2
95
MENSAGEM INICIAL
MILHO DE PIPOCA
A transformação do milho duro em pipoca macia é símbolo da grande
transformação por que devem passar os homens para que eles venham a ser
quem devem ser.
O milho da pipoca não é o que deve ser.
Ele dever ser aquilo que acontece depois do estouro.
O milho da pipoca somos nós: duros, quebra-dentes, impróprios para
comer.
Pelo poder do fogo podemos, repentinamente, nos transformar em
outra coisa.
Mas a transformação só acontece pelo poder do fogo.
Milho de pipoca que não passa pelo fogo continua a ser milho de
pipoca para sempre.
Assim acontece com a gente.
As grandes transformações acontecem quando passamos pelo fogo.
Quem não passa pelo fogo fica do mesmo jeito a vida inteira.
São pessoas de uma mesmice e uma dureza assombrosas.
Só que elas não percebem.
Acham que o seu jeito de ser é o melhor jeito de ser.
Mas, de repente, vem o fogo.
O fogo é quando a vida nos lança numa situação que nunca
imaginamos.
Dor.
Pode ser fogo de fora: perder um amor, perder um filho, o Pai , ficar
doente, perder o emprego, ficar pobre.
Pode ser fogo de dentro: pânico, medo, ansiedade, depressão sofrimentos cujas causas ignoramos.
Há sempre o recurso do remédio.
94
3
Apagar o fogo.
Sem fogo o sofrimento diminui.
E com isso a possibilidade da grande transformação.
Imagino que a pobre pipoca, fechada dentro da panela, lá dentro
ficando cada vez mais quente, pensa que sua hora chegou: vai morrer.
Dentro de sua casca dura, fechada em si mesmo.
Ela não pode imaginar destino diferente.
Não pode imaginar a transformação que está sendo preparada.
A pipoca não imagina aquilo de que ela é capaz.
Aí, sem aviso prévio, pelo poder do fogo a grande transformação
acontece: PUM ! - e ela aparece como uma outra coisa completamente
diferente que ela mesma nunca havia sonhado.
Bom, mas ainda temos o piruá que é o milho de pipoca que se recusa
estourar.
São aquelas pessoas que, por mais que o fogo esquente se recusam a
mudar.
Elas acham que não pode existir coisa mais maravilhosa do que o
jeito delas serem.
A sua presunção e o medo são a dura casca de milho que não
estoura.
O destino delas é triste.
Ficarão duras a vida inteira.
Não vão se transformar na flor branca e macia.
Não vão dar alegria para ninguém.
Terminado o estouro alegre da pipoca, no fundo da panela ficam os
piruás que não servem para nada.
Seu destino é o lixo...
Do livro
"O Amor que acende a lua" - Editora Papiros
4
MENSAGEM FINAL
E
stamos todos aqui neste planeta,
por assim dizer, como turistas.
Nenhum
de
nós pode
morar aqui para sempre. O maior
tempo que podemos ficar são
aproximadamente cem anos.
Sendo assim, enquanto estamos
aqui, deveríamos procurar ter um
bom coração e fazer de nossas vidas
algo de positivo e útil.
Quer vivamos poucos anos ou um
século inteiro, seria lamentável
e triste passar este tempo agravando
os problemas que afligem as outras
pessoas, os animais e o ambiente.
O
mais importante de tudo
é ser uma boa pessoa.
Extraído do livro: Sua Santidade, o Dalai-lama
O CAMINHO DA TRANQUILIDADE
93
HISTÓRICO
Uma breve História dos Logaritmos:
No início do século XVII, a astronomia, o comércio e a navegação atingiram um estágio
de desenvolvimento que exigiu cálculos aritméticos cada vez mais complicados. Por essa razão,
havia um grande interesse em se obter processos mais rápidos e preciosos em cálculos
envolvendo multiplicações, divisões, potências e raízes.
O matemático escocês John Napier criou um método de cálculo através do qual é
possível realizar operações complexas utilizando operações mais simples: a esse método Napier
denominou logaritmo, tendo publicado as primeiras tabelas de logaritmos em 1614. A palavra
logaritmo vem da composição, feita por Napier, de duas palavras gregas: logos (que significa
razão) e arihmos (números).
Desconhecendo o trabalho de Napier, o matemático
suíço Jobst Burgi obteve um método semelhante,
baseado nos mesmos princípios, mas divulgado somente
em 1620.
Os princípios básicos dos logaritmos transformar uma multiplicação em adição ou uma
divisão em subtração - já haviam sido vislumbrados por
outros matemáticos antes de Napier. No entanto
credita-se a ele a criação dos logaritmos, devido a vinte
anos de trabalho que culminaram com a publicação das
obras Mirifici logarithmorum canonis descriptio
(“Descrição das normas dos logaritmos maravilhosos”,
em 1614) e Mirificil logarithmorum canonis constructio
(“Cálculo das normais dos logaritmos maravilhosos”, em
1619).
A idéia de logaritmo foi aceita imediatamente
por alguns dos principais matemáticos da época, entre eles o inglês Henry Briggs.
Após reconhecer a importância do trabalho de Napier, Briggs publicou em 1624 novas
tabelas de logaritmos, de utilização mais simples no sistema decimal.
Desde a época de sua criação até o surgimento das calculadoras e computadores, os
logaritmos constituíram-se numa poderosa “ferramenta” de cálculo e foram decisivos para o
desenvolvimento da ciência e da tecnologia.
Quando a base é igual a 10 costumamos representar o logaritmo sem indicar o valor da
base. Assim, log b representa o logaritmo de b na base 10:
log b = log10 b
92
5
106. Uma bola elástica cai de uma altura de 4 metros, elevando-se a cada pulo, a uma altura
Os logaritmos na base 10 são também chamados logaritmos decimais (dizemos que eles
formam o sistema de logaritmos decimais). Henry Briggs (1561-1639), matemático inglês,
publicou em 1617 uma tabela contendo os logaritmos decimais dos números de 1 a 1 000. As
tabelas de logaritmos facilitaram bastante alguns cálculos antes muito trabalhosos e demorados
(adiante veremos como os logaritmos podem facilitar esses cálculos). Hoje em dia, porém,
dispomos de recursos bem mais avançados (máquinas de calcular, computadores) e as próprias
tábuas de logaritmos se tornaram obsoletas. Entretanto, a teoria dos logaritmos continua sendo
muito importante pelas suas aplicações não apenas na Matemática, mas também na Física,
Química e Biologia. Muitos fenômenos naturais são governados por leis exponenciais de base e
(números de Euler), que é um número irracional de valor 2,71828... Nós cálculos com essas leis
frequentemente são empregados logaritmos.
Os logaritmos na base e são também chamados logaritmos naturais ou logaritmos
neperianos, em homenagem a John Napier (ou Neper) (1550-1617), um escocês que não era
matemático profissional, mas foi um dos iniciadores da teoria dos logaritmos. Cotumamos
representá-los pelo símbolo n, não escrevendo a base. Assim, n b representa o logaritmo
neperiano de b:
ln b = log e b
Nota: Em textos avançados, os logaritmos naturais costumam ser representados também por log,
sem citar e. Por isso, em cada texto é conveniente que o leitor preste atenção à convenção que
o autor está utilizando. No nosso caso:
igual a 3 da que caiu anteriormente. Qual o espaço percorrido até a bola parar?
4
107. Considere uma sequência de quadrados na qual cada quadrado, a partir do 2º. tem os
vértices nos pontos médios dos lados do quadrado anterior. Sendo ℓ a medida do lado 1º
quadrado, calcular:
a) a soma dos perímetros desse quadrados;
b) a soma das áreas desses quadrados.
log b = log10 b e ln b = loge b
108. Considere uma sequência de triângulos equiláteros na qual cada triângulo, a partir do 2º,
tem os vértices nos pontos médios dos lados do triângulo anterior. Sendo ℓ a medida do
lado do 1º triângulo, calcular:
a) a soma dos perímetros desses triângulos;
b) a soma das áreas desses triângulos
6
91
104. (Fuvest-SP) Suponha que a1, ... , a20 sejam números reais positivos em progressão
geométrica. Sabe-se que a1 = 1 e a20 = 10 . Calcule log a1 + log a2 + ... + log a20.
105. (U.MACK.) A desigualdade
2 log x
2 log x
2 log x
3
6
12
...
4
é verdadeira somente para:
3
a) 0 < x 10-4
b) 104 < x 10-3
c) 10-3 < x 10-2
d) 102 < x 10
e) 10º x 104
90
7
102. (U.F.PE) Sabendo-se que numa progressão geométrica o 1º termo é 1 e a razão é 2, assinale
a alternativa que corresponde ao produto dos 6 primeiros termos desta progressão:
a) 4 096
b) 1 024
103. Resolva a equação:
8
3x
3x
5
7
c) 5 120
3x
3x
25
14
d) 32 768
3x
3x
125
28
89

