PLANO
CARTESIANO
Produção: Patrizia Lovatti
Representando
pares ordenados
de reais
O professor de Matemática construiu um
quadro com as notas de seus alunos, na
última prova que ele aplicou.
Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota
8 9 10 6 7 6 5 7 8 4
Os dados desse quadro podem ser
representados, também, pelos
pares ordenados
Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota
8 9 10 6 7 6 5 7 8 4
Os dados desse quadro podem ser
representados, também, pelos
pares ordenados
Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota
8 9 10 6 7 6 5 7 8 4
(1,8)
Os dados desse quadro podem ser
representados, também, pelos
pares ordenados
Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota
8 9 10 6 7 6 5 7 8 4
(1,8)
(2,9)
Os dados desse quadro podem ser
representados, também, pelos
pares ordenados
Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota
8 9 10 6 7 6 5 7 8 4
(1,8)
(2,9)
(3,10)
Os dados desse quadro podem ser
representados, também, pelos
pares ordenados
Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota
8 9 10 6 7 6 5 7 8 4
(1,8)
(2,9)
(3,10)
(4,6)
Os dados desse quadro podem ser
representados, também, pelos
pares ordenados
Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota
8 9 10 6 7 6 5 7 8 4
(1,8)
(5,7)
(2,9)
(3,10)
(4,6)
Os dados desse quadro podem ser
representados, também, pelos
pares ordenados
Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota
8 9 10 6 7 6 5 7 8 4
(1,8)
(2,9)
(5,7)
(6,6)
(3,10)
(4,6)
Os dados desse quadro podem ser
representados, também, pelos
pares ordenados
Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota
8 9 10 6 7 6 5 7 8 4
(1,8)
(2,9)
(3,10)
(5,7)
(6,6)
(7,5)
(4,6)
Os dados desse quadro podem ser
representados, também, pelos
pares ordenados
Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota
8 9 10 6 7 6 5 7 8 4
(1,8)
(2,9)
(3,10)
(4,6)
(5,7)
(6,6)
(7,5)
(8,7)
Os dados desse quadro podem ser
representados, também, pelos
pares ordenados
Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota
8 9 10 6 7 6 5 7 8 4
(1,8)
(2,9)
(3,10)
(4,6)
(5,7)
(6,6)
(7,5)
(8,7)
(9,8)
Os dados desse quadro podem ser
representados, também, pelos
pares ordenados
Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota
8 9 10 6 7 6 5 7 8 4
(1,8)
(2,9)
(3,10)
(4,6)
(5,7)
(6,6)
(7,5)
(8,7)
(9,8)
(10,4)
Nessa representação, convencionamos
que o 1º elemento de cada par indica
o número do aluno e o 2º elemento, a
nota que ele tirou.
Os pares (5,7) e (7,5), por exemplo,
são diferentes. Apesar de serem
constituídos pelos mesmos elementos,
eles estão dispostos numa ordem
diferente.
Em um par ordenado qualquer (a,b),
chamamos
a - abscissa
b - ordenada
a e b - coordenadas
No par ordenado (5,7), por exemplo,
a abscissa é 5, a ordenada é 7, e as
coordenadas são 5 e 7.
Qual a condição para que
os pares ordenados (a,b)
e (b,a) sejam iguais?
R: a deve ser igual a b
Pode ocorrer a igualdade
(3, x+y) = (x-y,-5) ?
R: Sim
Para que valores de x e y ?
R: Para x = -1 e y = -4
Observe:
(3, x+y) = (x-y,-5)
3 = x-y
y = x-3
x+y=-5
Substitui-se na 2ª:
x+(x-3)=-5
2x=-2
x=-1
y=-1-3
y=-4
Vamos estudar agora, de modo especial,
o conjunto dos pares ordenados de nos
reais. Ele é representado por R2 e pode
ser definido assim:
R2 = {(x,y); x e R e y e R}
Por exemplo,
-3 e R e 2 e R
(-3,2) e R2
Você já sabe que os nos reais podem
ser associados a pontos de uma
reta - a reta real ou eixo real.
Os pares ordenados de números reais
podem,também, ser associados a
pontos. Essa correspondência se dá
por meio do plano cartesiano.
O plano cartesiano é determinado por
dois eixos perpendiculares, que se
interceptam na origem O de cada
um deles.
.
P (a,b)
a
y
Ordenadas
b
.
Abscissas
O (0,0)
x
Origem
O eixo horizontal (x) é o eixo das
abscissas, orientado para a direita; e o
eixo vertical (y) é o eixo das ordenadas,
orientado para cima.
