Roteiro da aula
MA091 – Matemática básica
1
Razão
2
Taxa
3
Porcentagem
4
Exercı́cios
Aula 6 – Razão. Taxa. Porcentagem
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UNICAMP - IMECC
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Razão
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Razão
Razão
Exemplo 1
Razão
Razão é o quociente entre dois números. Em geral, esses números
representam grandezas que têm a mesma unidade de medida, de modo
que o quociente é adimensional.
Escala de um mapa
Em um mapa do Acre, com escala 1:5.300.000, a capital do estado, Rio
Branco, dista aproximadamente 6,5 cm de Feijó. Calcule a distância
real aproximada entre essas duas cidades.
Escala:
distância no mapa
1
=
.
distância real
5.300.000
Razão equivalente, com 6,5 cm no numerador:
1
1
6, 5 cm
6, 5 cm
=
·
=
5.300.000
5.300.000 6, 5 cm
34.445.000 cm
Logo, as cidades distam cerca de 344 km.
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Razão
Razão
Exemplo 2
Exemplo 3
Gasolina ou álcool?
Segundo as revistas especializadas, só é vantajoso abastecer com álcool
o tanque de um carro “flex” quando a razão entre o preço do álcool e o
preço da gasolina é menor que 0,7. Se um posto cobra R$ 2,659 por
litro de gasolina e R$1,899 por litro de álcool, com que combustı́vel
devo encher o tanque de meu carro?
Como preparar um suco
Uma garrafa de suco concentrado contém 500 ml de lı́quido. Para
preparar o suco, misturamos o concentrado com água, na razão 1:3.
Quantos ml de água devemos adicionar a 200 ml do suco concentrado?
Nesse caso, qual será o volume total de suco?
Mistura:
1
partes de suco
= .
partes de água
3
A razão entre os preços é
Mistura com 200 ml de suco:
preço do litro do álcool
R$ 1, 899
=
≈ 0, 714.
preço do litro da gasolina
R$ 2, 659
Logo, adicionamos 600 ml de água, e o volume total é
200
| {zml}
Como 0, 714 > 0, 7, devo abastecer o tanque com gasolina.
+
concentrado
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600
| {zml}
=
800ml.
água
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Taxa
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Taxa
Taxa
Exemplo 1
Taxa
Taxa também é um quociente entre dois números. Entretanto,
normalmente, esses números representam grandezas que têm unidades
de medida diferentes.
Densidade demográfica
Calcule a densidade demográfica de São João de Meriti, no estado do
Rio de Janeiro, que tem 35,2 km2 de área, para uma população de
458.673 habitantes em 2010.
Calcule também a densidade demográfica de Japurá, no Amazonas, que
tinha 7.326 habitantes em 2010, distribuı́dos por 55.791,9 km2 .
São João de Meriti:
Japurá:
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1 200 ml
200 ml
·
=
.
3 200 ml
600 ml
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458.673 hab
≈ 13.030 hab/km2 .
35, 2 km2
7.326 hab
≈ 0, 13 hab/km2 .
55.791, 9 km2
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Taxa
Taxa
Exemplo 2
Exemplo 3
Embalagem econômica
Em um supermercado, uma garrafa de 1,5 litros de um refrigerante
custe R$ 2,50, enquanto uma garrafa de 2 litros é vendida por R$ 3,40.
Qual das duas embalagens é a mais econômica?
Taxa de download
Se “baixei” um arquivo de 250 megabits em 30 segundos, qual foi a
taxa efetiva de download do arquivo?
Na garrafa menor, o refrigerante custa
R$ 2, 50
≈ R$1, 67 por litro.
1, 5 `
250 Mb
≈ 8, 33 Mb/s.
30 s
O refrigerante na garrafa grande é vendido a
R$ 3, 40
= R$1, 70 por litro.
2`
A garrafa de 1,5 litros é mais econômica.
