Matemática e suas Tecnologias,
Matemática
Ensino Médio, 2ª Série
Trigonometria no ciclo trigonométrico
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Os biólogos de uma reserva ecológica descobriram
que a população P de animais, de certa espécie
presente na reserva, variava, durante o ano,
segundo a fórmula
onde t é o tempo medido em meses e t=1
corresponde ao mês de janeiro.
Qual seria a população de animais dessa espécie na
reserva no mês de novembro (1)?
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Ao analisarmos a situação-problema, percebemos
que a população depende do tempo,ou seja, está em
função do tempo.
Dessa forma, a resolução do problema se dá pela
substituição de t (tempo), por um determinado valor,
no caso t=11, uma vez que, necessitamos saber a
população no mês de novembro e, como foi colocado
em janeiro t=1, daí t=11 ser novembro.
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Portanto:
Ao substituirmos t=11, nos deparamos com outra
situação:
Como encontramos o cosseno de um ângulo cujo
valor é maior que 360°?
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Para responder a essa questão,
precisamos fazer um estudo do seno e
do cosseno de um arco, baseado em
nossos conhecimentos de trigonometria
no triângulo retângulo
a = medida da hipotenusa
b e c = medidas dos
catetos
Imagem: Modificada por, Gustavb usando a original de Eukleides / GNU Free Documentation License.
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Num triângulo retângulo, podemos estabelecer
razões entre as medidas dos seus lados:
catetos, que formam o ângulo reto, e hipotenusa,
que se opõe ao ângulo reto.
Consideremos o triângulo ABC retângulo em e
um ângulo agudo de medida .
Imagem: Modificada por, Gustavb
usando a original de Eukleides /
GNU Free Documentation License.
Razões trigonométricas no triângulo
retângulo
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
 Razão 1 – Seno de um ângulo agudo
 Razão 2 – Cosseno de um ângulo agudo
 Razão 3 – Tangente de um ângulo agudo
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Exemplo:
Consideremos o triângulo ABC, retângulo em A.
Então:
B
20
β
12
C
α
16
A
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
A ideia de seno e cosseno
de um número real
Consideremos, no ciclo trigonométrico, o ponto M,
que é a imagem do número real x, conforme indica a
figura.
v
M”
M
x
O
M’
A
u
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Consideremos, também, o arco AM, que corresponde
ao ângulo central de medida x. Seja OM o raio do
ciclo, e M’’ e M’ as projeções do ponto M nos eixos v
e u, respectivamente.
v
M”
M
x
O
M’
A
u
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Do triângulo retângulo OM’M, temos:
Definimos:
• Seno de x é a ordenada do ponto M.
• Cosseno de x é a abcissa do ponto M.
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
v
M”
M
x
O
M’
A
u
O eixo v é o eixo dos senos e o eixo u é o eixo dos
cossenos.
Daí, se M é um ponto do ciclo trigonométrico, podemos
escrever: M (cos x, sen x).
Essa nova definição tem a vantagem de não ficar restrita
aos ângulos agudos. Agora podemos falar em seno e
cosseno de arcos (ou ângulos) de qualquer medida.
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
No segundo quadrante, o seno é positivo e o cosseno é
negativo.
M”
M
sen x
M’
cos x
O
A
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
No terceiro quadrante, o seno é negativo e o cosseno é
negativo.
M’
cos x
O
sen x
M
M”
A
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
No quarto quadrante, o seno é negativo e o cosseno é
positivo.
O
cos x
M’
A
sen x
M”
M
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Valores importantes de sen x e cos x
sen
90º = π/ 2
60º = (π/ 3)
√3/ 2
45º = (π/ 4)
√2/ 2
z=180º
30º = (π/ 6)
0º = 0
1/2
O
cos
2 π = 360º
1/2
√2 / 2
√3 / 2
270º = 3 π / 2
Vamos destacar os valores do
seno e cosseno para os arcos
com extremidade nas
extremidades dos quadrantes e
aqueles de 1º quadrante já
calculados nos triângulos
retângulos.
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Valores importantes de sen x e cos x
ARCO
0º
(0)
30º
(π/6)
45º
(π/4)
60º
(π/3)
90º
(π/2)
180º
(π)
270º
(3π/2)
360º
(2π)
SEN
0
½
√2/2
√3/2
1
0
-1
0
COS
1
√3/2
√2/2
½
0
-1
0
1
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Simetria no estudo do seno e cosseno
Usando a simetria, podemos
relacionar o seno e cosseno de um
arco de qualquer quadrante com os
valores do primeiro quadrante.
Desse modo, estaremos fazendo
uma redução ao 1º quadrante.
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
 Redução do segundo quadrante para o primeiro
quadrante
GRAU
RADIANO
sen
180º - x
sen
π-x
x
x
cos
sen (180º - x) = sen x
cos (180º - x) = - cos x
Note que falta x para 180º ou π.
Dois arcos suplementares (x e 180º -x) têm:
cos
sen (π - x) = sen x
cos (π - x) = - cos x
senos iguais
cossenos simétricos
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
 Redução do terceiro quadrante para o primeiro
quadrante
GRAU
RADIANO
sen
sen
x
x
cos
cos
π+x
180º + x
sen (180º + x) = -sen x
cos (180º + x) = - cos x
Os arcos x e 180º + x têm:
sen (π + x) = -sen x
cos (π + x) = - -cos x
senos simétricos
cossenos simétricos
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
 Redução do quarto quadrante para o primeiro
quadrante
GRAU
RADIANO
sen
sen
x
x
cos
cos
360º - x
sen (360º - x) = - sen x
cos (360º - x) = - cos x
Os arcos x e 360º - x têm:
2π - x
sen (2π - x) = - sen x
cos (2π - x) = - cos x
senos simétricos
cossenos iguais
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Vale observar que: 360° - x e –x são côngruos.
