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EXPRESSÃO GRÁFICA I – ENGENHARIA CIVIL
9.3.10 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS
De acordo com sua posição no espaço, um plano e uma reta podem ser: paralelos,
concorrentes ou a reta pode estar contida no plano.
Reta Paralela a Plano
Uma reta r é paralela a um plano α quando é paralela a uma das retas desse plano.
Se o plano α for vertical, a reta r será paralela ao plano α se sua projeção r’ for
paralela ao traço α π′ .
Se o plano α for horizontal, a reta r é paralela a α quando for paralela a uma das
horizontais de α e possuir cota diferente da cota do plano.
EXERCÍCIO
Conduzir pelo ponto P, uma reta r, paralela ao plano α , definido pelos pontos A, B e C.
A(10, 10, 20) B(70, 30, 50) C(40, 80, -10) P(60, 10, 30).
Reta concorrente com plano
Uma reta concorrente a um plano pode ser:
•
Perpendicular ao plano;
•
Oblíqua ao plano.
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a) Reta Oblíqua ao plano
Definição: Uma reta é oblíqua a um plano, quando forma com o mesmo, ângulo
diferente de 0o ou 90º.
b) Reta perpendicular a plano
•
Se r é uma reta vertical, então qualquer plano α horizontal é perpendicular à reta;
•
Se r é uma reta horizontal, então um plano α , perpendicular a esta reta, é vertical e
α π′ é perpendicular à r’;
•
Se a reta r é qualquer, então um plano α , perpendicular à reta r, é qualquer e é
perpendicular às retas de declive do plano α . Para que a reta r seja perpendicular
ao plano α é necessário e suficiente que suas escalas de declive estejam situadas
em retas paralelas, que seus intervalos sejam inversos um do outro e que as
graduações das escalas de declive cresçam em sentidos opostos.
EXERCÍCIO
Conduzir pelo ponto P(100, 30, 40) uma reta r, perpendicular ao plano α (A, B, C). Onde
A(0, 70, 10), B(80, 80, 50) e C(70, 0, 25)
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9.4
PROBLEMAS FUNDAMENTAIS DE POSIÇÃO
Os problemas fundamentais de posição são:
•
O ponto definido por uma reta e um plano;
•
A reta definida por dois pontos;
•
O plano definido por um ponto e uma reta;
•
A reta definida por dois planos.
9.4.1 O PONTO DEFINIDO POR UMA RETA E UM PLANO
Um ponto pode ser definido pela interseção de uma reta e um plano não paralelos.
Para determinar o traço de uma reta r sobre um plano α , considera-se um plano auxiliar β
pertencente à reta r, determina-se então a reta αβ , interseção do plano α com o plano β .
O traço da reta r sobre a reta αβ é o ponto (rαβ) , comum à reta r e ao plano α . Em geral
o plano auxiliar β é o plano projetante da reta r.
r
β
rαβ
αβ
α
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EXERCÍCIOS
1) Dado o plano α pelos pontos A(0,60,20), B(30,0,30) e C(70,50,70), determinar o traço
da reta r (D, E), onde D(0,40,90) e E(70,30,10) sobre o mesmo.
2) Dado o plano α, por sua reta de declive d(A,B), determinar o traço da reta r(C, D)
sobre o mesmo. Onde A(10,10,10), B(40,30,50), C(70,10,20) e D(50,20,40).
9.4.2 A RETA DEFINIDA POR DOIS PLANOS
Uma reta pode ser definida por dois planos.
Problema: Sejam os planos α e β distintos, determinar a reta αβ .
a) Se os planos α e β são verticais e não paralelos, então a reta αβ é uma reta vertical
e ( αβ )’ é a interseção de απ′ com βπ′ .
b) Se o plano α é vertical e o plano β é qualquer, a reta αβ é uma reta qualquer e
( αβ )′ ≡ απ′ .
c) Se os planos α e β são quaisquer, a reta αβ é uma reta qualquer.
EXERCÍCIOS
1) Representar a projeção cotada da reta αβ , interseção dos planos α (A, B, C) e β (D,
E, F). Onde: A(0, 40 ,70), B(80, 80, 30), C(50, 0, 10), D(20, 90, 20), E(-10, 10 ,40) e F(70,
20, 30)
2) Representar a projeção cotada da reta αβ , interseção dos planos α ( dα ) e β ( dβ ).
Onde: A(20, 20, 40), B(40, 50, 70), C(70, 10, 10), D(50, 40, 50)
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
01. Determinar a VG, a inclinação , o módulo e o declive do segmento AB
A ( 0, 0, -2 ) B ( 5, 6, 4 )
02. O segmento AB tem inclinação de 45º AH e mede 5 cm: Determinar a cota do
ponto B, a VG, a inclinação e o módulo do segmento AB.
A ( 1, 3, 2 ) B ( 5, 6, __ )
03. Conhecendo as coordenadas pontos A e B , determinar:
• VG do segmento AB:
• As projeção do ponto P pertencente à reta AB;
• O ângulo do segmento AB com o π1 ( plano horizontal de projeção);
• Completar as coordenadas do ponto P
Dados:
A ( 0. 5, 0 ) B ( 4, 2, 7 ) P( __, __, 6)
04. Determinar a VG do triângulo ABC contido no plano vertical com inclinação de
60ª H.
