Sucessões
Definição: Sucessão de números reais é qualquer aplicação do
conjunto dos naturais, N, no conjunto dos reais, R.
Notações:
Ÿu n nN ,
Ÿu n n
ou
Ÿu n .
u n v termo geral da sucessão
Exemplos importantes:
1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a :
- os termos são a, a r, a 2r, T
- o termo geral é
u n a Ÿn " 1 r
2. Progressão geométrica de razão r e primeiro termo a :
- os termos são termos são a, ar, ar 2 , T
- o termo geral é
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u n ar n"1
(versão de 20 de Março)
Suc. 1
Limite de uma Sucessão
Definição: O número real a é limite da sucessão Ÿu n se
para qualquer - 0 existe p N tal que, para qualquer
n p,
|u n " a| -,
isto é
-0 pN nN : n p ´ |u n " a| - .
O que significa que
S
para qualquer - 0, existe uma ordem p a partir da qual
todos os termos da sucessão pertencem ao intervalo
a " -, a - .
Diz-se também que Ÿu n converge para a ou que Ÿu n tende
para a.
Notações:
S
lim u n a, lim u n a ou u n v a
nv.
Ÿu n diz-se convergente se existe um número real a tal que
u n v a; diz-se divergente caso contrário.
Proposição: O limite de uma sucessão quando existe é único.
S
Uma sucessão diz-se um infinitésimo se converge para zero.
Nota:
u n converge para a sse u n " a é um infinitésimo.
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(versão de 20 de Março)
Suc. 2
Sucessões Limitadas
Recorde-se que, sendo A subconjunto de R:
S
S
S
S
S
S
um real b é um majorante de A se qualquer elemento de A
for menor ou igual a b;
um real a é um minorante de A se qualquer elemento de A
for maior ou igual a a;
A é majorado (ou limitado superiormente) se tiver
majorantes;
A é minorado (ou limitado inferiormente) se tiver
minorantes;
A é limitado se for majorado e minorado;
se A não é limitado diz-se ilimitado.
Definição: Uma sucessão Ÿu n diz-se limitada se o conjunto dos
seus termos é limitado,
ou seja se
L,MR nN : L t u n t M .
O que é equivalente a
M R n N, |u n | t M .
Proposição: Toda a sucessão convergente é limitada.
Atenção: O recíproco desta proposição não se verifica.
Proposição: Se Ÿu n é um infinitésimo e Ÿv n é uma sucessão
limitada então Ÿu n . v n é um infinitésimo.
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(versão de 20 de Março)
Suc. 3
Propriedades dos Limites
Proposição: Não se altera o limite de uma sucessão convergente
modificando um número finito de termos.
Proposição: Se os termos de uma sucessão são todos iguais a
uma certa constante, a sucessão tem por limite essa constante.
nt7
1
n
Questão: Qual o limite de v n n7
2
?
Proposição: Se Ÿu n e Ÿv n são sucessões convergentes tais que,
a partir de certa ordem, u n t v n , então lim u n t lim v n .
Observação: O resultado anterior não se verifica para
desigualdades estritas.
Proposição (propriedades operatórias)
Sejam Ÿu n e Ÿv n sucessões tais que u n v a e v n v b, com
a, b R. Então:
1. u n v n v a b;
2. cu n v ca, sendo c R;
3. u n . v n v ab;
4. se b p 0 e v n p 0, nN então
un
vn
v
;
a
b
5. se p N, u n v a p ;
p
6. |u n | v |a|;
7. se p N e u n u 0, nN então p u n v
8. se p N e p é ímpar então p u n v
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(versão de 20 de Março)
p
p
a;
a.
Suc. 4
Nota: A sucessão |u n | pode ser convergente sem que u n seja
convergente.
S
No entanto, verifica-se que
u n v 0 sse |u n | v 0.
Teorema das Sucessões Enquadradas:
Sejam Ÿu n , Ÿv n e Ÿw n sucessões tais que, a partir de certa
ordem, u n t v n t w n .
Se u n v a e w n v a, então v n v a.
