Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Carlos Eduardo de Brito Novaes
[email protected]
http://professorcarlosnovaes.wordpress.com
23 de agosto de 2012
1
Introdução
Edward Routh apresentou em 1877 um algorítimo matemático para identificar a estabilidade de polinômios [1]. De
modo independente, em 1895 Adolf Hurwitz também resolveu este problema de estabilidade [2]. Trata-se de uma
importante ferramenta para identificar quantas são as raízes de um polinômio que possuem parte real positiva (estão
localizadas no semiplano direito do plano complexo) e, em teoria de controle nos permite identificar as condições para
garantir a estabilidade de um sistema.
2
Definição
2.1
Polinômio Hurwitz
Um polinômio P (s) é dito do tipo Hurwitz (ou estável no sentido de Hurwitz) se:
1. P (s) ∈ R ∀ s ∈ R, para todo s real, P (s) é também um número real.
2. Todas as raízes de P (s) possuem parte real negativa ou nula.
Para que um polinômio seja do tipo Hurwitz, uma condição necessária é que todos os seus coeficientes sejam reais e
tenham o mesmo sinal (todos positivos ou todos negativos). Esta condição entretanto não é suficiente, pois o contra
exemplo:
s4 + s3 + s2 + s + 1
=
0
apesar de ter todos os coeficientes positivos, apresenta as raízes
s = cos (72) ± sin (72) j
≈ 0, 3090 ± 0, 9511j ← duas raízes com parte real positiva
s = cos (144) ± sin (144) j
≈ −0, 8090 ± 0, 5878j
Uma condição necessária e suficiente é que o polinômio atenda ao critério de Routh-Hurwitz (ver 2.2).
2.2
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
Para determinar se um polinômio é estável no sentido de Hurwitz deve-se realizar os seguintes passos (capítulo 5 de
[3]):
1
2.3
Casos especiais
2.2.1
3
EXEMPLOS:
Passo 1
Escrever o polinômio na forma
an sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0
= 0
Onde a0 6= 0, ou seja, retiramos todas as raízes nulas. Também é interessante que an seja positivo1 , então podemos
multiplicar o polinômio por −1 sem alterar as suas raízes.
2.2.2
Passo 2
Se os sinais dos coeficientes forem diferentes (existem coeficientes ai positivos e negativos), então existem raízes no
semiplano direito e o polinômio não é estável. Quando estamos interessados apenas na estabilidade absoluta, podemos
parar a análise por aqui. Se desejamos saber quantas raízes são instáveis, devemos prosseguir para o próximo passo.
Se os sinais dos coeficientes forem iguais (todos positivos ou todos negativos), então devemos prosseguir para o
próximo passo.
2.2.3
Passo 3
Arranjar os coeficientes conforme a seguinte tabela
sn
sn−1
:
:
sn−2
:
b1 =
sn−3
:
c1 =
sn−4
:
..
.
s0
..
.
:
an
( an−1
an
det
an−1
(
det
d1 =
an−2
an−3
)
−an−1
)
an−1 an−3
b1
b2
)
( −b1
b1 b2
det
c1 c2
−c1
..
.
x1 = · · ·
b2 =
an−2
( an−3
an
det
an−1
(
det
c2 =
d2 =
an−4
an−5
)
−an−1
)
an−1 an−5
b1
b3
)
( −b1
b1 b3
det
c1 c3
..
.
0
−c1
···
an−4
an−5
