Roteiro da aula
MA091 – Matemática básica
Aula 2 – Conjuntos numéricos. Operações com números reais
Francisco A. M. Gomes
1
Conjuntos numéricos
2
Operações com números reais
3
Exercı́cios
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Conjuntos numéricos
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Conjuntos numéricos
Números reais
Números reais
Números naturais
1; 2; 3; 4; 5; . . .
Números inteiros
Notação
N: Números naturais
. . . − 5; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5 . . .
Z: Números inteiros
Números racionais
1
= 0, 2
5
4
= 1, 333...
3
−
4
= −4
1
Q: Números racionais
5
=5
1
R: Números reais
Números reais
π ≈ 3, 1416
√
2 ≈ 1, 4142
0, 2
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1, 333...
−4
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Conjuntos numéricos
Operações com números reais
Pertinência a conjuntos
Precedência de operações
Notação
Notação
Significado
a∈S
a é um elemento de S.
a pertence a S.
a∈
/S
a não é um elemento de S.
a não pertence a S.
Quem vem primeiro?
Ordem das operações:
1
Multiplicação e divisão (da esquerda para a direita)
2
Soma e subtração (da esquerda para a direita)
Exemplo:
Exemplos:
9756431210874 ∈ N
−1 ∈
/N
6/3 ∈ Z
1/2 ∈
/Z
√
2 ∈
/Q
10, 5 ∈ Q
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25 − 8 × 2 + 15 ÷ 3 = 25 − 16 + 15 ÷ 3 = 25 − 16 + 5 = 9 + 5 = 14.
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Operações com números reais
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Operações com números reais
Precedência de operações (2)
Soma e multiplicação
Certo ou errado?
5 × 10−3 = 5 × 7 = 35
ERRADO!
Correto:
5
| ×
{z 10} −3 = 50 − 3 = 47
50
Usando parênteses:
Exemplo
1. Comutatividade da soma
a+b=b+a
2+3=3+2
2. Associatividade da soma
(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
3. Comutatividade da multiplicação
a·b=b·a
5·7=7·5
5 × (10 − 3) = 5 × 7 = 35.
| {z }
7
Uso de parênteses
Use parênteses para alterar a ordem em que as operações são efetuadas
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Propriedades
Propriedade
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4. Associatividade da multiplicação
(ab)c = a(bc)
(4 · 3) · 6 = 4 · (3 · 6)
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Operações com números reais
Operações com números reais
Regra do “chuveirinho”
Erros na aplicação da propriedade distributiva
Propriedade distributiva
a · (b + c) = a · b + a · c.
Exemplos:
3(5 + x) = 3 · 5 + 3 · x = 15 + 3x
5[4 + 2(x + 3)] = 5 · 4 + 5 · 2(x + 3)
= 20 + 10(x + 3)
Expressão
Errado
Correto
2 · (5 · 7)
2 · 5 + 2 · 7 = 24
2 · (35) = 70
4 + (15 + 5)
4 + 15 + 4 + 5 = 28
4 + 15 + 5 = 24
9 + (10 · 8)
9 · 10 + 9 · 8 = 162
9 + 80 = 89
5 · (3 + 2x)
5·3 + 5·2·5·x = 15 + 50x
5·3 + 5·2x = 15 + 10x
3·4+6
3 · 4 + 3 · 6 = 30
12 + 6 = 18
= 20 + 10x + 30
= 50 + 10x.
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Operações com números reais
Propriedade distributiva às avessas
Números negativos
Pondo números em evidência
Propriedade
Propriedade
Exemplo
1. (−1)a = −a
(−1)32 = −32
2. −(−a) = a
−(−27) = 27
Exemplos:
3. (−a)b = a(−b) = −(ab)
(−3)4 = 3(−4) = −(3·4) = −12
a) 3x + 3 = 3(x + 1)
4. (−a)(−b) = ab
(−5)(−14) = 5 · 14 = 70
b) 10x + 10y = 10(x + y)
5. a(b − c) = ab − ac
3(4 − x) = 12 − 3x
c) 5x + xy = x(5 + y)
6. −(a + b) = −a − b
−(7 + 9) = −7 − 9 = −16
7. −(a − b) = −a + b
−(10 − 3) = −10 + 3 = −7
a · c + a · b = a · (b + c).
d) 15x + 25 = 5(3x + 5)
(note que 15 = 5 × 3 e 25 = 5 × 5)
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Exercı́cios
Exercı́cios
Exercı́cio 1
Exercı́cio 2
Indique quais frases abaixo são verdadeiras.
Calcule.
1
Todo número real é racional.
1
38 − 6 × 4 − 28 ÷ 2
2
Todo número natural é real.
2
[(38 − 6) × 4 − 28] ÷ 2
3
Todo número inteiro é natural.
3
−22, 6 + 7, 8
4
Todo número irracional é real.
4
(−5x) · (−3y) · (4)
5
Todo número natural é racional.
5
−15 · (−6) − (−10) · (−3)
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Exercı́cios
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Exercı́cios
Exercı́cio 3
Exercı́cio 4
Calcule as expressões, aplicando a propriedade distributiva quando
necessário.
Aplicando a propriedade distributiva, ponha algum termo em
evidência.
1
4(6 − 5x) − 2(2x − 12)
1
xy − yz
2
(3 − 5x) · (2 − 4y)
2
2xw − 2xv
3
−5[x − 4 + 2(2 − 3x)]
3
30 + 5x = 5 · 6 + 5x
4
3 − (8 · 2)
4
35 − 7x = 7 · 5 − 7x
5
5 · 10−4
5
−10 − 2x = −2 · 5 − 2x
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Exercı́cios
Exercı́cios
Exercı́cio 5
Exercı́cio 6
Sócrates retratado
Sócrates morreu em 399 a.C.
Rafael concluiu a tela “A Escola de Atenas” em 1510 d.C.
Quanto tempo após a morte de Sócrates a pintura foi concluı́da?
Saldo bancário
Você possui R$ 300,00 em sua conta bancária, que dispõe do sistema de
cheque especial. Se der um cheque no valor de R$ 460,00, qual será seu
saldo bancário?
−160 reais
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