GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Métodos Geométricos Auxiliares II
Mudança de Diedros (Mudanças Sucessivas)
© antónio de campos, 2009
GENERALIDADES
Os processos geométricos auxiliares permitem obter uma representação
mais conviniente de um determinado objecto, para assim poder resolver
problemas e situações que a representação inicial não nos permite.
A mudança de diedros de projecção consiste em introduzir novos planos de
projecção (substituindo os planos de projecção iniciais) em posições mais
favoráveis em relação ao objecto projectado.
Será abordado neste estudo, as mudanças sucessivas de diedros, com dois
ou mais novos planos de projecção. Mesmo assim, cada novo plano de
projecção será ortogonal ao plano de projecção que se manteve.
Transformação de um Segmento de Recta Oblíquo
num Segmento de Recta de Topo
Pretende-se transformar um segmento de recta oblíquo [AB] num segmento
de recta de topo, com o recurso à mudança do diedro de projecção.
A2
B2
2
1
x
A1
O eixo x é a recta
de intersecção do
plano 1 com o
plano 2.
B1
Primeiro é
necessário
transformar o
segmento de
recta [AB] num
segmento de
recta horizontal,
com um novo plano
(plano 4) paralelo
ao segmento de
recta,
substituindo o
Plano Horizontal
de Projecção
(plano 1).
Mantém-se o Plano Frontal de
Projecção, pelo que se mantém as
projecções frontais e os seus
afastamentos. A4 e B4 são
determinados com o mesmo
afastamento.
A seguir, é
necessário um
novo plano (plano
5) para obter o
segmento de
recta de topo.
Será ortogonal ao
segmento de
recta e substitui
o Plano Frontal de
Projecção. O eixo
x’’ é ortogonal a
[A4B4].
A2
B2
2
1
x
A1
B1
Mantém-se o plano 4, pelo que se
mantém as projecções dos pontos
nesse plano (A4 e B4), bem como
as suas cotas. A5 e B5 são
determinados com a mesma cota.
Transformação de um Segmento de Recta Oblíquo
num Segmento de Recta Vertical
Pretende-se transformar um segmento de recta oblíquo [AB] num segmento
de recta vertical, com o recurso à mudança do diedro de projecção.
A2
B2
2
1
x
A1
O eixo x é a recta
de intersecção do
plano 1 com o
plano 2.
B1
Primeiro é
necessário
transformar o
segmento de
recta [AB] num
segmento de
recta frontal,
com um novo plano
(plano 4) paralelo
ao segmento de
recta,
substituindo o
Plano Frontal de
Projecção (plano
2).
Mantém-se o Plano Horizontal de
Projecção, pelo que se mantém as
projecções horizontais e as suas
cotas. A4 e B4 são determinados
com a mesma cota.
A seguir, é
necessário um
novo plano (plano
5) para obter o
segmento de
recta vertical.
Será ortogonal ao
segmento de
recta e substitui
o Plano Horizontal
de Projecção. O
eixo x’’ é
ortogonal a
[A4B4].
A2
B2
2
1
x
A1
B1
Mantém-se o plano 4, pelo que se
mantém as projecções dos pontos
nesse plano (A4 e B4), bem como
os seus afastamentos. A5 e B5
são determinados com o mesmo
afastamento.
Transformação de uma Recta Oblíqua
numa Recta Fronto-horizontal
Pretende-se transformar uma recta oblíqua r numa recta fronto-horizontal,
com o recurso à mudança do diedro de projecção.
Primeiro é necessário
transformar a recta r
numa recta frontal, com
um novo plano (plano 4)
paralelo à recta,
substituindo o Plano
Frontal de Projecção
(plano 2).
r2
M2
N2
2
1
x
N1
M1
r1
Também seria possível
começar por transformar
a recta r numa recta
horizontal.
Depois é necessário ober
dois pontos (M e N)
quaisquer da recta para
auxiliar a nova projecção.
Mantém-se o Plano Horizontal de
Projecção, pelo que se mantém as
projecções horizontais dos
pontos e as suas cotas. M4 e N4
são determinados com a mesma
cota.
A seguir, é
necessário um
novo plano (plano
5) para obter a
recta frontohorizontal.
Será ortogonal à
recta r e
substitui o Plano
Horizontal de
Projecção. O eixo
x’’ é paraleo a r4.
r2
M2
N2
2
1
x
N1
M1
r1
Mantém-se o plano 4, pelo que se
mantém as projecções dos pontos
nesse plano (M4 e N4), bem como
os seus afastamentos. M5 e N5
são determinados com o mesmo
afastamento.
É dado um segmento de recta oblíquo [AB], sendo A (-3; 4; 5) e B (1; 2; 1).
Determina a V.G. de AB, transformando previamente [AB] num segmento de
recta vertical com 2 cm de afastamento.
y≡ z
A2
B2
2
1
x
B1
A1
É dado um segmento de recta oblíquo [MN], sendo M (3; 1; 5) e N (-1; 3; 1).
Determina a V.G. de MN, transformando previamente [MN] num segmento de
recta fronto-horizontal com 2 cm de afastamento e 4 cm de cota.
y≡ z
M2
N2
2
1
x
M1
N1
É dada uma recta oblíquo r, paralela ao β2,4. A recta contém o ponto R (3; 2) e
a sua projecção horizontal faz um ângulo de 40º (a.e.) com o eixo x. Utiliza o
processo de mudança de diedro de projecção para transformar a recta r numa
recta de topo com 2 cm de cota.
F2
R2
F1
x
r2
R1
r1
2
1
É dada uma recta oblíquo r, paralela ao β1,3. A recta contém o ponto A (4; 2) e
a sua projecção frontal faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Utiliza o
processo de mudança de diedro de projecção para transformar a recta r numa
recta vertical com 4 cm de afastamento.
r2
A2
H2
2
1
x
H1
r1
A1
plano 2 (xz)
r2
r
A2
A
H2
x
H ≡ H1
A1
r1
plano 1 (xy)
plano 4
plano 2 (xz)
r2
A2
r4
r
A4
H4
x’
x
A
H2
H ≡ H1
A1
r1
plano 1 (xy)
plano 4
r4
r
A4
H4
x’
A
H ≡ H1
A1
r1
plano 1 (xy)
plano 4
plano 5
r4
r
A4
H4
x’
x’’
A5 ≡ H5 ≡ (r5)
A
H ≡ H1
A1
r1
plano 1 (xy)
plano 4
plano 5
r4
r
A4
H4
A5 ≡ H5 ≡ (r5)
A
H
x’’
plano 4
r4
H4
r
H
A4
A
x’’
A5 ≡ H5 ≡ (r5)
plano 5