A ( 0; 1; 1 ) B ( 4, __ , 5 ) C ( 5, __, 2 )
05. Determinar a VG do triângulo ABC.
A ( 0, 3, 1 ) B ( 3, 1, 0 ) C ( 4, 3, 3 )
06. Determinar a VG do triângulo ABC.
A ( 0, 6, 0 ) B ( 5, 3, 3 ) C ( 3, 0, 6 )
07. Dados: Plano α(A, B, C). Pede-se: a reta de declive do plano (d’α) e o intervalo do
mesmo, sabendo que ele forma um ângulo de 30º com o plano de projeção (π’).
A’(5, 0, 2,0) B’(6, 6, 2,0) C’(0, 5, ? )
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08. Dados: as projeções cotadas das retas r(A, B) e s(C, D). Pede-se: a intersecção
(αβ) dos dois planos, sabendo-se que:
- as retas “r” e “s” pertencem aos planos α e β, respectivamente;
- o plano (α) faz um ângulo de 30º com o plano de projeção (π’);
- o plano (β) também faz um ângulo de 30º com o plano de projeção (π’).
A’(1, 6) 3,0 B’(6, 1) 3,0 C’(6, 6) 3,0 D’(11, 11) 3,0
09. Dados os planos α(A, B, C) e β definido pelo seu traço βπ’(M, N). Pede-se:
a) a graduação da reta (αβ) intersecção dos dois planos;
b) indicar o ângulo (θ) que esta faz com o plano de projeção (π’).
A’(9, 6) -1,0 B’(-3, -3) 3,2 C’(0, 8) 7,0
M’(0, 3) 0,0 N’(13, 0) 0,0
10. Dados: plano α definido pela sua reta de declive d’α(A, B) e a reta r(C, D). Pedese: determinar o ponto onde a reta “r” fura o plano α.
A’(2, 0) 1,0 B’(0, 5.5) 4,0
C’(5.5, 1) 1,0 D’(6.5, 5.5) 5,0
11. Dados os planos α(A, B, C) e a reta m(M, N). Pede-se: a projeção do ponto onde a
reta “m” fura o plano “α”.
A’(0; 4,9) 2,0 B’(2,5; 0) 3,0 C’(5,8; 4.0) 7,0
M’(0; 3,3) 9,1 N’(5,8; 1,4) 1,0
12. Dados os planos α(A, B, C) e β(E, F, G). Pede-se: a intersecção dos dois planos
(αβ).
A’(0, 8) 1,7 B’(11, 10) 6,2 C’(6, -2) -1,0
D’(3, 11) -1,0 E’(-2, 4) 2,0 F’(12, 2) 7,0
13. Determinar a VG, a inclinação e o declive do segmento AB
A ( 0, 0, -2 ) B ( 5, 6, 4 )
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14. O segmento AB tem inclinação de 45º AH e mede 5 cm. Determinar a cota do
ponto B, a VG e a inclinação do segmento AB.
A ( 1, 3, 2 ) B ( 5, 6, ? )
15. Conhecendo as coordenadas pontos A e B , determinar a VG do segmento AB,
as projeção do ponto P pertencente à reta AB, o ângulo do segmento AB com o
π’ e as coordenadas do ponto P.
A ( 0. 5, 0 )
B ( 4, 2, 7 )
P( ?, ?, 6)
16. Dado o plano α(ABC), encontrar as coordenadas do ponto P que pertence à reta
de declive que passa pelo ponto D.
A ( 0, 3, 1 )
B ( 3, 1, 0 )
C ( 4, 3, 3 )
D ( 2, 3, 2 )
P ( ?, ?, 4 )
17. Dado o segmento AB, determinar o plano que passa por AB e que forma um
ângulo de 30° com π’.
A ( 3, 5, 6 )
B ( 7, 3, 2 )
18. Dados os pontos
A ( 0, 6, 0 )
B ( 5, 3, 3 )
C ( 3, 0, 6 )
D ( 4, 6, 2 ) G ( 3, 2, 6 )
E ( 1, 8, 5 ) H ( 3, 3, 2 )
F ( 5, 7, 5 ) I ( 1, 4, 5 )
Determine:
a) Se o ponto E pertence ao plano CGI;
b) Se o ponto H pertence ao plano ABD;
c) A cota do ponto P ( 8, 5, ? ) que pertence ao plano BCI;
d) A reta de maior declive do plano BDF;
e) As coordenadas dos pontos M ( 1, ?, ? ) e N ( 2, ?, ? ) da reta horizontal de cota 5
do plano que passa por DH e que forma um ângulo de 75° com π’;
f) A declinação da reta de declive do plano BDH;
g) A VG do triângulo DGQ, sabendo que o ponto Q ( 5, ?, ? ) pertence ao plano que
passa por EF e forma ângulo de 60° com π’;
h) O ângulo que o plano ADI forma com π’;
i) O ângulo que o plano CEI forma com π’;
j) O plano definido pela reta de declive AC.
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