Das figuras também obtemos:
sen (360° - x) = sen (-x) = -sen x
cos (360° - x) = cos (-x) = cos x
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
A partir do que foi visto, podemos construir o
quadro abaixo, que nos dá os valores do seno e
cosseno de arcos importantes em nosso estudo.
GRAUS
0º
30º
45º
60º
90º
120º
135º
150º
180º
210º
225º
240º
270º
300º
315º
330º
360º
RADIANOS
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π
SEN ϴ
0
½
√2/3
√3/2
1
√3/2
√2/2
½
0
-1/2
-√2/2
-√3/2
-1
-√3/2
-√2/2
-1/2
0
COS ϴ
1
√3/2
√2/2
½
0
-1/2
-√2/2
-√3/2
-1
-√3/2
-√2/2
-1/2
0
-1/2
√2/2
√3/2
1
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
E, abaixo, o ciclo trigonométrico, com alguns
valores notáveis incluídos nos quatro quadrantes.
(0,1)
(-1/2, √3/2)
120º π/2 90º
(-√ 2/2, √2/2) 135º
2π/3
3π/4
150º
(-√ 3/2, 1/2)
5π/6
(-1, 0)
180º
π
7π/6
210º 5π/4
(-√ 3/2, -1/2)
225º
240º
(-√ 2/2, -√2/2)
(-1/2, -√3/2)
(1/2, √3/2)
60º
(√ 2/2, √2/2)
π/3 45º
(√ 3/2, -1/2)
30º
π/6
(1, 0)
0º
360º 2π x
11π/6
4π/3
270º
7π/4 330º (√ 3/2, -1/2)
5π/3 315º
(√ 2/2, √2/2)
300º
(1/2, -√3/2)
(0,-1)
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Após esta análise e observação do
comportamento dos arcos simétricos aos arcos do
1º quadrante, verificamos que, para solucionar o
problema em questão, é necessário apenas
determinarmos o arco côngruo a
.
Como vimos,
consegue dar mais de duas
voltas completas e parar em um determinado
ponto da circunferência. É justamente neste ponto
que encontramos o arco côngruo a
, que tem o
mesmo seno cosseno deste.
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Vejamos:
2 voltas
Extremidade do
arco côngruo a
Assim:
Então,
e
são considerados arcos côngruos.
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Voltando a nossa situação-problema:
Portanto, no mês de novembro, a população era de
425 animais.
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Exercícios Complementares
1) Ache o valor da expressão:
2) Sendo
e
, qual a relação de
ordem que podemos estabelecer entre A e B?
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
3) A profundidade da água de um porto pode ser
modelada por uma função trigonométrica, devido às
oscilações das marés oceânicas. Em um porto da
costa brasileira, a profundidade da água é dada pela
fórmula
, onde D é a profundidade
da água em metros e t é a medida em horas, após a
primeira maré alta do dia. Um comandante deve
decidir o horário de atracar seu navio nesse porto,
optando entre atracar 7 ou 11 horas, após a primeira
maré do dia. Em qual desses dois horários ele teria a
maior profundidade da água (2)?
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
4) A quantidade de energia consumida por uma
cidade varia com as horas do dia, e os técnicos da
companhia de energia conseguiram aproximar essa
necessidade de energia pela função:
Em que t é a hora do dia e P a quantidade de
energia, em MW (3).
a) Em qual horário se consome mais energia nessa
cidade, às 6h00 ou às 15h00?
b) Determine a quantidade de energia, em MW,
consumida pela cidade ao meio dia.
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Gabarito
1)
2) A < B
3) 11 horas
4) a) 15 horas
b) 54 MW
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Sugestão de Atividade
Confecção do ciclo trigonométrico para melhor
apropriação dos conteúdos, buscando estimular o
trabalho de equipe e a criatividade dos alunos.
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Sugestões de Pesquisa
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm22/circulo_trigonometrico.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ciclo_trigonom%C3%A9trico
www.scribd.com/doc/12401611/Como-Usar-o-Ciclo-Trigonometrico
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Referências
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contextos e
aplicações, vol. 2. São Paulo: Ática, 2010.
GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José
Roberto. Matemática Completa, vol. 2, 2. ed. São
Paulo: FTD, 2005.
SILVA, Claudio Xavier da & FILHO, Benigno
Barreto. Matemática aula por aula, Vol. 2, 2. ed.
São Paulo: FTD, 2005.
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
MORETTO, Vasco Pedro. Prova – um momento
privilegiado de estudo – não um acerto de
contas. 3. ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2003.
TIBA, Içami. Ensinar aprendendo: novos
paradigmas na educação. 18. ed. rev. e atual. São
Paulo: Integrare Editora, 2006.
Tabela de Imagens
Slide
Autoria / Licença
5 e 6 Modificada por, Gustavb usando a original de
Eukleides / GNU Free Documentation License.
Link da Fonte
Data do
Acesso
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Rtriangle.sv 07/05/2012
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