Elementos de Cálculo I - Notas de aula 4
Prof Carlos Alberto Santana Soares
Antes de iniciarmos o estudo de parábolas, vejamos alguns problemas cujas soluções, que
já podemos obter, nos ajudarão no futuro.
Problema 1 Qual o ponto sobre a reta 𝑙 de equação 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 mais próximo do ponto
(3, 1)?
Observe a representação abaixo.
𝑦
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𝐹 𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎4.1
......
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
∙
2
3
4
𝑥.....
5
−2
−3
−4
É simples verificar que o ponto procurado será obtido via interseção da reta 𝑙 com a reta 𝑠
que passa por (3, 1) e é perpendicular à reta 𝑙. Determinemos tal interseção.
Primeiro Passo: Determinação da reta 𝑠 perpendicular a reta 𝑙 e que passa por (3, 1).
O coeficiente angular da reta 𝑙 é igual a 1 e portanto a reta procurada tem equação 𝑦 − 1 =
−1(𝑥 − 3) ou ainda −𝑥 − 𝑦 + 4 = 0.
Segundo Passo: Determinação do ponto de interseção.
Para determinar tal interseção devemos resolver o sistema formado pela equação das duas
retas, isto é, devemos resolver o sistema
{
𝑥−𝑦+3
= 0
−𝑥 − 𝑦 + 4 = 0
É fácil determinar a solução 𝑥 = 0, 5 e 𝑦 = 3, 5. Logo o ponto mais próximo de (3, 1) que
está na reta 𝑙 é o ponto (1/2, 7/2).
Problema 2 Qual a distância do ponto (3, 1) à reta 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0?
Observe na figura a abaixo a distância 𝑑 que queremos determinar.
1
𝑦
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𝐹 𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎4.2
.....
4
3
𝑑
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
𝑥.....
5
−2
−3
−4
É claro que devemos simplesmente calcular a distância entre os pontos (3, 1) e (1/2, 7/2)
e, portanto, teremos
√
√
√
√
5
5
2
𝑑 = (3 − 1/2)2 + (1 − 7/2)2 = (5/2)2 + (−5/2)2 = 25/2 = √ =
.
2
2
Problema 3 No sistema de eixos abaixo está representada a reta de equação 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0.
𝑦
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𝐹 𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎4.3
......
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
𝑥......
5
−2
−3
−4
Assinale neste sistema de eixos o conjunto dos pontos (𝑥, 𝑦) tais que 𝑥 − 𝑦 + 3 > 0
Para resolvermos tal problema é bom lembrarmos que dada uma reta no plano, ela o dividirá
em dois semi-planos. Se a reta tem equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, é claro que os pontos (𝑥0 , 𝑦0 )
que estão sobre ela são tais que 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 = 0. Portanto, um semi-plano corresponderá ao
conjuntos dos pontos (𝑥0 , 𝑦0 ) tais que 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 > 0 e o outro semi-plano corresponderá ao
conjunto dos pontos (𝑥0 , 𝑦0 ) tais que 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 < 0. Como decidir qual? Basta escolhermos
um ponto qualquer e verificarmos onde ele está. Na medida do possı́vel, escolha o ponto (0, 0)
pois certamente facilitará os cálculos!!
2
No caso em estudo, verificamos que se substituimos (0, 0) na equação percebemos que (0, 0)
pertencerá ao semi-plano dado por 𝑥 − 𝑦 + 3 > 0, já que 0 + 0 + 3 > 0. Logo teremos a solução
na figura abaixo.
𝑦
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𝐹 𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎4.4
.....
4
3
2
𝑥−𝑦+3>0
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
𝑥.....
5
−2
−3
−4
Bem entendido!! Sobre a reta temos o conjunto dos pontos (𝑥, 𝑦) tais que 𝑥 − 𝑦 + 3 − 0. À
esquerda temos o conjunto dos pontos (𝑥, 𝑦) tais que 𝑥 − 𝑦 + 3 < 0 e à direita temos o conjunto
dos pontos (𝑥, 𝑦) tais que 𝑥 − 𝑦 + 3 > 0 (solução do problema colocado).
