FACULDADE IBMEC SÃO PAULO
Programa de Mestrado Profissional em Economia
Ricardo Figueiroa Cattaruzzi
ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS DO SKEW E DA
SUPERFÍCIE DE VOLATILIDADE DE DÓLAR/REAIS
São Paulo
2009
Ricardo Figueiroa Cattaruzzi
Análise de Componentes Principais do Skew e da
Superfície de Volatilidade de Dólar/Reais
Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado
Profissional em Economia da Faculdade Ibmec São
Paulo, como parte dos requisitos para a obtenção do
título de Mestre em Economia.
Área de concentração: Finanças e Macroeconomia
Aplicadas
Orientador: Prof. Dr. Antonio Zoratto Sanvicente –
Ibmec São Paulo
São Paulo
2009
Cattaruzzi, Ricardo Figueiroa
Análise de Componentes Principais do Skew e da
Superfície de Volatilidade de Dólar/Reais / Ricardo Figueiroa
Cattaruzzi; orientador Antonio Zoratto Sanvicente – São
Paulo: Ibmec São Paulo, 2009.
61 f.
Dissertação (Mestrado – Programa de Mestrado
Profissional em Economia. Área de concentração: Finanças
e Macroeconomia Aplicadas) – Faculdade Ibmec São Paulo.
1. Volatilidade 2. Superfície de Volatilidade 3. Análise
de Componentes Principais (PCA)
FOLHA DE APROVAÇÃO
Ricardo Figueiroa Cattaruzzi
Análise de Componentes Principais do Skew e da Superfície de Volatilidade de
Dólar/Reais
Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado
Profissional em Economia da Faculdade Ibmec São
Paulo, como parte dos requisitos para a obtenção do
título de Mestre em Economia.
Área de concentração: Finanças e Macroeconomia
Aplicadas
Aprovado em: 24/06/2009
Banca examinadora
Prof. Dr. Antonio Zoratto Sanvicente
Instituição: Ibmec São Paulo
Assinatura: ____________________
Prof. Dr. Marco Tulio Lyrio
Instituição: Ibmec São Paulo
Assinatura: ____________________
Prof. Dr. Diógenes Leiva Martin
Instituição: Universidade Mackenzie
Assinatura: ____________________
RESUMO
CATTARUZZI, Ricardo Figueiroa. Análise de Componentes Principais do Skew e
da Superfície de Volatilidade de Dólar/Reais. São Paulo, 2009. 61 f. Dissertação
(Mestrado) – Faculdade Ibmec São Paulo, São Paulo, 2009.
Este estudo tem como objetivo a aplicação da Análise de Componentes Principais
(PCA) ao Skew e à Superfície de Volatilidade de Dólar/Reais. A primeira abordagem
é a aplicação da PCA à variação diária do diferencial de volatilidade implícita entre
determinado preço de exercício e a volatilidade no dinheiro em cada prazo, com
base na proposta de Alexander (2000). A segunda abordagem é a aplicação da PCA
à variação diária da volatilidade em função de delta em cada prazo, enquanto que a
terceira abordagem é a aplicação da PCA à variação diária da superfície de
volatilidade (volatilidade em função de delta e prazo de vencimento), baseada em
Kamal e Derman (1997). Em todas as abordagens é verificada a relação entre o
coeficiente de variação diária de cada componente e a variação diária do preço do
ativo-objeto através de uma regressão linear. Nas duas primeiras análises, os
componentes encontrados são responsáveis por nível, inclinação e convexidade,
enquanto que na última aplicação os componentes correspondem a nível, estrutura
de volatilidade no tempo e estrutura de volatilidade no delta. Em todos os casos, o
coeficiente diário do primeiro componente apresenta forte relação com a variação
diária do preço do ativo-objeto, enquanto os outros componentes não apresentam
relação clara.
Palavras-Chave: Análise de Componentes Principais (PCA); Volatilidade; Superfície
de Volatilidade; Skew.
ABSTRACT
CATTARUZZI, Ricardo Figueiroa. Principal Component Analysis of Volatility
Skew and Volatility Surface of USD/BRL. São Paulo, 2009. 61 f. Dissertation
(Masters) – Faculdade Ibmec São Paulo, São Paulo, 2009.
This study is concerned with the application of Principal Components Analysis (PCA)
to the Skew and Surface Volatility of the USD/BRL rate. The first approach is the
application of PCA to the daily variation of the differential between the implied
volatility given the exercise price and the volatility at the money in each period, based
on Alexander (2000). The second approach is the application of PCA to the daily
variation in volatility as a function of delta in each period, while the third approach is
the application of PCA to the daily variation of the volatility surface (volatility as a
function of both delta and time to maturity), based on Kamal and Derman (1997). In
all these approaches, the relationship between the coefficient of daily variation of
each component and the asset’s daily variation is verified with the aid of a linear
regression model. In the first two analyses, the components correspond to level,
slope and convexity, while in the last application the components are responsible for
the level, time structure of volatility and delta structure of volatility. In all cases, the
daily coefficient for the first component exhibits a strong relationship with the daily
variation in the underlying asset price, whereas for the other components there is no
clear relationship.
Keywords: Principal Component Analysis (PCA); Volatility; Volatility Surface; Skew.
SUMÁRIO
1. Introdução e Objetivo............................................................................... 1 2. Revisão da Literatura............................................................................... 3 2.1. Apreçamento de opções ............................................................................................. 3 2.2. Smile de Volatilidade ................................................................................................... 6 2.3. Estratégias com opções ............................................................................................. 11 2.4. Análise de Componentes Principais (PCA) ................................................................ 11 2.5. Aplicação da PCA a finanças ...................................................................................... 13 3. Metodologia ........................................................................................... 20 3.1. Tratamento dos dados .............................................................................................. 20 3.2. Obtenção da volatilidade para determinados preços de exercício ........................... 22 3.3. Aplicação da PCA à variação diária do diferencial de volatilidade entre determinados preços de exercício e a volatilidade no dinheiro (ATMF) .................................................................. 23 3.4. Aplicação da PCA à variação diária da volatilidade em função do delta para determinado prazo ............................................................................................................................ 23 3.5. Aplicação da PCA à variação diária da superfície de volatilidade ............................. 24 3.6. Análise da relação do coeficiente diário de cada componente em relação à variação do ativo‐objeto .................................................................................................................................. 25 4. Dados .................................................................................................... 26 5. Resultados ............................................................................................. 33 5.1. Resultados da aplicação da PCA à variação diária do diferencial de volatilidade entre determinados preços de exercício e a volatilidade no dinheiro (ATMF) .......................................... 33 5.2. Resultados da aplicação da PCA à variação diária da volatilidade em função do delta para determinado prazo ................................................................................................................... 43 5.3. Resultados da aplicação da PCA à variação diária da superfície de volatilidade ...... 51 5.4. Comparação entre as diferentes aplicações da PCA ................................................. 57 6. Conclusões ............................................................................................ 58 7. Bibliografia ............................................................................................. 60 LISTA DE FIGURAS Figura 1. Árvore de Black e Scholes para diferentes níveis de preço do ativoobjeto e de preço de exercício supondo o modelo sticky-strike .................................. 8 Figura 2. Árvore de Black e Scholes para diferentes níveis de preço do ativoobjeto e de preço de exercício supondo o modelo sticky-delta ................................... 9 Figura 3. Exemplo de cálculo da volatilidade local ......................................... 10 Figura 4. Superfície de volatilidade ................................................................ 24 Figura 5. Volatilidade delta 50 interpolada para 21 dias úteis x nível do ativoobjeto ........................................................................................................................ 27 Figura 6. Volatilidade implícita 21 dias úteis x volatilidade histórica ............... 27 Figura 7. Volatilidades de 21 e 63 dias úteis – delta 50.................................. 28 Figura 8. Volatilidades de 21 e 126 dias úteis – delta 50................................ 28 Figura 9. Skew de volatilidade ........................................................................ 29 Figura 10. Risk reversal 21 dias x nível do ativo-objeto.................................. 30 Figura 11. Risk reversal - 21 dias x 126 dias .................................................. 30 Figura 12. Superfície de volatilidade .............................................................. 31 Figura 13. Volatilidade no dinheiro e de diferentes preços de exercício para o
prazo de 63 dias ........................................................................................................ 32 Figura 14. Diferencial da volatilidade no dinheiro e a volatilidade de diferentes
preços de exercício para o prazo de 63 dias ............................................................. 32 Figura 15. Carga de cada componente ao longo dos preços de exercício para
o prazo de 21 dias ..................................................................................................... 35 Figura 16. Carga de cada componente ao longo dos preços de exercício para
o prazo de 42 dias ..................................................................................................... 35 Figura 17. Carga de cada componente ao longo dos preços de exercício para
o prazo de 63 dias ..................................................................................................... 36 Figura 18. Carga de cada componente ao longo dos preços de exercício para
o prazo de 126 dias ................................................................................................... 36 Figura 19. Carga de cada componente ao longo dos preços de exercício para
o prazo de 189 dias ................................................................................................... 37 Figura 20. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo
de 21 dias da PCA por preços de exercício .............................................................. 40 Figura 21. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo
de 42 dias da PCA por preços de exercício .............................................................. 40 Figura 22. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo
de 63 dias da PCA por preços de exercício .............................................................. 41 Figura 23. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo
de 126 dias da PCA por preços de exercício ............................................................ 41 Figura 24. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo
de 189 dias da PCA por preços de exercício ............................................................ 42 Figura 25. Carga de cada componente ao longo do delta para o prazo de 21
dias ............................................................................................................................ 44 Figura 26. Carga de cada componente ao longo do delta para o prazo de 42
dias ............................................................................................................................ 45 Figura 27. Carga de cada componente ao longo do delta para o prazo de 63
dias ............................................................................................................................ 45 Figura 28. Carga de cada componente ao longo do delta para o prazo de 126
dias ............................................................................................................................ 46 Figura 29. Carga de cada componente ao longo do delta para o prazo de 189
dias ............................................................................................................................ 46 Figura 30. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo
de 21 dias da PCA por delta...................................................................................... 48 Figura 31. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo
de 42 dias da PCA por delta...................................................................................... 49 Figura 32. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo
de 63 dias da PCA por delta...................................................................................... 49 Figura 33. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo
de 126 dias da PCA por delta.................................................................................... 50 Figura 34. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo
de 189 dias da PCA por delta.................................................................................... 50 Figura 35. Carga do primeiro componente da superfície de volatilidade ........ 52 Figura 36. Carga do segundo componente da superfície de volatilidade ....... 53 Figura 37. Carga do terceiro componente da superfície de volatilidade ......... 54 Figura 38. Carga do quarto componente da superfície de volatilidade ........... 54 Figura 39. Carga do quinto componente da superfície de volatilidade ........... 55 Figura 40. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para a PCA
para superfície de volatilidade ................................................................................... 56 1
1. INTRODUÇÃO E OBJETIVO
No mercado de opções de câmbio, a abordagem largamente utilizada pelos
participantes do mercado para fins de apreçamento é a partir da fórmula BlackScholes e de uma superfície de volatilidade (volatilidade em função de delta e prazo
de vencimento).
O objetivo deste trabalho é identificar o comportamento das variações da
superfície de volatilidade para opções de câmbio (US$/R$), assim como analisar a
relação das variações da volatilidade com a variação do preço do ativo-objeto.