-6
e)10 000
100. (UFF-RJ) São dadas duas progressões: uma aritmética (P.A.) e outra geométrica (P.G).
Sabe-se que:
- a razão da P.G. é 2;
- em ambas o primeiro termo é igual a 1;
- a soma dos termos da P.A. é igual à soma dos termos da P.G.;
- ambas têm 4 termos.
Pode-se afirmar que a razão da P.A. é:
a)
1
6
b)
5
6
c)
7
6
d)
9
6
e)
11
6
ÍNDICE
Página
01- Logaritmos
101. (U.FORTALEZA) Seja G = 3
a)
b)
. 9
. 27
Definição
Sistemas de logaritmos
Consequências da definição
... O valor de G é:
c)
88
2
d) 1
11
02 - Propriedades operatórias dos logaritmos
17
03 - Mudanças de base
21
04 - Equações logarítmicas
26
05 - Função logarítmica
35
06 - Propriedades determinísticas das funções linear, exponencial
e logarítmica
44
07- Inequações logarítmicas
46
08 - Exercícios de aplicação às funções exponenciais e logarítmicas
50
9
97. Em uma progressão geométrica, a8 = 256 e q = 2. Determine a soma dos nove primeiros
termos.
98. Um quadrado tem área 4; ligando-se os pontos médios dos seus lados, obtemos outro
quadrado com o qual se procede do mesmo modo, e assim indefinidamente. Calcule a soma
das áreas dos 50 primeiros quadrados inscritos (exclusive o dado).
99. Em um triângulo equilátero de área unitária, inscreve-se um triângulo cujos vértices são os
pontos médios dos lados daquele; neste triângulo inscreve-se um outro cujos vértices são os
pontos médios de seus lados, e assim sucessivamente. Qual a soma das áreas dos 100
primeiros triângulos?
10
87
93. Inserindo-se 3 meios geométricos entre x e 729, obtém-se uma progressão geométrica cuja
razão é 3. Ache o valor de x.
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
01. LOGARITMOS
 Introdução
Consideremos o seguinte problema:
A que expoente x se deve elevar o número 3 para se obter 81?
Pelo enunciado, temos:
94. Interpolando-se 5 meios geométricos entre 8 e 5832, qual será o 5º termo da progressão?
3x = 81
3x = 34
x=4
Este valor 4 encontrado para o expoente x denomina-se logaritmo do número 81 na
base 3 e se representa por: log3 81 = 4
Então:
34 = 81
log3 81 = 4
95. As idades de três irmãos são números inteiros que estão em P.G.. Se o produto dessas
idades é 64 e a soma das idades dos dois mais velhos é 20, quantos anos tem cada um dos
irmãos ?
 Definição
O logaritmo de um número real e positivo b, na base a, positiva e diferente de 1, é o
número x ao qual se deve elevar a para se obter b.
De uma forma geral:
96. (U.F.PA) A razão da P.G. cujos termos satisfazem as relações a1 + a3 + a5 = 5
a2 + a4 + a6 = 10 é:
a)
1
2
b) 1
c)
3
2
d) 2
x
b
a
for ma
ex ponencial
log a b x

