Probabilidades
“A experiência não permite nunca atingir a certeza absoluta.
Não devemos procurar obter mais que uma probabilidade”
Bertrand Russel
12º Ano
1
Prof. Deolinda Sá
Introdução
2
A ideia de probabilidade foi interiorizada e é frequente escutarmos frases como:
“ A probabilidade de ganhar o Euromilhões é muito pequena”.
“ É muito provável que hoje chova”.
O acaso está presente em muitos fenómenos da realidade que nos rodeia. A Matemática
estuda, prevê, calcula resultados de experiências aleatórias e mede o grau de confiança
das conjecturas que formula baseada no Cálculo de Probabilidades.
As Probabilidades têm aplicação quer no âmbito das Ciências Sociais quer na
interpretação de fenómenos da Física e da Biologia.
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Origem das Probabilidades
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O jogo foi o grande impulsionador mas também o primeiro beneficiado com as probabilidades.
Há quem diga que o jogo do Gamão tem 4000 anos. De facto, por volta de 1200 a.C. existiam
dados com forma cúbica feitos a partir de ossos.
O jogo atingiu uma grande popularidade com os Gregos e os Romanos. O livro do imperador
Claudius ( 10 a.C. – 54 d.C.), Como ganhar aos dados, é o testemunho da paixão que existia
pelo jogo.
Na Idade Média, a igreja católica era contra o jogo dos dados, não pelo jogo em si, mas pelo
vício de beber e dizer palavrões que acompanhavam os jogos.
No século XVI surge a primeira tentativa de estudar matematicamente os fenómenos ligados
aos jogos com, entre outros, Girolamo Cardano (1501-1576), matemático e físico italiano, autor
do Liber de ludo alea, o livro dos jogos de azar. Esta obra só foi publicada no século XVII. No
séc.XVII procuravam cientistas de renome para que estes lhes dessem fórmulas mágicas para
garantir ganhos avultados nos jogos.
O contributo decisivo para o início da Teoria das Probabilidades foi dado pela correspondência
trocada entre os matemáticos franceses Blaise Pascal(1623-1662) e seu amigo Pierre de
Fermat(1601-1655), em que ambos, por diferentes caminhos, chegaram à solução correcta do
célebre problema da divisão das apostas em 1654 (o célebre problema de De Méré).
Quis o acaso que Pascal conhecesse o Cavaleiro De Méré, jogador inveterado, que lhe contava
as suas disputas com os adversários em questões controversas relativas a jogos de azar.
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• Mais tarde,
4
A Teoria das Probabilidades desenvolveu-se através dos trabalhos de Jacques Bernoulli (1654-1705),
Moivre (1667.1759) e Thomas Bayes (1702-1761). A Bernoulli deveu-se a publicação do livro “Ars
Conjectandi” que foi publicado em 1713 e foi o primeiro a ser dedicado à Teoria das Probabilidades. Nesta
obra inclui diversos estudos sobre combinações, permutações, os teoremas binomial e polinomial e a lei dos
grandes números (hoje chamado Teorema de Bernoulli). A lei dos grandes números pode enunciar-se do
seguinte modo:
“ A frequência relativa de um acontecimento tende a estabilizar-se nas vizinhanças de um valor quando o
número de provas cresce indefinidamente”.
Moivre introduziu e demonstrou a lei normal. A Bayes deve-se o cálculo das chamadas probabilidades e das
causas. Ou seja, este cálculo consistiu em determinar a probabilidade de acontecimentos perante certas
condições iniciais.
Na segunda metade do século XVIII e na primeira metade do século XIX Pierre de Laplace (1749-1827)
elaborou uma posição concisa e sistemática dos acontecimentos probabilísticos e demonstrou uma das
formas do “Teoria Analítica das Probabilidades”.
Destaca-se a participação de Gauss (1777-1855) no aprofundamento da “Lei Normal” e de Poisson (17811840) na sua “Teoria da lei dos grandes números e da lei de repartição”.
