
P(C ∩ S)
P(C|S) =
= 0, 855
P(S)
I
Probabilidade de ter saı́do a horas sabendo que chegou a
horas:
P(C ∩ S)
P(S|C) =
= 0, 947
P(C)
Regra da multiplicação. Independência
Regra de multiplicação:
P(A ∩ B) = P(B)P(A|B)
Exemplo: lançamos um dado. Qual a probabiliade do resultado
ser par (acontecimento A) e maior que 3 (acontecimento B)?
P(A ∩ B) = P(B)P(A|B) =
1
3 2
=
6 3
3
Acontecimentos independentes ↔ Saber que se verificou
um não altera a probabilidade do outro. Logo
P(A|B) = P(A)
Se A, B são independentes, então
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
Exemplo: lançamos dois dados. Os resultados no segundo são
independentes dos do primeiro. Logo, a probabilidade de cada
resultado possı́vel é (1/6)(1/6)=1/36
Distribuição binomial
Um resultado particular de uma dada experiência tem
probabilidade p. (Logo, a probabilidade de que não ocorra
é q = 1 − p
Se repetirmos N vezes a experiência, qual a probabilidade
PN (k) de que esse acontecimento ocorra k vezes?
N
Há
maneiras diferentes de distribuir os k
k
“sucessos” pelas N tentativas, cada uma das quais com
probabilidade pk q N−k .
Então
PN (k ) =
N
k
pk q N−k
Distribuição binomial
Exemplo:
Qual a probabilidade de que em 5 lançamentos de um
dado, ocorra 2 vezes o resultado ?
10 possibilidades:
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
P5 (2) = 10P 2 ( )P 3 (X )
2 3
1
5
5
=
= 0, 16.
2
6
6
X
X
X
QUESTIONÁRIO
Para os alunos de número par
Para os alunos de número ı́mpar
1. A probabilidade de, no lançamento de um dado, sair um resultado múltiplo de 3 ou um resultado menor que 4 é
1. A probabilidade de, no lançamento de um dado, sair um resultado múltiplo de 3 ou um resultado maior que 4 é
A 2/3
B 5/6
C 1/3
2. Lança-se um dado. Os acontecimentos “o resultado é maior
do que 4” e “o resultado é par”
são independentes?
A Sim;
A 2/3
B 5/6
C 1/2
2. Lança-se um dado. Os acontecimentos “o resultado é menor
do que 4” e “o resultado é par”
são independentes?
A Sim;
B Não;
B Não;
C Depende
C Depende