Cap. 4. Deformação
1. Deslocamento
2. Gradiente de deslocamento
2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar
2.2 Significado físico da rotação pura
3. Tensor de deformação de Lagrange
4. Tensor das pequenas deformações
4.1 Caracter tensorial das deformações
4.2 Teoria geometricamente linear
4.3 Significado físico das pequenas deformações
4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)
4.3.2 Variação do ângulo
4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção)
4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário
5. Deformação volúmica
6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas
7. Equações de compatibilidade
8. Forma matricial das equações introduzidas
9. Estados de deformação
10. Vector das deformações
Deformação é outra das repostas do MC ao carregamento
Cada vizinhança dos pontos interiores do MC depois da aplicação
do carregamento muda:
a sua posição (translação e rotação)
o seu volume (parte volúmica do tensor da deformação)
a sua forma
(parte desviatórica do tensor da deformação)
1. Deslocamento
u  u, v, w 
T
vector que liga a posição inicial com a posição final, de cada ponto do MC
não é preciso definir uma vizinhança para poder definir o vector de deslocamento
Deslocamento é “visível”, pode-se medir, pelo menos na superfície,
ao contrário de tensão, que é a nossa ficção
M
2. Gradiente de deslocamento
Os dois pontos têm as coordenadas no referencial 0xyz,
assim o vector que os liga tem as componentes:
Escolhe-se ponto P,
e Q na vizinhança
elementar de P
x  x Q  x P
Q

uQ
u
Q
z
0
x

uP
P
P
y
s  s
analogamente
P, Q
z  zQ  z P
s  x, y, zT
u  u Q  u P 
s
s
s
y  yQ  yP
s  s u
u
u
u
u 
x  y  z
x
y
z
v  ...
w  ...
Não há deformação, comportamento do corpo rígido
2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar
Para definir a deformação precisa-se apenas a variação de forma e de volume,
por isso tem que se eliminar de {Δs’} a translação e a rotação do corpo rígido
s  s u  s M s ...
 u
 x

M   v
 x
 w

 x
u
y
v
y
w
y
u   u

z   x

v  

z  
w  
 sim
z  
  1 M  MT 
expansão de Taylor
1  u v  1  u w  
0
  
 

2  y x  2  z x  
v
1  v w   
 
 
y
2  z y   
 
w
 antisim
z
 


Posição
2
1  u v  1  u w 
  
 

2  y x  2  z x 
1  v w  
0
 

2  z y  

0



Forma e volume
s  I s M s ...  I   s
p. desviatórica
Translação
p. volúmica
Rotação
Deformação
Translação pura
s  I s u  0
s  I   s
u  s P  P  0
P
Q
Q
P
P  P
Rotação pura
1  u v 
  
2  y x 
xz  


0
 yz   
0  
ant isim


Deformação pura s  I    s
P  P  u 1  u v 
u  s
  

 x 2  y x 
  x  xy  xz 

v



  
 y  yz 
y

sim
 z 
sim


xy
 0
  
0
ant isim
1  u w 
 

2  z x 
1  v w  
 
 
2  z y  
0



1  u w 
 

2  z x 
1  v w  
 
 
2  z y  
w


z

2.2 Significado físico da rotação pura
Plano (x,y)
xy  0 
v
u  u


 tg  
x
y
y
1  u v 
  
xy  

2  y x 
 s
u
y
x

k

 
u     s  0
0 z
x y 0

P  P
 0
   z
  y
 z
0
x
Q
s

DCR

j
Q
u  0
y
u  0   x   y 
   
 


v   0  y   x 

i
  1

x
y 

 x 
0 
v
As componentes do tensor de rotação têm significado físico da rotação
do corpo rígido, quando as componentes << 1
Desprezando a condição
  1
x  1 0 0    x 
  
s         


y  0 1  0   y 
1   x  cos  sin  x 
 1   y    sin  cos   y   B s

   
  
Recorda-se que a matriz [B] corresponde a rotação de base de um referencial.
Das relações em cima:
s  s
Rotação finita tem que usar
funções trigonométricas
P  P
Q
 s v
u
 s

Q
3. Tensor de deformação de Lagrange
Alternativamente, exprimindo a diferença entre os quadrados das normas
dos comprimentos novos e originais, obtém-se directamente a deformação,
ou seja já com a translação e a rotação do corpo rígido eliminadas
s  s  s  u  s  u s  s
2
2
T
T
 u  s s  u u  u
T
T
T
 M s  s s  M s  M s  M s
T
T
T
 s  M  s s  M s s  M  M s
T
T

T
T

T
 s  M  M M  M  s  2s   L s
T
T
T
  1 MT  M  L    1 MT  M
2
2
T
Tensor de deformação
de Lagrange
4. Tensor das pequenas deformações
Quando componentes do gradiente de deformação
L