Observe os pares ordenados abaixo.
A (-7,4)
D (9/2,1)
G (p,5)
B (-3,-2)
E (7,0)
H (-3,0)
C (2,-1)
F (0,3)
I (-6,-7/2)
Na figura seguinte, vamos marcar os
pontos correspondentes a esses pares
ordenados.
A (-7,4)
D (9/2,1)
G (p,5)
B (-3,-2)
E (7,0)
H (-3,0)
C (2,-1)
F (0,3)
.
y
A
.
.
H
.
I
B
.
F
.
I (-6,-7/2)
G
. .
.
D
C
E
x
Observe que os pontos do eixo x têm
ordenada nula (E e H) e os pontos do
eixo y têm abscissa nula (F).
.
y
A
.
.
H
.
I
B
.
F
.
G
. .
.
D
C
E
x
Os eixos coordenados dividem o plano
em quatro regiões, chamadas quadrantes.
y
2º quadrante
(-,+)
1º quadrante
(+,+)
x
3º quadrante
(-,-)
4º quadrante
(+,-)
O plano cartesiano estabelece, portanto,
uma correspondência entre ponto e par
ordenado de reais, de forma que
A cada ponto do plano está associado
um único par ordenado de reais;
A cada par ordenado de reais está
associado um único ponto do plano.
Sendo a e b nos reais não-nulos, em
que quadrante está o ponto (-a,b) ?
R: Não é possível saber.
Observe os quatro exemplos:
a=1 e b=2
(-a,b)=(-1,2)
2º Q
a=1 e b=-2
(-a,b)=(-1,-2)
3º Q
a=-1 e b=2
(-a,b)=(1,2)
1º Q
a=-1 e b=-2
(-a,b)=(1,-2)
4º Q
Podem dois pares ordenados distintos
serem representados pelo mesmo
ponto do plano cartesiano ?
R: Não
INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES
No universo as coisas dependem
umas das outras. É essa relação de
dependência que faz do mundo um
organismo vivo, dinâmico, cujos
elementos se comunicam, se
relacionam e interagem
continuamente.
GRANDEZAS
Estudar, representar
e analisar as relações
de dependência
entre as grandezas
é o objetivo
básico da Ciência,
desde os seus
primeiros momentos.
Quando se solta uma pedra, ela cai.
Por que ela cai? O que provoca sua
queda? O que ocorre com sua
velocidade durante a queda?
E ao se soltar uma pedra mais
pesada? Muda alguma coisa?
E se a mesma experiência
fosse feita na superfície
da Lua?
Ao estudar um fenômeno natural,
a preocupação básica da Ciência
é descobrir os fatores que nele
influem e analisar de que forma
essa influência se dá.
Nesse processo,
as variáveis
envolvidas
são geralmente
relacionadas
por meio de
fórmulas,
tabelas ou
gráficos.
Ex.1:
Tabela:
x
1
Fórmula: y = 2x + 4
Gráfico:
y
6
2 8
0 4
-2 0
-3 -2
.
.
.
.
.
y
Função
de 1º
grau:
Reta
x
Ex.2:
Tabela:
x
1
y
2
-1
0
2
-2
2
1
5
5
Fórmula: y = x2 + 1
Gráfico:
y
. .
..
.
Função
de 2º
grau:
Parábola
x
Função – uma lei
Fórmula: y = 2x + 4
1
6
-2
0
2
0
4
-3
Domínio
8
-2
Contra-domínio
Função – representação
f: A
Domínio
B
Contra-domínio
E a imagem?
Ex.: Dados os conjuntos A={1;2;3} e
B={2;4;6;8} e a função f: A
B
representada por f(x)=2x.
Observe o diagrama que representa f.
1
3
2
2
6
4
8
E a imagem?
Domínio = A={1;2;3}
Contra-domínio = B={2;4;6;8}
Imagem = {2;4;6}
1
3
2
2
6
Imagem
4
8
Função – uma máquina
1 2
7
Máquina de
dobrar
2
14
4
O que é?
É um modo especial de relacionar grandezas.
Nesse tipo de relação, duas grandezas, x e y,
se relacionam de tal forma que:
• x pode assumir qualquer valor em um conjunto
A dado;
• a cada valor de x corresponde um único valor
de y em um dado conjunto B;
• os valores que y assume dependem dos valores
assumidos por x.
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x1
y1
x2
x3
y3
É função.
É função.
x1
y1
y2
x3
y3
x1
y1
x2
y2
x3
Não é função.
Não é função.