for ma
log ar ítmica
e) 3
A operação por meio da qual obtemos x é chamada de logaritmação.
Em logab = x ; b é o logaritmando ou antilogaritmo, a é a base do logaritmo e x é o
logaritmo.
86
11
 Exemplo:
Considerando a definição dada, calcular o valor dos logaritmos:
a) log6 36
90. (PUC-SP) Numa progressão geométrica a diferença entre o 2º. e o 1º termo é 9 e a diferença
entre o 5º e o 4º termo é 576. O 1º termo da progressão é:
b) log10 0,01
a) 3
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9
Resolução:
Chamando o resultado de x, temos:
a) log6 36 = x
b) log10 0,01 = x
36 = 6x
62 = 6x
x=2
0,01 = 10x
1
10 x
100
10-2 = 10x
Portanto: log6 36 = 2
x = -2
Portanto: log10 0,01 = -2
log 3 a log 3 b log 3 c 9
a b c 117
Além disso, eles estão em progressão geométrica, isto é, existe um número real r tal que
b = ar e c = br. Determine todos os possíveis valores de r e os correspondentes valores de
a, b e c.
91. (UF-MG) Três números reais a, b e c satisfazem o sistema:
 SISTEMAS DE LOGARITMOS
Um sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa certa
base b (b > 0 e b 1).
a) SISTEMA DECIMAL OU VULGAR
É o conjunto dos logaritmos na base 10.
A base dos logaritmos decimais não costuma ser explicada. Assim, log 10n
representado por log n.
é
b) SISTEMA NEPERIANO OU NATURAL
É o conjunto dos logaritmos na base e (a constante e recebe o nome de número de
Euler e tem valor 2,718281...).
Representamos os logaritmos neperianos por loge x
ou
 n x.
c) CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DO LOGARITMO
92. Os números 2x, 2x+2 e 22x+1 determinam, nesta ordem, uma progressão geométrica de três
termos. Qual o valor de x?
Já sabemos que a existência de logaritmo depende destas condições:
 O antilogaritmo (N) deve ser um número positivo.
Chama-se antilogaritmo (antilog) o número do qual procuramos calcular o
logaritmo.
 A base deve ser um número positivo e diferente de 1.
Então:
loga N existe quando e somente quando
12
N 0
a 0 e a 1
85
88. O terceiro termo de uma progressão geométrica é 2, e o sétimo termo é 512. Obtenha o 4º
termo.
 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
Pela definição de logaritmo (logb n = x
que:
bx = n, sendo n > 0 e 0 < b
1), podemos concluir
 O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0:
loga 1 = 0
 O logaritmo de um número, na base de valor igual a ele mesmo, é sempre igual a 1:
loga a = 1
 O logaritmo de um número a, na base a, elevado a um expoente m é sempre igual a m.
89. Para começar, observe esta sequência de figuras:
loga am = m
 Um número a, elevado ao logaritmo de b na base a, é sempre igual a b:
b
alog a = b
Na figura 1, o número de triângulos é 1.
Na figura 2, o número de triângulos menores é 4.
Na figura 3, o número de triângulos menores é 16.
Na figura 4, o número de triângulos menores é 64.
 Se dois valores reais positivos são iguais, então seus logaritmos, na mesma base,
também são iguais:
Pergunta-se: Quantos triângulos menores há na figura 10?
loga b = loga c
84
13
b=c
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
01. Calcule os logaritmos abaixo aplicando a definição:
85. Calcule o oitavo termo da P.G. de razão
1
a) log9
9
b) log25 625
1
na qual o terceiro termo é 5.
2
86. Calcule a razão da P.G. na qual o terceiro termo é 18 e o quinto termo é 162.
c) log0,01 10
d) log4
1
2
87. (U.F. Santa Maria-RS) Um navio encalhado provoca, em torno de si, um vazamento circular
de óleo. Constatou-se, ao fim do 1° dia de vazamento, que o raio da mancha de óleo media
r metros. Verificou-se, ainda, que o raio da mancha de óleo dobrava a cada 24 horas.
Nessas condições, qual é a razão da área da mancha de óleo ao fim do 7° dia pela área da
mancha no fim do 3° dia ?
f) log 1 3 9
e) log 1 7 16
3
2
14
83
09. PRODUTO DOS TERMOS DA P.G. LIMITADA
02. Calcule o valor dos logaritmos:
Indiquemos esta produto por Pn .
Temos, então:
Pn = a1 . a2 . a3 . a4 . . . . . an
-3
a) log 7 1
. an
-2
. an
-1
3
n-4
Pn = a1 (a1 . q) (a1 . q ) (a1 . q ) . . . (a1 . q
Pn
Pn
1.
n-3
) (a1 . q
n-2
n -1
) (a1 . q
) (a1 . q
a) 1 = log 3 x
Porém, 1 + 2 + 3 + ... + (n – 2) + (n – 1) é a soma dos n–1 termos de uma P. A. de razão
ou
Sn - 1
Sn
(a1
an ) . n
obtemos
2
n (n - 1)
.
2
Então, podemos escrever:
a1n . q
Pn
f) log 0,1 0,1
g) log 6 6
h) log 9 1
c) 0 = log 2 x
d) 1 = log 4 x
03. Dê o valor de x nas igualdades:
a1n . q1 2 3  (n - 2) (n - 1)
(1 n - 1) (n - 1)
2
3
)
vezes
Considerando a fórmula da soma dos termos de uma P. A.
Sn - 1
d) log 1 1
2
n-1
( a1. a1. a1. a1.  . a1. a1) (
q . q2. q3 .  . qn - 2 . qn - 1)


