Introdução à Álgebra
2011/2012
Resolução do 1o Mini-teste
1. Mostre que as seguintes afirmações são verdadeiras.
a) Se (G, ∗) é um grupo e a, b ∈ G, a equação a ∗ x = b tem uma e uma
só solução.
resolução: Temos em qualquer grupo que
a∗x = b ⇐⇒ a−1 ∗(a∗x) = a−1 ∗b ⇐⇒ (a−1 ∗a)∗x = a−1 ∗b ⇐⇒ x = a−1 ∗b
b) O conjunto {A ∈ Gln (R) : det A = 1} é um subgrupo normal de
Gln (R).
resolução: Seja H = {A ∈ Gln (R) : det A = 1}. Observamos que
(1) H 6= ∅, porque a matriz identidade I satisfaz det I = 1, i.e., I ∈ H.
(2) Se A, B ∈ H então det(AB) = det(A) det(B) = 1, i.e., AB ∈ H.
(3) Se A ∈ H então det(A−1 ) = 1/ det(A) = 1, i.e., A−1 ∈ H. (1 )
Concluı́mos assim que H é um subgrupo de Gln (R). Para verificar que
H é um subgrupo normal, notamos que se A ∈ H e B ∈ Gln (R) então
det(BAB −1 ) = det(B) det(A) det(B −1 ) = det(B)/ det(B) = 1, i.e.,
det(BAB −1 ) = 1, ou seja, BAB −1 ∈ Gln (R)
c) O conjunto de permutações {(1), (1, 2), (3, 4), (1, 2)(3, 4)} em S4 é um
grupo isomorfo a R2 ⊕ R2 .
resolução: Seja K = {i = (1), α = (1, 2), β = (3, 4), γ = (1, 2)(3, 4)}.
Observamos que
• O conjunto K contém a identidade (1),
1
Em vez de verificar (2) e (3), podemos igualmente observar apenas que´
Se A, B ∈ H então det(AB −1 ) = det(A)/ det(B) = 1, i.e., AB −1 ∈ H
• Todos os elementos de K satisfazem a identidade x = x−1 , pelo
que K contém os inversos dos seus elementos.
• K é fechado para o produto, porque αβ = βα = γ, e é claro que
αγ = γα = β e βγ = γβ = α.
Concluı́mos que K é um grupo com 4 elementos. Sabemos que existem
(a menos de isomorfismo) apenas dois grupos com 4 elementos, e destes
o único em que todos os elementos são iguais ao seu inverso é R2 ⊕ R2 .
Concluı́mos que K ≃ R2 ⊕ R2 .
2. Considere o grupo das raı́zes-12 da unidade, i.e., o conjunto R12 = {z ∈
C : z 12 = 1} com o produto usual de complexos, e o homomorfismo
φ : R12 → S 1 dado por φ(z) = z 8 .
a) Determine o núcleo de φ.
resolução: N(φ) = {z ∈ R12 : z 8 = 1} = R12 ∩ R8 = R4 .
b) Determine a imagem φ(R12 ).
resolução: A imagem φ(R12 ) tem 3 elementos, porque R12 tem 12
elementos e o núcleo tem 4 elementos, como acabámos de ver. É fácil
concluir que φ(R12 ) = R3 , porque
z ∈ R12 =⇒ φ(z)3 = (z 8 )3 = z 24 = (z 12 )2 = 1 ⇐⇒ φ(z) ∈ R3
c) Existem homomorfismos ψ : R12 → S 1 tais que ψ(R12 ) = R4 ?
resolução: Basta tomar ψ(z) = z 3 . Neste caso N(ψ) = R12 ∩ R3 =
R3 e a imagem tem portanto 4 elementos. Temos também
z ∈ R12 =⇒ ψ(z)4 = (z 3 )4 = z 12 = 1 ⇐⇒ ψ(z) ∈ R4