No século XIX e princípio do século XX a teoria das probabilidades tornou-se um instrumento eficaz, exacto
e fiável do conhecimento.
Surge a célebre escola de S. Petersburgo. Desta escola resultaram grandes nomes, tais como: Tchébychev
(1821-1894), Markov (1856-1922) e Liapounav (1857-1918).
À escola de S. Petersburgo sucedeu a escola soviética na qual destaca-se a participação de Kolmogorov
(1903-1987) que axiomatizou correctamente a teoria das probabilidades.
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Problemas Históricos
Ao longo dos anos, foram surgindo problemas, normalmente relacionados com “os jogos de azar”. Vamos abordar
o célebre problema do Cavaleiro de Méré e o problema do Grão - Duque de Toscana.
Problema do Cavaleiro de De Méré
Por volta de 1651 o conde Méré que viajava com Pascal colocou-lhe o seguinte
problema:
“ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente nos obrigou a
interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 pistolas cada um ( 1 pistola = 5 € ).
Ganharia as 60 pistolas o primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no
lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido já
tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha escolhido o 1 que apenas tinha saído
uma vez”.
Como dividir as 60 pistolas?
Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma troca de correspondência com
Fermat para analisar a situação.
De acordo com Pascal a razão estava do lado de De Méré, pois já tinha dois resultados
a seu favor e o amigo apenas um. Na partida seguinte, ou ganhava Méré e completava
os três resultados arrecadando o dinheiro todo ou ganhava o amigo ficando o resultado
empatado, o que levaria a um empate caso o jogo fosse interrompido e cada um
ganharia apenas o dinheiro que apostou. Sendo assim, Méré teria sempre direito a pelo
menos metade do dinheiro, ou seja 30 pistolas. Quanto à outra metade era igualmente
provável ser ganha por um ou pelo outro.
Portanto, De Méré ficaria com 45 pistolas e o amigo com 15.
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Problemas Históricos
Problema do Grão - Duque de Toscana
No século XVI, na corte do Grão-duque da Toscana era
habitual jogar um jogo que consistia em lançar 3 dados e
registar o total de pontos.
O Grão-duque da Toscana, jogador assíduo, reparou que se
obtinha muito mais frequentemente 10 pontos do que 9
pontos. Este facto levou-o a estudar com mais curiosidade a
razão pela qual tal acontecia já que, 10 e 9 pontos se
decompõem cada um deles de seis maneiras :
9 = 1+2+6
10 = 1+3+6
= 1+3+5
= 1+4+5
= 1+4+4
= 2+2+6
= 2+2+5
= 2+3+5
= 2+3+4
= 2+4+4
= 3+3+3
= 3+3+4
Este problema foi estudado por Cardano, notável
matemático, e Galileu encontrou mais tarde justificação para
ele.
O que acontecia na verdade?
O erro do príncipe devia-se ao facto de as somas não serem
igualmente prováveis. Assim, a soma de 1,2 e 6 aparece de
seis formas distintas:
6
1+2+6; 1+6+2; 2+1+6; 2+6+1; 6+1+2; 6+2+1;
O mesmo acontece com as somas de:
1, 3 e 5; 2, 3 e 4; 1, 3 e 6; 1, 4 e 5; 2, 3 e 5;
A soma de 1, 4 e 4 aparece de três formas
distintas: 1+4+4; 4+1+4; 4+4+1;
O mesmo acontece às somas de:
2, 2 e 5; 2, 2 e 6; 2, 4 e 4; 3, 3 e 4;
A soma de 3, 3 e 3 aparece de uma só forma.
Então:
p(soma9)=p(1,2,6)+p(1,3,5)+p(1,4,4)+p(2,2,5)+
p(2,3,4)+p(3,3,3)
=6/216+6/216+3/216+3/216+6/216+1/216
=25/216
Nota: o n.º de casos possíveis é 216 porque se
lançam 3 vezes os dados (6.6.6)=216
p(soma10)=p(1,3,6)+p(1,4,5)+p(2,2,6)+p(2,3,5)
+p(2,4,4)+p(3,3,4)
=6/216+6/216+3/216+6/216+3/216+3/216
=27/216
Logo, a soma 10 aparece com mais
frequência que a soma 9.
