Números reais
Os números reais podem ser
ordenados e representados numa reta.
0
-1.87
2
4.55
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Inequações, gráficos e notações
Inequações
Representação
3< x ≤7
(
]
3
7
(
x>5
Intervalos
( 3, 7]
( 5, ∞ )
5
1
x≤−
3
]
1
−
3
) ou (indica “não incluído na solução”n
] ou [ incluído na solução
1

 −∞, − 
3

Intervals
Intervalos
Representação na
reta
(a, b)
a
b
[a, b]
a
[
b
]
(a, b]
a
(
b
]
[a, b)
a
b
[
)
(a, ∞ )
a
(
(-∞ , b]
(3, 5)
[4, 7]
(-1, 3]
[-2, 0)
3
5
(
)
4
7
[
]
-1
3
(
]
-2
0
[
)
1
(
(1, ∞ )
(
2
b
(-∞ , b)
[a, ∞ )
)
Exemplo
)
(-∞ , 2)
a
[
[0, ∞ )
b
]
(-∞ , -3]
)
0
[
-3
]
Valor absoluto
 a if a ≥ 0
a =
−a if a < 0
Exemplo:
3 − 8 = −5 = −(−5) = 5
if = se
Note o sinal
oposto
5 − 2 − 5 − 3 = 5 − 2 − (3 − 5) = 2 5 − 5
Propriedades dos valores
absolutos
Se a e b são números reais, então:
Exemplo
Propriedade 1
−a = a
Propriedade 2
ab
Propriedade 3
a
a
=
b
b
Propriedade 4
=
−4 = − ( −4) = 4 = 4
a
b
(b ≠ 0 )
a+b ≤ a + b
( 2)( −3) = −6 = 2 −3
−2
−2
2
=
=
3
3
3
8 + (−5) = 3 ≤ 8 + −5 = 13
Expoentes
n,m inteiro,
positivo
Definição
n fatores
a
n
a
0
a =1
−n
−n
a
a
m/n
a
−m / n
Exemplo
n
a = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
0
a
a
a
−m / n
320 = 1
( a ≠ 0) 2
n
= a
=
5 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125
( a ≠ 0)
1
= n
a
m/n
3
m
1
n
a
m
1
1
= 4 =
16
2
−4
= 1252 = 25
−3 / 2
3
125
4
 
9
3
2/3
27
9
=   =
8
4
Leis dos Expoentes
Lei
m n
Exemplos
x x =x
mn
(3 )
a a =a
(a )
m
n
=a
am
m−n
=
a
an
( ab )
n
n
3 12
m+ n
= a nb n
n
a
a
 
  = n
b
b
5
6
3+12
5(6)
=3
15
=x
30
=3
y14
14 −12
2
=y
=y
12
y
4
( 3r ) = 34 r 4 = 81r 4
3
3
4
64
 4
  = 3= 3
x
x
 x
Expressões Algébricas
• Polinômios
• Expressões racionais
• Outras
Polinômios
• Adição
(
) (
3 x 3 − 2 x 2 + 7 x + 15 + 5 x 3 − 13 x + 12
3
2
)
3
3 x − 2 x + 7 x + 15 + 5 x − 13 x + 12
8 x 3 − 2 x 2 − 6 x + 27 Combinação de termos iguais
• Subtração
(
) (
x3 − x 2 + 6 x + 1 − 3x3 − x 2 + 2 x
)
x 3 − x 2 + 6 x + 1 − 3 x 3 + x 2 − 2 x Distribuição
− 2 x 3 + 4 x + 1 Combinação de termos iguais
Polinômios
• Multiplicação
( 2 x − 5 )( 3 x + 2 )
2 x (3 x + 2) − 5(3 x + 2)
6 x 2 + 4 x − 15 x − 10
6 x 2 − 11x − 10
Fatoração de polinômios
• Maior fator comum em evidência
6t 3 − 36t 2
6t 2 ( t − 6 )
Os termos tem 6t2 em comum
• Agrupamento
mx 2 + mx − 2 x − 2
Fator mx
Fator –2
mx ( x + 1) − 2 ( x + 1)
( mx − 2 )( x + 1)
Fatoração de polinômios
• Diferença de dois quadrados:
x 2 − y 2 = ( x − y )( x + y )
2
Ex. m − 9
( m − 3 )( m + 3 )
• Soma/Diferença de dois cubos:
(
x3 ± y 3 = ( x ± y ) x 2 m xy + y 2
3
Ex. 8 x + 1
(
2
2
x
+
1
4
x
− 2x +1
(
)
)
)
Fatoração de polinômios
• Trinômios
2
Ex. x − 5 x + 6
( x − 3 )( x − 2 )
Tentativa e erro
3
2
6
x
+
27
x
+ 12 x
Ex.
(
3x 2 x2 + 9 x + 4
)
3 x ( 2 x + 1)( x + 4 )
Maior fator comum
Tentativa e erro
Raiz de polinômios
• Encontrando raiz por fatoração
(quando o polinômio = 0)
2
Ex. 2 x + 5 x − 3 = 0
( 2 x − 1)( x + 3 ) = 0
2 x − 1 = 0 or x + 3 = 0
1
x=
or x = − 3
2
Raiz de polnômios
• Encontrando raiz por fórmula quadrática
• A Fórmula quadrática:
2
Se ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
Com a, b, e c sendo números
reais, então
−b ± b 2 − 4ac
x=
2a
Exemplo
Usando a fórmula:
Ex: Encontre as raízes de
Note
3x 2 + 7 x + 1 = 0
Aqui a = 3, b = 7, and c = 1
x=
−7 ± 7 2 − 4 ( 3)(1)
2 ( 3)
−7 ± 37
=
6
−7 + 37
−7 − 37
Simplificando x =
or
6
6
Expressões racionais
Operação
P, Q, R, e S são polinômios
Adição
P Q P+Q
+ =
R R
R
Subtração
P Q P −Q
− =
R R
R
Multiplicação
P Q PQ
⋅ =
R S RS
Divisão
Note o
denominador
comum
P Q P S PS
÷ = ⋅ =
R S R Q RQ
Encontre a
recíproca e
multiplique
Expressões racionais
• Simplificando
Fator
Cancela fatores
comuns
x − 5 )( x + 5 )
(
x 2 − 25
x −5
=
=
2
( x + 2 )( x + 5 ) x + 2
x + 7 x + 10
• Multiplicando
Fator
Cancela fatores
comuns
x + 1)( x + 1) 6 x ( x − 1)
6 ( x + 1)
(
x2 + 2 x + 1 6 x2 − 6 x
=
⋅
=
⋅ 2
3 2
3
x
( x − 1)( x + 1)
x
x −1
x2
Multiplica cruzado
Expressões racionais
• Adição/Subtração
3
2
+
x x+4
3( x + 4)
2x
=
+
x ( x + 4) ( x + 4 ) x
Multiplica os
denominadores:
x(x + 4)
3 x + 12 + 2 x
5 x + 12
=
=
x ( x + 4)
x ( x + 4)
Distribuindo e
combinando frações
Combinando termos
iguais
Outras expressões
Note:
(
a+ b
)(
)
a − b = a −b
• Racionalizando o denominador
(
7 3+ y
7
=
3− y
3− y 3+
(
)(
21 + 7 y
=
9− y
)
y
)
Simplifica
Multiplica
pelo
conjugado
Fonte:
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