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Porcentagem
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Porcentagem
Porcentagem
Conversão para a forma percentual
Porcentagem
Porcentagem é uma razão na forma a/100, em que a é um número
real. Essa razão é comumente escrita na forma a %.
Fração
1
4
5
8
3
2
Número
decimal
0,25
0,625
1,5
Razão
centesimal
25
100
62, 5
100
150
100
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1
1
100
5
= 0, 05 = 0, 05 ·
=
= 5%.
20
100
100
2
100
57, 14
4
≈ 0, 5714 = 0, 5714 ·
=
= 57, 14%.
100
100
7
3
100
120
6
= 1, 2 = 1, 2 ·
=
= 120%.
100
100
5
Porcentagem
25%
62,5%
150%
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Porcentagem
Porcentagem
Exemplo 1
Exemplo 2
Domicı́lios com máquina de lavar
Em 2009, dos 58,578 milhões de domicı́lios brasileiros, 44,33% tinham
máquina de lavar roupas. Em quantos domicı́lios havia e em quantos
não havia máquina de lavar naquele ano?
Domicı́lios com máquina de lavar roupas:
Nota em matemática
Em uma turma de 120 alunos de matemática, 87 foram aprovados.
Qual foi o percentual de reprovação da turma?
Número de alunos reprovados: 120 − 87 = 33.
44, 33
× 58, 578 = 0, 4433 × 58, 578 ≈ 25, 968 milhões.
100
Percentual de reprovados:
33
≈ 0, 275 = 27, 5% da turma.
120
Domicı́lios sem máquina:
58, 578 − 25, 968 = 32, 610 milhões.
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Porcentagem
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Porcentagem
Exemplo 3
Exemplo 3 (versão alternativa)
Salário mı́nimo
Entre 2012 e 2013, o salário mı́nimo brasileiro passou de R$ 622,00 para
R$ 678,00. Qual foi o aumento percentual do salário nesse perı́odo?
Salário mı́nimo
Entre 2012 e 2013, o salário mı́nimo brasileiro passou de R$ 622,00 para
R$ 678,00. Qual foi o aumento percentual do salário nesse perı́odo?
Percentual correspondente ao novo salário, em relação ao antigo:
R$ 678, 00
= 1, 090 = 109%.
R$ 622, 00
Variação do salário: R$ 678, 00 − R$ 622, 00 = R$ 56, 00.
Percentual de aumento:
Variação percentual:
R$ 56, 00
= 0, 090 = 9%.
R$ 622, 00
109%
| {z }
salário
novo
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−
100%
| {z }
salário
antigo
= |{z}
9%.
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variação
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Porcentagem
Porcentagem
Exemplo 4
Exemplo 5
Redução do peso das embalagens
Um pacote de biscoito teve o peso reduzido de 200g para 180g,
enquanto o preço baixou de R$ 2,00 para R$ 1,90 por pacote.
Determine a variação percentual do preço do quilo desse biscoito.
Televisão com desconto
Uma loja dá um desconto de 15% para quem compra à vista uma
televisão que custa, originalmente, R$ 900,00. Qual o preço à vista da
TV?
R$ 2, 00
= R$ 10, 00/kg
0, 2 kg
R$ 1, 90
≈ R$ 10, 56/kg
Preço novo do kg de biscoito:
0, 18 kg
Variação: o preço por kg subiu R$ 0,56.
R$ 0, 56
Variação percentual:
= 0, 056 = 5, 6%.
R$ 10, 00
Desconto: 900, 00 ×
Preço antigo do kg de biscoito:
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Preço à vista: R$ 900, 00 − R$ 135, 00 = R$ 765, 00.
Opção:
900, 00 × (1 − 0, 15) = 900, 00 × 0, 85 = R$ 765, 00.
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Porcentagem
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Exercı́cios
Exemplo 6
Exercı́cio 1
Aumento do preço da passagem
A prefeitura de Jurupiranga anunciou que as passagens dos ônibus
municipais, que atualmente custam R$ 3,00, subirão 6,67% no próximo
mês. Quanto custará a passagem?