Há diferentes formas de variação da superfície de volatilidade. O nível da
volatilidade é a principal fonte de variação. No entanto, algumas estratégias
formadas através de opções compradas e/ou vendidas com diferentes preços de
exercício se tornaram padrão de negociação no mercado de opções de câmbio.
Desta maneira, além do nível da volatilidade, também está sendo negociado o
diferencial da volatilidade de determinado preço de exercício em relação a outro
preço de exercício, ou seja, o diferencial de volatilidade entre diferentes pontos da
superfície de volatilidade.
Este conhecimento pode ser aplicado em simulações de portfólios de opções
com o intuito de identificar os riscos existentes e/ou com o intuito de otimização,
dado que as movimentações relativas entre pontos da superfície de volatilidade
podem gerar oscilações de resultados em portfólios vega-neutros. Para o caso de
produtos exóticos, simulações numéricas são essenciais para mapear os riscos,
devido à maior complexidade destes produtos. Além disso, este modelo pode auxiliar
na atualização de superfícies de volatilidade durante o pregão (intraday) de acordo
com oscilações de mercado.
Para este objetivo, a técnica utilizada é a Análise de Componentes Principais
(PCA). A PCA é um método estatístico utilizado para analisar dados multivariados.
A partir dos dados originais, que são correlacionados, tentamos obter um novo
conjunto de variáveis não correlacionadas. Este novo conjunto de variáveis é
formado pelos componentes principais, e o intuito é verificar se há um pequeno
número de componentes principais que sejam capazes de explicar uma proporção
elevada da variação do conjunto original de dados.
2
Verificar a sensibilidade de um portfólio de opções a cada um dos
componentes permite obter informações sobre a exposição a diferentes formas de
variação da superfície de volatilidade. O componente referente à estrutura temporal
de volatilidade, por exemplo, permite identificar o nível de exposição de um portfólio
a variações de diferentes magnitudes nas volatilidades de curto e longo prazo.
3
2. REVISÃO DA LITERATURA
2.1. Apreçamento de opções
A fórmula de apreçamento de opções desenvolvida por Black e Scholes
(1973) é utilizada no cálculo do valor de opções européias de compra ou de venda
de ações que não pagam dividendos e é conhecida no mercado financeiro como
“fórmula Black-Scholes”. A fórmula supõe que o preço do ativo em questão segue
um movimento browniano geométrico com volatilidade constante.
(1)
(2)
(3)
2
√
√
(4)
Onde:
c: valor da opção européia de compra;
p: valor da opção européia de venda;
S: preço do ativo-objeto;
K: preço de exercício;
r: taxa de juros livre de risco (com capitalização contínua);
t: tempo em anos até o vencimento da opção;
σ: volatilidade do ativo-objeto;
N(dj): probabilidade acumulada de dj com distribuição normal padronizada.
Merton (1973) generalizou a fórmula de apreçamento acima para permitir a
precificação de opções européias de ações ou índices de ações que pagam uma
taxa de dividendo conhecida. No entanto, uma limitação desta fórmula é supor que
4
os dividendos são pagos continuamente. Para índices de ações, esta é uma
aproximação razoável. No entanto, para ações que pagam dividendos cerca de duas
vezes ao ano esta limitação se torna mais problemática. Além disso, outra
simplificação é supor que os dividendos são previamente conhecidos.
O modelo proposto por Merton é:
(5)
(6)
(7)
2
√
√
(8)
Onde:
q: dividendos (taxa em formato contínuo composto).
Garman e Kohlhagen (1983) adaptaram a fórmula desenvolvida por Merton
(1973) para apreçar opções européias de taxas de câmbio utilizando o termo q como
taxa livre de risco da moeda estrangeira. Esta fórmula se tornou o padrão de
mercado para a conversão de volatilidades negociadas em preços no mercado de
balcão de opções de moedas.
O delta de uma opção é a taxa de variação do preço da opção em relação ao
preço do ativo-objeto; ou seja, é a inclinação da curva que relaciona o preço da
opção ao preço do ativo-objeto. Portanto:
∆
Onde:
∆: delta da opção.
(9)
5
No caso de Garman (1983), o delta de uma opção européia de compra é:
∆
(10)
E no caso de uma opção européia de venda:
∆
1
∆
∆
(11)
(12)
O delta apresentado acima para o caso de opções européias de taxa de
câmbio representa a sensibilidade do preço da opção a variações do valor do spot,
ou seja, da taxa de câmbio no mercado à vista. No entanto, o objeto cotado nestas
opções é o valor do forward. Portanto, também é importante o conceito da
sensibilidade do preço da opção a variações do valor do forward, o qual é dado por:
(13)
Onde:
F: valor do forward (contrato a termo);
rf: taxa de juros livre de risco em moeda estrangeira (capitalizada continuamente).
As expressões a seguir indicam os valores de delta forward, delta forward de
uma opção de compra, delta forward de uma opção de venda e delta forward de
uma opção de venda expressa em função do delta forward de uma opção de
compra, respectivamente:
(14)
∆
∆
∆
(15)
1
(16)
6
∆
∆
1
(17)
Onde:
∆F: delta forward.
A partir deste ponto, nos referimos ao delta de uma opção em relação ao spot
como delta spot e ao delta de uma opção em relação ao forward como delta forward.
2.2. Smile de Volatilidade
Derman (1994) afirmou que os preços observados no mercado não são
coerentes com a suposição da teoria de Black e Scholes de que o preço do ativoobjeto evolui com volatilidade constante e independente do prazo de vencimento ou
do nível do valor do ativo-objeto. No entanto, o mercado em geral trabalha com a
fórmula Black-Scholes utilizando um valor de volatilidade que, aplicado à fórmula
Black-Scholes, resulta em um valor que reflita os preços observados no mercado.
Esta volatilidade é conhecida por volatilidade implícita. A assimetria de volatilidade
entre diferentes preços de exercício é conhecida por skew de volatilidade. Por sua
vez, a variação da volatilidade de acordo com o prazo de vencimento da opção é
conhecida como estrutura de volatilidade no tempo. O conjunto do skew de
volatilidade e da estrutura de volatilidade no tempo é denominado smile de
volatilidade. Derman (1994) propôs a construção de uma árvore implícita a partir dos
preços observados no mercado. Esta árvore precifica corretamente as opções que
têm preços observados no mercado, assim como permite precificar outros
derivativos complexos.
Outros autores também publicaram trabalhos com o intuito de utilizar o smile
de volatilidade observado no mercado para fazer o apreçamento de outros
derivativos. Dupire (1994) determinou um processo de difusão compatível com o
efeito do smile de volatilidade para permitir o apreçamento de opções americanas e
derivativos dependentes da trajetória do preço do ativo-objeto.
Derman (1999) realizou estudo sobre o comportamento do skew da
volatilidade do índice S&P 500 isolando distintos períodos nos quais um padrão de
7
comportamento da superfície de volatilidade parecia ser mantido. Os dados
utilizados apóiam a suposição de que o skew varia de maneira aproximadamente
linear. Em conseqüência, elaborou uma parametrização linear do skew através da
seguinte fórmula empírica:
,
=
(18)
-
,
Onde:
σK,t: volatilidade implícita da opção com preço de exercício K e prazo de vencimento t
quando o preço do ativo-objeto é
;
σATM,t: volatilidade implícita no dinheiro para o prazo de vencimento t;
S0: preço do ativo-objeto;
bt: parâmetro da inclinação do skew em pontos percentuais de volatilidade por ponto
de preço de exercício.
Três modelos são abordados. Cada um dos três modelos parte de uma
premissa na qual a volatilidade se mantém constante:
1 – Sticky-strike: a volatilidade implícita para cada preço de exercício não se altera
com uma variação do preço do ativo-objeto, ou seja:
, ,
=
,
-
(19)
Equivale a supor que a equação (18) se aplica a qualquer nível de preço do
ativo-objeto. O valor S0 está presente na fórmula apenas como nível de referência
para a volatilidade no dinheiro.
Na Figura 1, é possível observar o comportamento da árvore de Black e
Scholes para cada nível de preço de exercício em um caso em que o skew é
negativo (quanto menor o preço de exercício, maior a volatilidade). Cada linha
representa um determinado preço de exercício e cada coluna um determinado preço
do ativo-objeto. A árvore é a mesma em cada linha, apenas seu início é deslocado
de acordo com o preço corrente do ativo-objeto.
8
Preço do Ativo‐Objeto
100
Preço de Exercício
90
110
90
100
110
Figura 1. Árvore de Black e Scholes para diferentes níveis de
preço do ativo-objeto e de preço de exercício supondo o modelo stickystrike
Fonte: Elaboração do autor
2 – Sticky-delta: a volatilidade implícita permanece constante em relação ao delta da
opção, ou seja, de acordo com a relação entre K (preço de exercício) e S (preço do
ativo-objeto). A formulação inicial deste caso parte de uma regra de stickymoneyness, onde moneyness é a relação (K/S - 1), ou seja, a relação entre preço de
exercício e preço do ativo-objeto:
, ,
=
,
1
-
(20)
Para preços do ativo-objeto S e preços de exercício K próximos de S0,
podemos reescrever a equação acima e obter a regra de sticky-delta:
, ,
=
,
-
(21)
Na Figura 2, podemos observar o comportamento da árvore de Black e
Scholes para o caso sticky-delta. A árvore de volatilidade se mantém constante de
acordo com o moneyness. Por exemplo, para os casos em que o preço de exercício
é igual ao preço do ativo-objeto o valor do moneyness é o mesmo e temos, portanto,
a mesma árvore de volatilidade. Desta maneira, o comportamento da árvore de
9
volatilidade é constante na diagonal do quadro, conforme indicado na direção das
setas.
Preço do Ativo‐Objeto
100
Preço de Exercício
90
110
90
100
110
Figura 2. Árvore de Black e Scholes para diferentes níveis de
preço do ativo-objeto e de preço de exercício supondo o modelo stickydelta
Fonte: Elaboração do autor
3 – Sticky-implied-tree: é possível obter a volatilidade local para cada preço de
exercício supondo que a volatilidade utilizada no apreçamento corresponde à
volatilidade média para a região compreendida entre o preço atual do ativo-objeto e
o preço de exercício. A Figura 3 apresenta um exemplo do cálculo da volatilidade
local. Quando o ativo-objeto vale 100, a volatilidade implícita para o preço de
exercício de mesmo valor é 20% e, como esta é a volatilidade no dinheiro, a
volatilidade local para este preço de exercício também é 20%. Para este mesmo
preço de ativo-objeto, a volatilidade implícita para o preço de exercício 99 é 21%.
Desta forma, a volatilidade local para o preço de exercício 99 é 22%, pois a média
das volatilidades locais dos preços de exercício no dinheiro e 99 resultam na
volatilidade implícita do preço de exercício 99.