b3 · · ·
· · · b? =
(···
an
det
an−1
0
0
)
−an−1
=0
0
0
0
0
0
0
c3 · · ·
0
0
0
···
0
0
0
..
.
0
..
.
···
..
.
0
..
.
0
até que reste um valor diferente de zero apenas na primeira coluna da última linha (linha s0 ). Observe que é
possível multiplicar ou dividir uma linha inteira por um número real positivo se isso facilitar os cálculos, sem modificar
a conclusão sobre a estabilidade do polinômio.
O critério de estabilidade de Routh nos diz que o número de raízes com parte real positiva é igual ao número de
mudanças de sinal na primeira coluna da tabela construída. A condição necessária e suficiente para a estabilidade (todas
as raízes com parte real negativa) de um polinômio é então que não ocorra mudança de sinal na primeira coluna.
2.3
2.3.1
Casos especiais
Um elemento na primeira coluna é zero, mas o restante da linha não
Neste caso, substituímos o elemento nulo por um valor hipotético +ε muito pequeno mas positivo. Prosseguimos os
cálculos normalmente (Ver exemplo 3.3).
2.3.2
Uma linha inteira é nula.
Neste caso, substituímos a linha nula pela derivada da linha anterior em relação à s. (Ver exemplo 3.4).
3
Exemplos:
3.1
Exemplo P (s) = (s + 1) (s + 2) (s + 3) (s + 4) (s + 5) = s5 +15s4 +85s3 +225s2 +274s+
120 = 0
O polinômio P (s) = (s + 1) (s + 2) (s + 3) (s + 4) (s + 5) = s5 + 15s4 + 85s3 + 225s2 + 274s + 120 possui todas
as raízes reais e negativas, vamos utilizar como primeiro exemplo de aplicação do critério de Routh.
1 Além
de facilitar os cálculos, garante que quando for preciso a modificação proposta em 2.3.1 seja válida.
2
3.2
Exemplo P (s) = (s + 1) (s + 2) (s − 3) (s + 4) = s4 + 4s3 − 7s2 − 34s − 24 = 0
3
EXEMPLOS:
Todos os coeficientes são positivos, não há mudança de sinal, portanto, não podemos concluir nada sobre a estabilidade. Devemos prosseguir com a construção da tabela.
s5
s4
s3
:
:
:
2
s
:
s1
:
s0
:
1
15
)
(
1
85
det
15 225
b1 =
= 70
( −15
)
15 225
det
70 266
c1 =
= 168
( −70
)
70 266
det
168 120
d1 =
= 216
( −168
)
168 120
det
216
0
= 120
e1 =
−216
85
225
)
(
1 274
det
15 120
b2 =
= 266
( −15
)
15 120
det
70 0
c2 =
= 120
(−70
)
70 0
det
168 0
d2 =
=0
( −168
)
168 0
det
216 0
e2 =
=0
−216
274
(120
1
det
15
b3 =
( −15
15
det
70
c3 =
−70
0
0
0
0
0
0
)
)
=0
0
=0
0
0
0
Então, avaliando os termos da primeira coluna tem-se:
1 → 15 → 70 → 168 → 216 → 120
Facilmente verificamos que não há trocas de sinal e portanto o polinômio possui todas as suas raízes no semiplano
esquerdo (todas as raízes tem parte real negativa).
3.2
Exemplo P (s) = (s + 1) (s + 2) (s − 3) (s + 4) = s4 + 4s3 − 7s2 − 34s − 24 = 0
Existem coeficientes positivos e negativos, podemos concluir que o polinômio é instável. Para saber quantas raízes tem
parte real positiva, devemos construir a tabela:
s4
s3
s2
s1
s0
1
−7
−24
4
−34
(
)
(
)
(0
)
1 −7
1 −24
1 0
det
det
det
4 −34
3
4
0
4 0
:
b1 =
=
b2 =
= −24 b3 =
=0
−4
 −4
 2
−4