1
T
   M   M   
2
L  
Mij  1
Joseph Lagrange (1736-1813)
Termo de ordem maior,
ou seja desprezável
chama-se tensor das pequenas deformações
4.1 Caracter tensorial das deformações
Lei do quociente: derivando o vector (tensor da 1ª ordem)
obtém-se um tensor da 2ª ordem
 e  L
são tensores simétricos, como se viu da definição
Pode-se usar toda a teoria desenvolvida para tensores simétricos:
Deformações principais, direcções principais, circunferência de Mohr, quádricas, ...
A rotação [ω] é tensor da 2ª ordem, antissimétrico
As componentes de deformação não têm unidade, às vezes usa-se μ=10-6
4.2 Teoria geometricamente linear
Teoria das pequenas deformações
quando
 L  
, usa-se então

A teoria das pequenas deformações não impede deslocamentos grandes
a limitação de grandeza é aplicada apenas para as derivadas
Exemplos: translação pura, rotação pura
Teoria dos pequenos deslocamentos
pequenas deformações
Não se distingue a posição inicial e a final do MC, superfície do MC assume-se
igual antes a depois da aplicação da carga, as equações de equilíbrio escrevem-se
para a forma não-deformada.
Chama-se teoria geometricamente linear
Igualmente teoria da I ordem
Teoria da II ordem
Estabilidade
As equações de equilíbrio (e distribuição dos esforços internos)
escrevem-se na forma deformada
4.3 Significado físico das pequenas deformações
4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)
Extensão, ou seja
Componente normal
u
x 
x
A definição corresponde à variação
do comprimento projectado
na direcção original
L  L
P
P
L
Q
~
Q
L infinitesimal
x
Q
~

u
P Q  PQ
PQ  PQ L
P
x 
 lim
 lim

PQ 0
x P PQ 0 PQ
L
PQ
ângulo é pequeno
L  L  L  L
L  L
 L 1   Px
L

L  Px  L
Extensão tem significado físico de variação relativa do comprimento
Positiva quando aumenta o comprimento

Prova
Assume-se uma fibra alinhada com eixo coordenado x
de comprimento original Δx, ou seja
s  x,0,0T
s  s
Queremos provar, que:
s

s  x
x
 x
Para as pequenas deformações temos:
s  s  s  x 2  2s   s  2 x x 2
2
2
2
T
Voltando a relação anterior:
 s 
s  x


 

x

x




2
2





s



1   
 1  1  1 

  x 




 s 2  x 2 


 1  1

2
x




pequeno
2 x x
2


1

1

2


1

1

2


1


x
x
x 1  1  x 1  x
2
x
2
4.3.2 Variação do ângulo
Não depende do referencial
A 
B




n
n
Assume-se ângulo  formado pelas duas fibras definidas pelos versores
,
Pode-se provar que
 
2n
 A T


  n   An   Bn cos
sin 
B 
nA  nA  M nA
nB  nB  M nB
Exprime-se o produto interno dos versores depois da deformação
n  n  n  M n   nB  M nB  
 A T
B 
 A T
B 
 A T
n  n  n  M n  n  MT  nB 
 A T
n  MT  M nB 
 A T
B 
 A T
n  n  n  MT  M nB 
 A T
B 
 A T
B 
 A T
n  n  2n   n  cos  2n   nB
 A T
B 
A 
A 
T
Exprime-se novamente o produto interno dos versores depois da deformação
 A   B 
 A T
B 
n
 n 

 n

n

cos   

 A 
A  B 
n 1   n n 1   Bn  cos  cos  sin  sin  
1   1   cos   sin  
cos   sin      cos  
A
n
B
n

cos   sin   cos   sin   
A
n
 An   Bn
Comparando
cos  2n
 A T
2n
 A T
 
B
n
A
n
  Bn  sin  

  Bn cos
A
n


  n  cos   sin    An   Bn cos
B 


  n   sin    An   Bn cos
B 
2n
 A T


  n   An   Bn cos 
sin 
Ângulo originalmente recto
B 


2
  2n
 A T
  n
B 
4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção)
 xy
Distorção
Componente tangencial, angular
Pode-se provar, que
u v


y x
u
y

x
y
 xy    

v
x
Na figura é importante introduzir todas as variações nos sentidos positivos,
assim os dois ângulos são positivos e somam-se
A distorção é positiva, quando o ângulo diminui-se
Já foi provado, que
Introduzindo
  n
  2n
 A T
B 
nA  1,0,0T, nB  0,1,0T
  2n
 A T
  n
B 
 2 xy
u
u v
v
  tg 
  