10
Ativo‐Objeto = 99
Ativo‐Objeto = 100
Preço de Exercício
Volatilidade Ativo‐Objeto Volatilidade Preço de Implícita
Exercício
Local
Volatilidade Implícita
100
20%
100
20%
99
22%
99
21%
99
22%
98
23%
98
22%
98
24%
97
24%
97
23%
97
26%
21% = (20% + 22%) * 0,5
Figura 3. Exemplo de cálculo da volatilidade local
Fonte: Elaboração do autor
De acordo com estes cálculos, a velocidade de aumento da volatilidade local
com variações de preço do ativo-objeto é duas vezes maior do que a de aumento da
volatilidade implícita com variações de nível do preço de exercício. A relação na qual
a volatilidade local se mantém constante é descrita na equação (22). Neste caso, a
volatilidade implícita para determinado preço de exercício decresce quando o preço
do ativo-objeto ou o preço de exercício se elevam.
, ,
=
,
-
(22)
A conclusão de Derman (1999) é a de que cada um dos modelos é mais
adequado a um determinado comportamento de mercado. O modelo sticky-strike é
adequado em mercados onde a oscilação de preço do ativo-objeto ocorre em
determinado intervalo, sem variação significativa na volatilidade realizada. Neste
caso é razoável manter a volatilidade implícita de cada opção. O modelo sticky-delta
é adequado em mercados com uma tendência definida para a variação do preço do
ativo-objeto, porém sem variação significativa na volatilidade realizada. A volatilidade
implícita da opção no dinheiro é mantida constante. O modelo sticky-implied-tree é
adequado em mercados onde há descontinuidades no preço do ativo-objeto e
grandes variações na volatilidade realizada.
11
2.3. Estratégias com opções
Algumas estratégias com opções são formadas através de posições
compradas e/ou vendidas com diferentes preços de exercício. No mercado de
opções de câmbio, algumas dessas estratégias se tornaram padrão de mercado.
De acordo com CME (2009), comprar um Risk Reversal consiste em comprar
uma opção de compra e vender uma opção de venda para o mesmo prazo de
vencimento e para o mesmo ativo-objeto. Um Butterfly Spread pode ser composto de
opções de compra ou opções de venda. Quando composto de opções de compra,
comprar um Butterfly Spread consiste em comprar uma opção de compra com um
determinado preço de exercício, vender duas opções de compra com um preço de
exercício superior ao primeiro e comprar uma opção de compra com um preço
exercício superior ao segundo preço de exercício.
É padrão no mercado de balcão de opções de cambio offshore a negociação
de risk reversal em que a opção de compra e a opção de venda possuem o mesmo
delta. Outro padrão encontrado é a negociação de butterfly spreads em que os
preços de exercício são definidos utilizando-se o preço de exercício intermediário
correspondente ao de uma opção no dinheiro, enquanto o preço de exercício
superior corresponde ao de uma opção de compra fora do dinheiro com determinado
delta e o preço de exercício inferior corresponde ao de uma opção de venda fora do
dinheiro com o mesmo delta.
Desta maneira, utilizaremos neste texto a expressão risk reversal para
expressar o diferencial de volatilidade implícita entre opções de compra e opções de
venda com o mesmo delta, enquanto o termo butterfly expressará o diferencial entre
a média das volatilidades das opções de compra e de venda com o mesmo delta e a
volatilidade no dinheiro.
2.4. Análise de Componentes Principais (PCA)
De acordo com Jollife (2002), o objetivo da Análise de Componentes
Principais (PCA) é reduzir a dimensionalidade de um conjunto de dados formado por
um grande número de variáveis inter-relacionadas, mantendo a maior quantidade
12
possível de informação do conjunto de dados original. Para atingir este objetivo é
feita a transformação dos dados originais em um novo conjunto de variáveis,
chamadas de componentes principais. Estas variáveis são não correlacionadas e
ordenadas de maneira que os primeiros componentes reflitam a maior parte da
variação presente nos dados originais.
O passo inicial para determinar os componentes principais de um vetor X
composto de p variáveis é buscar uma função linear
máxima variância, onde
,
de elementos de X com
,
é um vetor de p constantes
,…,
e o símbolo
,
significa transposto, de maneira que:
(23)
,
,
O passo seguinte é buscar uma função linear
correlacionada com
,
que seja não
e possua máxima variância, e assim por diante, de maneira
que no passo k seja encontrada uma função linear
,
variância, porém seja não correlacionada com
,
,
,
,…,
que tenha máxima
,
.
Até p componentes principais podem ser encontrados, mas espera-se que a
maior parte da variância possa ser explicada com um número de componentes
inferior a p.
Dada uma matriz de covariância Σ do vetor X, encontrar o vetor
maximiza
,
,
∑
requer impor a restrição
quadrados dos elementos de
atingido com um valor finito de
,
Para maximizar
,
1 (soma dos
é igual a 1), caso contrário o máximo não será
.
Σ
sujeito a
,
1 é utilizada a técnica dos
multiplicadores de Lagrange:
,
,
Σ
Onde:
: multiplicador de Lagrange.
Derivando em relação a
que
:
1
(24)
13
Σ
0
(25)
Ou ainda:
∑
(26)
0
Onde:
: matriz identidade com dimensões p x p.
Portanto,
é um autovalor de Σ e
é seu autovetor correspondente. Como a
quantidade a ser maximizada é dada pela equação (27),
é o autovetor
correspondente ao maior autovalor de Σ e assim por diante.
,
Σ
,
,
(27)
Desta maneira, a aplicação da PCA consiste em encontrar os autovalores e
os autovetores da matriz de covariância. Os autovetores representam os
componentes principais, enquanto seus autovalores correspondentes são a
informação da parcela da variância explicada.
2.5. Aplicação da PCA a finanças
A primeira aplicação da PCA a finanças foi feita por Litterman e Scheinkman
(1991), em que a técnica foi aplicada à estrutura temporal da taxa de juros dos
títulos norte-americanos. Os três primeiros componentes explicaram 96% da
variância: o primeiro componente representa o nível da taxa de juros, o segundo
componente representa a inclinação da curva de taxas de juros e o terceiro
componente a curvatura da estrutura de taxas de juros.
Alexander (2000) aplicou a análise de componentes principais ao estudo do
skew de volatilidade. A aplicação foi feita à variação diária do diferencial entre a
volatilidade implícita de determinados preços de exercício e a volatilidade “no
dinheiro” (ATM), ao invés da aplicação da PCA diretamente à variação da
14
volatilidade implícita para cada preço de exercício. Esta formulação é coerente com
os modelos propostos por Derman (1999) (sticky-strike, sticky-delta e sticky-impliedtree) e a autora alega que os dados são menos ruidosos.
Os resultados obtidos por Alexander para a análise de componentes
principais mostram que componentes de segunda e terceira ordem também são
significativos; portanto, quando há alterações no preço do ativo-objeto é coerente
supor que ocorrem movimentos não paralelos no skew, diferentemente da premissa
feita por Derman (1999), que considerava apenas movimentos paralelos ao supor a
parametrização linear. Os movimentos não-paralelos são mais significativos para os
prazos mais curtos e seu comportamento se altera de acordo com a situação do
mercado.
A PCA da variação diária do diferencial de volatilidade entre determinados
preços de exercício e a volatilidade no dinheiro para um determinado prazo é
baseada no modelo abaixo:
∆
,
,
,
(28)
Onde:
: volatilidade implícita do preço de exercício K;
: volatilidade implícita no dinheiro;
,
: carga fatorial do componente principal x para o preço de exercício K;
: coeficiente diário referente ao componente principal x.
A aplicação da PCA conforme o modelo acima permite obter a carga de cada
componente e o coeficiente diário referente a cada um dos componentes. A carga do
componente i é um vetor em que cada valor do vetor está associado à variação da
volatilidade de um preço de exercício:
,
,
,
,…,
,
Onde:
n: número de preços de exercício incluídos na análise;
(29)
15
Os componentes são ordenados de acordo com a parcela da variância que
explicam, desta maneira o primeiro componente é o componente que corresponde à
maior parcela de variação. Para compreender a que tipo de movimento cada
componente está associado é necessário observar o formato do vetor. Nos
resultados obtidos por Alexander, a carga do primeiro componente apresentou
valores similares associados a cada preço de exercício; portanto, este componente
está associado a movimentos paralelos na variação diária do diferencial de
volatilidade.
está associado a cada componente i. A variação diária
O coeficiente diário
da volatilidade para um determinado dia pode ser calculada através da soma do
efeito de cada um dos componentes. Para um determinado preço de exercício K1, o
cálculo é:
∆
,
,
,
(30)
O objetivo da PCA é reduzir a dimensionalidade; portanto, espera-se que com
apenas alguns componentes seja possível obter uma parcela significativa da
variação, ou seja, podemos reduzir o número de componentes incluídos no cálculo
da variação de volatilidade do preço de exercício K1:
∆
,
,
,
(31)
Supondo uma relação linear entre o coeficiente diário de cada um dos
componentes e a variação diária do ativo-objeto, o modelo linear abaixo é definido:
,
,
∆
,
Onde:
,
: coeficiente diário referente ao componente principal i no dia t;
,
: parâmetro referente ao componente principal i no dia t;
∆ : variação percentual diária do preço do ativo-objeto no dia t;
,
: processo independente identicamente distribuído.
(32)
16
O parâmetro
,
mostra a relação entre o coeficiente diário
obtido na
equação (28) e a variação diária do ativo-objeto para o dia t. O primeiro componente
obtido está associado a movimentos paralelos da variação diária do diferencial de
volatilidade. O parâmetro
associado a este componente apresentou valores
positivos durante todo o período, o que significa que o diferencial de volatilidade
entre determinados preços de exercício e a volatilidade no dinheiro se eleva
conforme o ativo-objeto apresenta variações diárias positivas. O resultado é
coerente, pois o ativo-objeto analisado por Alexander apresenta volatilidades
implícitas decrescentes em relação ao preço de exercício. Uma elevação no valor do
ativo-objeto reduzirá a volatilidade no dinheiro, aumentando o diferencial de
volatilidade entre determinado preço de exercício e a volatilidade no dinheiro.
Para capturar a dependência das variações da volatilidade no dinheiro em
relação às condições do mercado, é estimada a seguinte regressão:
∆
∆
,
(33)
Onde:
∆
,
: variação diária da volatilidade no dinheiro;
: parâmetro referente à variação do ativo-objeto;
: processo independente identicamente distribuído.
Finalmente, é possível estimar a volatilidade para cada preço de exercício a
partir dos componentes principais e da variação de preço do ativo-objeto:
∆
,
,
∆
(34)
Onde:
,
: parâmetro que relaciona a variação da volatilidade implícita do preço de
exercício K à variação diária do preço do ativo-objeto no dia t, conforme a equação
(35).
17
,
,
(35)
,
Portanto, o procedimento consiste em estimar
(28), estimar
utilizando a equação (32) e estimar
e
utilizando a equação
utilizando a equação (33). Em
seguida, estes resultados são utilizados na equação (35) para o cálculo de
,
.O
resultado obtido é utilizado no cálculo da equação (34).
Le Roux (2007) também criou um modelo para a superfície de volatilidade do
índice S&P 500 utilizando a PCA; contudo, este modelo procura descrever o
comportamento da superfície simultaneamente em função de prazo de vencimento e
de preço de exercício. O autor cria um modelo para o índice VIX para determinar o
nível da volatilidade implícita e utiliza um modelo paramétrico para obter o formato
da superfície de volatilidade, o que elimina a poluição dos dados e permite a
aplicação da PCA aos parâmetros que descrevem a superfície ao invés de todos os
pontos originais. O resultado obtido mostra que 75,2% da variação são explicados
pelo primeiro componente (redução da curvatura do smile para o curto prazo e
aumento da inclinação da estrutura de volatilidade no tempo), enquanto que 15,6%
são explicados pelo segundo componente (redução da inclinação da estrutura de
volatilidade no tempo para os preços de exercício fora do dinheiro e aumento da
inclinação da estrutura de volatilidade no tempo para os preços de exercício dentro
do dinheiro).
