Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia Mecânica - EMA-084N
Cap. 8.- Derivação
Numérica
8.1. Introdução
Praticamente todos os modelos matemáticos dos problemas de engenharia
podem ser escritos no formato de equações diferenciais ordinárias ou
parciais.
A solução deste modelos pode ser analítica ou numérica.
Solução fechada!
ex. Movimento
uniforme
A solução analítica é chamada de solução fechada e para ser possível
exige uma série de suposições e restrições.
Solução numérica!
ex. Decolagem, vôo e
pouso de um avião
A solução numérica é usada onde a solução analítica não é possível
devido a complexidade das condições de contorno impostas e a própria
não linearidade das equações descritivas do problema. A qualidade da
solução é determina da pelo tempo disponível para a simulação que limita
a complexidade do modelo a ser resolvido.
8.2. Derivação
Numérica por
Polinômios
A derivada de uma função contínua pode ser aproximada através da
aproximação da função por um polinômio interpolador.
df x
dx
dP n x
dx
Y
f(x)
Pn (x)
X
O processo de derivação é intrinsecamente impreciso.
Seja o polinômio interpolador:
f x
Pn x
ao a1 x a2 x2
Determinado por:
a) Interpolação,ou seja, o polinômio passa por todos os pontos
dados da função (ex: spline);
b) Ajuste de um polinômio como menor afastamento dos
pontos dados da função (ex: método dos mínimos quadrados).
José Eduardo Mautone Barros
08/03/07
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8.2. Derivação
Numérica por
Polinômios (cont.)
Para encontrar as derivadas temos,
dP n x
dx
f' x
dP n x
dx
f' x
a 1 2a 2 x 3a3 x
2
2
d Pn x
2
dx
f '' x
Calcular a derivada primeira e a segunda para a função f(x) = 1/x no
ponto x = 3,5 conhecendo-se 3 pontos da função.
Exemplo
f(x) = 1/x
f'(x) = -1/x2
f''(x) = 2/x
2a 2 6a 3 x
3
x
f(x)
3,4
0,294118
3,5
0,285714
3,6
0,277778
Ajustando um polinômio de segunda ordem, temos
0,294118 a 3,4 b 3,4 2 c
0,285714 a 3,5 b 3,5 2 c
2
0,277778 a 3,6 b 3,6 c
A solução do sistema é,
Para x = 3,5
P 2 3,5
P '2 3,5
0,858314 0,245500 x 0,023400 x
2
0,858314 0,245500 3,5 0,023400 3,5 2 0,285714
0,245500 2 0,023400 3,5
P '2' 3,5
2 0,023400 0,046800
f ' 3,5
f ' ' 3,5
0,081633
0,046647
Erro
Erro
José Eduardo Mautone Barros
P2 x
f ' 3,5
f ' ' 3,5
P '2 3,5
P ''2 3,5
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0,081700
0,000067
0,000153
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8.3. Derivação
Numérica pela Série
de Taylor
fi+1
Y
fi
fi+2
fi-1
fi-2
xi-2
Série de
Brook Taylor, 1715
xi
1
xi h
xi
2
x i 2h
f(x)
xi-1
xi
xi+1
xi+2
X
Considerando pontos igualmente espaçados, com um passo h, e
expandindo em série de Taylor ao redor dos pontos xi+1 e xi+2 , temos,
fi
fi
h2
hf i '
f ''
2! i
fi
1
2
2h
f i' '
2!
f i 2hf i '
2
Trucando as séries no terceiro termo e multiplicando a primeira equação
por -4 e somando a segunda temos,
4f i
1
fi
3f i 2hf i '
2
ou,
Derivada numérica a
direita! (forward)
1
2h
f i'
3f i 4f i
1
fi
2
Do mesmo modo considerando os pontos xi-1 e xi-2 , temos,
Derivada numérica a
esquerda! (backward)
f i'
1
f
2h i
2
4f i
1
3f i
Do mesmo modo considerando os pontos xi-1 e xi+1 , temos,
Derivada numérica
centrada! (central)
José Eduardo Mautone Barros
f i'
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1
2h
fi
1
fi
1
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8.3. Derivação
Numérica pela Série
de Taylor (cont.)
Exemplo:
Calcular a derivada primeira para a função f(x) = ex-2 no ponto x = 2
conhecendo-se os seguintes pontos da função.
f(x) = ex-2
x
f(x)
f'(x) = ex-2
1,8
0,8187308
1,9
0,9048374
2
1
2,1
1,1051709
2,2
1,2214027
f(2) = e0 = 1
Forward
Backward
Centrada
8.4. Representação de
Derivadas Numéricas
usando Estênceis
Estêncil
1
2 0,1
f' 2
'
f 2
'
f 2
1
2 0,1
3 1 4 1,1051701 1 1,2214027
0,9964045
1 0,8187308 4 0,9048374 3 1
0,9969058
1
2 0,1
1 0,9048374 1 1,1051701
1,0016675
É comum usar tabelas para apresentar as diversas formas de avaliação de
derivadas. Al-Khafaji e Tooley, 1986, apresentam 6 tabelas para o cálculo
de integrais de primeira, segunda e terceira ordens com diferentes
estênceis.
Estêncil é o nome dado ao conjunto de pontos dados da função para a
avaliação da derivada no ponto “i”. Um maior número de pontos
utilizados leva a resultados mais precisos.
Nomenclatura
Derivada numérica a
direita!
f
1
1
2h
3
4
1
O h2
Os números dentro dos parênteses angulados (ou círculos como usado no
livro) indicam os multiplicadores dos valores dados da função a derivar.
O parêntese angulado duplo indica o ponto “i” e sua posição relativa
indica se os outros pontos estão a sua direita ou a sua esquerda.
José Eduardo Mautone Barros
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8.4. Representação de
Derivadas Numéricas
usando Estênceis
(cont.)
Referências
José Eduardo Mautone Barros
Cap. 10 do livro de Al-Khafaji e Tooley
Cap. 5 do livro de Hoffman
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