4 −34
4 0


det  3
det  3
−24
0
2
2
:
c1 =
= 30
c2 =
=0
0
3
3
−
−
2
2


3
det  2 −24 
30
0
= −24
0
: d1 =
−30
:
:
0
0
0
0
Então, avaliando os termos da primeira coluna tem-se:
1→4→
3
→ 30 → −24
2
Verifica-se que houve apenas uma troca de sinal de 30 (positivo) para −24 (negativo), como era esperado pois o
polinômio possui apenas uma raiz positiva.
3.3
Exemplo P (s) = s4 + s3 + s2 + s + 1 = 0
Vamos avaliar o contra exemplo dado anteriormente e verificar que ocorre um zero na primeira coluna e ainda que
critério de estabilidade de Routh indica as duas raízes com parte real positiva.
3
3.4
Exemplo P (s) = s5 + 2s4 + 3s3 + 6s2 + 4s + 8 = 0:
s4
s3
:
:
s2
:
s2
:
s1
:
s0
:
1
(1
)
1 1
det
1 1
b1 =
=0
−1
( +ε )
1 1
det
ε 1
1
c1 =
=1−
 ε
 −ε
ε
1

det 
1
0
1−
( ε )
=1
d1 =
1
− 1−
ε
3
1
(1
)
1 1
det
1 0
b2 =
=1
−1
)
(1
1 0
det
3 0
c2 =
=0
−3
(
)
168 0
det
216 0
d2 =
=0
−216
EXEMPLOS:
1
(0
)
1 0
det
1 0
c3 =
=0
−1
0
0
0
0
0
0
0
Avaliando a primeira coluna:
1
1 → 1 → |{z}
ε →1− →1
| {z ε}
>0
<0
1
é negativo e portanto
ε
1
1
houveram duas trocas de sinal (a primeira de ε positivo para 1 − negativo; a segunda de 1 − negativo para 1
ε
ε
positivo). Como esperado, o polinômio possui duas raízes com parte real positiva.
Como sabemos que ε é um número positivo, mas muito pequeno, conclui-se que 1 −
Exemplo P (s) = s5 + 2s4 + 3s3 + 6s2 + 4s + 8 = 0:
3.4
s5
s4
s3
s3
:
:
:
b1 =
1
( 2
1
det
2
:
:
(
c1 =
det
s1
s0
:
:
d1 =
3
6
=0
−2
det
s2
)
(
8
3
8
2
8
6
12
3
8
0
(
det
=3
c2 =
28
=−
 3
d2 =

=8
4
8
)
=0
−2
)
−8 )
12
8
 −3
3
det 
28
−
3
e1 =
28
b2 =
3
( 6
1
det
2
12
2
8
8
0
−3
3
det 
28
−
3
e2 =
28
(
det
0
0
=8
c3 =
=0

0
0
0
2
8
−8
0
0
0
0
)
=0
−2
)
( −8
)
8 0
det
3 0

b3 =
4
( 8
1
det
2
0
)
d ( 4
←
2s + 6s2 + 8 = 8s3 + 12s
ds
)
=0
0
0
0

=0
3
Observamos que a primeira coluna apresenta duas trocas de sinais:
1→2→8→3→−
28
→8
3
E portanto, o polinômio apresenta duas raízes com parte real positiva. De fato, as raízes deste polinômio são:
s = −2
s = −0, 5 ± 1.3229j
s = 0, 5 ± 1.3229j ← duas raízes com parte real positiva
4
3.5 Exemplo: Obtenha para o sistema de controle ilustrado na figura 3.1, a faixa de valores do ganho K para que o
sistema resultante em malha fechada seja estável
3 EXEMPLOS:
3.5
Exemplo: Obtenha para o sistema de controle ilustrado na figura 3.1, a faixa de valores
do ganho K para que o sistema resultante em malha fechada seja estável
Figura 3.1: Sistema de Controle
Como podemos ver, trata-se de um sistema de controle em malha fechada e a função de transferência de malha
fechada pode ser obtida utilizando álgebra de blocos. Na malha direta temos
G (s) =
K
s3
s+2
+ 3s2 − 6s − 8
Na malha de realimentação, não há dinâmica ou ganho, portanto: H (s) = 1
A função de transferência em malha fechada será:
Gcl (s) =
=
=
=
G
1 + GH
K (s + 2)
3
s + 3s2 − 6s − 8
K (s + 2)
1+ 3
s + 3s2 − 6s − 8
Ks + 2K
s3 + 3s2 − 6s − 8
s3 + 3s2 − 6s − 8 + Ks + 2K
s3 + 3s2 − 6s − 8
Ks + 2K
3
2
s + 3s + (K − 6) s + 2K − 8
Para que o sistema seja estável, basta que sua função de transferência possua todos os polos (raízes do denominador)
com parte real negativa. Então podemos prosseguir com a construção da tabela de Routh:
s3
s2
s1
s0
1
(K − 6)
3
(2K
( − 8) )
(
)
1 0
1 (K − 6)
det
det
K − 10
3 0
3 (2K − 8)
=
b2 =
=0
:
b1 =
−3
−3

