Divisibilidade
Divisores e Múltiplos
Profº: Keyson Gondim
Divisores
Vejamos os exemplos das divisões abaixo:
a) 80 5
0 16
Como o resto é zero, a divisão é exata.
Dizemos que 80 é divisível por 5 ou que 5 é divisor
de 80.
b) 84 5
4 16
Como o resto é quatro, a divisão não é exata.
Dizemos que 84 não é divisível por 5 ou que 5 não é
divisor de 84.
Relação fundamental da divisão
Dada a relação fundamental da divisão:
Dividendo = divisor x quociente + resto
Podemos concluir que:
Resto = dividendo – divisor x quociente
Exemplo: Na divisão 84 5
4 16
Temos que Resto = 84 – 5 x 16, ou seja,
Resto = 4.
Critérios de divisibilidade
 Os critérios de divisibilidade são regras práticas que
permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um
número natural é ou não divisível por outro número
natural.
 Qualquer número natural, com exceção do zero, tem
por divisores o número 1 e ele mesmo.
 A seguir apresentaremos alguns desses critérios.
Divisibilidade por 2
Um número natural será divisível por 2 quando ele
for par, ou seja, terminar em 0, 2, 4, 6, 8.
Exemplos:
a)
b)
9734 é divisível por 2 (termina em 4)
2867 não é divisível por 2.
c)
1420 é divisível por 2 (termina em 0)
Divisibilidade por 3
Um número natural será divisível por 3 quando a
soma dos seus algarismos for um número divisível
por 3. Exemplos:
a)
1437 é divisível por 3, temos (1+4+3+7=15) e 15 é
divisível por 3.
b) 29 não é divisível por 3, temos (2+9+=11) e 11 não é
divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Um número natural será divisível por 4 quando
terminar em 00 ou os dois últimos algarismos
forem divisíveis por 4. Exemplos:
a)
2008 é divisível por 4 (08 é divisível por 4)
b)
600 é divisível por 4 (termina em 00)
c)
427 não é divisível por 4, temos (27 não é
divisível por 4)
Divisibilidade por 5
Um número natural será divisível por 5 quando terminar
em 0 ou 5.
Exemplos:
a) 7805 é divisível por 5 (termina em 5)
b) 6290 é divisível por 5 (termina em 0)
c) 1342 não é divisível por 5
Divisibilidade por 6
Um número natural será divisível por 6 quando for
divisível por 2 e 3, ao mesmo tempo. Exemplos:
a)
7314 é divisível por 6 (é divisível por 2 e 3 ao
mesmo tempo)
b)
249 não é divisível por 6 (não é divisível por 2
embora seja divisível por 3)
Divisibilidade por 7

Um número natural será divisível por 7 se o
dobro do último algarismo, subtraído do número sem
o último algarismo, resultar em um número divisível
por 7.

Se o número obtido ainda for grande, repete-se
o processo até que se possa verificar a divisão por 7.
a)
Exemplos:
2534 é divisível por 7, temos:
253
-8
245
Número sem o último algarismo
Dobro de 4 (último algarismo)
Diferença
Repetir o processo com este último
Número (245).
24
Número sem o último algarismo
- 10
14
Dobro de 5 (último algarismo)
Diferença
A última diferença 14 é divisível por 7,
logo o número 2534, também é divisível
por 7.
b) 6438 não é divisível por 7, temos:
643
- 16
627
Número sem o último algarismo
Dobro de 8 (último algarismo)
Diferença
Repetir o processo com este último
Número (627).
62
- 14
48
Número sem o último algarismo
Dobro de 7 (último algarismo)
Diferença
A última diferença é 48 que não é divisível por
7, logo o número 6438 também não é divisível
por 7.
Divisibilidade por 8
Um número natural será divisível por 8
quando terminar em 000 ou quando os três
últimos algarismos forem divisíveis por 8. Exemplos:
a)
3456 é divisível por 8 (456 é divisível por 8)
b)
12000 é divisível por 8 (termina em 000)
c)
951 não é divisível por 8
Divisibilidade por 9
Um número natural será divisível por 9
quando a soma dos seus algarismos for um
número divisível por 9.
Exemplos:
a) 6984 é divisível por 9, temos (6+9+8+4=27) e 27 é
divisível por 9
b) 5641 não é divisível por 9, temos (5+6+4+1=16) e 16
não é divisível por 9
Divisibilidade por 10
Um número natural será divisível por 10
quando terminar em zero ( 0 ).
Exemplos:
4580 é divisível por 10
a) 74560 é divisível por 10
b)
98704 não é divisível por 10
Divisibilidade por 11




Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos
dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas
de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:
1) 57948
Si (soma das ordens ímpares) = 8+9+5 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 57948 é divisível por 11.
2) 439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11
(diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21.
Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.
Múltiplo de um número
Consideremos a e b dois números
Naturais, sendo b diferente de zero. Podemos
dizer que um número natural a é múltiplo
de um número natural b, quando a for
divisível por b ou b for divisor de a.
Exemplo:
O número 120 é múltiplo de 30, pois 120 é
divisível por 30.
Atividade de revisão
Complete a tabela abaixo, usando os
conhecimentos adquiridos nesta aula.
Dividendo Divisor
458
12
1250
?
?
35
Quociente Resto
38
?
125
0
20
15