03 E Gabarito 1.C 6.E 11.C 16.E 21.A 26.C 31.A 2.E 7.B 12.C 17.E 22.A 27.B 32.E 3.E 8.D 13.D 18.A 23.C 28.B 33.D 4. D 9. D 14. D 19. E 24. A 29. E 5. B 10.A 15. C 20. C 25. D 30. B O triângulo ABC é isósceles, pois, como AM = MB, CM é altura e mediana relativa ao lado AB. 04 D Pelo Princípio de Cavalieri, como os sólidos A, B, C e D possuem mesma área da base e mesma medida da altura, então, possuem mesmo volume. Resoluções 01 C Observe que cada algarismo ocupa uma ordem correspondente ao número de quadrados no qual está inserido. No caso do número representado a seguir, 05 B Inicialmente, o triângulo ABC é equilátero e, portanto, isósceles. Observe, na figura a seguir, que o triângulo OBC possui lados de medidas OC = OB = x = 35 m e que o ângulo BÔC = 120°. O O 7 está dentro de um quadrado e ocupará a primeira ordem, enquanto o 6 está dentro de dois quadrados e ocupará a segunda ordem. No caso do Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo OBC, vem: (BC)2 = x2 + x2 – 2 · x · x · cos 120° (BC)2 = 2 · (35)2 + (35)2 (BC)2 = 3 · (35)2 BC = 35 3 m. Desse modo, a medida BC = x 3 = 35 3 m. Finalmente, o perímetro aproximado do triângulo ABC é 3 · 35 3 m = 105 3 m. 06 E O 4 está dentro de um quadrado e ocupará a primeira ordem, enquanto o 3 está dentro de dois quadrados e ocupará a segunda ordem. Já o 8 está dentro de três quadrados e ocupará a terceira ordem. Desse modo, o A proposta de trilho que satisfaz as condições do problema é a que está mostrada na alternativa E, pois esse formato corresponde a um arco capaz. Todo ponto desse arco vê a extensão do comprimento do palco sempre sob um mesmo ângulo. 07 B Como ABC e DEF são triângulos equiláteros, seus ângulos internos medem 60°. No triângulo AGD, representa o numeral 500 943. 02 E Olhando de cima, o cubo maior está diagonalmente oposto ao cubo menor e a pirâmide está diagonalmente oposta ao cilindro. O esboço que representa melhor essa fotografia é o apresentado na alternativa E. m(GÂD) = 180° – 75° – 60° = 45° e m(GDA) = 180° – 65° – 60° = 55° Portanto, m(AGD) = 180° – 45° – 55° = 80° e no triângulo CGH, x + 80° + 60° = 180° x = 40°. 1 Assim, diminuindo a altura em 1 m, a inclinação ficará entre 38% e 41%, dentro da normalidade. 08 D Inicialmente, calcula-se a medida do segmento VH utilizando o Teorema de Pitágoras: 10 A (VH) = 4 + 3 ⇒ VH = 5m. 2 2 2 I) Comprimento 90 m = 90 (5 pal) = 450 palmos = 450 (8 pol) = 3 600 pol. II) Largura 45 m = 45 (5 pal) = 225 palmos = 225 (8 pol) = 1 800 pol. 11 C A medida total linear de eletroduto utilizada para ir pelo caminho ABCDEFGHIJ é 33 m. Observe a figura. Para gastar a menor quantidade possível de eletroduto, o eletricista deverá fazer a instalação sob o piso, descendo 1,5 m de A até o piso, depois seguindo o segmento de medida x e, finalmente, subindo mais 1,5 m até chegar ao ponto J. Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo destacado, obtém-se x = 13 m. Deste modo, o eletricista utilizaria 1,5 m + 13 m + 1,5 m = 16 m e haveria uma redução em 17 m na quantidade do material para ir de A a J. Caso ele fizesse a instalação por cima da laje, gastaria 2,5 m para subir de A à laje, 13 m para ir de A a J e mais 2,5 m para descer da laje a J, ou seja, gastaria 2,5 m + 13 m + 2,5 m = 18 m e haveria uma redução de 15 m. A área total de cada barraca é dada por 8·5 8 + · 4 = 144 m2 . Porém, por um erro computa2 cional, a área da lona liberada para cada barraca foi 2 96 m2. Houve, então, falta de 144 m2 – 96 m2 = 48 m2, 48 o que corresponde a · 100 = 33,33% m2 . 