 
n vezes
c) log
2
. an
e) log 0,5 1
2
b) log 0,8 0,8
b) 1 = log x 10
04. Calcule o valor dos logaritmos a seguir:
a) log 5 54
b) log 2 26
c) log 10 10-4
d) log
e) log 2 16
f) log 5
g) log 3 243
h) log 2 5 2
5
2
n (n - 1)
2
05. Calcule o valor das expressões:
10. LIMITE DA SOMA DOS TERMOS DA P.G.
DECRESCENTE ILIMITADA
Em Sn
a1(qn - 1)
, quando n
q -1
e
qn
0, temos:
lim
n
Sn
a) 10 log10 3
b) 2 log 2 5
c) 2 log 2 6 . log 6 10
d) 3 log 2 7 . log 3 2
e) 10 3 . log 10 2
f) 2 1 log 2 3
a1(0 - 1)
ou
q -1
06. Calcule o valor de x:
lim Sn
n
a1
1- q
82
,q
0
e
a) log 6 x = log 6 8
b) log 3 8x = log 3 16
c) log x2 = log x
d) log 1 (x - 1)
log 1 3
5
5
-1 < q < 1
15
07. Calcule o valor numérico das expressões:
08. SOMA DOS TERMOS DA P.G. LIMITADA
a) log 1 + 3 . log5 25 - log8 8
Consideremos, agora, a PG finita (a1, a2, a3, a4, . . . , an
- 1,
an) de razão q e
indiquemos por Sn a soma dos n primeiros termos. Temos, assim:
b) log 0,1 + log0,1 0,01 - 7 . log7 49
Sn = a1 + a2 + a3+ a4 + . . . + an - 1 + na
OU
Sn = a1 + a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + . . . + a1 . qn – 2 + a1 . qn – 1
log5 6
c) log2 (log 100) + 3 . log4 64 + 5
Multiplicando-se
d) (log11 121)2 - 7log 7 65 + 5 . log (log 2 1024)
1
1
, membro a membro, por q, obtemos:
q . Sn =a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + a1 . q4 + . . . + a1 . qn – 1 + a1 . qn
08. Calcular os antilogaritmos abaixo:
Subtraindo-se
a) antilog3 4
b) antilog16
1
2
1
q . Sn - Sn =a1qn - a1
Para q – 1
0 ou q
de
2
, encontramos:
(q – 1) . Sn = a1 . (qn - 1)
1 , temos:
Sn
d) antilog 1 - 4
c) antilog3 -2
2
16
81
a1 (qn - 1)
q -1
2
07. PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
P1) MÉDIA GEOMÉTRICA
 LOGARITMO DO PRODUTO
1
Vamos considerar como exemplo a sequência , 1, 3, 9, 27, 81 , que é uma PG de
3
razão 3. A propriedade da média geométrica diz que “um termo qualquer da PG, a partir do
segundo, é a média geométrica entre seu antecessor e seu sucessor”.
Observe:
De modo geral,
02. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
log b (a . c) = log b a + log
b
c
com a > 0, c > 0 e 1
O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores tomados na
mesma base.
1
1
. 3
3
3
1. 3
9
3 . 27
Considere os logaritmos: logb a = x
a = bx (1)
27
9 . 81
logb c = y
c = by (2)
logb (ac) = z
ac = bz (3)
an
b > 0.
Demonstração:
an - 1 . an 1
Substituindo-se (1) e (2) em (3), vem:
,n>1
bz = a . c
bz = bx . by
bz = bx + y
z=x+y
logb (ac) = logb a + logb c
P2) TERMOS EQUIDISTANTES DOS EXTREMOS
Em qualquer progressão geométrica finita, podemos verificar que o produto dos pares
de termos equidistantes dos extremos e sempre o mesmo. Observe:
(
1
3
 LOGARITMO DO QUOCIENTE
,
1
,
3
,
9
,
27
,
81 )
1
. 81 = 27
3
logb
a
= logb a - logb c
c
com a > 0, c > 0 e 1
b > 0.
1 . 27 = 27
3 . 9 = 27
O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do numerador menos o logaritmo do
denominador tomados na mesma base.
Demonstração:
De modo geral,
Considere os logaritmos:
a1 . an = ak + 1 . an - k
c = by (2)
logb c = y
logb
80
a = bx (1)
logb a = x
a
=z
c
17
a
= bz (3)
c
Substituindo-se (1) e (2) em (3), vem:
bz =
bz =
a
c
bx
by
bz = bx - y
z=x-y
logb
a
= logb a - logb c
c
 LOGARITMO DE UMA POTÊNCIA
logb an = n . logb a
com a > 0 e 1
b > 0.
06. INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base
da potência.
Interpolar (inserir, intercalar) k meios geométricos entre dois números a e b é formar
uma PG de k + 2 termos, onde o 1º termo é o último é b. Assim
q
Demonstração:
k 1
Considere a expressão:
logb an = log b a . a . a . . . . . . . . . a