Outro trabalho que utiliza a PCA para estudar o comportamento da superfície
de volatilidade é o de Kamal e Derman (1997). Utilizando dados semanais de
volatilidade em função de delta e prazo de vencimento para o índice S&P 500 e
dados diários para o índice Nikkei 225, são encontrados três componentes que,
juntos,
respondem
por
90,7%
e
95,9%
das
variações
da
volatilidade,
respectivamente. O primeiro componente corresponde a um padrão de mudança de
nível de volatilidade para toda a superfície, porém com efeito mais acentuado nos
prazos mais curtos. O segundo componente corresponde a um movimento das
volatilidades de prazos curtos em direção oposta à dos prazos mais longos. Apenas
o terceiro componente apresenta dependência em relação a delta: a volatilidade das
opções de compra fora do dinheiro se movimenta em direção oposta à volatilidade
das opções de venda fora do dinheiro. A variação incremental explicada pelos
componentes de maior ordem é reduzida e não corresponde a nenhum tipo de
18
movimento intuitivo para a superfície de volatilidade; portanto, estes componentes
foram desconsiderados.
Neste mesmo trabalho, o primeiro componente possui boa correlação com o
retorno do índice: -0,61 para o índice S&P 500 e -0,67 para o índice Nikkei 225. Os
outros componentes, no entanto, têm correlação baixa com o índice.
Cont e Fonseca (2002) aplicaram a análise de componentes principais à
superfície de volatilidade em função de prazo e moneyness para os índices S&P 500
e FTSE 100. A superfície de volatilidade para estes índices é construída a partir de
preços das opções no mercado e é submetida a um processo de suavização antes
da análise de componentes principais. O primeiro componente, interpretado como o
nível de volatilidade, explicou 94% da variação da superfície de volatilidade do índice
S&P 500 e 96% da variação da superfície de volatilidade do índice FTSE 100, e
apresentou forte correlação com a variação do ativo-objeto (66% e 70%,
respectivamente). O segundo componente reflete a variação da diferença de
volatilidade entre as opções de compra fora do dinheiro e as opções de venda fora
do dinheiro, enquanto o terceiro componente reflete a variação da convexidade da
superfície.
Oya (2006) aplicou a análise de componentes principais para estudar o
cálculo do Valor em Risco (VaR) de uma carteira de opções de câmbio no Brasil. A
PCA foi aplicada a cada prazo com base na metodologia proposta por Alexander (no
entanto, aplicou-a ao diferencial de volatilidade entre determinados preços de
exercício e volatilidade no dinheiro, enquanto que Alexander aplicou-a à variação
diária deste dado) e obteve um poder explicativo acima de 90% para os três
primeiros componentes principais.
Kapotas (2005) aplicou a análise de componentes principais à superfície de
volatilidade de opções cambiais com o intuito de criar uma estratégia de hedge
baseada nos componentes principais de variação da superfície. Foram utilizadas as
volatilidades de 3,4 e 6 meses do período de maio de 2000 a outubro de 2001 e
foram obtidos 98% de explicação da variação utilizando os 4 primeiros componentes.
O primeiro componente encontrado corresponde ao nível da volatilidade e é
responsável por 91,8% da variância da volatilidade. O segundo componente está
associado ao diferencial de volatilidade entre as opções de compra fora do dinheiro
e as opções de venda fora do dinheiro e representa 2,97% da variância da
volatilidade. O terceiro componente corresponde à estrutura a termo da volatilidade
19
enquanto o quarto componente está associado à curvatura da volatilidade em
relação ao moneyness.
20
3. METODOLOGIA
3.1. Tratamento dos dados
A superfície de volatilidade utilizada neste trabalho é representada por valores
de volatilidade em função de delta de cada opção e de prazo de vencimento
expresso em número de dias úteis. O delta da opção é a sensibilidade do preço da
opção em relação ao preço do seu ativo-objeto conforme descrito na seção anterior.
Os dados utilizados estão em função do delta spot de opções européias de compra
de dólar/venda de reais: deltas 10, 25, 37, 50, 63, 75 e 90. Portanto, uma volatilidade
referente a delta 25 é a volatilidade de uma opção de compra de dólar com 25% de
delta spot, ou seja, é uma opção de compra fora do dinheiro. A volatilidade referente
a delta 75 é a volatilidade de uma opção de compra de dólar com 75% de delta spot,
ou seja, uma opção de compra dentro do dinheiro. A relação entre o delta
equivalente da opção de venda fora do dinheiro e a opção de compra dentro do
dinheiro é descrita nas equações (12) e (17) para os casos de delta spot e delta
forward, respectivamente. Neste trabalho, nos referimos às volatilidades referentes
aos deltas inferiores a 50 como volatilidades de opções de compra fora do dinheiro,
enquanto as volatilidades referentes a deltas superiores a 50 são referidas como
volatilidades de opções de venda fora do dinheiro.
Como as opções negociadas no mercado local (Bolsa de Mercadoria e
Futuros, BMF) correspondem a datas de final de mês, é necessário interpolar as
volatilidades no tempo para obter os dados para os prazos fixos utilizados neste
trabalho: 1 mês = 21 dias, 2 meses = 42 dias, 3 meses = 63 dias, 6 meses = 126
dias e 9 meses = 189 dias. A interpolação utilizada é linear e aplicada delta a delta
conforme a equação (36):
(36)
,
,
,
,
Onde:
t: tempo em dias úteis a ser interpolado;
21
: tempo em dias úteis do dado disponível com prazo mais próximo do requerido,
porém inferior;
: tempo em dias úteis do dado disponível com prazo mais próximo do requerido,
porém superior;
,
: volatilidade referente ao delta ∆ para o prazo t.
Para obter as volatilidades referentes a cada preço de exercício é necessário
obter o valor do forward de dólar/reais para cada prazo fixo utilizado neste trabalho.
Assim como no caso das volatilidades, os contratos de DI e DDI/FRA são
negociados no mercado local (Bolsa de Mercadoria e Futuros, BMF) em datas de
final de mês. Os fatores de capitalização (inverso do fator de desconto) para os
prazos fixos foram obtidos a partir da interpolação exponencial das taxas:
(37)
1
1
1
Onde:
fct: fator de capitalização;
t: tempo em dias úteis a ser interpolado;
: tempo em dias úteis do dado disponível com prazo mais próximo do requerido,
porém inferior;
: tempo em dias úteis do dado disponível com prazo mais próximo do requerido,
porém superior;
: taxa em formato exponencial 252 para o prazo t.
A partir dos fatores de capitalização dos juros referentes ao real (pré) e ao
dólar (cupom cambial) podemos calcular o valor do forward:
(38)
é,
,
Onde:
: valor do forward para o prazo t;
22
S: taxa de câmbio no mercado à vista;
é,
: fator de capitalização da curva pré para o prazo t;
,
: fator de capitalização da curva de cupom cambial para o prazo t.
3.2. Obtenção da volatilidade para determinados preços de exercício
Obter a volatilidade para determinado preço de exercício em um determinado
prazo de vencimento a partir de volatilidades em função de delta requer alguns
dados de mercado referentes ao prazo em questão e uma metodologia de
interpolação da volatilidade em função de delta.
A volatilidade em função de delta foi interpolada utilizando um spline cúbico
entre os deltas 10 e 90 e extrapolada linearmente para deltas inferiores a 10 e deltas
superiores a 90. O conjunto de informações necessárias para cada prazo em
questão é: preço do forward, volatilidades em função de delta e prazo em dias úteis
até o vencimento. Como as volatilidades estão expressas em função do delta spot,
também é necessário conhecer o fator de capitalização da curva de cupom cambial
para o prazo, já que este fator é utilizado na conversão do delta forward para o delta
spot.
A equação (7) pode ser reescrita para permitir o cálculo de d1 em função do
preço do forward, conforme a equação abaixo:
(39)
2
√
O cálculo da volatilidade é feito utilizando um processo iterativo. O processo
se inicia com a volatilidade do delta 50 como valor inicial. Calcula-se um novo delta
utilizando-se esta volatilidade nas equações (39) e (10) e o novo valor do delta é
utilizado para obter um novo valor de volatilidade através da interpolação da
volatilidade em função de delta. Este processo se repete até que o delta calculado
em cada passo apresente um valor incremental, em módulo, inferior ao valor de
referência de erro (o valor utilizado foi 10 ).
23
Neste trabalho também é necessária a obtenção das volatilidades implícitas
no dinheiro para cada prazo (ATMF – at the money forward), ou seja, a volatilidade
implícita para a opção com preço de exercício igual ao preço do forward. Esta
volatilidade também pode ser obtida através do método descrito acima.
3.3. Aplicação da PCA à variação diária do diferencial de volatilidade
entre determinados preços de exercício e a volatilidade no dinheiro
(ATMF)
A primeira abordagem de aplicação da PCA às volatilidades segue a proposta
de Alexander (2000). De posse das volatilidades referentes a cada preço de
exercício, a PCA é aplicada à variação diária do diferencial entre a volatilidade de
cada preço de exercício e a volatilidade no dinheiro.
O histórico utilizado nesta análise foi restringido ao período de julho de 2005
até janeiro de 2008 com o intuito de evitar a necessidade de um número excessivo
de preços de exercício que cobrissem a oscilação da taxa de dólar/reais no período.
O período escolhido totaliza 625 observações e a taxa de câmbio oscilou de 1750 a
2450 no período. Os preços de exercício utilizados estão no intervalo de 1900 até
2300, subdividido em 25 pontos, totalizando 17 preços de exercício. A taxa de
câmbio permaneceu neste intervalo durante cerca de 80% do período analisado. A
análise foi feita para diferentes prazos de vencimento (21, 42, 63, 126 e 189 dias
úteis).
3.4. Aplicação da PCA à variação diária da volatilidade em função do
delta para determinado prazo
Nesta segunda abordagem, a análise utiliza a volatilidade em função de delta
e não a volatilidade em função de preço de exercício como na abordagem anterior.
Em cada um dos prazos analisados (21, 42, 63, 126 e 189 dias úteis) há um
conjunto de volatilidades referentes a cada delta (10, 25, 37, 50, 63, 75 e 90 – delta
spot de opções européias de compra). Este conjunto de dados para cada prazo é
conhecido como skew de volatilidade.
24
A PCA é aplicada à variação diária deste conjunto de dados. O objetivo é
identificar os componentes principais de variação deste skew e o percentual da
variância correspondente a cada componente.
Embora a aplicação da PCA seja independente para cada prazo, também é
útil comparar o comportamento entre os prazos para auxiliar na compreensão do
próximo item.
3.5. Aplicação da PCA à variação diária da superfície de volatilidade
Na terceira e última abordagem o alvo da análise é a superfície de
volatilidade, ou seja, volatilidade em função de delta e de prazo de vencimento. Os
prazos utilizados são os mesmos dos itens anteriores (21, 42, 63, 126 e 189 dias
úteis); no entanto, os dados dos diferentes prazos são analisados simultaneamente
nesta etapa.