144 09 D O hexágono regular é composto de seis triângulos equiláteros congruentes. Daí, temos: I) OB=AB = 12 (o triângulo AOB é equilátero de lado 12) II) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo VOB: (VB)2 = (OB)2 + (VO)2 12 C 169 = 144 + (VO)2 A área do piso de cada salão é 300 m2. A quantidade de peças que vem numa caixa de 1,6 m2 do azulejo 40 cm × 40 cm é 1,6 : 0,16 = 10. A quantidade de caixas a ser comprada desse azulejo é [300 : (0,4 . 0,4)] : 10 = 187,5, mas serão compradas 188 caixas ao custo total de 188 . 25 = 4 700 reais. Se o revestimento for com a opção 1, teremos: [300 : (0,5 . 0,5)] : 10 = 120 caixas ao custo total de 120 . 30 = 3 600 reais. VO = 5 metros (altura do telhado) III) OM = (altura do triângulo equilátero) OM = 6 m ≈ 6 . (1,7) = 10,2 metros. Daí, temos que a inclinação do telhado, inicialmente, era = 49%. Assim, a inclinação inicial do telhado é maior que a máxima permitida (45%), haverá risco de escorregamento de telhas. Para corrigir o problema, deve-se diminuir a inclinação, diminuindo a altura. IV) Diminuindo a altura em 1m: VO 5-1 4 ⇒ = Nova inclinação = tg α = OM 6 . (1,7) 10,2 2 ≈ 0,39 = 39%. Se o revestimento for com a opção 2, teremos: [300 : (0,5 . 0,4)] : 12 = 125 caixas ao custo total de 125 . 28 = 3 500 reais. 13 D . 14 D 20 C A quantidade de pastilhas utilizadas para cada tipo de mesa descrita pela relação dada é Mesa de 0,5 m: N(50) = – 10 · 50 + 800 = – 500 + 800 = 300 peças Mesa de 0,55 m: N(55) = – 10 · 55 + 800 = – 550 + 800 = 250 peças Mesa de 0,6 m: N(60) = – 10 · 60 + 800 = – 600 + 800 = 200 peças. Portanto, se o construtor troca as mesas de 0,5 m e 0,55 m por mesas de 0,6 m, ele ficará com 3 mesas de 0,6 m de raio e gastará apenas 600 peças na reforma. 15 C Do exposto no enunciado, tem-se: 5 lápis = 1 estojo 5 estojos = 25 lápis = 1 pacote 5 pacotes = 25 estojos = 125 lápis = 1 caixa Portanto, 1 caixa + 3 estojos + 2 pacotes + 4 lápis = 125 lápis + 15 lápis + 50 lápis + 4 lápis = 194 lápis, ou seja, esse número possui 19 dezenas. 16 E A subtração entre o maior numeral de quatro algarismos distintos e o menor numeral de quatro algarismos distintos é 9 876 – 1 023 = 8 853, que possui 8 milhares, 8 centenas, 5 dezenas e 3 unidades. 21 A I. 5118 — 100% 7451 — x A quantidade de senhas possíveis é 9 . 8 . 7 . 6 . 5 = 15 120. Como cada teste demora 5 s, então o tempo total para o computador realizar todos os testes será 15 120 . 5 = 75 600 s, ou seja, 21 h. 18 A Para adquirir 48 m2 de tecido na largura 1,20 m, a costureira deve comprar 48 : 1,20 = 40 m do mesmo. O novo preço na loja que ela costuma comprar passou a ser de R$ 12,00. Portanto, independentemente de a largura ser de 1,20 m ou de 2,40 m, é indiferente para ela adquirir o tecido na loja que sempre compra ou no Armazém Sucesso. Porém, ficará mais cara sua compra no Armazém Progresso ou no Armazém Pano Bom. O valor total a ser pago pelo professor, se ele assinar a • TAC será: R$ 150,00 + 2 . (R$ 40,00) = R$ 230,00, ou seja, ele não reduzirá sua despesa; • VER será: R$ 130,00 + 2 . (R$ 45,00) = R$ 220,00, ou seja, ele reduzirá sua despesa em R$ 10,00; • MRC será: R$ 129,00 + 2 . (R$ 40,00) = R$ 209,00, ou seja, ele reduzirá sua despesa em R$ 21,00; • JTR será: R$ 135,00 + 2 . (R$ 35,00) = R$ 205,00, ou seja, ele reduzirá sua despesa em R$ 25,00. Deste modo, é preferível que ele mude para a JTR, pois terá maior economia que nas outras empresas. x ≅ 145,5% II.A variação percentual é de 145,5% – 100% = 45,5%. O maior crescimento percentual aconteceu no período de 2008/2007. Veja: 3,8 Opção A: (V) – 2008/2007 = = 1,461, aumento de 2,6 46,1%. 