ISSN 1984-8218
Um estudo sobre Polinômios Similares aos Ortogonais
Fabricio Alves Oliveira
Ana Carla Piantella
Faculdade de Matemática, UFU
38400-902, Uberlândia, MG
E-mail: [email protected], [email protected],
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RESUMO
O estudo dos polinômios ortogonais está relacionado com vários ramos da Matemática e possui vasta aplicação em todos os tipos de problemas da Matemática Pura e Ciências Aplicadas.
Tais polinômios são ferramentas essenciais para a solução de muitos problemas de interpolação,
contribuem nos estudos relacionados a Equações Diferencias e Frações Contı́nuas e desempenham um papel importante como nós das fórmulas mais utilizadas de integração numérica, as
fórmulas de quadratura Gaussiana. Além disso, suas raı́zes possuem um comportamento muito
interessante: elas são reais, distintas, pertencem ao intervalo de definição dos mesmos e são
entrelaçadas, ou seja, entre duas raı́zes consecutivas do polinômio de grau n − 1, existe uma
única raiz do polinômio de grau n.
Esse comportamento peculiar das raı́zes dos polinômios ortogonais nos leva ao seguinte questionamento: será que existem polinômios diferentes dos ortogonais que possuem propriedades
semelhantes? Inspirados nesta questão, vamos apresentar neste trabalho os polinômios similares
aos ortogonais e os polinômios associados aos similares.
O objetivo principal deste trabalho é mostrar que os polinômios similares possuem propriedades análogas as dos polinômios ortogonais. Por exemplo, seus zeros também são reais, distintos,
estão todos contidos no seu intervalo de definição e são tais que entre dois zeros consecutivos do
polinômio de grau n − 1, existe um único zero do polinômio de grau n, ou seja, são entrelaçados.
Apresentaremos também os polinômios associados aos similares, bem como algumas propriedades e relações que eles satisfazem. Da mesma forma que os polinômios ortogonais, os similares
aos ortogonais e os associados aos similares também podem ser definidos recursivamente, pois
cada um deles também satisfaz uma determinada relação de recorrência de três termos. Enfatizamos que estes resultados podem ser encontrados na referência [1]. Uma descrição mais
detalhada dos conceitos e resultados que serão apresentados neste trabalho é dada a seguir.
Definição 1 Seja ψ uma função real, não decrescente, definida em (a, b). Chamamos de ponto
de aumento de ψ qualquer ponto ξ ∈ (a, b) tal que ψ não é constante em qualquer intervalo
da forma [ξ − ε, ξ + ε], onde ε > 0.
Definição 2 Seja ψ uma função definida em (a, b), não decrescente, limitada e com infinitos
pontos de aumento. Quando as integrais de Riemann-Stieltjes
∫ b
µk =
tk dψ(t),
(1)
a
existem, para k = 0, 1, 2, . . ., dizemos que ψ é uma distribuição em (a, b). Os valores µk são
chamados de momentos da distribuição ψ.
O número infinito de pontos de aumento na definição acima, nos garante que
∫ b
f (t)2 dψ(t) > 0,
a
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para qualquer função contı́nua e não identicamente nula em (a, b). Quando dψ(t) = w(t)dt,
temos que w(t) ≥ 0 em (a, b), mas não identicamente nula, e é chamada função peso.
Definição 3 Dizemos que uma sequência de polinômios {Pn (x)}∞
n=0 é uma sequência de polinômios ortogonais com relação à função peso w(x) no intervalo (a, b) quando
(i) Pn (x) é de grau exatamente n, n ≥ 0;
{
∫ b
0,
se n ̸= m
(ii) ⟨Pn (x), Pm (x)⟩ =
Pn (x)Pm (x)w(x)dx =
.
ρn > 0, se n = m
a
Quando os momentos definidos em (1) existem para k = 0, ±1, ±2, . . ., dψ(t) é dita uma distribuição forte em (a, b) e quando dψ(t) = w(t)dt, w(t) é chamada função peso forte. Além
disso, quando (a, b) ⊆ (0, ∞), dψ(t) recebe o nome de distribuição forte de Stieltjes, e
denotaremos por SS(a, b).
Definição 4 Seja dψ(t) uma distribuição SS(a, b). Definimos os polinômios similares aos
ortogonais, Bn (t), por
(i) Bn (t) é de grau exatamente n, n ≥ 0;
{
∫ b
0,
se s = 0, 1, . . . , n − 1
−n+s
(ii)
t
Bn (t)dψ(t) =
.
ρn > 0, se s = n
a
Definição 5 Os polinômios An (t), associados aos polinômios similares Bn (t), são definidos
por
∫ b
Bn (z) − Bn (t)
An (t) =
dψ(z).
(2)
z−t
a
Munidos dessas definições, mostraremos que os polinômios Bn (t) e An (t) safisfazem relações de
recorrência de três termos semelhantes a dos polinômios ortogonais. Além disso, apresentaremos algumas propriedades a respeito do comportamento dos zeros de tais polinômios. Mais
especificamente, vamos mostrar os seguintes resultados:
Teorema 1 Os zeros do polinômio similar Bn (t), n ≥ 1, são reais, distintos e pertencem ao
intervalo (a, b).
Teorema 2 Se tn,i é um zero do polinômio similar Bn (t) para n ≥ 1, então ele é diferente dos
zeros de An (t) e dos zeros de Bn−1 (t).
Teorema 3 Os zeros dos polinômios similares aos ortogonais Bn−1 (t) e Bn (t) são entrelaçados,
ou seja, entre dois zeros consecutivos de Bn−1 (t) existe um único zero do polinômio Bn (t).
Mais detalhes sobre os polinômios ortogonais e suas propriedades podem ser encontrados nas
referências [2] e [3].
Palavras-chave: Polinômios Ortogonais, Polinômios Similares, Polinômios Associados
Referências
[1] E. X. L. Andrade, C. F. Bracciali, “Polinômios Ortogonais e Similares - Propriedades e
Aplicações”, UNESP, 2007.
[2] T. S. Chihara, “An Introduction to Orthogonal Polynomial”, Mathematics and its Applications Series, Gordon and Breach, New York, 1978.
[3] G. Szego, “Orthogonal Polynomials”, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., vol. 23, 4th ed.,
Providence, RI, 1975.
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