 2 xy   xy
  tg 
y
y x
x
Componente tensorial
Distorção “de engenharia”

tem significado físico de variação angular do ângulo originalmente recto
Assim a componente tensorial  xy corresponde à média dos dois ângulos
A representação da deformação angular “pura”
tem que ser de modo que cada um dos ângulos
correspondesse a esta média, ou seja tem que se
retirar a rotação do corpo rígido
1  u v 
 
xy      yx 
2  y x 
2
u
y

 
2

x
v
 
2
Roda o eixo azul do ângulo que fazem os braços depois da deformação (azuis)
pelo xy positivamente, até atingir o eixo do ângulo recto (vermelho)
4.3 Representação geométrica no quadrado elementar unitário
y
deformação
Ajustar os
ângulos
x
u
u
y
y
v
v  y
y
0,1
 xy
y
x
v
v  x
x
u
1,1
1,0
A’
B
A
v
translação
u
u  x
x
Retira-se a translação e a rotação, dimensões
unitárias elementares (infinitesimais)
y
0,0
rotação
C
inicial
Rectângulo
elementar
B’
C’
 xy
x
u  x x  xy y v  yy  xy x
caso :  x  0,  y  0,  xy  0
Campo do deslocamento linear
Campo de deformações uniforme
Planos transformam-se para planos, rectas para rectas
5. Deformação volúmica
Referencial principal
Paralelepípedo elementar: volume inicial: V  xyz
Ângulos rectos transformam-se para ângulos rectos (distorções são nulas)
Volume depois da deformação:
V  1  1 1   2 1  3 xyz
 1  1   2  3  21 2  213  2 23  1 23 xyz
Variação do volume:
V  V  V  1  2  3  212  213  223  123 xyz  I1 V
V  I1  x  y  z  1  2  3 V   V V
Deformação volúmica:
Separação em parte volúmica e desviatórica, parte desviatórica tem o 1.
invariante=0, ou seja a parte desviatórica não causa uma alteração de volume
As distorções não causam alterações de volume, apenas de forma
6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas
As medições têm que corresponder a
1 ponto ou a distribuição das deformações
têm que ser uniforme
Comprimento novo: L+ΔL
b
c


Base de medição: L

Podem-se medir apenas as extensões
Sabemos:  a ,  b ,  c incógnitas:  x ,  y ,  xy
Devido ao sistema de coordenadas introduzido:  a
x
a
 x
b   x cos2    y sin 2   2 xy sin cos 
c  x cos2      y sin 2     2 xy sin   cos  
x
7. Equações de compatibilidade
Equações de integrabilidade
6 componentes da deformação versus 3 componentes do deslocamento
deslocamentos
deslocamentos
deformações
???
deformações
Verificação da possibilidade física
Meio contínuo é contínuo após deformação, ou seja, juntando cada
paralelepípedo deformado não haverá espaços vazios
 2  xy  2 x  2 y Mais duas equações pela
 2  2
xy y
x “permutação” positiva
 2 x
   y z  zx  xy 
2
 



yz x  x
y
z 
Mais duas equações pela
“permutação” positiva
Em 2D
 2  xy  2 x  2 y
 2  2
xy y
x
Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, 1797 - 1886
8. Forma matricial das equações introduzidas
   ,  ,  ,  ,  ,  
   ,  ,  ,  ,  ,  
T
Componentes de tensão
e deformação na forma vectorial
x
z
yz
xz
xy
T
x
introduzindo
y
y
z
yz
xz
xy
0
0
0
 / z  / y 
 / x
    0  / y 0  / z 0  / x 
 0
0
 / z  / y  / x
0 
Equações deformações - deslocamento
Equações de equilíbrio
    u
  f   0
T
introduzindo

 0

~  
 
 z
 
 y




z
0

x
 
y 



x 

0 

Equações de compatibilidade
 
~
~T
     0
    0
2
Vector das tensões
t   n
introduzindo
n x
nˆ    0
0

0
0
0
nz
ny
0
nz
0
0
nz
ny
nx
t  nˆ  
Equações de equilíbrio
   / x,  / y,  / z 
T
  f   0
ny 

nx 
0 
9. Estados de deformação
Homogéneo ou uniforme:
as componentes do tensor das deformações não variam com a posição
são constantes, por isso o campo dos deslocamentos é linear
deformação
volúmica pura
extensão pura
distorção pura
distorção pura
mas com a rotação
10. Vector das deformações
   n
Componentes cartesianas não se usam muito
Componentes intrínsecas
Componente normal equivale a extensão
da fibra na direcção definida por {n}
n   n  n  n   n
Não dependem do referencial
Não se usa a componente tangencial, mas a variação
do ângulo entre as fibras originalmente rectas
definidas pelos versores n  A , n  B 
 
T
T
  2n   n
A
B