 3
3
(2K − 8)

det  K − 10
0
3
: c1 =
= 2K − 8
0
K − 10
−
3
:
:
5
0 0
0 0
0
0
0
0
3.6 Exemplo: Obtenha para o sistema de controle ilustrado na figura 3.2, a faixa de valores do ganho K para que o
sistema resultante em malha fechada seja estável
3 EXEMPLOS:
Avaliando a primeira coluna:
1→3→
K − 10
→ 2K − 8
3
Observamos que para que todas as raízes estejam no semi-plano esquerdo (polos estáveis), não deve haver troca de
sinal e portanto, todos os valores na primeira coluna devem ser positivos. Assim:
K − 10
3
K − 10
> 0
> 0
K
>
10
e
2K − 8 > 0
2K > 8
K
>
4
é possível satisfazer as duas condições se K > 10 e este é então o valor a partir do qual o sistema em malha fechada
se torna estável.
3.6
Exemplo: Obtenha para o sistema de controle ilustrado na figura 3.2, a faixa de valores
do ganho K para que o sistema resultante em malha fechada seja estável
Figura 3.2: Sistema de Controle
De modo semelhante, a função de transferência do ramo direto é:
G (s)
=
s4
+
11s3
Ks + 2K
+ 58s2 − 96s − 144
Na malha de realimentação, não há dinâmica ou ganho, portanto: H (s) = 1
A função de transferência em malha fechada será:
Gcl (s) =
=
=
G
1 + GH
Ks + 2K
+
+
− 96s − 144 + Ks + 2K
Ks + 2K
s4 + 11s3 + 58s2 + (K − 96) s + 2K − 144
s4
11s3
58s2
6
3.6 Exemplo: Obtenha para o sistema de controle ilustrado na figura 3.2, a faixa de valores do ganho K para que o
sistema resultante em malha fechada seja estável
3 EXEMPLOS:
E montando o arranjo de Routh:
s4
s3
:
:
s2
:
(
det
b1 =

11
det  734 − K
1
s
:
11
c1 =

−
1
11
1
11
)
58
(K − 96)
−11

(K − 96)

2K − 144
734 − K
11
734 − K

11
det 
 K 2 − 588K + 53040
s0
:
d1 =
−
=
(
=
det
734 − K
b2 =
11
K 2 − 588K + 53040
K − 734
−11
11
det  734 − K
c2 =
−

2K − 144 


0
K − 734
K 2 − 588K + 53040
1
11
58
(K − 96) )
2K − 144
0
= 2K − 144
11
734 − K
0
0
= 2K − 144

2K − 144
0
0
0
b3 = 0
0
0
0

=0
11
0
K − 734
Avaliando a primeira coluna:
1 → 11 →
K 2 − 588K + 53040
734 − K
→
→ 2K − 144
11
K − 734
Para que todos os termos sejam positivos temos:
734 − K
11
734 − K
−K
> 0
> 0
> −734
K
< 734
além disso:
2K − 144 > 0
2K > 144
K > 72
E por fim, podemos avaliar a última condição de uma maneira mais simples, pois sabemos que 72 < K < 734.
Assim, o denominador K − 734 deve ser negativo. Então:
K 2 − 588K + 53040
> 0
K − 734
| {z }
<0
K − 588K + 53040 < 0
2
Trata-se de uma parábola com concavidade voltada para cima. Calculando as raízes encontramos
K
√
= 294 ± 22 69
K
K
= 111, 25
= 476.74
Como já observamos que a concavidade da parábola esta voltada para cima e que K 2 − 588K + 53040 < 0,
conclui-se que para satisfazer esta terceira condição, 111, 25 < K < 476.74
Avaliando todas as restrições percebemos que esta última é a mais restritiva, ou seja, para 111, 25 < K < 476.74,
todos os termos da primeira coluna do arranjo de Routh serão positivos e o sistema em malha fechada será estável.
7
REFERÊNCIAS
REFERÊNCIAS
Referências
[1] E. Routh, A treatise on the stability of a given state of motion: particularly steady motion.
1877. [Online]. Available: http://books.google.com.br/books?id=xLQEAAAAYAAJ 1
Macmillan and co.,
[2] A. Hurwitz, “On the Conditions Under Which an Equation Has Only Roots With Negative Real Parts,” in
Mathematische Annalen, vol. 46. Leipzig, 1895, pp. 273–284. [Online]. Available: http://gdz.sub.uni-goettingen.
de/dms/load/pdf 1
[3] K. Ogata, Engenharia de controle moderno, 5th ed.
Prentice Hall / SP, 2010. 2.2
8