Limites Infinitos
Definição: Diz-se que uma sucessão Ÿu n tem limite mais
infinito (ou que tende para mais infinito) se, para todo o
número real L 0, existe uma ordem p tal que, para n p,
u n é maior do que L,
isto é
L0 pN nN : n p ´ u n L.
Notações:
lim u n .,
nv.
lim u n . ou u n v ..
Então
Qualquer que seja o real positivo,
existe uma ordem tal que
u n v . «
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qualquer termo da sucessão
L 0
pN
n N :
a partir dessa ordem
np
é maior do que esse real.
un L
(versão de 20 de Março)
¶
Suc. 5
Definição: Diz-se que Ÿu n tem limite menos infinito (ou que
tende para menos infinito) se, para todo o número real L 0,
existe uma ordem p tal que, para n p, u n é menor do que L,
isto é
L0 pN nN : n p ´ u n L.
Notações:
lim u n ".,
nv.
lim u n ". ou u n v "..
Então
qualquer que seja o real negativo,
existe uma ordem tal que
u n v ". «
S
É claro que
qualquer termo da sucessão
L 0
p N
nN :
a partir dessa ordem
np
é menor do que esse real.
un L
u n v ". sse
¶
"u n v .
Definição: Diz-se que Ÿu n tem limite infinito ou tende para
infinito se
|u n | v .
isto é
L0 pN nN : n p ´ |u n | L.
Notações:
lim u n . lim u n . ou u n v ..
nv.
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(versão de 20 de Março)
Suc. 6
S
S
S
S
S
Uma sucessão com limite infinito diz-se um infinitamente
grande;
Uma sucessão com limite . diz-se um infinitamente
grande positivo;
Uma sucessão com limite . ". infinitamente grande
negativo
Uma sucessão diz-se propriamente divergente se tende
para mais infinto ou para menos infinto
Uma sucessão diz-se oscilante se não for convergente nem
propriamente divergente.
Em resumo, as sucessões podem ser:
convergentes (limite finito)
infinitamente grande
propriamente
divergentes
v
positivo
ou
infinitamente grande
negativo
divergentesv
ou
limite infinito
oscilantes
(nos restantes casos)
v
sem sinal determinado
ou
sem limite
(finito ou infinito)
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(versão de 20 de Março)
Suc. 7
Propriedades dos Limites Infinitos
Proposição: SendoŸu n e Ÿv n duas sucessões tem-se que:
1. se u n v . e, a partir de certa ordem, u n t v n , então
v n v .;
2. se u n v ". e, a partir de certa ordem, v n t u n ,
então v n v "..
Proposição (Propriedades operatórias):
Sendo Ÿu n e Ÿv n duas sucessões tem-se que:
1. se u n v . e v n v . então u n v n v .;
2. se u n v ". e v n v ". então u n v n v ".;
3. se u n v . (resp. ". e v n v a, com a R, então
u n v n v . Ÿresp. ". ;
4. se u n v . e v n v a, com a R, então u n v n v .;
5. se u n v . (resp. ". e v n v b, com b R , então
u n . v n v . Ÿresp. ". ;
6. se u n v . (resp. ". e v n v c, com c R " , então
u n . v n v ". Ÿresp. . ;
7. se u n v . e v n v . então u n . v n v ..
Notação abreviada (exemplos):
Ÿ. Ÿ. .
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Ÿ". Ÿ". ".
Suc. 8
Símbolos de Indeterminação
Os símbolos
.. .".
0. .
Ÿ. " Ÿ. Ÿ. Ÿ". 0. Ÿ. 0. Ÿ". são designados por símbolos de indeterminação.
Isto quer apenas dizer que, nas situações correspondentes,
o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor, depende
das sucessões envolvidas; não resulta imediatamente de uma
propriedade das operações.
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(versão de 20 de Março)
Suc. 9
Proposição: Seja Ÿu n uma sucessão de termos diferentes de
zero:
1. se u n v . então
1
un
v 0;
2. Se u n v 0 então
1
un
v ..
Isto é
S
S
o inverso de um infinitamente grande é um infinitésimo;
o inverso de um infinitésimo é um infinitamente grande
Seja uma Ÿu n sucessão que tende para a R:
- se, a partir de certa ordem, u n a, diz-se que
S
Ÿu n tende para a por valores superiores e escreve-se
un v a.
