Projeto de controladores Digitais
(II)
ALGORITMO DE MINIMO PROTOTIPO (DEADBEAT)
ALGORITMO DE MINIMO PROTOTIPO (DEADBEAT)
Quando se dispõem de elementos programáveis tais como computadores se
podem utilizar algoritmos que não sigam as regras do PID
Controlador
digital
1  e  ST

G( z)  Z 
Gp
 S

A FTLF
Y ( z)
D( z )G ( z )

 T ( z)
R( z ) 1  D( z )G ( z )
Isolando
D (z )
T ( z)
D( z ) 
G( z )1  T ( z )
Regulador
Digital
Filosofia de Desenho
Conhecida a planta, o tempo de amostragem e definindo como se deseja que
seja a função de transferência de laço fechado T(z), obtém-se D(z)
D(z) é fisicamente realizável se se requerer para implementá-lo
valore pasados ou atuais do erro (nunca futuros)
A potência maior do numerador não pode ser positiva se falarmos
em termos de
o  1Z 1   2 Z 2  3 Z 3 ..... k Z  k
D( z) 
 o  1Z 1   2 Z 2   3 Z 2 ........ m Z m
Exemplo
Z  Z 1  2Z 2 C ( z )
D( z ) 

1
2
1  2Z  Z
E( z)
Se D(z) é

1
2


1
2

C ( z ) 1  2Z  Z  E ( z ) Z  Z  2Z
C (k )  2C (k  1)  C (k  2)  E (k  1)  E (k  1)  2E (k  2)
C (k )  E (k  1)  E (k  1)  2E (k  2)  2C (k  1)  C (k  2)
Para obter a saída no instante K se necessita um valor
futuro do erro e portanto não é fisicamente realizável este
algoritmo
Controlador de mínimo protótipo
(Deadbeat)
Requer que a resposta à entrada degrau unitário na referência ofereça
zero erro em qualquer instante de amostragem depois do primeiro
Z
1
Yd ( z ) 

Z  1 1  Z 1
entrada degrau unitário
Se a resposta deve ter zero erro em qualquer instante depois do primeiro
1
1
Y ( z) 
Z
1  Z 1
entrada degrau unitário deslocada um
instante de amostragem
1
1
Z
Y ( z ) 1  Z 1

 Z 1
1
Yd ( z )
1  Z 1
Qual é então o controlador que precisamos?
T ( z)
D( z ) 
G( z )1  T ( z )
Z 1
D( z ) 
G ( z ) 1  Z 1

Y ( z)
Yd ( z )

1
Z 1 Regulador digital
D( z ) 
*
G ( z ) 1  Z 1
Deadbeat
Observações sobre este algoritmo
1-Que exista zero erro nos instantes
de amostragem não quer dizer que Não
existam sobrecrestas e tempos largos
de assentamentos
2- Que se tenha zero erro ( alcance-se o valor desejado) em um período de
amostragem pode implicar tr mínimo, isto geralmente indica controle intenso e
não necessariamente desejado (grandes sobrecrestas)
3- Alcança-se zero engano em estado estável


E( z)  Yd ( z)  Y ( z)  Yd ( z)  Z 1Yd ( z)  1  Z 1 Yd ( z)

Ess  lim( z  1) E ( z )  lim( z  1) 1  Z
Z 1
Z 1
1
degrau
z 1 z
Yd ( z )  lim( z  1)
*
0
Z 1
z
z 1

4- O algoritmo é fisicamente realizável se o retardo de tempo de G(z) não é
maior que um período de amostragem
Exemplo
Já dissemos que
Mas se tivéssemos
G( z)  Z GZOH Gp  GZOH Gp( z)
G ( z)  GZOH Gp( z)Z
'
K
K períodos de
amostragem de
retardo
1
Z 1
1
Z 1
Z K 1
D( z )  ' *

*

1
K
1
G ( z) 1  Z
GZOH Gp( z )Z
1 Z
GZOH Gp( z )(1  Z 1 )
Se
K 1
o algoritmo não é realizável porque requer de sinais de erro futuras
5- Se o retardo for maior que um período de amostragem deve modificá-las
especificações para que a resposta exiba zero erro nos instantes depois do
primeiro (2, 3, ....) períodos de amostragem
Y ( z)
 Z 2
Yd ( z )
1
Z 2
D( z ) 
*
G( z ) 1  Z  2
Y ( z)
 Z 3
Yd ( z )
3
1
Z
D( z ) 
*
G ( z ) 1  Z 3
EXEMPLO
Seja
G (s) 
10
0 .5 S  1
1  e  ST 10 
1.81
1.81Z 1
G( z )  GZOH G( z )  Z 


1
S
0
.
5
S

1
Z

0
.
81
1

0
.
81
Z


1
Z 1
1
Z 1
(1  0.81Z 1 ) Z 1
D( z ) 
*

*

1
1
1
1.81Z
G( z) 1  Z
1 Z
1.81Z 1 (1  Z 1 )
1  0.81Z 1
(1  0.81Z 1 )
C ( z ) (1  0.81Z 1 )
D( z ) 

Isto é
1
1.81(1  Z )
E ( z ) 1.81(1  Z 1 )
Isto é fisicamente
realizável
C ( z )1.81(1  Z 1 )  (1  0.81Z 1 ) E ( z )
1.81C (kT )  C (k  1)T   E (kT )  0.81E (k  1)T
1
0.81
C (kT )  C (k  1)T  
E (kT ) 
E (k  1)T
1.81
1.81
1
0.81
C (kT )  C (k  1)T 
E (kT ) 
E (k  1)T
1.81
1.81
10e 0.1S
G (s) 
0.5S  1
1  e  ST 10e 0.1S 
1.81
1.81Z 2
1
G( z )  GZOH G( z )  Z 

Z
1
S
0
.
5
S

1
Z

0
.
81
1

0
.
81
Z


0.1S
1  e  ST 10e 0.1S 


10
e
1
Z
  1 Z * Z 

 S 0.5S  1
 S (0.5S  1) 
0.1S
O elemento
 kTS
 k 0.1S
e
e
e
0.1S  0.1kS  k  1
1  e  ST 10e 0.1S 


10
1
1
Z
  (1  Z ) * Z * Z 

 S (0.5S  1) 
 S 0.5S  1
As especificações devem então trocar
Y ( z)
 Z 2
Yd ( z )
1
Z 2
1
Z 2
D( z ) 
*

*
2
2
1.81Z
G( z) 1  Z
1  Z 2
1  0.81Z 1
C(z) 1  0.81Z 1
Z 2
1  0.81Z 1

*

2
2
E(z)
1.81Z
1 Z
1.81(1  Z  2 )
C(z) *1.81(1  Z  2 )  E(z)* (1  0.81Z 1 )
1.81* (C (kT )  C (k  2)T )  E (kT )  0.81E (k  1)T
C (kT ) 
1
0.81
E (kT ) 
E (k  1)T  C (k  2)T
1.81
1.81
Isto é fisicamente
realizável