9a Lista de Exercı́cios de Fundamentos de Matemática Elementar
Professor: José Carlos de Souza Júnior
Curso: 1o Perı́odo - Licenciatura em Matemática
1. Determine o perı́odo, a imagem e faça o gráfico de um perı́odo completo das funções
abaixo:
(a) f : R → R dada por f (x) = −sen(x)
(b) f : R → R dada por f (x) = |sen(x)|
¡ ¢
(c) f : R → R dada por f (x) = sen x2
(d) f : R → R dada por f (x) = 3 · sen(4x)
(e) f : R → R dada por f (x) = 1 + 2 · sen(x)
(f) f : R → R dada por f (x) = sen(x + π3 )
(g) f : R → R dada por f (x) = sen(2x − π3 )
(h) f : R → R dada por f (x) = − cos(x)
(i) f : R → R dada por f (x) = | cos(x)|
¡ ¢
(j) f : R → R dada por f (x) = cos x2
(k) f : R → R dada por f (x) = 3 · cos(4x)
(l) f : R → R dada por f (x) = 1 + 2 · cos(x)
(m) f : R → R dada por f (x) = cos(x + π3 )
(n) f : R → R dada por f (x) = cos(2x − π3 )
2. Qual é o domı́nio das seguintes funções reais?
(a) f (x) = tg(3x)
¡
¢
(b) g(x) = tg 2x − π3
¡
¢
3. Esboce o gráfico, dê o domı́nio e o perı́odo da função real f (x) = tg 2x + π6
4. Verifique a paridade das funções:
(a) f (x) = tg(x)
(b) f (x) = cotg(x)
(c) f (x) = sec(x)
(d) f (x) = cossec(x)
5. Mostre que se f é uma função ı́mpar e 0 pertence ao seu domı́nio, então f (0) = 0.
6. Seja a função f : R → R definida por f (x) = 3. Determine a paridade da função
g : R → R definida por:
g(x) = f (x) · f (x) · . . . · f (x)
{z
}
|
n fatores
7. (a) Sejam f (x) = x2 e g(x) = cosx. Mostre que f · g é par.
(b) Sejam f e g funções reais pares. Mostre que f · g é par.
(c) Sejam f (x) = x e g(x) = sen(1/x). Mostre que f · g é par.
(d) Sejam f e g funções reais ı́mpares. Mostre que f · g é par.
(e) Sejam f (x) = x2 e g(x) = sen(1/x). Mostre que f · g é ı́mpar.
(f) Sejam f e g funções reais. Se f é par e g é ı́mpar, mostre que f · g é ı́mpar.
8. Mostre que toda função se escreve como uma soma de uma função par com uma função
ı́mpar.
9. Determine os seguintes números: arcsen(0), arcsen(
¡
¡ ¢¢
10. Calcule tg arcsen 43
¡
¡ ¢
¡ 5 ¢¢
11. Calcule cos arcsen 35 + arcsen 13
√
3
),
2
arcsen(− 12 ), arcsen(1) e arcsen(−1).
£
¤
12. Admitindo a variação de arcsen(x) no intervalo fechado − π2 , π2 , resolva a equação:
arcsen(x) = 2 · arcsen( 21 )
√
13. Determine os seguintes números: arccos(1), arccos( 12 ), arccos( 22 ), arccos(0) e arccos(−1).
¡
¡ ¢¢
14. Calcule sen arccos − 35
¡ 5 ¢¢
¡
¡ ¢
15. Calcule sen arccos 35 − arccos 13
√
√
16. Determine os seguintes números: arctg(0), arctg( 3), arctg(−1) e arctg(− 33 ).
¡
¡ ¢¢
17. Calcule cos arctg − 43
¡
¡ ¢
¡ 5 ¢¢
18. Calcule tg arcsen 53 − arctg 12
19. Dados os números z1 = 2 − 3i e z2 = 5 + i, efetuar:
(a) z1 + z2
(b) z1 − z2
(c) z1 · z2
(d) z12
20. Resolver em C as equações:
(a) x2 − 2x + 3 = 0
(b) x4 − 16 = 0
21. Considere o número z = (a2 − 1) + (a − 1)i, com a ∈ R. Obtenha a para que:
(a) z seja um número real.
(b) z seja um número imaginário puro.
22. Efetue:
(a) (4 − i) + i − (6 + 3i)i
(b) (7 + 4i)(2 − 3i) + (6 − i)(2 + 5i)
(c)
3−i
4+5i
(d)
(2−i)2
(3+i)2
23. Efetue: i1981 + i1982 + i1983
24. Se
1−2i
3+i3
= a + bi, obtenha a e b.
25. Dê o valor do produto:
P = i · i2 · i3 · i4 · . . . · i100 , sendo i2 = −1
26. Dê o valor de
−1
, sendo i2 = −1
i − i−1 1
i
27. Dê o conjugado do número complexo
1+3i
2−i
28. Ache os valores reais de x de modo que a parte real do complexo z =
x−i
x+i
seja negativo.