Sobre a localização de zeros de polinômios: refinamento e
comparação
Evanize Rodrigues Castro∗
Vanessa Botta
Depto. de Matemática e Computação, FCT, UNESP,
19060-900, Presidente Prudente, SP
E-mail: evanize [email protected], [email protected].
RESUMO
São muitas as áreas da Matemática que utilizam resultados relacionados ao comportamento
de zeros de polinômios para analisar determinados problemas. Por exemplo, no estudo da
estabilidade de métodos numéricos para a solução de equações diferenciais ordinárias, são
importantes os resultados que determinam a quantidade de zeros que um polinômio possui
no cı́rculo unitário. Outro campo de trabalho em crescente expansão e que tem contribuı́do
para o desenvolvimento de várias áreas do conhecimento é a teoria do controle, que trata do
comportamento de sistemas dinâmicos e utiliza resultados sobre a localização de zeros de
polinômios na análise da estabilidade dos sistemas. Desta forma, o estudo sobre zeros de
polinômios é um ramo que apresenta uma extensa gama de aplicações e também muitos
problemas em aberto, sendo uma fonte inesgotável de pesquisa.
Apresentaremos, neste trabalho, dois resultados clássicos sobre a localização de zeros de
polinômios e focaremos nosso estudo na análise dos zeros de um polinômio de grau três, onde
elaboramos um programa através do software Mathematica, através do qual foi possı́vel realizar
uma comparação entre os resultados estudados.
A seguir enunciamos tais resultados.
Teorema 1 (Eneström-Kakeya) Seja P (z) = a0 + a1 z + . . . + an z n um polinômio cujos
coeficientes ai , i = 0, 1, . . . , n, satisfazem 0 < a0 ≤ a1 ≤ . . . ≤ an . Então, todos os zeros de
P (z) estão em |z| ≤ 1.
Teorema 2 Seja P (z) = a0 + a1 z + . . . + an z n um polinômio com a0 , an 6= 0 e sejam
M = max |ai | e M ′ = max |ai |. Então, todos os zeros de P (z) localizam-se no anel
0≤i≤n−1
1≤i≤n
M
|a0 |
< |z| < 1 +
.
′
|a0 | + M
|an |
As demonstrações de tais resultados podem ser encontrados em [1].
A escolha do software Mathematica está relacionada aos seus amplos recursos de gerações
de gráficos com ferramentas de interatividade e animação, além de permitir a publicação dos
programas elaborados pelos usuários no site da Wolfram Demonstration Project, no qual possui
quase nove mil publicações.
Para exemplificar os dados obtidos, consideremos o polinômio
P (z) = 56, 3z 3 + 3, 9z 2 + 50, 5z + 73, 2 .
∗
Bolsista de Iniciação Cientı́fica FAPESP.
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Observe que os coeficientes de P (z) não estão ordenados e, portanto, tal polinômio não satisfaz as condições do Teorema 1. Podemos observar na figura abaixo que P (z) possui dois
zeros (representado por pontos vermelhos) fora do cı́rculo unitário (representado em azul no
gráfico). O anel apresentado no Teorema 2 aparece em verde no gráfico e, neste caso, é dado por
0, 57 < |z| < 2, 3.
a0
73.2
a1
50.5
a2
3.9
a3
56.3
56.3 z3 + 3.9 z2 + 50.5 z + 73.2
Out[1]=
Figura 1: Localização dos zeros de P (z) = 56, 3z 3 + 3, 9z 2 + 50, 5z + 73, 2.
Outro exemplo é dado por
P (z) = 57, 4z 3 + 43, 6z 2 + 22, 5z + 12, 9.
Observe que os coeficientes de P (z) estão ordenados e então, segundo o Teorema 1, todos os
zeros de P (z) localizam-se dentro do cı́rculo unitário, como podemos observar na figura a seguir.
Neste caso, o anel dado pelo Teorema 2 é 0, 18 < |z| < 1, 76.
a0
12.9
a1
22.5
a2
43.6
a3
57.4
57.4 z3 + 43.6 z2 + 22.5 z + 12.9
Figura 2: Localização dos zeros de P (z) = 57, 4z 3 + 43, 6z 2 + 22, 5z + 12, 9.
Neste exemplo, a aplicação do Teorema de Eneström-Kakeya apresenta melhores resultados, visto que a área dada pelo cı́rculo unitário (AC = π) é menor do que a área do anel
0, 18 < |z| < 1, 76 (AA = 3, 1π).
Para realizarmos uma comparação para o caso geral, consideremos P (z) = a0 + a1 z +
a2 z 2 + a3 z 3 com 0 < a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 . Vamos mostrar que o Teorema 1 proporciona uma
menor região onde estão localizados os zeros do polinômio analisado, em comparação ao Teorema
2.
Consideremos AC a área do cı́rculo unitário e AA a área do anel, onde AA = A2 − A1 ,
sendo A1 a área do cı́rculo menor e A2 a área do cı́rculo maior, de raios a0 a+0 a3 e 1 + aa23 ,
respectivamente, segundo o Teorema 2. Aplicando a fórmula da área da circunferência, obtemos
AC
=
π
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=
AA
A2 − A1 = πK,
onde K = (1 + aa23 )2 − ( a0 a+0 a3 )2 .
O nosso objetivo é mostrar que K > 1, pois assim teremos AA > AC .
Observe que
K =
1+
a2
a3
Como, 1 +
Portanto,
2
a2
a3
+
−
a0
a0 + a3
a0
a0 + a3
2
=
1+
> 1e 1+
a2
a3
a2
a0
−
a3
a0 + a3
−
a0
a0 + a3
1+
a2
a0
+
.
a3
a0 + a3
> 1, segue que K > 1.
AA = πK > π = AC .
Assim, demonstramos que a região onde estão localizados os zeros do polinômio com coeficientes ordenados, proporcionada pelo Teorema 1, possui um refinamento melhor em relação à
região do anel dada pelo Teorema 2.
Este resultado pode ser observado pelo exemplo anterior, no qual os zeros do polinômio
encontram-se dentro do cı́rculo unitário, sendo esta uma região menor que a região do anel
centrado na origem, representado no gráfico pelos cı́rculos em verde.
O programa gerado através do software Mathematica (que deu origem às figuras apresentadas) permite explorar o comportamento dos zeros de qualquer polinômio de grau 3, sendo
facilmente estendido para polinômios de grau qualquer.
Palavras-chave: Zeros de polinômios, Software Mathematica, Teorema de Eneström-Kakeya.
Referências
[1] G. V. Milovanóvic; D. S. Mitrinovic; Th. M. Rassias. Topics in Polynomials: Extremal
Problems, Inequalities, Zeros. Singapore: World Scientific, 1994.
[2] V. A. Botta. Polinômios algébricos e trigonométricos com zeros reais. 2003. 85f. Dissertação
(Mestrado em Matemática Aplicada) - Instituto de Biociência, Letras e Ciências Exatas,
Universidade Estadual Paulista, São José do Rio Preto.
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