PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3o ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - JUlHO DE 2012.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES ADRIANO CARIBÉ
E WALTER PORTO.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
QUESTÃO 01
Considere os conjuntos A = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 3} e B = {y ∈ Z / –1 ≤ y ≤ 1}. A representação gráfica do produto cartesiano A × B
corresponde a:
01) um retângulo cuja base é maior que a altura
02) um retângulo cuja altura é maior que a base
03) três segmentos de reta horizontais
04) três segmentos de reta verticais
05) um conjunto com apenas doze pares ordenados
RESOLUÇÃO:
O conjunto A = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 3} está representado, na figura ao lado,
pela faixa vertical infinita e limitada pelas retas x = 0 e x = 3.
O conjunto B = {y ∈ Z / –1 ≤ y ≤ 1} pelas três retas horizontais y = 1,
y = 0 e y = - 1.
A representação gráfica do produto cartesiano A x B corresponde à
interseção das retas com a faixa, isto é, três segmentos de reta horizontais.
RESPOSTA: Alternativa 03.
QUESTÃO 02
Quantos termos da PA (29 ; 31 ; 33 ; 35 ; ... ) devem ser somados a fim de que a soma seja igual à soma dos oito primeiros termos
da PG ( 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; ... ) ?
01) 14
02) 15
03) 16
04) 17
05) 18
RESOLUÇÃO:
A soma dos termos de uma P.G. finita pode ser calculada pela relação: S n =
Numa P.A., S n =
a 1 (q n − 1)
3(28 − 1)
, logo, S8 =
= 765.
q −1
2 −1
(a 1 + a n )n
(29 + 29 + (n − 1).2)n = 765 ⇒ (29 + n − 1)n = 765 ⇒ (28 + n )n = 765 ⇒ n = 17.
⇒
2
2
RESPOSTA: Alternativa 04.
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QUESTÃO 03
(UEFS) Sobre a função f:R→R representada no gráfico, á correto afirmar:
01)
02)
03)
04)
05)
f é injetora e seu conjunto imagem é [0, 2].
f é sobrejetora e o número 3 pertence ao conjunto-imagem.
f(–2)<0.
f admite função inversa.
f não é sobrejetora e o número 1 é imagem de apenas dois números reais.
RESOLUÇÃO:
01) FALSA.
Função injetora é a função, tal que, para todo x ≠ x’,
f(x) ≠ f(x’).
Na figura ao lado conclui-se que na função dada, a dois valores diferentes
de x, a e –a, corresponde um mesmo valor de y.
02) FALSA.
Uma função é sobrejetora quando o seu conjunto imagem é igual ao seu
contradomínio.
A função f:R→R representada no gráfico ao lado tem como imagem o
intervalo ]0, 2] ≠ R que é o seu contradomínio.
03) FALSA.
Sendo o conjunto imagem, o intervalo ]0, 2], então é falsa a afirmação f(–2)<0.
04) FALSA.
Como a função estudada não é injetora nem sobrejetora, não possui inversa.
05) VERDADEIRA.
Já foi visto que a função não é sobrejetora, e na figura ao lado conclui-se
que 1 é imagem de apenas dois valores diferentes de x.
RESPOSTA: Alternativa 05.
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2
QUESTÃO 04
Uma mistura com 560 litros é constituída de álcool (20%) e gasolina(80%). Deseja-se acrescentar x litros de álcool a esta mistura
para que a participação do álcool passe para 30%. Calcule x.
01) 40
02) 56
03) 70
04) 80
05) 100
RESOLUÇÃO:
A mistura tem 0,2 × 560 litros de álcool, isto é, 112 litros.
Acrescentando-se x litros de álcool, a proporção de álcool na nova mistura será:
112 + x
3
=
⇒ 10x + 1120 = 3x + 1680 ⇒ 7x = 560 ⇒ x = 80 .
560 + x 10
RESPOSTA: Alternativa 04.
QUESTÃO 05
(UFES) O coeficiente de eficiência E(x) de um creme protetor é dado por:
E ( x) = 1 −
1
, sendo x o fator de proteção solar (FPS) do creme. Lílian quer um creme protetor cujo coeficiente de eficiência
x
seja 12% maior do que o de um creme com FPS igual a 8. Ela deve, portanto, adquirir um creme protetor com FPS igual a:
01) 30
02) 35
03) 40
04) 45
05) 50
RESOLUÇÃO:
E (8) = 1 −
Lílian
1 7
= .
8 8
quer
E (x) = 1,12 ×
um
creme
protetor
cujo
coeficiente
de
eficiência
12%
7 7,84
1
=
= 0,98 ⇒ 1 − = 0,98 ⇒ x − 1 = 0,98x ⇒ 0,02x = 1 ⇒ x = 50.
8
8
x
RESPOSTA: Alternativa 05.
QUESTÃO 06 (UFBA-2008/Adaptada)
A figura representa a circunferência com centro no ponto O e
diâmetro AC medindo 168cm.
Sabendo que o ângulo BÔC mede 60º, determine a medida, em
centímetros, do raio da circunferência de centro P ∈ AC que
tangencia o segmento AB e passa pelo ponto O.
01) 14
seja
02) 21
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03) 28
04) 35
05) 42
3
maior