4,7 Opção B: (F) – 2009/2008 = = 1,236, aumento de 3,8 23,6%. 6,8 Opção C: (F) – 2010/2009 = = 1,446, aumento de 4,7 44,6%. 8,4 Opção D: (F) – 2011/2010 = = 1,235, aumento de 6,8 23,5%. 10,2 Opção E: (F) – 2012/2011 = = 1,214, aumento de 8,4 21,4%. 23 C 19 E 5118 100 745100 = → 5118x = 745100 → x = → 7451 x 5118 22 A 17 E Preço: x Desconto de 20% : 0,2x Desconto em reais: 20,00 Devemos ter: (A falta de R$ 4,00 no caixa implica que o desconto de R$ 20,00 foi maior que o desconto de 20%) 20 – 0,2x = 4 16 = 0,2x x = 80 Logo, deveria ter sido vendida por 0,8 . 80, ou seja, 64,00. Dentre os compradores de carros usados, a probabilidade de um bom pagador obter um cartão de crédito é 0,7 · 0,8 = 0,56 e a de um mau pagador, 0,4 · 0,2 = 0,08. Consequentemente, selecionando, ao acaso, um comprador de carro, a probabilidade de que ele tenha cartão de crédito é 56% + 8% = 64%. 24 A O número de maneiras para se escolher um par de pessoas, tendo 4 meninas e 5 meninos, é Já o número de maneiras de se escolher duas pessoas de sexos diferentes é 4 × 5 = 20. Assim, a probabilidade pedida é 20 = 5 . 36 9 3 25 D 29 E Seja n o número de estudantes “normais”. Então: 40% · (300 – n) + 5% · n = 50 n = 200. Como 100% – 5% = 95% dos “normais” não são Com as figuras recortadas, podemos reconstruir o hexágono da seguinte forma: míopes, o número pedido é 95% · 200 = 190. 30 B O tempo de afastamento da pessoa em relação ao ponto de partida é igual ao tempo de aproximação dessa pessoa ao ponto de partida. Portanto, a distância dessa pessoa ao ponto de partida, no início do deslocamento e no final, é igual a zero. 31 A Logo, o perímetro desse hexágono, em cm, é: 5 + 3 + 10 + 5 + 3 + 10 + 3 = 39. Para chegar à resposta, é preciso, primeiramente, numerar os símbolos, como mostrado a seguir, de acordo com os possíveis restos da divisão por 7. 26 C Observando o conjunto de dados, a mediana corresponde ao 12º lugar, em ordem crescente ou decrescente, que são os agnósticos. 27 B 1 Observe a figura que representa o comportamento linear descrito no problema. 2 3 4 5 6 0 Agora, basta dividir 2013 por 7 e verificar o resto. Após fazer a divisão, obtém-se resto 4, que corresponde à figura da alternativa A. 32 E Na figura, o ponto A é o local onde ocorreu o naufrágio e o ponto C é onde está localizada a ilha. x 10 A Da semelhança dos triângulos x - 20 30 = ⇔ x = 29% . 20 - 14 20 I e II, vem 28 B 4 Sem perda de generalidade, suponha que a população brasileira seja de 10 000 pessoas. Com o crescimento de 12%, passou a ser de 11 200 pessoas. Como a população urbana, antes desse período, era 81% de 10 000, ou seja, 8 100 pessoas, a não urbana era de 1 900 pessoas. Como houve crescimento de 3%, ela passou a ser igual a 11 200 × 0,84 = 9 408 pessoas. Assim, a população não urbana, nesse período, passou a 11 200 – 9 408 = 1 792 pessoas. Como a população não urbana era de 1 900 pessoas e passou a ser de 1 792 pessoas, então decresceu 1 900 – 1 792 = 1 900 0,06, aproximadamente. 3 C 4 Local da Ilha Local do Naufrágio B 5 5 13 Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, obtém-se x = 5 km. A direção em relação ao local do acidente é nordeste. 33 D Para calcular o perímetro da figura, conte, inicialmente, o perímetro dos dois quadrados, que é igual a 4 . 5 + 4 . 6 = 44 cm, e desconte o perímetro do retângulo formado pela sobreposição das áreas, que é 2 . 1 + 2 . 2. Essa diferença é 38 cm.