UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ
Coordenação de Matemática
8a Lista de Exercı́cios - Produto Interno
Álgebra Linear - 2015.1
Professor Márcio Nascimento
Fonte: Álgebra Linear (Plácido Andrade), Álgebra Linear e suas aplicações (David C. Lay), Álgebra Linear
(Murdoch)
1. Determine um vetor ortogonal ao vetor η ∈ R2 e descreva o conjunto Γ de todos os
vetores que são ortogonais a η, mostrando que Γ é um subespaço vetorial de R2 :
(a) η = (−2, 3)
(b) η = (3, 3)
(c) η = (1, −1)
2. Sejam v, w ∈ R2 dois vetores não nulos e considere w unitário. Mostre que o vetor
v − hv, wiw é perpendicular ao vetor w.
3. Suponha que o vetor y é ortogonal a u e também ortogonal a v.
(a) Mostre que y é ortogonal a u + v.
(b) Mostre que y é ortogonal a todo elemento de [u, v]
4. Seja W = [v1 , v2 , ..., vn ]. Se u é perpendicular a cada um dos v0i s, mostre que u é
perpendicular a qualquer elemento de W.
5. Sejam X, Y vetores quaisquer de Rn . Mostre que |hX, Yi| = kXk.kYk se, e somente se, X
e Y são LI.
6. Sejam X, Y vetores num espaço vetorial E de dimensão finita e munido de um produto
interno. Mostre que se X + Y é ortogonal a X − Y, então kXk = kYk.
7. Sejam v e w vetores linearmente independentes em R2 . Denote por a, b e c as normas
kvk, kwk e kv − wk respectivamente.
(a) Mostre a Lei dos Cossenos.
(b) A Lei dos Cossenos pode ser generalizada para um espaço vetorial qualquer?
(c) Se OVW é o triângulo formado pelos vetores v, w e v − w, mostre a Fórmula de
Heron:
A=
p
s(s − a)(s − b)(s − c)
onde s é o semiperı́metro do triângulo OVW.
8. Verifique a Lei do Paralelogramo para vetores u, v num espaço vetorial qualquer:
ku + vk2 + ku − vk2 = 2kuk2 + 2kvk2
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9. Seja U uma matriz de ordem n × m.
(a) Mostre que suas colunas são vetores ortonormais em Rn se, e somente se,
UT .U = I
(b) Suponha que as colunas de U sejam vetores ortogonais em Rn . Mostre que:
(α) kU.xk = kxk onde x ∈ Rm é um vetor na forma coluna.
(β) hU.x, U.yi = hx, yi, onde x, y ∈ Rm
(γ) hU.x, U.yi = 0 se, e somente se hx, yi = 0
10. Seja U uma matriz quadrada com colunas ortonormais. Mostre que U é inversı́vel.
11. Seja S um subespaço vetorial de Rn . Um vetor X ∈ Rn é dito ortogonal a S quando
hX, ui = 0 para todo u ∈ S.
(a) Se B = {v1 , v2 , ..., vk } é uma base para o subespaço S, mostre que X é ortogonal a
S se, e somente se, hX, vi i = 0 para todo i ∈ {1, 2, ..., k}
(b) O conjunto S⊥ de todos os vetores de Rn que são ortogonais a S é chamado
complemento ortogonal de S. Em sı́mbolos:
S⊥ = {X ∈ Rn ; hX, ui = 0 para todo u ∈ S}
Mostre que S⊥ é um subespaço vetorial de Rn .
(c) Se S é um subespaço de dimensão r, mostre que dim S⊥ = n − r.
(d) Mostre que Rn = S ⊕ S⊥
(e) Mostre que (S⊥ )⊥ = S.
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