TAREFA
UMA QUESTÃO DE… EMERGÊNCIA
De modo a facilitar o transporte de doentes
para
os
Hospital
de
S.
Teotónio
(Viseu),
construiram-se dois heliportes, um em Gumirães e
outro em Vil de Moinhos. Do Hospital (H)
observam-se os heliportos segundo um ângulo de
90º. Do heliporto de Gumirães (G) observa-se o
heliporto de Vil de Moinhos (V) e o Hospital (H)
segundo um ângulo de 60º (Aprox.).
Quando há um acidente, do Hospital (H) é,
imediatamente, emitido um alerta para ambos os
heliportos e ambos enviam um helicóptero de socorro, voando em linha reta, para o Hospital a uma
velocidade de 180Km/h a fim de receber as instruções.
1. Qual dos helicópteros chega primeiro ao hospital? Justifica a tua resposta.
2. É possível determinar a distância percorrida por cada helicóptero? Justifica a tua resposta.
3. Supõe que tu pretendias colocar uma ambulância de tal modo que esta se encontrasse à mesma
distância (medida em linha reta) do Hospital e dos heliportos. Onde a colocarias?
Obs. Representa geometricamente a tua proposta.
4. O Francisco, estudante aplicado de História, ficou surpreendido
quando leu que Napoleão foi um entusiasta da Matemática e
particularmente da Geometria. É a ele que se deve a “receita” da
figura ao lado:
a) Uma vez que a parte final da “receita” está ilegível, utiliza o
triângulo cujos vétices são o Hospital (H) e os heliportes (V e
G) para descobrir o que falta.
b) A “receita” funciona com qualquer triângulo?
5. Verifica o teorema de Pitágoras utilizando o triângulo retângulo com vértices em H, V e G.
6. Estabelece uma relação entre as áreas dos três triângulos equiláteros construidos sobre cada um dos
lados do triângulo retângulo.
7. Estabelece uma relação entre figuras semelhantes construidas sobre cada um dos lados do triângulo
retângulo. (por exemplo círculos)
Ano letivo de 2013/2014
As docentes:
Carla Neto
Celeste Abigaíl
Conceição Alves
ROTEIRO
Nível de ensino: 9º Ano
Tópico matemático: Lugares Geométricos
Subtópico matemático: Circuncentro, incentro, ortocentro e baricentro de um triângulo; propriedades e
construção.
Capacidades transversais
Resolução de problemas
- Resolver problemas em contextos matemáticos
Raciocínio matemático
- Raciocinar matematicamente, desenvolvendo e avaliando argumentos matemáticos
relativos a resultados, processos e ideias matemáticas
Comunicação matemática
- Discutir as soluções encontradas e os processos utilizados
Conhecimentos prévios dos alunos
Noção de escala;
Teorema de Pitágoras e o respetivo recíproco;
Bissetriz de um ângulo; mediatriz de um segmento;
Aprendizagens visadas
Resolver problemas envolvendo propriedades topológicas
Orientações para apresentação e exploração da tarefa (Duração total: 90 minutos)
Apresentação da tarefa pelo professor (15 minutos);
Trabalho dos alunos (40 minutos);
Apresentação e discussão do trabalho (35 minutos)
Acompanhamento do professor na aula
Ao longo da tarefa o professor assumirá o papel de orientador face às dificuldades que surgirem.
Possíveis explorações dos alunos
Os alunos deverão recorrer a um Ambiente de Geometria Dinâmica (AGD) e deverão começar por
importar a imagem do concelho de Viseu e marcar os pontos correspondentes às localidades mencionadas
no enunciado da tarefa respeitando as condições apresentadas.
Para responder à primeira questão, os alunos deverão utilizar a ferramenta para medição no mapa
bem como a escala utilizada. Assim, os alunos deverão responder corretamente à questão referindo que o
helicópetro localizado no ponto G deverá chegar em primeiro lugar porque o comprimento do lado [GH] do
triângulo [VHG] é menor que todos os outros.
Na segunda questão, os alunos deverão ter em atenção a escala do mapa e efetuar a medição dos
segmentos de reta que unem os pontos correspondentes aos heliportos com o hospital.
Para responder à terceira questão onde é
solicitado que indiquem o local onde colocariam uma
ambulância de modo que esta se encontre à mesma
distância do Hospital e dos heliportos, os alunos
deverão traçar as mediatrizes de pelo menos dois
dos lados do triângulo [GVH] e determinar o ponto
de interseção.
Com a quarta questão cuja resposta é
“Equilátero” pretende-se que os alunos,
livremente, construam triângulos equiláteros
sobre os lados de um triângulo – inicialmente o
triângulo
retângulo
já
construído
e,
posteriormente, outros triângulos – e utilizem
um ponto notável (ortocentro) para tirarem a
respetiva conclusão.
Como desafio, o professor poderá
sugerir, aos alunos, a localização do incentro, do
baricentro, ou do circuncentro dos triângulos
equiláteros construídos sobre os lados do
triângulo inicial de modo a que os alunos
verifiquem se a propriedade se mantém.
A resposta à segunda alínea desta questão deve resultar de um trabalho rigoroso utilizando as
ferramentas disponíveis no AGD para a construção e medição das medidas dos lados dos triângulos
resultantes da construção sugerida.
A resposta à quinta questão
(e
seguintes)
deve
resultar,
igualmente, de um trabalho rigoroso
utilizando as ferramentas disponíveis
para a construção e medição de áreas
de polígonos diversos (semelhantes)
construídos sobre os lados de um
triângulo retângulo. Depois de
verificarem (experimentalmente) o
teorema de Pitágoras – já conhecido –
os alunos deverão experimentar com
outros polígonos e procurar uma
generalização do referido teorema.
Questão 6
Questão 7
Que dificulades se preveem por parte dos alunos e como as ultrapassar?
Poderão surgir dificuldades ao nível da utilização do AGD. Nesse caso será necessário que o
professor identifique o tipo de dificuldade e, em função disso, encontre uma estratégia adequada à
situação. Esta estratégia poderá passar, por exemplo, por ajudar o aluno a encontrar os itens dos menus
necessários para fazer as construções propostas, levantar questões dirigidas de modo a que o aluno se
concentre em determinados aspetos que o irão orientar no desenvolvimento das tarefas, ou sugerir a um
colega com mais destreza que apresente e explique a sua estratégia de resolução.