A volatilidade é expressa em função do delta (10, 25, 37, 50, 63, 75 e 90 –
delta spot de opções européias de compra), formando uma superfície de volatilidade
com 5 prazos e 7 deltas totalizando 35 valores de volatilidade em cada superfície
diária, conforme a Figura 4.
DELTA
10
25
,
37
,
50
,
63
,
75
,
90
,
,
21
,
PRAZO
42
63
,
126
…
…
…
…
,
,
189
Figura 4. Superfície de volatilidade
Para proceder à aplicação da PCA à superfície de volatilidade é formado um
vetor de dados a partir da superfície de volatilidade:
25
,
,
,
,
(40)
Depois de aplicada a PCA a este vetor, os resultados são convertidos
novamente no formato da superfície de volatilidade para se observar o formato das
cargas fatoriais.
3.6. Análise da relação do coeficiente diário de cada componente em
relação à variação do ativo-objeto
Para cada uma das diferentes abordagens de aplicação da PCA à variação
da volatilidade é analisado o comportamento do coeficiente diário de cada
componente principal em relação à variação percentual diária do preço do ativoobjeto. A estimação do parâmetro é feita através do modelo linear proposto por
Alexander na equação (32), reapresentada abaixo:
,
,
∆
,
(32)
Onde:
,
: coeficiente diário referente ao componente principal i no dia t;
,
: parâmetro referente ao componente principal i no dia t;
∆ : variação percentual diária do preço do ativo-objeto no dia t;
,
: processo independente identicamente distribuído.
O cálculo e a análise são independentes para cada componente i. O
procedimento é repetido para cada dia t do período analisado, utilizando-se uma
janela móvel de 100 dias de dados. Portanto, a estimação do parâmetro
,
referente ao dia t do componente i utiliza dados de t-100 até t.
O intuito desta análise é observar a estabilidade da relação entre cada
componente e a variação de preço do ativo-objeto ao longo de cada dia do período.
26
4. DADOS
Este trabalho utiliza dados diários desde o início do mês de julho de 2004 até
o término do mês de julho de 2008, totalizando 1024 observações1. O histórico de
superfície de volatilidade utilizado neste trabalho recorre aos dados publicados
diariamente pela Reuters. Dispõe-se de uma superfície de volatilidade em função de
delta para cada data de final de mês, correspondente às datas das opções listadas e
negociadas na BMF. Os principais participantes do mercado enviam diariamente
estes dados à Reuters, que publica a superfície baseada neste pool. Também é
utilizado o preço de fechamento diário do ativo-objeto no mercado à vista, assim
como o valor dos contratos de DI e DDI/FRA para permitir o cálculo de preços de
contratos futuros.
Vemos na Figura 5 o gráfico da volatilidade implícita (delta 50) interpolada
para o prazo de 21 dias (eixo da esquerda), assim como o nível do câmbio no eixo
da direita. A unidade de cotação dos valores do câmbio utilizados neste trabalho
está em reais por 1000 dólares, ou seja, o valor de câmbio 2500 significa que são
necessários 2500 reais para adquirir 1000 dólares. Durante quase todo o período a
volatilidade está dentro do intervalo de 10% a 20% ao ano, rompendo o patamar
inferior por somente alguns meses. A ocorrência de excesso da parte superior do
intervalo ocorreu em períodos de desvalorização repentina do real, como pode ser
observado no mês de maio de 2006 e no mês de agosto de 2007.
Na Figura 6, podemos observar que existe uma correlação forte entre a
volatilidade implícita (delta 50) de 21 dias úteis e a volatilidade histórica calculada
utilizando uma janela de 21 dias. Outro comportamento observado é a correlação
forte entre a volatilidade implícita de cada um dos prazos analisados, embora as
variações da volatilidade sejam atenuadas conforme o prazo se alonga, como pode
ser observado na Figura 7 (21 dias x 63 dias) e na Figura 8 (21 dias x 126 dias).
1
As diferentes abordagens de aplicação da PCA à volatilidade utilizam partes diferentes do
histórico de dados diários.
27
Volatilidade 21 dias - Delta 50 e Nivel do ativo-objeto
40%
3500
30%
3000
20%
2500
10%
2000
0%
Jan04
Jan05
Jan06
Jan07
Jan08
1500
Jan09
Data
Figura 5. Volatilidade delta 50 interpolada para 21 dias úteis x
nível do ativo-objeto
Volatilidade Implícita x Volatilidade Histórica
40%
Implícita
Histórica
35%
30%
Volatilidade
25%
20%
15%
10%
5%
0%
Jan04
Jan05
Jan06
Jan07
Jan08
Jan09
Data
Figura 6. Volatilidade implícita 21 dias úteis x volatilidade histórica
BRL/DOL
Volatilidade
Volatilidade
BRL/DOL
28
Volatilidade 21 dias x Volatilidade 63 dias
35%
21 dias
63 dias
30%
Volatilidade
25%
20%
15%
10%
5%
Jan04
Jan05
Jan06
Jan07
Jan08
Jan09
Data
Figura 7. Volatilidades de 21 e 63 dias úteis – delta 50
Volatilidade 21 dias x Volatilidade 126 dias
35%
21 dias
126 dias
30%
Volatilidade
25%
20%
15%
10%
5%
Jan04
Jan05
Jan06
Jan07
Jan08
Data
Figura 8. Volatilidades de 21 e 126 dias úteis – delta 50
Jan09
29
Em cada um dos prazos temos um conjunto de volatilidades em função do
delta, chamado skew de volatilidade. Através deste conjunto de informações é
possível encontrar uma volatilidade implícita para cada preço de exercício em
determinado prazo. Na Figura 9, é possível ver um exemplo do skew de 126 dias de
27 de junho de 2007: a volatilidade é mostrada no gráfico em função do delta spot
das opções de compra; portanto, o apreçamento de uma opção de compra com 25%
de delta utiliza uma volatilidade implícita de 12,9%.
Skew de Volatilidade
16%
15%
Volatilidade
14%
13%
12%
11%
10%
10
25
37
50
Delta
63
75
90
Figura 9. Skew de volatilidade
A diferença de volatilidade entre opções de compra fora do dinheiro e opções
de venda fora do dinheiro é denominada Risk Reversal e é uma das estratégias
existentes no mercado para operações realizadas através de opções, conforme
descrito na revisão da literatura.
Na Figura 10, é possível observar o comportamento deste diferencial de
volatilidade para o prazo de 21 dias úteis no eixo esquerdo e o preço do ativo-objeto
no eixo direito. O diferencial esteve dentro do intervalo de 2% a 3% durante a maior
parte do período (a volatilidade das opções de compra de dólar fora do dinheiro
esteve acima da volatilidade das opções de venda de dólar fora do dinheiro durante
todo o período), mas apresentou grande elevação durante os períodos de
desvalorização repentina do real. O comportamento do Risk Reversal entre prazos
pode ser observado na Figura 11: a variação em prazos mais curtos é mais
acentuada do que em prazos mais longos, um comportamento análogo ao da
volatilidade implícita.
30
Diferença de Volatilidade entre Delta 25 e Delta 75 - 21 dias x Nível do ativo-objeto
6%
3500
Risk Reversal
BRL/DOL
5%
3000
3%
2500
2%
2000
1%
0%
Jan04
Jan05
Jan06
Jan07
1500
Jan09
Jan08
Data
Figura 10. Risk reversal 21 dias x nível do ativo-objeto
Diferença de Volatilidade entre Delta 25 e Delta 75 - 21 dias x 126 dias
6%
21 dias
126 dias
5%
Risk Reversal
4%
3%
2%
1%
0%
Jan04
Jan05
Jan06
Jan07
Jan08
Data
Figura 11. Risk reversal - 21 dias x 126 dias
Jan09
BRL/DOL
Risk Reversal
4%
31
O conjunto de informações de volatilidade em função de delta e de prazo é
chamado de superfície de volatilidade. De posse desse conjunto de informações é
possível obter a volatilidade implícita para qualquer preço de exercício em qualquer
prazo de vencimento (através de técnicas de interpolação), possibilitando o cálculo
do preço de uma opção. Na Figura 12 é possível observar a superfície de
volatilidade do dia 24 de julho de 2008, formada por um skew de volatilidade para
cada um dos prazos.
Superficie de Volatilidade
Volatilidade
20
15
10
5
0
10
25
37
189
50
63
126
75
90
Delta
21
42
63
Dias Uteis
Figura 12. Superfície de volatilidade
Na Figura 13, é possível observar o comportamento da volatilidade de
diversos preços de exercício e a volatilidade no dinheiro para o prazo de 63 dias
úteis, enquanto que na Figura 14 temos o diferencial entre as volatilidades de
diversos preços de exercício e a volatilidade no dinheiro. A variação do diferencial de
volatilidade é bastante inferior à variação da volatilidade original. Enquanto as
volatilidades variam aproximadamente de 7% a 25%, o diferencial de volatilidade
está num intervalo mais restrito (aproximadamente de -2% a 6%). Os preços de
exercício utilizados no gráfico são os mesmo utilizados na aplicação da PCA.
32
Volatilidade de Preços de Exercício e ATMF - 63 dias
1900
1925
1950
1975
2000
2025
2050
2075
2100
2125
2150
2175
2200
2225
2250
2275
2300
ATMF
25%
20%
15%
10%
5%
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Figura 13. Volatilidade no dinheiro e de diferentes preços de
exercício para o prazo de 63 dias
Diferencial da Volatilidade entre Preços de Exercício e ATMF - 63 dias
1900
1925
1950
1975
2000
2025
2050
2075
2100
2125
2150
2175
2200
2225
2250
2275
2300
6%
4%
2%
0%
-2%
-4%
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Figura 14. Diferencial da volatilidade no dinheiro e a volatilidade
de diferentes preços de exercício para o prazo de 63 dias
33
5. RESULTADOS
5.1. Resultados da aplicação da PCA à variação diária do diferencial de
volatilidade entre determinados preços de exercício e a volatilidade
no dinheiro (ATMF)
A primeira abordagem é a aplicação da PCA à variação diária da diferença
entre a volatilidade implícita de determinado preço de exercício e a volatilidade no
dinheiro. A análise foi feita para diferentes prazos de vencimento (21, 42, 63, 126 e
189 dias úteis) sobre os dados de julho de 2005 até janeiro de 2008. Foram
utilizados os preços de exercício de 1900 até 2300, divididos a cada 25 pontos.
Em todos os prazos, os três primeiros componentes respondem por uma
parcela significativa da variância, como pode ser observado na Tabela 1. No pior
caso (21 dias úteis), os três primeiros componentes correspondem a 94,6% da
variância do diferencial de volatilidade. Este número atinge 98,8% no prazo mais
longo analisado (189 dias úteis), sendo que para os prazos intermediários é
observado um aumento gradual do poder explicativo. Embora o aumento do poder
explicativo acumulado dos três primeiros componentes entre o prazo mais curto e o
prazo mais longo seja de apenas 4,2%, é importante ressaltar que a oscilação entre
cada componente é mais significativa: o primeiro componente, que corresponde a
apenas 65% da variância para o prazo de 21 dias, atinge 87% no prazo de 189 dias,
enquanto os outros componentes isoladamente perdem poder explicativo conforme
o poder explicativo do primeiro componente aumenta. O número total de fatores é
igual ao número de preços de exercício incluídos na análise; portanto, o numero total
de fatores é 17. No entanto, na Tabela 1 apresentamos somente os 10 fatores que
explicam a maior parcela da variância, ocultando os demais que correspondem a
uma parcela de menor significância da variância.