nvezes
log ba
log ba
...
log ba



b
a
n . log ba
nvezes
NOTAÇÕES ESPECIAIS DA PG
Caso particular:
log b n a
1
log ba n
18
1
. log ba
n
PG de 3 termos
(x, xq, xq2)
x
, x.xq
q
PG de 4 termos
(x, xq, xq2, xq3)
x x
, , xq, xq3
q3 q
PG de 5 termos
(x, xq, xq2, xq3, xq4)
79
x
x
, , x, xq, xq2
q
q
2
II) Quanto ao Comportamento:
 crescente
 decrescente
 COLOGARITMOS
q 1 e a1 0
ou
0 q 1 e a1 0
 constante
IR *
Dados 1 b
logaritmo de x na base b:
q=1
e
x > 0, chamamos de cologaritmo de x na base b o oposto do
cologb x = -logb x
q 1 e a1 0
ou
0 q 1 e a1 0
 alternante ou pendular
q<0
EXERCÍCIOS
Toda progressão geométrica não-constante e não pendular é uma função exponencial
discreta de IN* em IR.
*
09. Desenvolver aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos.
a) log (x3 y)
an = f(n) = a1 . q n-1
b) log x
x
y
c) log 3
a2 b
c
Então:
d)
78
n
a
3 bc
19
10. Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo (a, b, c são reais
positivos)?
e) ( 3, 3, 3, 3, ...)
f) (5, 10, 15, 20)
g) (3, -6, 12, -24)
h) (1, 4, 6, 11)
a) log2 a + log2 b - log2 c
b) 2 - log3 a + 3 log3 b - 2 log3 c
 CONCLUSÕES:
I) Termo Geral:
c)
Podemos notar que, a partir do primeiro termo, os seguintes são obtidos pela
multiplicação de certo número de razões.
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = a1 . q3
1
3
1
log a log c log b
3
2
2





