Instituto de Matemática - IM/UFRJ
Cálculo Diferencial e Integral I - MAC118
Respostas da segunda prova - 06/11/2013
Prova A
Questão 1: (1,5 pontos)
Faça um esboço de cada um dos gráficos a seguir.
(a) Com base no gráfico da função f1 , uma função polinomial do 3o grau, faça um esboço do gráfico
de f10 .
(b) A partir do gráfico da função f2 (uma semicircunferência) faça um esboço do gráfico de f20 .
(c) Considerando o gráfico da função f30 , faça um possível esboço da função f3 sabendo que é uma
função contínua e que seu gráfico passa pela origem, ou seja, f3 (0) = 0.
(a) Função f1
(c) Função f30
(b) Função f2
Questão 2: (2,5 pontos)
Calcule os limites:
s
s
√
x2 + 2
x2 + 2
x2 + 2
(a) lim √ 2
= lim
=
lim
x→+∞
x→+∞ 2x2 + 1
2x + 1 x→+∞ 2x2 + 1
e3x − 1
x→0
x3
(b) lim
1 − x + ln x
x→1 1 + cos πx
(c) lim
L0 Hôspital
=
L0 Hôspital
=
L0 Hôspital
=
s
2x
lim
=
x→+∞ 4x
s
1
1
=√
2
2
3e3x
= +∞
x→0 3x2
lim
−1 + 1/x
x→1 −π sen(πx)
lim
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L0 Hôspital
=
−1/x2
1
=− 2
2
x→1 −π cos(πx)
π
lim
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Respostas da segunda prova - 06/11/2013(continuação)
5
(d) lim (cos 3x)5/x = lim e x ln(cos 3x) = ∗
x→0
x→0
5 ln(cos 3x)
lim
x→0
x
(e) lim
x→+∞
x
x+1
x
= lim
x→+∞
x+1
x
3x
− sen
cos 3x
=
lim =
=0
x→0
1
∗ = e0 = 1
L0 Hôspital
−x
= lim
x→+∞
x+1
x
x −1
= lim
x→+∞
1+
1
x
x −1
= e−1 =
1
e
Questão 3: (2 pontos)
(a) Mostre que uma função polinomial de grau ímpar e grau maior ou igual a 3 possui pelo menos
um ponto de inflexão.
Seja n o grau de uma função polinomial f tal que n ≥ 3 e n ímpar. Logo f 00 será uma função
polinomial de grau n − 2. Como n é ímpar, n − 2 também é ímpar. Portanto, f 00 admite, pelo
menos, 1 raiz real. Vamos chamá-la de x0 , ou seja, temos que f 00 (x0 ) = 0, então x0 é ponto de
inflexão de f .
(b) Quantos pontos de inflexão, no máximo, uma função polinomial de grau ímpar e grau maior ou
igual a 3 admite? Prove.
Como f 00 é uma função polinomial de grau n − 2, então ela admite no máximo n − 2 raízes reais.
Portanto, f 0 admite no máximo n − 2 pontos de inflexão.
Questão 4: (4 pontos)
Considere a função f : IR∗ → IR definida por f (x) = x2 e2/x e determine cada item a seguir:
(a) Determine suas assíntotas verticais ou horizontais, caso existam.
Assíntotas horizontais: não existem pois:
lim x2 e2/x = +∞
x→+∞
lim x2 e2/x = +∞
x→−∞
Assíntota vertical: x = 0, pois
lim x2 e2/x = +∞
x→0+
(b) Os intervalos onde a função f cresce e onde decresce.
f 0 (x) = 2(x − 1)e2/x
Crescente: ] 32 , 0[
Decrescente: ] − ∞, 0[ e ]0, 1[
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Respostas da segunda prova - 06/11/2013(continuação)
(c) Os pontos de máximo e de mínimo locais, caso existam.
f 0 (x) = 0 ⇒ 2(x − 1)e2/x = 0 ⇒ (x − 1) = 0 ⇒ x = 1
Ou seja, x = 1 é ponto de mínimo local.
(d) Os intervalos onde o gráfico da função f é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
2(x2 − 2x + 2)e2/x
f (x) =
x2
Concavidade para cima: ] − ∞, 0[ e ]0, ∞[
Concavidade para baixo: 00
(e) Os pontos de inflexão, caso existam.
Não existem pontos de inflexão, pois f 00 (x) 6= 0, para todo x ∈ IR*
(f) Determine os valores de máximo e mínimo absolutos, caso existam.
Não existe ponto de máximo absoluto, pois:
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→−∞
Por outro lado, não existe ponto de mínimo absoluto, pois f (1) > 0 (x = 1 é mínimo local) e
lim f (x) = 0
x→0−
Porém, 0 não pertence ao domínio da função.
(g) Utilizando as informações anteriores, faça um esboço do gráfico da função.
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Respostas da segunda prova - 06/11/2013(continuação)
Questão 5: (1 ponto)
Um farol está localizado em uma ilha, e a distância entre ele e o ponto mais próximo P em uma
praia reta do continente é de 3 km. Sua luz faz quatro revoluções por minuto. Quão rápido estará se
movendo o feixe de luz ao longo da praia quando ele estiver a 3 km de P ? Considere, se necessário,
π = 3.
Seja t o tempo, como o ângulo θ faz quatro revoluções por minuto, então:
dθ
= 8π ≈ 24(rad/min).
dt
Seja x seja a distância do ponto de luz na praia em relação ao ponto P , então tg θ = x3 .
Logo, x = 3 tg θ e, portanto:
dx
d(3 tg θ)
d(tg θ)
=
=3
dt
dt
dt
regra do quociente
=
Quando x = 3, então θ =
Logo:
π
4
regra da cadeia
=
72
d tg θ dθ
d
3
=3
dθ dt
dθ
sen θ
cos θ
!
· 24 =
72
cos2 θ + sen2 θ
=
.
2
cos θ
cos2 θ
e, portanto, cos π4 =
√
2
.
2
dx
72
72
= √ 2 =
= 144 (km/min).
dt
2/4
2/2
Ou ainda:
dx
144
=
(km/min) = 2, 4 (km/min).
dt
60
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Boa prova!