- se, a partir de certa ordem, u n a, diz-se que
S
Ÿu n tende para a por valores inferiores e escreve-se
un v a".
Observação:
se u n v 0 resp. 0 " então u1n v . resp. " . .
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(versão de 20 de Março)
Suc. 10
Proposição: Sejam Ÿu n e Ÿv n sucessões, Ÿv n com os termos
diferentes de zero.
Então:
1. se v n v . e Ÿu n tem limite finito,
v 0;
un
vn
2. se v n v 0 e Ÿu n tem limite infinito ou finito e diferente de
zero, uv nn v .;
Notação abreviada:
a
.
0
.
0
.
a
0
., se a p 0
São também símbolos de indeterminação
0
0
.
.
o.
o.
pois o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor,
depende das sucessões envolvidas; não resulta imediatamente de
uma propriedade das operações.
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(versão de 20 de Março)
Suc. 11
Observação: Sejam PŸn e QŸn polinómios de graus p e q ,
respectivamente, isto é:
PŸn a 0 a 1 n C a p n p , com a p p 0,
QŸn b 0 b 1 n C b q n q , com b q p 0
Então
lim PŸn . , se a p 0
". , se a p 0;
.
lim
PŸn QŸn 0
ap
bq
, se p q
, se p q
, se p q.
Mais,
se p q,
lim
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PŸn QŸn . , se a p e b q têm o mesmo sinal
". , se a p e b q têm sinais contrários
(versão de 20 de Março)
Suc. 12
Sucessões Monótonas
Definição: Uma sucessão Ÿu n diz-se:
S
S
S
S
S
S
crescente (em sentido lato) se u n1 u u n , nN ;
decrescente (em sentido lato) se u n1 t u n , nN ;
monótona (em sentido lato) se for crescente ou decrescente
(em sentido lato);
estritamente crescente se u n1 u n , nN ;
estritamente decrescente se u n1 u n , nN ;
estritamente monótona se for estritamente crescente ou
estritamente decrescente.
Observação:
S
S
frequentemente estuda-se o sinal de u n1 " u n ;
por vezes é mais fácil estudar
a n1
an
(a n 0, nN ).
Teorema: Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.
Mais precisamente:
- toda a sucessão crescente e majorada tem limite (igual ao
supremo do conjunto dos seus termos);
- toda a sucessão decrescente e minorada tem limite (igual ao
ínfimo do conjunto dos seus termos).
Nota: o supremo de um conjunto é o menor dos seus majorantes
e o ínfimo é o maior dos seus minorantes.
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(versão de 20 de Março)
Suc. 13
Proposição: Toda a sucessão monótona tem limite finito ou
infinito.
Dada uma sucessão monótona, tem-se um de dois casos:
S
a sucessão é limitada v tem limite finito, visto que é
convergente;
S
a sucessão não é limitada v tem limite . ou "., conforme
é crescente ou decrescente.
Número de Neper:
Prova-se que a sucessão de termo geral
n
1 1n
é (estritamente) crescente e tem os termos entre 2 e 3.
Portanto, é monótona e limitada, pelo que é convergente em R.
O limite desta sucessão representa-se por “e”.
Assim,
lim 1 1n
n
e.
Prova-se que e é um número irracional.
Proposição: Se Ÿu n é um infinitamente grande e a R, então
lim 1 uan
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(versão de 20 de Março)
un
ea .
Suc. 14
Subsucessões
Definição: Sendo Ÿu n uma sucessão e Ÿn k uma sucessão
estritamente crescente de elementos de N, sucessão v k u n k
diz-se uma subsucessão de Ÿu n .
Uma subsucessão de Ÿu n é uma sucessão extraída de Ÿu n .
escolhendo certos índices, em número infinito, por ordem
crescente.
Escolhendo n 1 , n 2 , n 3 , T , com n 1 n 2 n 3 T , a sucessão
u n 1 , u n 2 , u n 3 , T , é subsucessão de Ÿu n .