a16 = a15 . q = a1 . q15
De modo geral, podemos fazer:
an = a1 . qn - 1

Observe que em uma progressão geométrica podemos fazer a seguinte analogia:
d) 3 +
1
1
log2 a +
log2 b - log2 c
3
6
20
77
05. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
11. Calcular os cologaritmos abaixo:
Def: Uma sequência de números
a) colog2 64
b) colog5 125
c) colog0,1 10
d) colog0,2 0,008
a1; a2; a3; ... ; an - 1; an; ...
É uma progressão geométrica se e somente se cada um de seus termos, a partir do
segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante q denominada razão da P.G..
an = an - 1 . q
n
2
Ou ainda: Progressão Geométrica é toda sequência de números na qual o quociente
entre cada um de seus termos, a partir do segundo, e o seu antecedente é constante e
denominada razão da P.G. .
a2
a1
a3
a2
a4
a3
...
an
an 1
03. MUDANÇA DE BASE
... q
EXERCÍCIOS
84. Dadas as sequências a seguir verifique se as mesmas são P.G., em caso afirmativo,
determine a razão e classifique a PG quanto ao número de termos e ao comportamento.
a) (1; 3; 9; 27; 81)
b) (-2; -4; -8; -16)
Até o momento em todas as propriedades utilizadas consideramos o fato de os
logaritmos estarem sempre na mesma base.
Suponha agora que apareçam bases diferentes e que precisemos reduzir os logaritmos
de bases diferentes para uma base conveniente.
Esta operação é chamada mudança de base.
Dado loga b vamos indicá-lo em outra base c (logc b).
Fazendo:
log a b
log c b
x
y
b
ax
b
y
c
a
x
c
Tomando os logaritmos do 1º e
membros na base c, temos :
y
logc ax = logc cy
c) (20, 10, 5,
5
, ...)
2
d)(-16, -8, -4, -2, -1, -1/2 , -1/4)
x . logc a = y logc c, substituindo vem:
loga b . logc a = logc b . 1
loga b . logc a = logc b
loga b =
76
log c b
log c a
onde: b > 0
0<a 1
0 <c 1
21
2º
Esta expressão mostra como se efetua a mudança de um logaritmo de base a para um
logaritmo de base c (arbitrária).
81. Resolva a equação log2x + log2x2 + log2x3 + ... + log2x100 = 15150.
 CONSEQUÊNCIAS
loga b = logc b . loga c
loga b =
1
log b a
log b =
a
12. Passe para a base 3 e, se possível, simplifique:
b) log27
loga b
82. (U.F.VIÇOSA) A expressão 10n + n2 representa a soma dos n primeiros termos de uma
progressão. É correto afirmar-se que esta é uma progressão:
a) aritmética de razão 3.
b) aritmética de razão 4.
c) aritmética de razão 2.
d) geométrica de razão 4.
e) geométrica de razão 2.
EXERCÍCIOS
a) log81 729
1
3
83. (U.F.VIÇOSA) Numa caixa há 1 000 bolinhas de gude. Retiram-se 15 bolinhas na primeira vez,
20 na segunda, 25 na terceira e assim sucessivamente na mesma razão. Após a décima quinta
retirada, sobrarão na caixa:
d) log 52
c) (log4 3) . (log5 3) . (log3 2)
22
a) 250 bolinhas
b) 200 bolinhas
c) 300 bolinhas
d) 500 bolinhas
e) 750 bolinhas
75
80. Uma pessoa vai regar 60 roseiras que estão em linha reta e a um metro uma da outra. A
torneira onde ela enche o regador também está no mesmo alinhamento, 15 metros antes da
primeira roseira. Na 1ª, viagem, ela parte da torneira, rega as 3 roseiras mais próximas e
retorna à torneira; na 2ª. viagem ela rega as 3 roseiras seguintes, e assim por diante, até
regar todas as roseiras.
13. Se loga b = 2 - m e logb a = 2 + m, calcule o valor de m.
14. Se log8 225 = a, calcule log2 15.
Considere a PA que tem como 1º. termo a distância, em metros, que a pessoa andou na 1ª.
viagem; como 2º. a distância que andou na 2ª. viagem, e assim por diante, até a última
viagem. Calcule:
a) o primeiro termo da PA.
b) a razão da PA.
15. Obtenha o valor de log74 . log56 . log4 7 . log6 5.
c) o número de termos da PA.
d) a distância percorrida na última viagem.
16. Calcule log2 81 sabendo que log 3 = a e log 2 = b.
e) a distância total percorrida para realizar o trabalho.
17. Se logb a = 2, obtenha log 1
3 a.
b2
74
23
18. Qualifique como verdadeiro ou falso:
75. Quantos múltiplos de 3 e 4 existem entre 41 e 350?
a) log2x + log4x + log8x = 11 log2x
16
76. Quantos múltiplos de 3 ou 4 existem entre 31 e 527?
3
b) log3x + log9x =
log3x
2
c) log5x + log25x =
5
log5x
2
77. Quantos números entre 50 e 2000 são divisíveis por 7?
19. Se log10 a = x e log10 b = y, calcule logb a.
20. Sabendo que log a (x + y) = m e log a (x – y) = n, calcule log a (x2 – y2)a.