34
Tabela 1. Percentual acumulado da variância explicada por cada
componente em cada um dos prazos analisados
Componente
21 dias
42 dias
63 dias
126 dias
189 dias
1
2
3
4
5
6
7
8
9
65,0%
88,1%
94,6%
97,4%
98,8%
99,3%
99,6%
99,7%
99,8%
68,1%
91,6%
96,9%
98,5%
99,1%
99,5%
99,7%
99,8%
99,9%
72,4%
93,8%
97,9%
98,9%
99,4%
99,7%
99,8%
99,9%
99,9%
82,8%
95,9%
98,5%
99,4%
99,7%
99,9%
99,9%
100,0%
100,0%
87,3%
96,9%
98,8%
99,6%
99,8%
99,9%
100,0%
100,0%
100,0%
10 99,9% 99,9% 100,0% 100,0% 100,0% Para compreendermos melhor as variações do poder explicativo de cada um
dos componentes em cada um dos prazos é necessário observar a carga fatorial ao
longo dos preços de exercício. A Figura 15 mostra esta carga para cada um dos três
primeiros componentes para o prazo de vencimento de 21 dias úteis. A PCA foi
aplicada à variação diária do diferencial de volatilidade; portanto, a carga de cada
um dos componentes revela como essa variação se comporta. O primeiro
componente é aproximadamente constante ao longo dos diferentes preços de
exercício e conseqüentemente corresponde a mudanças paralelas no diferencial de
volatilidade analisado. O segundo componente é crescente ao longo dos diferentes
preços de exercício e corresponde à inclinação no diferencial de volatilidade.
Finalmente, o terceiro componente apresenta um formato convexo e representa
mudanças na curvatura do diferencial de volatilidade.
Nas figuras seguintes (Figura 16, Figura 17, Figura 18 e Figura 19), podemos
observar que o comportamento da carga de cada um dos componentes se mantém
praticamente o mesmo ao longo dos outros prazos de vencimento.
35
21 dias - Primeiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
2200
2250
2300
2200
2250
2300
2200
2250
2300
21 dias - Segundo Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
21 dias - Terceiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
Figura 15. Carga de cada componente ao longo dos preços de
exercício para o prazo de 21 dias
42 dias - Primeiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
2200
2250
2300
2200
2250
2300
2200
2250
2300
42 dias - Segundo Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
42 dias - Terceiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
Figura 16. Carga de cada componente ao longo dos preços de
exercício para o prazo de 42 dias
36
63 dias - Primeiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
2200
2250
2300
2200
2250
2300
2200
2250
2300
63 dias - Segundo Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
63 dias - Terceiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
Figura 17. Carga de cada componente ao longo dos preços de
exercício para o prazo de 63 dias
126 dias - Primeiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
2200
2250
2300
2200
2250
2300
2200
2250
2300
126 dias - Segundo Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
126 dias - Terceiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
Figura 18. Carga de cada componente ao longo dos preços de
exercício para o prazo de 126 dias
37
189 dias - Primeiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
2200
2250
2300
2200
2250
2300
2200
2250
2300
189 dias - Segundo Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
189 dias - Terceiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
1900
1950
2000
2050
2100
2150
Figura 19. Carga de cada componente ao longo dos preços de
exercício para o prazo de 189 dias
Desta maneira, podemos concluir que a parametrização linear do skew
proposta por Derman (1999) não representa a totalidade dos movimentos que
ocorrem, já que os movimentos não paralelos respondem por uma parcela
significativa da variação da volatilidade de cada preço de exercício.
O aumento do poder explicativo do primeiro componente observado na
direção dos prazos mais longos em detrimento do poder explicativo dos
componentes seguintes mostra que a importância dos movimentos não-paralelos é
mais significativa no curto prazo. Esta constatação vai de encontro às observações
do comportamento dos dados em que a variação do risk reversal era mais ampla no
curto prazo do que no longo prazo.
Dado que cada componente representa movimentos semelhantes em cada
um dos prazos, é interessante observar a correlação entre as cargas de cada
componente ao longo dos prazos. Na Tabela 2, temos as correlações para o
primeiro componente:
38
Tabela 2. Correlações entre os coeficientes do primeiro
componente para diferentes prazos
21
21
42
63
126
189
42
63
126
189
100,0% 81,7% 69,2% 62,3% 53,3%
81,7% 100,0% 91,6% 81,0% 71,7%
69,2% 91,6% 100,0% 90,1% 81,1%
62,3% 81,0% 90,1% 100,0% 93,1%
53,3% 71,7% 81,1% 93,1% 100,0%
Com exceção do prazo de 21 dias, todos os outros apresentam correlação
alta, em especial os prazos mais longos adjacentes. Embora o prazo de 21 dias
também apresente correlação alta, seu movimento se mostra mais independente,
especialmente se consideramos a relação com os prazos mais longos.
As tabelas seguintes (Tabela 3 e Tabela 4) mostram as correlações para o
segundo e o terceiro componentes. O comportamento nestes dois casos é muito
semelhante: todos os prazos apresentam correlação alta, mas esta só é muito forte
para os vencimentos adjacentes, perdendo força conforme os vencimentos se
afastam.
Tabela 3. Correlações entre os coeficientes do segundo
componente para diferentes prazos
21
21
42
63
126
189
42
63
126
189
100,0% 86,0% 73,0% 58,9% 42,2%
86,0% 100,0% 90,7% 72,1% 53,2%
73,0% 90,7% 100,0% 81,4% 61,6%
58,9% 72,1% 81,4% 100,0% 84,5%
42,2% 53,2% 61,6% 84,5% 100,0%
Tabela 4. Correlações entre os coeficientes do terceiro
componente para diferentes prazos
21
21
42
63
126
189
42
63
126
189
100,0% 87,3% 75,1% 46,9% 30,8%
87,3% 100,0% 90,6% 60,6% 42,4%
75,1% 90,6% 100,0% 70,8% 49,2%
46,9% 60,6% 70,8% 100,0% 77,3%
30,8% 42,4% 49,2% 77,3% 100,0%
39
As figuras abaixo (Figura 20, Figura 21, Figura 22, Figura 23 e Figura 24)
mostram a estimativa do parâmetro gamma obtido através do modelo linear
expresso na equação (32). O parâmetro gamma representa a relação entre o
coeficiente diário de cada componente e a variação diária do preço do ativo-objeto.
O parâmetro referente ao primeiro componente exibe uma relação negativa com a
variação do ativo-objeto durante todo o período, independentemente do prazo
analisado. Isto significa que quando há uma variação positiva no preço do ativoobjeto, o diferencial entre a volatilidade de determinado preço de exercício e a
volatilidade no dinheiro se reduz. Este resultado é coerente com o formato do smile
de volatilidade analisado, como pode ser observado na Figura 9: a volatilidade
implícita de uma opção de compra reduz conforme esta fica mais dentro do dinheiro;
ou seja, quanto maior o valor do ativo-objeto, a opção de compra de determinado
preço de exercício aumenta seu delta, e menor é sua volatilidade implícita. Desta
maneira, uma variação positiva do ativo-objeto reduz o diferencial entre a volatilidade
de determinado preço de exercício e a volatilidade no dinheiro, conseqüentemente, o
parâmetro gamma é negativo.
Os parâmetros referentes ao segundo e ao terceiro componentes apresentam
um comportamento irregular, apresentando sinal negativo no início do período e em
alguns casos sinal positivo ao final do período. Embora os resultados obtidos na
análise de componentes principais indiquem que os movimentos não paralelos
ocorridos no skew sejam significativos, não é possível encontrar uma relação clara
entre estes movimentos e a variação do preço do ativo-objeto, assim como ocorre
para o primeiro componente. De qualquer maneira, isolar períodos mais curtos
permite obter resultados mais estáveis para a construção de cenários ou outras
aplicações.
Os
resultados
obtidos
por
Alexander
(2000)
também
apresentaram
comportamento irregular para os dois últimos parâmetros, enquanto que o parâmetro
referente ao primeiro componente apresentou valor positivo em todo o período. Esta
diferença em relação ao primeiro componente ocorre porque, no caso de índices de
ações, a volatilidade implícita aumenta conforme o preço de exercício reduz,
enquanto que no caso do ativo-objeto deste trabalho ocorre o oposto.
40
21 dias - Estimativa do Parametro gamma - janela 100 dias
2
Primeiro Componente
Segundo Componente
Terceiro Componente
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Figura 20. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente
para o prazo de 21 dias da PCA por preços de exercício
42 dias - Estimativa do Parametro gamma - janela 100 dias
2
Primeiro Componente
Segundo Componente
Terceiro Componente
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Figura 21. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente
para o prazo de 42 dias da PCA por preços de exercício
41
63 dias - Estimativa do Parametro gamma - janela 100 dias
2
Primeiro Componente
Segundo Componente
Terceiro Componente
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Figura 22. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente
para o prazo de 63 dias da PCA por preços de exercício
126 dias - Estimativa do Parametro gamma - janela 100 dias
2
Primeiro Componente
Segundo Componente
Terceiro Componente
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Figura 23. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente
para o prazo de 126 dias da PCA por preços de exercício
42
189 dias - Estimativa do Parametro gamma - janela 100 dias
2
Primeiro Componente
Segundo Componente
Terceiro Componente
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Figura 24. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente
para o prazo de 189 dias da PCA por preços de exercício
Nos resultados obtidos por Oya (2006), embora parte do período analisado
seja o mesmo, o percentual da variância explicado pelo primeiro componente é
muito superior (cerca de 97% no prazo de 2 meses). A diferença ocorre devido à
PCA ter sido aplicada ao diferencial de volatilidade do preço de exercício e da
volatilidade no dinheiro, enquanto neste trabalho a aplicação da PCA é baseada na
metodologia proposta por Alexander (2000), em que a PCA é aplicada à variação
diária deste diferencial de volatilidade. Quando comparados aos resultados obtidos
por Alexander (2000), embora os ativos sejam diferentes, podemos observar que os
percentuais de variância explicados pelos componentes estão na mesma ordem de
grandeza: para os prazos de 1 a 3 meses, o primeiro componente foi responsável
por 65% a 80% da variação, o segundo componente por 5% a 15% da variação e o
terceiro componente por cerca de 5% da variação. Nos dois trabalhos citados, os
componentes representam os mesmos tipos de movimento: nível, inclinação e
convexidade.
43
5.2. Resultados da aplicação da PCA à variação diária da volatilidade
em função do delta para determinado prazo
Outra forma de analisarmos o comportamento da volatilidade em cada prazo
de vencimento é aplicar a PCA à variação diária da volatilidade em função do delta.
A Tabela 5 mostra o percentual de variância explicado por cada um dos
componentes em cada prazo analisado. Em qualquer um dos prazos, o poder
explicativo dos três primeiros componentes é bem elevado. No entanto, a maior
diferença observada em relação à análise anterior é o comportamento do primeiro
componente: o percentual de variância explicada atinge valores bastante elevados e
é decrescente conforme o prazo se alonga.