Duma sucessão Ÿu n podem extrair-se, por exemplo:
S
S
S
S
u 2 , u 4 , T , u 2k , T (dos termos de ordem par);
u 1 , u 3 , T , u 2k"1 , T (dos termos de ordem ímpar);
u 3 , u 6 , u 9 , T , u 3k , T (dos termos de ordem múltipla de 3);
u 2 , u 3 , u 5 , u 7 , T (dos termos cuja ordem é um número
primo).
Proposição: Toda a subsucessão duma sucessão com limite
(finito ou infinito) tem o mesmo limite.
Corolário: Se uma sucessão tem duas subsucessões com limites
diferentes, a sucessão não tem limite.
Proposição: Se as subsucessões dos termos de ordem par e dos
termos de ordem ímpar de Ÿu n n são ambas convergentes e têm o
mesmo limite, então Ÿu n n converge para esse limite.
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(versão de 20 de Março)
Suc. 15
Proposição: Toda a sucessão de reais tem uma subsucessão com
limite (finito ou infinito).
S
Chama-se limite superior de Ÿu n ao maior dos limites
(finitos, . ou ".) das subsucessões de Ÿu n ;
representa-se por limu n ou lim sup u n ,
S
Chama-se limite inferior de Ÿu n ao menor dos limites
(finitos, . ou ".) das subsucessões de Ÿu n ;
representa-se por limu n ou lim inf u n .
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Suc. 16
Resultados úteis no cálculo de limites
Proposição (Limite da potência):
Sendo a um escalar real
.
lim a n 0
1
, se a 1
, se |a| 1
, se a 1
não existe , se a "1
.
, se a "1.
Proposição (Limite da média aritmética):
Se Ÿu n é uma sucessão tal que u n v a, com a R, a . ou
a "., então
u1 u2 C un v a .
n
Corolário Sendo Ÿu n uma sucessão,
se Ÿu n1 " u n v a então
u n v a.
n
Exemplo importante:
lim lnnn 0.
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(versão de 20 de Março)
Suc. 17
Proposição (Limite da média geométrica):
Se Ÿu n é uma sucessão de reais não negativos e u n v a, com
a R ou a ., então
n
u 1 u 2 T u n v a.
Corolário: Sendo Ÿu n uma sucessão de reais positivos,
se uunn1 v a então n u n v a.
Exemplo: lim n a 1
Proposição: Se Ÿu n é um infinitamente grande e a R, então
un
lim 1 uan
ea .
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(versão de 20 de Março)
Suc. 18
Sucessões definidas por recorrência
Uma sucessão está definida por recorrência quando:
- é indicado o valor do primeiro termo (ou dos primeiros
termos),
- o valor de um certo termo é definido a partir do anterior (ou de
mais do que um termo anterior).
Exemplos:
1.
u1 1
u n1 n 2 u n , nN ,
2.
v1 1 , v2 2
v n2 2v n1 " 3v n , nN ,
3. progressão aritmética de razão r e primeiro termo a
u1 a
u n1 u n r , nN ;
4. progressão geométrica de razão r e primeiro termo a
u1 a
u n1 u n . r , nN .
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(versão de 20 de Março)
Suc. 19
O Método de Indução Finita
O Método de Indução Finita, é fundamental para provar muitas
propriedades dos naturais e também outras propriedades em que
intervêm naturais.
É especialmente indicado para provar propriedades de sucessões
definidas por recorrência.
Teorema: (Princípio de Indução Finita)
Seja PŸn uma condição na variável (natural) n tal que:
- PŸ1 é verdadeira,
- para qualquer n N, PŸn ´ PŸn 1 .
Então PŸn é verdadeira, para qualquer n N.
Método de Indução Finita:
S
S
prova-se que PŸ1 é verdadeira;
Passo de Indução:
Para n N (arbitrário), assume-se que PŸn é verdadeira
(Hipótese de Indução)
e
prova-se que PŸn 1 é verdadeira
(Tese de Indução)
S
conclui-se, pelo Princípio de Indução Finita, que PŸn é
verdadeira para qualquer n N.
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(versão de 20 de Março)
Suc. 20