do
que
E (8) =
7
,
8
logo,
RESOLUÇÃO:
AC = 2R = 168 cm ⇒ R = 84cm.
Sendo
um arco de 60°, BÂC mede 30°.
Considerando T o ponto de tangência entre a corda AB e a circunferência de centro
em P, PT ⊥ AB .
No triângulo retângulo ATP, tem-se:
r
1
r
sen30° =
⇒ =
⇒ 2r = 84 − r ⇒ r = 28 .
84 − r
2 84 − r
Finalmente r = 28cm
RESPOSTA: Alternativa 03.
QUESTÃO 07 (UFPR)
Considere as seguintes afirmativas a respeito da função f : D → R definida por f ( x ) =
I.
x
:
1− x
O ponto x = 1 não pertence ao conjunto D.
1
1
f  =
 x  x −1
III. f ( x ) ≠ −1 , qualquer que seja x ∈ R
x +1
IV. A função inversa de f é f −1 ( x ) =
x
II.
Assinale a alternativa correta.
01) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
02) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
03) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
04) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
05) Todas as afirmativas são verdadeiras.
RESOLUÇÃO:
I. VERDADEIRA.
O conjunto D, domínio da função f(x) =
x
, é o conjunto dos valores reais de x, tais que,
1− x
x – 1 ≠ 0, isto é, x ≠ 1
II. VERDADEIRA.
1
1
1
1
x
f  =
= x =
.
1
x
−
1
x
x
−1
  1−
x
x
III. VERDADEIRA.
x
= −1 ⇒ x − 1 = x ⇒ 0x = 1(sem solução) , logo f ( x ) ≠ −1 , qualquer que seja
1− x
IV. FALSA.
Para determinar a função inversa de f ( x ) =
x − xy = y ⇒ y + xy = x ⇒ y =
y
x
, faça-se x =
⇒
1− x
1− y
x
x
⇒ f −1 (x) =
.
x +1
x +1
RESPOSTA: Alternativa 01.
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4
x∈R .
QUESTÃO 08
Na figura ao lado, ABCD é um quadrado de lado 10 e os arcos AD, AB, BC
e CD são semi-circunferências.
Determine a área da região hachurada.
Obs.: Use π = 3,14.
01)
02)
03)
04)
05)
39 u.a.
43 u.a.
57 u.a.
61 u.a.
65 u.a.
RESOLUÇÃO:
de raio EB = 5cm, mede 90°.
Na figura ao lado, o arco
A área do segmento circular determinado por esse arco e pela corda BO tem como
área:
π × 52
3,14 × 25 5 × 5 78,5 − 50 28,5
− S BEO =
−
=
=
.
4
4
2
4
4
Então a área da região hachurada é:
28,5
8×
= 2 × 28,5 = 57 .
4
S=
RESPOSTA: Alternativa 03.
QUESTÃO 09(FGV-Modificada)
Sorteados ao acaso 3 dentre os 9 pontos marcados no plano cartesiano indicado na
figura, a probabilidade de que eles não estejam (os três) sobre uma mesma reta é
20
21
6
04)
7
01)
19
21
5
05)
7
02)
03)
13
14
RESOLUÇÃO:
9×8× 7
Existem C 9,3 =
= 84 maneiras diferentes de combinar os 9 pontos 3 a 3.
3 × 2 ×1
Em 8 dessas 84 maneiras, os 3 pontos estão sobre uma mesma reta, conforme figura
ao lado.
Logo a probabilidade de que eles não estejam (os três) sobre uma mesma reta é:
84 − 8 76 19
=
=
.
84
84 21
RESPOSTA: Alternativa 02.
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5
QUESTÃO 10 (Fuvest-2010)
Na figura, os pontos A, B, C pertencem à circunferência de centro O e BC = a. A reta
OC é perpendicular ao segmento AB e o ângulo AÔB mede π/3 radianos. Então, a área
do triângulo ABC vale
a2
a2
a2
01)
02)
03)
4
2
8
2
3a
05) a 2
04)
4
RESOLUÇÃO:
Como AĈB é um ângulo inscrito cujos lados determinam no círculo um arco AB que
mede π/3 radianos, então a sua medida é π/6 radianos, e a área do triângulo isósceles
ABC é:
1
1 1
a2
π
S = × sen  × a × a = × × a 2 =
2
2 2
4
6
RESPOSTA: Alternativa 02.
QUESTÃO 11 (UNIOESTE)
x2
7,5
A equação
10
1
0
0
0
1
x − 1/10
5
2
= 0 possui duas raízes. A respeito destas raízes pode-se afirmar que
4
2
1
1
01) uma delas é nula.
02) sua soma é 1.
03) seu produto é 1.
04) sua soma é –1.
05) seu produto é –1.
RESOLUÇÃO:
x2
7,5
10
1
0
0
0
1
x − 1/10
x 2 x − 0,1
5
2
2
= 0 ⇒ 7,5 5
2 = 0 ⇒ 10 x 2 − 3 + 20 x + 5 − 8 x 2 − 15 x = 0 ⇒ 2 x 2 + 5 x + 2 = 0 ⇒ x'.x' ' = = 1 .
2
4
2
10 4
2
1
1
RESPOSTA: Alternativa 03.
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6
QUESTÃO 12 (Fuvest-2010)
Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o
ponto D pertence ao cateto AB , o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence
à hipotenusa AC , de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então
a área do paralelogramo DECF vale
63
12
58
01)
02)
03)
5
25
25
56
11
04)
05)
25
5
RESOLUÇÃO:
Sendo o triângulo ABC retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4, então a
sua hipotenusa AC mede 5.
Como DE = 1,5 e DE // BC , então FC = 1,5 e AF = 3,5.
3× 4
= 6u.a.
A área do triângulo ABC é igual a S =
2
Os triângulos retângulos ABC, ADF e DBE são semelhantes, então vale as
relações:
S ADF  AF 
=