24
78. Quantos números entre 21 e 100 não são divisíveis por 9?
79. Determine 3 números em PA, sabendo que sua soma é 6 e que a soma de seus quadrados
é 14.
73
72. Na estrada que liga a entrada da Fazenda até a sua sede, existem duas palmeiras, uma a 12
metros da entrada e outra a 228 metros.
21. Se log 2 = m, calcule log5 2.
O proprietário deseja plantar entre elas outras cinco palmeiras. Qual deve ser a distância entre
as duas palmeiras consecutivas se essa distância for sempre a mesma ?
22. Dado logb a3 = m, calcule loga b.
23. Dado logb a = x, calcule log 1 b2.
a
73. Quantos múltiplos de 8 existem entre 102 e 9002?
24. Calcule log1516 . log1415 . log1314 . . . . . . .
74. Quantos múltiplos de 3 existem entre 20 e 421?
72
25
. log23.
69. Verifique se a sequência dada é uma P.A. e em caso afirmativo, determine a razão. E
classifique-a quanto à variação e ao número de termos.
04. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
a) (2, 5, 8, 11, 14)
b) (15, 10, 5, 0, -5, -10, ...)
c) (5, 10, 15, 20, 25)
d) (3, 7, 11, 16, 20)
e) (1/3; 1/3; 1/3; 1/3)
f) (2; 2 +
São equações que envolvem logaritmos.
Resolver uma equação logarítmica é determinar o valor ou os valores da incógnita que
tornam a sentença verdadeira.
Para resolver uma equação logarítmica, adotaremos o seguinte método:
1º) Indicaremos as condições de existência.
3;2+2 3;2+3 3)
2º) Resolveremos a equação.
3º) Faremos a verificação com as soluções da equação nas condições de existência.
Veja como obter a solução de log3(5x - 1) = log3(8 - 2x).
 Condições de existência:
5x
e
8
1
2x
0
0
x
x
1
5
4
70. Introduzindo 21 meios aritméticos entre 31 e 64, qual é a razão que se obtém?
 Solução:
log3(5x - 1) = log3(8 - 2x)
1
5
x
5x - 1 = 8 - 2x
4
7x = 9
x=
9
7
Como x =
9
satisfaz a condição de existência,
7
temos s =
9
.
7
26
71. No km 88 de uma estrada há um telefone para pedir auxílio mecânico. O próximo telefone
se encontra no km 256. Entre eles, serão colocados 15 novos telefones. A distância entre um
telefone e o seguinte será sempre a mesma. Qual será essa distância?
71
67. Os triângulos abaixo são formados por palitos.
Vamos resolver a equação:
log2(x + 1) + log2 (3x + 1) = 3.
 Condição de existência:
. . . um triângulo
x
e
3x
1 0
x
log2(x + 1) + log2(3x + 1) = 3
1
x
1 0
x
 Solução:
1
3
dois triângulos
1
3
log2 (x + 1) (3x + 1) = 3
log2(3x2 + 4x + 1) = 3
3x2 + 4x - 7 = 0
Como x = -
x = 1 ou x = -
Quantos palitos são necessários para formar cem triângulos?
EXERCÍCIOS
68. (CESGRANRIO) Em uma progressão aritmética de 41 termos e de razão 9, a soma do termo
do meio com o seu antecedente é igual ao último termo. Então, o termo do meio é:
b) 189
c) 201
d) 171
25.
Resolver as equações abaixo no conjunto dos Reais.
a) log4 (x - 1) = 2
e) 180
b) log3 (x2 - 2x - 2) = 0
70
27
7
3
não satisfaz a condição de
existência, temos: S = {1}
três triângulos . . .
a) 369
7
3
3x2 + 4x + 1 = 8
EXERCÍCIOS
c) log3 (6x + 27) = 2
64. Em uma P.A. de razão 3 o vigésimo termo é 41. Calcule o quarto termo.
2
d) 5 log 5 (x - 3x ) 4
65. Calcule a razão de uma PA sabendo que o quarto e o nono termos são respectivamente 8 e
113.
e) log x [x(x – 6)] = 1
66. Calcule x de modo que os números 2x, 3x e x2 sejam nesta ordem termos consecutivos e
distintos de uma progressão aritmética.
28
69
P2) TERMOS EQUIDISTANTES DOS EXTREMOS
Em qualquer progressão aritmética finita, podemos verificar que a soma de pares de
termos equidistantes dos extremos é sempre constante.
( a1 ,
a2 ,
a 3 , . . . , a n - 2 , an – 1 ,
f) log (x + 1) (x2 + 7) = 2
an )
a3 + an-2
a2 + an-1
a1 + an
a1 + an = a2 + an -1 = a3 + an-2 = . . .
Assim, de um modo geral:
a1 + an = ak + 1 + an - k
onde
k pode variar de 1 até n –
1.
26. Resolver as equações abaixo no conjunto dos reais:
04. FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P. A. FINITA
Considerando a PA (a1, a2, a3, ... , an - 2, an - 1, an), a soma de todos os termos dessa
progressão pode ser escrita de duas maneiras. Adicionando-se membro a membro, vem:
Este raciocínio, reproduzido literalmente, conduz a uma fórmula para a soma dos n
termos de uma PA:
Sn
a1
Sn
an
a2
a3
an - 1