Tabela 5. Percentual acumulado da variância explicada por cada
componente em cada um dos prazos analisados
Componente
21 dias
42 dias
63 dias
126 dias
189 dias
1
2
3
4
5
6
7
97,1%
98,7%
99,5%
99,7%
99,9%
100,0%
100,0%
97,0%
98,6%
99,3%
99,6%
99,8%
99,9%
100,0%
96,8%
98,5%
99,3%
99,6%
99,8%
99,9%
100,0%
95,4%
97,8%
98,9%
99,3%
99,7%
99,8%
100,0%
93,9%
97,1%
98,7%
99,2%
99,6%
99,8%
100,0%
A análise anterior procura explicar o comportamento do diferencial de
volatilidade entre um determinado preço de exercício e a volatilidade no dinheiro;
portanto, a oscilação do nível da volatilidade no dinheiro não é levada em conta. No
entanto, a aplicação da PCA à variação da volatilidade em função do delta tem como
maior componente justamente a variação do nível da volatilidade. Desta maneira, o
primeiro componente possui uma significância maior nesta análise. O fato de ser
decrescente com o aumento do prazo também está relacionado ao efeito do nível da
volatilidade no dinheiro: a volatilidade para prazos mais curtos oscila em intervalos
maiores, como foi mostrado neste trabalho. Portanto, para os prazos mais curtos, o
nível da volatilidade corresponde a uma parcela maior da variância.
44
A Figura 25 mostra o comportamento de cada carga em função do delta para
o prazo de 21 dias. O primeiro componente se mantém praticamente constante ao
longo dos deltas e corresponde a variações no nível da volatilidade ATM, ou seja, a
volatilidade de cada um dos deltas sofre uma variação equivalente. O segundo
componente apresenta valores crescentes ao longo dos deltas e conseqüentemente
corresponde a variações no diferencial de volatilidade entre opções de compra fora
do dinheiro e opções de venda fora do dinheiro. O terceiro componente apresenta
um formato convexo ao longo dos deltas e corresponde a variações do diferencial de
volatilidade entre opções fora do dinheiro (compra e venda) e opções no dinheiro.
As figuras seguintes (Figura 26, Figura 27, Figura 28 e Figura 29) mostram o
comportamento da carga para a aplicação da PCA para os outros prazos. As cargas
de cada um dos componentes apresentam comportamento análogo ao do prazo
analisado acima e correspondem aos mesmos mecanismos de alteração da
volatilidade.
21 dias - Primeiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
70
80
90
70
80
90
21 dias - Segundo Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
21 dias - Terceiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
Figura 25. Carga de cada componente ao longo do delta para o
prazo de 21 dias
45
42 dias - Primeiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
70
80
90
70
80
90
42 dias - Segundo Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
42 dias - Terceiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
Figura 26. Carga de cada componente ao longo do delta para o
prazo de 42 dias
63 dias - Primeiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
70
80
90
70
80
90
63 dias - Segundo Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
63 dias - Terceiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
Figura 27. Carga de cada componente ao longo do delta para o
prazo de 63 dias
46
126 dias - Primeiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
70
80
90
70
80
90
126 dias - Segundo Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
126 dias - Terceiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
Figura 28. Carga de cada componente ao longo do delta para o
prazo de 126 dias
189 dias - Primeiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
70
80
90
70
80
90
189 dias - Segundo Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
189 dias - Terceiro Componente
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
10
20
30
40
50
60
Figura 29. Carga de cada componente ao longo do delta para o
prazo de 189 dias
47
Neste ponto, é interessante observar a correlação dos coeficientes diários de
cada componente entre os diferentes prazos analisados nas tabelas abaixo (Tabela
6, Tabela 7 e Tabela 8). O primeiro componente apresenta correlações altas entre
todos os prazos analisados e, apesar da correlação se reduzir conforme a diferença
entre prazos aumenta, a correlação ainda permanece alta. No entanto, para o
segundo e o terceiro componentes a correlação se enfraquece para os prazos mais
elevados.
Tabela 6. Correlações entre os coeficientes do primeiro
componente para diferentes prazos
21
21
42
63
126
189
42
63
126
189
100,0% 95,3% 93,1% 88,6% 84,6%
95,3% 100,0% 98,5% 91,9% 88,1%
93,1% 98,5% 100,0% 94,2% 90,5%
88,6% 91,9% 94,2% 100,0% 96,9%
84,6% 88,1% 90,5% 96,9% 100,0%
Tabela 7. Correlações entre os coeficientes do segundo
componente para diferentes prazos
21
21
42
63
126
189
42
63
126
189
100,0% 72,2% 52,5% 33,9% 28,9%
72,2% 100,0% 82,5% 52,4% 42,8%
52,5% 82,5% 100,0% 66,3% 52,0%
33,9% 52,4% 66,3% 100,0% 81,1%
28,9% 42,8% 52,0% 81,1% 100,0%
Tabela 8. Correlações entre os coeficientes do terceiro
componente para diferentes prazos
21
21
42
63
126
189
42
63
126
189
100,0% 68,4% 47,8% 28,7% 16,3%
68,4% 100,0% 76,8% 40,3% 23,4%
47,8% 76,8% 100,0% 60,5% 35,7%
28,7% 40,3% 60,5% 100,0% 76,6%
16,3% 23,4% 35,7% 76,6% 100,0%
48
As figuras abaixo (Figura 30, Figura 31, Figura 32, Figura 33 e Figura 34)
mostram o comportamento do parâmetro gamma obtido conforme a equação (32). O
parâmetro referente ao primeiro componente é positivo em todos os prazos
analisados, indicando que o aumento do nível da volatilidade está relacionado a
variações positivas do preço do ativo-objeto, ou seja, quando ocorre uma
desvalorização do real em relação ao dólar, há uma elevação no nível da
volatilidade. Esta relação é mais forte para os prazos mais curtos.
Os parâmetros correspondentes ao segundo e ao terceiro componentes
apresentam alternância de sinal ao longo do período, com valores quase sempre
próximos de zero. Portanto, não é possível afirmar que há uma relação clara entre o
comportamento destes componentes e a variação do preço do ativo-objeto, embora,
em alguns períodos, esta relação apresente peculiaridades. No período em torno de
maio de 2006 a outubro de 2006, o parâmetro do segundo componente é claramente
positivo, indicando que durante a forte desvalorização do real ocorrida neste período
houve uma relação mais clara entre variação positiva do ativo-objeto e aumento do
diferencial de volatilidade entre opções de compra e opções de venda fora do
dinheiro.
21 dias - Estimativa do Parametro gamma - janela 100 dias
300
Primeiro Componente
200
100
0
Jan05
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Aug08
Segundo Componente
Terceiro Componente
20
0
-20
Jan05
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Aug08
Figura 30. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente
para o prazo de 21 dias da PCA por delta
49
42 dias - Estimativa do Parametro gamma - janela 100 dias
300
Primeiro Componente
200
100
0
Jan05
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Aug08
Segundo Componente
Terceiro Componente
20
0
-20
Jan05
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Aug08
Figura 31. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente
para o prazo de 42 dias da PCA por delta
63 dias - Estimativa do Parametro gamma - janela 100 dias
300
Primeiro Componente
200
100
0
Jan05
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Aug08
Segundo Componente
Terceiro Componente
20
0
-20
Jan05
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Aug08
Figura 32. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente
para o prazo de 63 dias da PCA por delta
50
126 dias - Estimativa do Parametro gamma - janela 100 dias
300
Primeiro Componente
200
100
0
Jan05
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Aug08
Segundo Componente
Terceiro Componente
20
0
-20
Jan05
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Aug08
Figura 33. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente
para o prazo de 126 dias da PCA por delta
189 dias - Estimativa do Parametro gamma - janela 100 dias
300
Primeiro Componente
200
100
0
Jan05
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Aug08
Segundo Componente
Terceiro Componente
20
0
-20
Jan05
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Aug08
Figura 34. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente
para o prazo de 189 dias da PCA por delta
51
5.3. Resultados da aplicação da PCA à variação diária da superfície de
volatilidade
As análises anteriores forneceram dados sobre o comportamento do skew de
volatilidade em cada um dos prazos. No entanto, é bastante claro que há grande
semelhança na carga de cada componente para os diversos prazos, assim como
nos coeficientes de cada um. A PCA é uma técnica que busca agrupar os dados
correlacionados; portanto, os resultados dos itens anteriores sugerem que a PCA
deve ser aplicada ao conjunto de volatilidade em função de delta e prazo de
vencimento simultaneamente.
Nesta seção, apresentamos os resultados da aplicação da PCA à variação
diária de uma superfície de volatilidade em função de delta e prazo de vencimento.
Quando comparados aos resultados obtidos para a PCA do skew, vemos na Tabela
9 que componentes de maior ordem são necessários para atingir cerca de 99% de
explicação da variância, enquanto apenas 3 componentes eram suficientes
anteriormente. Isto se deve à maior complexidade da estrutura que está sendo
analisada. O número total de componentes é 35 (número de dados do vetor
analisado: 5 prazos de vencimento x 7 valores de delta). No entanto, na tabela
abaixo apresentamos apenas os 10 componentes de maior significância, assim
como o autovalor associado a cada um dos componentes:
Tabela 9. Percentual acumulado da variância explicada por cada
componente e autovalor associado ao componente
Componente
Percentual
Acumulado da
Variância Explicada
Autovalor
associado ao
componente
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
91,8%
95,1%
96,5%
97,6%
98,1%
98,4%
98,7%
98,9%
99,0%
99,2%
6,7034
0,2430
0,1014
0,0797
0,0380
0,0226
0,0192
0,0138
0,0122
0,0109
52
O primeiro componente, que corresponde a 91,8% da variância, está
relacionado principalmente ao nível da volatilidade, como pode ser observado na
Figura 35. Existe um leve efeito de estrutura no tempo de volatilidade, já que neste
componente
há
uma
ligeira
elevação
nas
volatilidades
de
curto
prazo,
independentemente do delta. Este primeiro componente já reflete a maior amplitude
de oscilação da volatilidade observada no curto prazo em relação aos prazos mais
longos.
Primeiro Componente
0.5
0
-0.5
100
200
150
50
100
50
Delta
0
0
Dias Uteis
Figura 35. Carga do primeiro componente da superfície de
volatilidade
O segundo componente, que corresponde a 3,3% da variância, representa a
estrutura de volatilidade no tempo, como pode ser observado através de sua carga
na Figura 36. Assim como no caso anterior, há estrutura de prazo de vencimento,
mas não há estrutura no delta. A inclinação da volatilidade no tempo se pronuncia
especialmente nos prazos de 21, 42 e 63 dias, ficando o restante da estrutura
praticamente estável.
53
Segundo Componente
0.5
0
-0.5
100
200
150
50
100
50
Delta
0
0
Dias Uteis
Figura 36. Carga do segundo componente da superfície de
volatilidade
Apenas no terceiro componente é possível observar a estrutura de
volatilidade no delta: a carga deste componente revela uma diferenciação entre as
volatilidades de opções de compra e de venda fora do dinheiro. Vale ressaltar que
há também a presença de efeito de estrutura no tempo da volatilidade, ficando
correlacionada a alta da volatilidade de curto prazo a uma elevação da diferença de
volatilidade entre as opções de compra fora do dinheiro e as opções de venda fora
do dinheiro, conforme a Figura 37.