SABC  AC 
2
2
e
SDBF  DE 
=
 ⇒
SABC  AC 
2
SADF  3,5 
73,5 147
=
=
 ⇒ SADF =
6
5
25
50


2
SDBF  1,5 
13,5 27
=
=
 ⇒ S DBF =
6
5
25
50


 147 27  300 − 174 126 63
Logo a área de DECF é: 6 − 
+
=
=
u.a.
=
50
50 25
 50 50 
e
RESPOSTA: Alternativa 01.
QUESTÃO 13 (UEPB)
2x + y = 4
Em relação ao sistema linear nas variáveis x, y 
, podemos afirmar que a única alternativa correta é:
px + (p − 2)y = 1 + p
01) O sistema admite solução qualquer que seja “p” real
02) Se p = 4, o sistema tem infinitas soluções
03) O sistema não admite solução para p ≠ 4
04) Se p = 4, o sistema não tem solução
05) O sistema admite solução única se p = 4
RESOLUÇÃO:
2
1
2x + y = 4
⇒∆=
⇒ ∆ = 2p − 4 − p ⇒ ∆ = p − 4 .

p p−2
px + (p − 2)y = 1 + p
∆x =
4
1
⇒ ∆ x = 4p − 8 − p − 1 ⇒ ∆ x = 3p − 9 .
1+ p p − 2
Se p = 4, ∆ = 0 e ∆x = 3 ⇒ o sistema não tem solução.
RESPOSTA: Alternativa 04.
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7
QUESTÃO 14
No triângulo retângulo da figura ao lado, T é o ponto médio do lado AB. Sabendo que o
triângulo PQT é equilátero de lado x e que AB = 4, então calcule x2 – 2 .
01) 01
02) 02
03) 03
04) 04
05) 05
RESOLUÇÃO:
Na figura ao lado, o ângulo AT̂Q é externo ao triângulo BQT, logo,
60° + β = α + 60° ⇒ α = β.
Aplicando
a
Lei
dos
Senos
ao
triângulo
BQT:
2
x
2
2x
3
=
⇒
=
⇒ senβ =
= senα (I)
senβ sen60°
senβ
x
3
No triângulo retângulo PAT, PA = x 2 − 4 e senα =
De (I) e (II):
x2 − 4
(II)
x
x2 − 4
3
=
⇒ x2 − 4 = 3 ⇒ x2 − 4 = 3 ⇒ x2 = 7 ⇒ x2 − 2 = 5 .
x
x
RESPOSTA: Alternativa 05.
QUESTÃO 15
1 4 x 0
1



 − 1 8 y − 1
 −1
Sejam as matrizes A = 
, B=

1 24 z 1
1



 2 16 t 2 
2



1 0 x

2 −1 y 
com x, y, z e t números reais. Sabendo que
6 1 z

4 2 t 
det A = – 20, então det (2B–1) é um número N tal que:
01) N < –5
02) –5 < N < –1
03) –1 < N < 1
04) 1 < N < 5
05) N > 5
RESOLUÇÃO:
1
4
x
−1
8
y −1
1
24
z
1
2
16
t
2
1

−1
Como B = 
1

 2

1
det A =
0
1
⇒4
1
x
0
−1 2
y −1
1
6
z
1
2
4
t
2
1
= −20 ⇒
1
x
0
−1 2
y −1
1
6
z
1
2
4
t
2
= −5
0 x

2 −1 y
1
1
⇒ det B = −(−5) ⇒ det B = 5 ⇒ det B −1 = ⇒ det(2 B −1 ) = 2 4 × = 3,2.
6 1 z
5
5


4 2 t
RESPOSTA: Alternativa 04.
12-35206(S)_1ªAval-Matem-3ªEM-U1-(prof)-20-03_nil
8