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Termos e Conceitos
Experiências Aleatórias e Experiências Deterministas
Experiência Aleatória
Uma experiência aleatória ou casual trata-se de um processo que conduz à obtenção de
um resultado individual (ou elementar) com as seguintes características:
Pode repetir-se um grande número de vezes nas mesmas circunstâncias e de forma
independente;
Não há conhecimento suficiente para prever exactamente o resultado individual cada vez
que se repete;
Os resultados individuais apresentam uma regularidade estatística quando considerado
um grande número de realizações.
À partida o resultado é desconhecido
Experiência Determinista
Uma experiência determinista ou causal trata-se de um processo que conduz à obtenção
do mesmo resultado, desde que seja repetida sob as mesmas condições.
À partida já conhecemos o resultado
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Termos e Conceitos
Espaço de resultados. Acontecimentos.
Espaço de acontecimentos.
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Espaço de resultados ou espaço amostral:
É o conjunto formado por todos os resultados elementares que é possível obter quando se
efectua uma experiência aleatória.
Observação:
O espaço de resultados representa-se habitualmente por E, S ou Ω.
Exemplo:
Experiência aleatória : Lançar um dado cúbico
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Acontecimento:
É um subconjunto do espaço de resultados
Observações:
Os acontecimentos identificam-se por letras maiúsculas.
Ao realizar a experiência associada a Ω, diz-se que o acontecimento A ocorre ( ou se
realiza) se o resultado é um elemento que pertence a A.
Exemplos:
A: «sair nº par» A = {2, 4, 6} ; B: «sair nº primo»
B = {2, 3, 5}
Espaço de acontecimentos de Ω é o conjunto de todos os subconjuntos de Ω e representa-se por
P(Ω)
Nota:
#Ω = n
# P(Ω) = 2n
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Termos e Conceitos
Classificação dos acontecimentos (I)
Acontecimento
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Elementar
Composto
É constituído por um único resultado
É constituído por mais de um resultado
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Termos e Conceitos
Classificação dos acontecimentos (II)
Acontecimento
Impossível
Possível
A⊆ Ω
A={}
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Certo
Não certo
A=Ω
A≠Ω
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Termos e Conceitos
Operações com Acontecimentos
Sejam A e B acontecimentos
A implica a realização de B sse (se e só se) todo o
elemento de A é elemento de B.
A⊂ B
A e B são acontecimentos idênticos sse a realização de
um implica a realização do outro.
A⊂ B e B ⊂ A ⇔ A = B
Acontecimento complementar ou contrário de A
é o acontecimento que se realiza sse não se realiza A e
representa-se por A .
B
A
A
A
A intersecção dos acontecimentos A e B é o
acontecimento que se realiza sse A e B se realizam
simultaneamente e representa-se por A ∩ B.
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Termos e Conceitos
Operações com Acontecimentos
A reunião dos acontecimentos A e B é o acontecimento
que se realiza sse A ou B se realizam e representa-se por A U B.
Acontecimento diferença entre A e B ( A \ B ou A – B )
é o acontecimento que se realiza sse A se realiza sem que se
realize B.
A\B=A∩B
A U B
B
A
A\B
B
A
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Os acontecimentos A e B dizem-se mutuamente exclusivos,
disjuntos ou incompatíveis sse a realização de um implica a
não realização do outro.
