Projeto Jovem Nota 10
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1. (Unesp 2004) Um recipiente, na forma de um cilindro circular reto de raio R e altura 32 cm, está até à
metade com água (figura 1). Outro recipiente, na forma de um cone circular reto, contém uma substância
química que forma um cone de altura 27 cm e raio r (figura 2).
a) Sabendo que R = (3/2) r, determine o volume da água no cilindro e o volume da substância química no
cone, em função de r. (Para facilitar os cálculos, use a aproximação ™ = 3.)
b) A substância química do cone é despejada no cilindro, formando uma mistura homogênea (figura 3).
Determine a concentração (porcentagem) da substância química na mistura e a altura h atingida pela mistura
no cilindro.
2. (Ita 2005) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede ¤Ë2 cm. O volume do sólido gerado pela
rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é ™ cm¤. Determine os ângulos deste triângulo.
3. (Ita 2006) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m£.
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4. (Ufpe 2004) Um plano que passa pelo vértice de um cone reto intercepta o círculo da base deste em uma
corda de comprimento 6. Este plano forma com o plano da base do cone um ângulo de 40° e a altura do cone
é 3,36. Indique o inteiro mais próximo do volume do cone. (Dado: use as aproximações tg 40° ¸ 0,84 e ™ ¸
3,14).
5. (Ufsc 2004) A geratriz de um cone eqüilátero mede 2Ë3 cm.
Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm£, e multiplique o resultado por Ë3.
6. (Ufscar 2003) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as
dimensões mostradas no desenho.
a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o
volume, em mL, ingerido pelo casal. Adote ™ = 3.
b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá
bebido?
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7. (Unesp 2004) Um recipiente tampado, na forma de um cone circular reto de altura 18 cm e raio 6 cm,
contém um líquido até a altura de 15 cm (figura 1). A seguir, a posição do recipiente é invertida (figura 2).
Sendo R e r os raios mostrados nas figuras,
a) determine R e o volume do líquido no cone em cm¤ (figura 1), como múltiplo de ™.
b) dado que r = ¤Ë91, determine a altura H da parte sem líquido do cone na figura 2. (Use a aproximação
¤Ë91 ¸ 9/2.)
8. (Unicamp 2004) O quadrilátero convexo ABCD, cujos lados medem, consecutivamente, 1, 3, 4 e 6 cm,
está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R.
a) Calcule o raio R da circunferência.
b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o círculo de raio R e cuja altura mede 5 cm.
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9. (Pucrs 2004) A figura abaixo mostra um cone inscrito num cilindro. Ambos têm raio da base x e altura
2x. Retirando-se o cone do cilindro, o volume do sólido resultante é
a) 2™x¤/3
b) 4™x¤/3
c) 8™x¤/3
d) 2™x£/3
e) 8™x£/3
10. (Ufg 2006) A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6 m de raio e 1,25 m de
profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma superfície horizontal plana.
Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60° com a vertical e que a terra retirada tenha volume 20%
maior do que o volume da piscina.
Nessas condições, a altura do cone, em metros, é de
a) 2,0
b) 2,8
c) 3,0
d) 3,8
e) 4,0
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11. (Ufscar 2003) A figura representa um galheteiro para a colocação de azeite e vinagre em
compartimentos diferentes, sendo um cone no interior de um cilindro.
Considerando h como a altura máxima de líquido que o galheteiro comporta e a razão entre a capacidade
total de azeite e vinagre igual a 5, o valor de h é
a) 7 cm
b) 8 cm
c) 10 cm
d) 12 cm
e) 15 cm
12. (Ita 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à
terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume
deste cone, em cm¤, é igual a
a) ™ R¤
b) ™ (Ë2) R¤
c) [™/(Ë2)] R¤
d) ™ (Ë3) R¤
e) [™/(Ë3)] R¤
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13. (Pucpr 2004) Um cone circular reto de volume A, um cilindro circular reto de volume M, e uma esfera
de volume C têm todos o mesmo raio, e a altura comum do cone e do cilindro é igual ao diâmetro da esfera.
Para estes sólidos, qual das seguintes relações é válida?
a) A - M + C = 0
b) A + M = C
c) 2A = M + C
d) A£ - M£ + C£ = 0
e) 2A + 2M = 3C
14. (Pucsp 2006) Considere o triângulo isósceles ABC, tal que AB = BC = 10 cm e CA = 12 cm. A rotação
desse triângulo em torno de um eixo que contém o lado AB gera um sólido cujo volume, em centímetros
cúbicos, é
a) 256™
b) 298,6™
c) 307,2™
d) 316™
e) 328,4™
15. (Uerj 2004) Para revestir externamente chapéus em forma de cones com 12 cm de altura e diâmetro da
base medindo 10 cm, serão utilizados cortes retangulares de tecido, cujas dimensões são 67 cm por 50 cm.
Admita que todo o tecido de cada corte poderá ser aproveitado.
O número mínimo dos referidos cortes necessários para forrar 50 chapéus é igual a:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
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16. (Ufla 2006) Um reservatório de forma cônica para armazenamento de água tem capacidade para atender
às necessidades de uma comunidade por 81 dias. Esse reservatório possui uma marca a uma altura h para
indicar que a partir desse nível a quantidade de água é suficiente para abastecer a comunidade por mais 24
dias. O valor de h é
a) h = (2/9)H
b) h = (2/3)H
c) h = (8/27)ËH
d) h = (1/10) ¤ËH
e) h = (1/2)H
17. (Ufmg 2004) Um cone é construído de forma que:
- sua base é um círculo inscrito em uma face de um cubo de lado a; e
- seu vértice coincide com um dos vértices do cubo localizado na face oposta àquela em que se encontra a
sua base.
Dessa maneira, o volume do cone é de
a) ™a¤/6.
b) ™a¤/12.
c) ™a¤/9.
d) ™a¤/3.
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18. (Ufsm 2003) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o
raio da base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16™ cm¤, o raio da esfera é dado por
a) Ë3 cm
b) 2 cm
c) 3 cm
d) 4 cm
e) 4 + Ë2 cm
19. (Ufv 2004) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma folha circular de raio 30 cm,
recortando-se um setor circular de ângulo š = 2™/3 radianos e juntando os lados. A área da base do chapéu,
em cm£, é:
a) 140™
b) 110™
c) 130™
d) 100™
e) 120™
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20. (Unesp 2006) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min.
O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas
na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação.
Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm¤ = 1 ml, e usando a
aproximação ™ = 3, o volume, em ml, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação
é, aproximadamente,
a) 120.
b) 150.
c) 160.
d) 240.
e) 360.
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GABARITO
1. a) volume da água no cilindro: 108r£ cm¤; volume da substância química na mistura: 27r£ cm¤
b) 20% ; h = 20 cm
2. 30°, 60° e 90°.
3. 96™ m£
4. 88
5. 9
6. a) 500 ml
b) 87,5%
7. a) R = 5 cm e V = 125™ cm¤
b) H = 27/2 cm
8. a) R = 3(Ë66)/8 cm
b) 495™/32 cm¤
9. [B]
10. [C]
11. [C]
12. [E]
13. [A]
14. [C]
15. [B]
16. [B]
17. [B]
18. [C]
19. [D]
20. [A]
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