Observação 4 Muito importante! Sejam uma reta 𝑙 de equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 e
(𝑥0 , 𝑦0 ), (𝑥1 , 𝑦1 ) dois pontos fora de 𝑙. Temos:
1) Se (𝑥0 , 𝑦0 ) e (𝑥1 , 𝑦1 ) estão em semi-planos opostos em relação à reta 𝑙 uma, e somente
uma, das alternativas a seguir é verdadeira: 1.1) 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 > 0 e 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐 < 0 ou 1.2)
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 < 0 e 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐 > 0
2) Se (𝑥0 , 𝑦0 ) e (𝑥1 , 𝑦1 ) estão no mesmo semi-plano em relação à reta 𝑙 uma, e somente
uma, das alternativas a seguir é verdadeira: 2.1) 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 > 0 e 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐 > 0 ou 2.2)
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 < 0 e 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐 < 0
Queremos resolver o problema 1 acima, no caso geral. Para tanto recordemos a noção de
módulo de um número real.
Definição 5 Seja 𝑥 um número real. O módulo de 𝑥, anotado ∣𝑥∣ será definido por
{
𝑥, se 𝑥 ≥ 0
∣𝑥∣ =
−𝑥, se 𝑥 < 0
É claro então que, por exemplo, ∣0∣ = 0, ∣ − 3∣ = 3, ∣3∣ = 3, ∣ − 𝜋∣ = 𝜋.
Observe que olhando na reta real, o módulo de um número 𝑥 é simplesmente s distância
entre 𝑥 e 0.
ATENÇÃO: É costume você sempre escrever que a raı́z quadrada de um úmero ao
quadrado é igual a este número, isto é, sempre escrever
√
𝑥2 = 𝑥.
3
Isto só é verdadeiro se o número 𝑥 é positivo ou nulo. Onserve o exemplo:
√
√
(−3)2 = 9 = 3
e não −3. O correto é escrever
√
𝑥2 = ∣𝑥∣
√
o que é verdadeiro independente do sinal de 𝑥. Acostume-se a usar que 𝑥2 = ∣𝑥∣. Outro
detalhe, a raı́z quadrada de um número√real positivo é sempre um
√ número positivo. Se você
tem o hábito de escrever, por exemplo, 9 = ±3, perca-o, pois 9 = 3. Note que é diferente
de quando quqeremos resolver a equação 𝑥2 − 9 = 0. Neste caso, estamos buscando todos
os
√
2
números 𝑥 tais que 𝑥 = 9. Neste √
caso, a solução será dada pela raı́z quadrada de 9 ( 9 = 3)
e√
menos√a raı́z quadrada de 9 (− 9 = −3). Ou seja, a solução
√ da equação será o conjunto
{ 9, − 9} = {3, −3, que comumente representamos por {± 9} = {±3}.
Nossa intenção agora é buscar as generalizações dos problemas 1 e 2.
Problema 6 Determinar o ponto sobre a reta 𝑙 de equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 mais próximo da
origem do sistema de coordenadas.
Tal como no problema 1 devemos buscar o ponto (𝑥0 , 𝑦0 ) mais próximo de (0, 0) e que esteja
sobre a reta 𝑙. Como fizemos anteriormente, determinemos a reta 𝑠 que passa por (0, 0) e é
perpenducular a reta 𝑙. Claramente a equação desta reta será 𝑦 = 𝑎𝑏 𝑥 ou ainda 𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 0.
Agora devemos resolver o sistema
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
𝑏𝑥 − 𝑎𝑦
= 0
Resolvendo o sistema, encontraremos 𝑥 =
−𝑐𝑎
𝑎2 +𝑏2
e𝑦=
−𝑐𝑏
.
𝑎2 +𝑏2
(RESOLVA!!!!!)
Logo, o ponto pertencente à reta 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 mais próximo da origem é o ponto
−𝑐𝑏
( 𝑎−𝑐𝑎
2 +𝑏2 , 𝑎2 +𝑏2 ).
Com este resultado podemos resolver o problema abaixo.
Problema 7 Qual a distância do ponto (0, 0) à reta 𝑙 de equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0?
Basta calcular a distância do ponto encontrado no problema anterior e o ponto (0, 0). Sendo
𝑑 a distância procurada teremos
√
√
√
√
−𝑐𝑎 2
−𝑐𝑏 2
𝑐2 (𝑎2 + 𝑏2 )
𝑐2
𝑐2
∣𝑐∣
√
𝑑= ( 2
)
+
(
)
=
=
=
=√
.
2
2
2
2
2
2
2
2
𝑎 +𝑏
𝑎 +𝑏
(𝑎 + 𝑏 )
𝑎 +𝑏
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
Nas próximas notas de aula estaremos resolvendo os problemas 1 e 2 na forma mais geral,
quais sejam:
Problema 8 Determinar o ponto sobre a reta 𝑙 de equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 mais próximo do
ponto (𝑥0 , 𝑦0 ).
Problema 9 Qual a distância do ponto (𝑥0 , 𝑦0 ) à reta 𝑙 de equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0?
4