A∩B=Ø
B
A
Verifica-se que:
Ω–A= A
A ∩ A = { } acontecimento impossível
A U A = Ω acontecimento certo
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Propriedades
Propriedade Comutativa
AUB=BUA
A∩B=B∩A
Propriedade Associativa
AU(BUC)=(AUB)UC
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
Propriedade Distributiva
AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)
A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)
Propriedade Idempotência
AUA=A
A∩A=A
Leis de De Morgan
A∩ B = A∪ B
A∪ B = A∩ B
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Dupla Negação
A= A
Elemento Neutro
A∩Ω=A
AUØ=A
Elemento absorvente
A∩Ø=Ø
AUΩ=Ω
Notas:
A ⊂ B ⇒ A∩ B = A
A ⊂ B ⇒ A∪ B = B
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Definições de Probabilidade
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Definição Frequencista
Definição Clássica
Definição Axiomática
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Definição Frequencista de Probabilidade
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Repete-se a experiência aleatória um grande número de vezes e regista-se a
frequência relativa que um determinado acontecimento ocorreu.
À medida que o número de repetições da experiência aleatória aumenta, a frequência relativa
do acontecimento tende para um valor entre 0 e 1. Este limite é interpretado como sendo a
probabilidade desse acontecimento.
Experiência: Lançar, para uma mesa, os 10 pregos iguais existentes num copo e registar o
número de pregos que fica com o bico para cima.
Acontecimento: “ Ficar com o bico para cima”
Construiu-se a
seguinte tabela:
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Definição Frequencista de Probabilidade
(cont.)
Com os dados da tabela construiu-se o seguinte gráfico:
O valor 0,25 é um valor aproximado da
probabilidade do bico ficar virado para cima
Lei dos Grandes Números ( ou Lei de Bernoulli )
O número à volta do qual se aproxima a frequência relativa de um acontecimento quando o
número de repetições da experiência cresce consideravelmente é um valor aproximado da
probabilidade do acontecimento.
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Definição Clássica de Probabilidade
ou de Laplace
A primeira definição que se conhece de probabilidade foi enunciada por Pierre Simon Laplace ( 1749 – 1827 ).
A definição clássica de probabilidade também é conhecida por lei ou regra de Laplace.
Lei de Laplace
Se os acontecimentos elementares forem equiprováveis, a probabilidade de um
acontecimento A é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis a esse
acontecimento e o número de casos possíveis.
n º de casos favoráveis
p( A) =
n º de casos possíveis
Notas:
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A contagem do número de casos possíveis e do número de casos favoráveis tem de ser feita com bastante
rigor.
Esta definição de probabilidade exige que os acontecimentos tenham a mesma probabilidade.
Como saber se os resultados elementares de uma experiência aleatória são igualmente prováveis?
Esta definição só pode ser aplicada em espaços amostrais finitos.
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Definição Axiomática de Probabilidade
Define-se probabilidade como uma função que obedece a um conjunto de axiomas
( axiomática de Kolmogorov).
Designa-se por probabilidade a função P definida por:
P : P(Ω)
IR
A
P(A)
e que satisfaz aos seguintes axiomas:
(A1) P(A) ≥ 0, para todo o A Є P(Ω)
(A2) P (Ω) = 1
(A3) Se A1 , A2, A3, cc.. An Є P(Ω) são acontecimentos mutuamente exclusivos,
n
então
P(A k )
P (A1 U A2 U A3 U c.U An ) =
∑
k =1
Nota: Axiomas são proposições, sugeridas pela nossa intuição ou experiência, que não se demonstram e se aceitam como verdadeiras.
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Definição Axiomática de Probabilidade
(cont.)
Com base nestes axiomas demonstraremos alguns teoremas.
Notas:
•
Demonstrar uma proposição é mostrar, usando raciocínios lógicos, que ela resulta de outras
consideradas verdadeiras.
Teoremas são proposições que se demonstram a partir dos axiomas ou de outras proposições já
demonstradas.
Teorema 1:
A probabilidade do acontecimento impossível é zero, ou seja, P (Ø)
=0
Demonstração
Tem-se que:
ΩUØ=Ω eΩ∩Ø=Ø
P(Ω U Ø) = P(Ω) + P(Ø) ( Axioma 3 )
P(Ω) = P(Ω) + P(Ø)
(Ω U Ø = Ω)
Logo, P(Ø) = 0 .