Aumento: 3, 00 ×
15
= 900, 00 × 0, 15 = R$135, 00.
100
6, 67
= 3, 00 × 0, 0667 = R$ 0, 20.
100
Problema
A cada 10.000 parafusos produzidos em uma indústria metalúrgica, 1
contém algum defeito. Em um lote de 1.000.000 parafusos, quantos
devem ser defeituosos?
Novo preço: R$ 3, 00 + R$ 0, 20 = R$ 3, 20.
100 parafusos
Opção:
3, 00 × (1 + 0, 0667) = 3, 00 × 1, 0667 = R$ 3, 20.
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Exercı́cios
Exercı́cios
Exercı́cio 2
Exercı́cio 3
Problema
Usando um telefone celular com tecnologia 3G, José enviou um arquivo
de 20 Mb em 15 segundos. Já quando usou um telefone 4G, José
mandou o mesmo arquivo em apenas 2 segundos.
1
Qual a taxa de upload de cada modelo de telefone?
2
Qual a razão entre as taxas de upload dos modelos 4G e 3G?
1
1,333 Mb/s para o modelo 3G e 10 Mb/s para o 4G.
2
7,5.
Problema
Com uma pilha da marca Ultracell, que custa R$ 5,60, um brinquedo
funciona por 70 horas. Já uma pilha da marca Supercell mantém o
mesmo brinquedo em funcionamento por 80 horas e custa R$ 6,60.
Qual pilha devo comprar?
A) Ultracell
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B) Supercell
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Exercı́cios
Exercı́cio 4
Exercı́cio 5
Problema
Calcule:
B) 150% de 500.
Problema
Em uma turma de 40 alunos, 45% são meninos. Quantos meninos e
meninas tem a turma?
A) 14,4
18 meninos e 22 meninas
A) 12% de 120.
B) 750
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Exercı́cios
Exercı́cios
Exercı́cio 6
Exercı́cio 7
Problema
Segundo o censo do IBGE, em 2010, o Brasil tinha 147,4 milhões de
pessoas com 10 anos ou mais que eram alfabetizadas, o que
correspondia a 91% da população nessa faixa etária. Determine o
número de brasileiros com 10 anos ou mais em 2010.
Problema
Uma televisão que custava R$ 900,00 teve um aumento de R$ 50,00.
Qual foi o percentual de aumento?
5,56%
Cerca de 162 milhões de habitantes
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Exercı́cios
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Exercı́cios
Exercı́cio 8
Exercı́cio 9
Problema
Uma loja de eletrodomésticos dá 10% de desconto para pagamentos à
vista. Quanto se paga à vista, nessa loja, por uma geladeira cujo preço
original é R$ 1.200,00?
Problema
A cidade de Campinas tem 1 milhão de habitantes e estima-se que 4%
de sua população viva em domicı́lios inadequados. Supondo-se que, em
média, cada domicı́lio tenha 4 moradores, pergunta-se:
1
Quantos domicı́lios com condições adequadas tem a cidade de
Campinas?
2
Se a população da cidade crescer 10% nos próximos 10 anos,
quantos domicı́lios deverão ser construı́dos por ano para que todos
os habitantes tenham uma moradia adequada ao final desse
perı́odo de 10 anos? Suponha que o número de moradores por
domicı́lio permanecerá inalterado no perı́odo.
1
240.000 domicı́lios.
2
3.500 domicı́lios por ano.
R$ 1.080,00
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Exercı́cios
Exercı́cio 10
Problema
Joana ganha R$5,00 por hora para trabalhar 44 horas por semana.
Para cada hora extra trabalhada, Joana recebe 50% a mais que em seu
horário regular. Em uma determinada semana, Joana recebeu R$
280,00. Determine quantas horas extras Joana trabalhou nessa semana.
Joana trabalhou 8 horas extras
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