No entanto, embora o terceiro componente seja responsável por apenas 1,4%
da variância, não se pode desprezar seu efeito, conforme observado na aplicação da
PCA ao skew de volatilidade. Também é possível observar o efeito do risk reversal
no quarto componente (1,1% da variância), conforme a Figura 38. No entanto, neste
caso a correlação entre a volatilidade de curto prazo e a diferença de volatilidade
entre as opções de compra fora do dinheiro e as opções de venda fora do dinheiro
fica invertida em relação ao terceiro componente.
Finalmente, é possível observar o efeito do buttlerfly no quinto componente
(Figura 39), responsável por apenas 0,5% da variância (atingindo-se 98,1% da
variância acumulada): a carga revela uma elevação simultânea da volatilidade das
opções de compra fora do dinheiro e das opções de venda fora do dinheiro.
54
Terceiro Componente
0.5
0
-0.5
100
200
150
50
100
50
Delta
0
0
Dias Uteis
Figura 37. Carga do terceiro componente da superfície de
volatilidade
Quarto Componente
0.5
0
-0.5
100
200
150
50
100
50
Delta
0
0
Dias Uteis
Figura 38. Carga do quarto componente da superfície de
volatilidade
55
Quinto Componente
0.5
0
-0.5
100
200
150
50
100
50
Delta
0
0
Dias Uteis
Figura 39. Carga do quinto componente da superfície de
volatilidade
Quando comparados estes resultados aos obtidos por Kapotas (2005),
podemos observar que a estrutura a termo de volatilidade, que neste trabalho é
representada pelo segundo componente, tem menor importância na explicação da
variância, aparecendo somente no terceiro componente. Esta diferença pode ser
explicada se levarmos em conta os prazos utilizados: neste trabalho foram utilizados
5 prazos (de 1 a 9 meses), enquanto que no de Kapotas (2005) foram utilizados 3, 4
e 6 meses. Desta maneira, os prazos mais afetados pela estrutura temporal da
volatilidade expressos no segundo componente (1 e 2 meses) não estavam
presentes, reduzindo a importância deste componente.
As diferenças em relação aos componentes que expressam o risk reversal
também decorrem da diferença dos prazos analisados: neste trabalho, o terceiro e
quarto componentes correspondem ao risk reversal, no entanto, diferem em termos
de sua relação com o movimento da volatilidade de curto prazo.
Na Figura 40, podemos observar o comportamento do parâmetro gamma para
cada um dos componentes. Assim como nos casos anteriores, o parâmetro do
primeiro componente, responsável pelo nível da volatilidade, apresenta relação
positiva com a variação de preço do ativo-objeto, ou seja, nos dias em que ocorre
desvalorização do real a superfície de volatilidade apresenta uma elevação em seu
nível.
56
Os parâmetros dos componentes seguintes, no entanto, apresentam
comportamento irregular ao longo do tempo, apresentando valor próximo de zero na
maior parte do tempo. Novamente podemos destacar o comportamento do
parâmetro do terceiro componente, correspondente ao diferencial de volatilidade
entre opções de compra e opções de venda fora do dinheiro, durante o período de
maio de 2006 a outubro de 2006: neste período houve forte relação entre a
desvalorização do real e o aumento do diferencial de volatilidade entre as opções de
compra fora dinheiro e opções de venda fora do dinheiro.
Estimativa do Parametro gamma - janela 100 dias
500
Primeiro Componente
400
300
200
100
0
Jan05
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Aug08
Segundo Componente
Terceiro Componente
20
0
-20
Jan05
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
20
Jul07
Jan08
Aug08
Quarto Componente
Quinto Componente
0
-20
Jan05
Jul05
Jan06
Jul06
Jan07
Jul07
Jan08
Aug08
Figura 40. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente
para a PCA para superfície de volatilidade
57
5.4. Comparação entre as diferentes aplicações da PCA
Comparar os resultados obtidos nas três diferentes abordagens da aplicação
da PCA no estudo da volatilidade requer que sejam levadas em conta as diferenças
conceituais entre elas.
A primeira abordagem examina o comportamento da volatilidade de cada
preço de exercício em relação à volatilidade no dinheiro. Portanto, nesta análise, o
primeiro componente reflete a variação do nível desta diferença. Esta variação é
decorrente, principalmente, do efeito do skew de volatilidade em cada preço de
exercício quando há uma movimentação no preço do ativo-objeto, excluindo o efeito
da variação da volatilidade no dinheiro. Os componentes seguintes refletem
variações não lineares nesta relação. A importância deste estudo está em identificar
a significância relativa dos componentes de maior ordem, independentemente do
nível da volatilidade no dinheiro.
A segunda abordagem busca explicar o comportamento da volatilidade em
função de delta. Neste caso, o nível da volatilidade está representado no primeiro
componente, enquanto os componentes seguintes representam as variações nas
assimetrias de volatilidade, ou seja, como o skew de volatilidade se comporta.
Expressar a volatilidade em função de delta ao invés de expressar a volatilidade em
função de preços de exercício também permite que a volatilidade de cada preço de
exercício se altere quando há uma alteração no preço do ativo-objeto. Neste caso, a
volatilidade de cada preço de exercício se altera de acordo com a variação no delta
da opção.
A terceira abordagem procura explicar o comportamento da volatilidade em
função de delta, assim como na segunda abordagem. No entanto, a estrutura de
volatilidade no tempo também é analisada quanto todos os prazos de vencimento
são incluídos simultaneamente na aplicação da PCA. A estrutura de volatilidade no
tempo foi representada pelo segundo componente, sendo responsável por uma fonte
de variação mais significativa do que as assimetrias observadas no skew de
volatilidade.
58
6. CONCLUSÕES
Os resultados obtidos indicam que a aplicação da análise de componentes
principais permite obter uma parcela significativa da variação da volatilidade nos três
primeiros componentes. De maneira geral, os componentes obtidos podem ser
identificados e relacionados a movimentos intuitivos da superfície de volatilidade.
A aplicação da análise de componentes principais à variação diária do
diferencial de volatilidade de determinados preços de exercícios e a volatilidade no
dinheiro permitiu verificar que movimentos não-paralelos ocorrem no skew de
volatilidade. Os movimentos não-paralelos são mais significativos para os prazos
mais curtos de vencimento.
Quando aplicada à volatilidade em função de delta, a PCA reflete também as
variações da volatilidade no dinheiro, fonte de variação ausente na análise anterior.
Neste caso, o primeiro componente, responsável pela variação do nível da
volatilidade, representa uma parcela mais significativa da variação, principalmente
nos prazos mais curtos.
A partir dos dados obtidos é possível uma compreensão melhor da aplicação
da PCA à superfície de volatilidade em função de delta e prazo de vencimento. Os
componentes revelam o comportamento da estrutura de volatilidade no tempo, onde
a volatilidade para os prazos mais curtos tem oscilação mais ampla do que a
volatilidade dos prazos mais longos e também há movimentos relacionados entre o
skew e a estrutura de volatilidade no tempo.
Em todas as análises, o primeiro componente apresentou uma forte relação
com a variação do ativo-objeto, embora não seja possível observar uma relação
clara para os componentes seguintes. Estas informações permitem a elaboração de
cenários para a simulação de portfólios, onde pode ser levada em conta também a
relação entre as exposições ao ativo-objeto e à volatilidade.
Os resultados obtidos indicam que a estrutura de volatilidade no tempo
representa uma fonte de variação mais significativa do que as variações no skew de
volatilidade. De posse desses resultados, a PCA da superfície de volatilidade é
adequada para a análise das sensibilidades de portfólios com diversas datas de
vencimento ou que exibam dependência do caminho do preço do ativo-objeto,
enquanto que a PCA do skew de volatilidade é mais adequada ao estudo do
59
apreçamento e da sensibilidade de derivativos que não exibam dependência do
caminho do preço do ativo-objeto.
O conhecimento dos componentes principais da superfície de volatilidade
também permite sua atualização durante o pregão com uma quantidade reduzida de
observações de dados de mercado. Em geral, a liquidez do mercado de opções é
reduzida e não permite a observação de grande quantidade de preços em curto
intervalo de tempo. Desta maneira, com apenas algumas informações de mercado é
possível identificar que componentes principais foram afetados e em que magnitude,
permitindo aplicar sua variação sobre a superfície de volatilidade com o intuito de
refletir os dados de mercado para todas as opções disponíveis.
60
7. BIBLIOGRAFIA
ALEXANDER, Carol. Principal Component Analysis of Volatility Smiles and Skews.
EFMA 2001 Lugano Meetings. University of Reading Working Paper in Finance,
UK, 2000.
BLACK, Fischer; SCHOLES, Myron. The Pricing of Options and Corporate Liabilities.
The Journal of Political Economy, v. 81, n. 3, p. 637-654, 1973.
CME,
Options
spreads
on
the
CME
Globex
Platform.
Disponível
em
<http://www.cmegroup.com/globex/files/OptionsSpreadsonCMEGlobex.pdf >. Acesso
em 28 fev. 2009.
CONT, Rama; FONSECA, José da. Dynamics of implied volatility surfaces.
Quantitative Finance, Institute of Physics Publishing, v. 2, n. 1, p. 45-60, 2002.
DERMAN, Emanuel. Regimes of Volatility. Quantitative Strategies Research
Notes. Goldman Sachs, 1999.
DERMAN, Emanuel; KANI, Iraj. The Volatility Smile and Its Implied Tree.
Quantitative Strategies Research Notes, 1994.
DUPIRE, Bruno. Pricing with a Smile. Risk, v. 7, n. 1, p. 18-20, 1994.
GARMAN, Mark; KOHLHAGEN, Steven. Foreign Currency Option Values. Journal
of International Money and Finance, v. 2, n. 3, p. 231-237, 1983.
JOLLIFFE, I. Principal Component Analysis. Segunda Edição. Nova Iorque:
Springer, 2002. 487 p.
KAMAL, Michael; DERMAN, Emanuel. The Patterns of Change in Implied Index
Volatilities. Quantitative Strategies Research Notes, 1997.
61
KAPOTAS, Jorge; IWASHITA, Tatiana; SCHIRMER, Pedro. Hedge dos Movimentos
da Superfície de Volatilidade Implícita das Opções Cambiais. In: ENCONTRO
BRASILEIRO DE FINANÇAS, 5., 2005, São Paulo. SBFIN, 2005.
LE ROUX, Martin. A Long-Term Model of the Dynamics of the S&P500 Implied
Volatility Surface. North American Actuarial Journal, v. 11, n. 4, p. 61-75, 2007.
LITTERMAN, Robert; SCHEINKMAN, José. Common factors affecting bond returns.
Journal of Fixed Income, v. 1, n. 1, p. 54-61, 1991.
MERTON, Robert. Theory of Rational Option Pricing. Bell Journal of Economics
and Management Science, v. 4, n. 1, p. 141-183, 1973.
OYA, Daniel. Estudo sobre o risco de uma carteira de opções através da análise
de Componentes Principais. São Paulo, 2006. Dissertação (Mestrado em Finanças
e Ecomonia Empresarial)- Escola de Economia da Fundação Getúlio Vargas, São
Paulo, 2006.