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Definição Axiomática de Probabilidade
(cont.)
•
•
Teorema 2:
A probabilidade do acontecimento contrário de A é igual à diferença entre 1 e a probabilidade
de A, ou seja, P( A ) = 1 – P ( A )
Demonstração
P(A) + P( A ) = 1
Tem-se que:
A U A = Ω e A ∩ A= Ø
P ( A U A ) = P (Ω)
Então :
P( A ) + P ( A ) = 1
( Axiomas 3 e 2 )
Logo,
P( A ) = 1 – P (A) .
•
Teorema 3:
A probabilidade de qualquer acontecimento A é um número do intervalo [0 , 1], ou seja,
0≤P(A)≤1
Demonstração
Tem-se que:
P(A) ≥ 0
e
P( A ) ≥ 0
P(A) + P( A ) = 1
Consequentemente,
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( Axioma 1 )
( Teorema 2 ) , logo P(A)
≤1
0≤P(A)≤1
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Definição Axiomática de Probabilidade
(cont.)
•
Teorema 4: A probabilidade da reunião de quaisquer acontecimentos A e B é:
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Demonstração
Tem-se que:
A ∩ B , A ∩ B e A ∩ B são disjuntos dois a dois
A=(A∩B )U(A∩B)
B = ( A ∩ B ) U ( A ∩ B)
AUB = (A ∩ B ) U ( A ∩ B ) U ( A ∩ B )
Atendendo ao axioma 3 tem-se que:
P(A) = P(A ∩ B ) + P(A ∩ B)
P(B) = P(A ∩ B) + P( A ∩ B)
e deduz-se que:
P(A) + P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) + P( A ∩ B) + P(A ∩ B)
B
A∩B
A∩B
A∩B
A
P( A U B )
Logo, P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
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Probabilidade Condicionada ou Condicional
Considere a urna representada na figura.
Retirou-se, ao acaso, uma bola da urna.
Qual é a probabilidade de ser azul, dado sabermos que tem número par?
Comecemos por considerar os acontecimentos:
A: «sair azul»
Pr: «sair nº par»
6
1
Pretendemos determinar P( sair bola azul dado que tem nº par ).
5
6
4
1
3
2 2
A esta probabilidade chama - se probabilidade condicionada e representa-se por: P( A | Pr ) ou P(A / Pr )
Para resolver o problema vamos construir uma tabela.
Da leitura da tabela, concluiu-se que P( A | Pr ) =
Observando a tabela verifica-se que:
3
5
# (Pr ∩ A)
P(P ∩ A)
3 # (Pr ∩ A)
=
= #Ω = r
P( A | Pr ) =
# Pr
P(Pr )
5
# Pr
#Ω
22
Nº Par
Nº Ímpar
Total
Azul
3
2
5
Rosa
2
2
4
Total
5
4
9
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Probabilidade Condicionada
Definição
Sejam A e B dois acontecimentos de uma mesma experiência e P(B) > 0.
A probabilidade condicionada do acontecimento A sabendo que o acontecimento B se
verificou ou probabilidade condicionada do acontecimento A a respeito de B, representa-se por P( A|B )
ou P( A/B ) e define-se como sendo
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(B)
B
A∩B
A
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Nota: A probabilidade condicionada satisfaz os axiomas da teoria das probabilidades.
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Independência de Acontecimentos
Dois acontecimentos A e B são independentes entre si, se a realização de um deles não
interfere na probabilidade de realização do outro, ou seja
P(A | B) = P(A)
e
P(B | A) = P(B)
Podemos então concluir que
P( ∩ B ) = P(A) X P(B) se e só se A e B são independentes
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Dois acontecimentos A e B são dependentes entre si, se a realização de um deles
modifica a probabilidade do outro.
Nota: Dois acontecimentos possíveis incompatíveis não podem ser independentes.
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