an - 2
an - 2

an - 1
a3
an
a2
a1
__________ __________ __________ __________ __________ __________ __
Sn
2S n
(a1
an )
2S n
(a1
an ) . n
(a1
an ) n
2
(a 2
a n - 1)

(an - 1
a 2 ) (an
a1)
ou ainda
68
29
NOTAÇÕES ESPECIAIS PARA P. A.
b) log 2 {2 . log3 [1 + log4 (x + 3)]} = 2
1º modo
2º modo
PA de 3 termos
(x,x + r,x + 2r)
(x - r, x, x + r)
PA de 4 termos
(x, x + r, x +2r, x + 3r)
(x - 3a, x - a, x + a, x + 3a) onde r = 2a
PA de 5 termos
(x,x + r,x + 2r, x + 3r,x + 4r)
(x - 2r, x - r, x,x + r, x + 2r)
c) log2 {2 + 3 . log3 [1 + 4 . log4 (5x + 1)]} = 3
03. PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
P1) MÉDIA ARITMÉTICA
Em toda P.A. um termo qualquer é sempre média aritmética entre o seu antecessor e o
seu sucessor, ou ainda um termo qualquer é média aritmética entre os termos que dele
equidistam.
27. Resolver as equações no conjunto dos reais:
PROPRIEDADE:
Essa pode ser facilmente demonstrada se lembrarmos da notação:
( . . . , an – 3r, an – 2r, an – r, an , an + r, an + 2r, an + 3r, . . . )
a) log 2 x + log 2 (x – 2) = log 2 8
pares de termos equidistantes de an
an
an - r
an r
2

2an
2
an - 2r
an 2r
2


an - 3 r
an 3r
2

2an
2
2an
2
De modo geral, dizemos que numa PA vale:
an
30
an- k
an k
para n > k
2
67

an
Então:
b) 2 log x = log 4 + log 3x
se r > 0
se r < 0
c) log 7 (x + 4) + log 7 (x - 4 ) - log 7 (x + 2) = log 7 (x - 3)
n
1) Crescente: são as P.A. em que cada termos é maior que o anterior. É imediato que isto
ocorre somente se r > 0.
2) Decrescente: são as P.A. em que cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre somente se
r < 0.
d) n (x + 4) + n (x - 4) = 2 n 3
3) Constante: são as P.A. em que cada termo é igual ao anterior. É fácil ver que isto só ocorre
quando r = 0.
02. INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
Interpolar, inserir ou intercalar k meios aritméticos entre dois números a e b significa
obter uma PA de k + 2 termos cujo primeiro termo é a e o último termo é b.
28. Resolver as equações no conjunto dos reais:
a) 2 . log2 x - 5 . log x + 2 = 0
Esquema de interpolação aritmética
RAZÃO DA INTERPOLAÇÃO
k 2
n
( a, 

,
, b)
,


r
k ter mos
a1 = a
b = an
66
b-a
k 1
31
b)
log 2 x
log x - 1
1
log x
log x - 1
Observe que em uma progressão aritmética podemos fazer a seguinte analogia:
c) 3 . log 82 x + 3 = log8 x10
II ) Com relação ao comportamento:
r
Em toda PA: r
r
29. Determine o valor de x nas equações:
a)
1
log x 8
1
log 2 x 8
1
log 4 x 8
0
0
0
PA crescente
PA constante
PA decrescent e
2
 Justificando:
Toda progressão aritmética não constante é
*
uma função do 1° grau discreta de IN em IR.
an = f(n) = a1 + (n – 1) . r
f (n) = rn + (a1 – r)
32
65
*
b) log2 x + log 2 x + log 1 x = 8
2
 CONCLUSÕES
I) Termo geral da PA:
De modo geral, em qualquer PA, partindo do primeiro termo, obtemos a 2, a3, etc,
fazendo:
( a1 ,
a2 ,
a3 ,
a 4 , . . . , an , . . . )
+r
+ 2r
+ 3r
30. Resolver as equações no Conjunto dos reais:
a2
=
a1 + r
a3
=
a1 + 2r
a4
=
a1 + 3r

a20

=
a) log3 x +
1
=2
log 3 x 9

a1 + 19r
Portanto, chegamos à expressão do Termo Geral:
an = a1 + (n - 1) r
64
33
PROGRESSÕES
b) 4 . xlog 2 x = x 3
01. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
Definição: Uma sequência de números:
( a1; a2; a3; ... ; an-1; an )
É uma progressão aritmética (PA) se e somente se cada um de seus termos, a partir do
segundo, é igual ao seu antecedente somado a uma constante r denominada razão da
progressão.
c) log3
3
2
+ log3
4
3
+ . . . + log3
n
n
1
=2
an = an - 1 + r
n
2
Ou ainda:
É uma sequência de números na qual a diferença entre cada um de seus termos e o seu
antecedente é constante e denominada razão da progressão aritmética.
31. Determine o conjunto solução do sistema:
8 x . 8 y . 2 -4
2
log (x y 2)
0
a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ... = an - an-1 = r
an - an-1 = r
n
2
EXERCÍCIOS
63. Em uma P.A. de razão
34
1
o décimo primeiro termo é 8. Determine o valor do quinto termo.
2
63
32. Resolva o sistema:
log x
colog y = 3
2 log x - 3 log y = - 1
05. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Chamamos de função logarítmica de base a (0 < a
elemento x
IR+*
1) a função que associa cada
ao seu logaritmo, nessa base:
f : IR*
x
IR
y = loga x
A função y = loga x é inversa da função exponencial x = ay:
x = ay
62
y = loga x
35
Sabemos que, num sistema cartesiano, gráficos de funções inversas são simétricos em relação à
bissetriz do 1º e 3º quadrantes. Assim, representando num mesmo gráfico as funções logarítmica
e exponencial em função da base, temos:
1) base > 1
2) 0 < base < 1
ÍNDICE
Página
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Vamos construir num mesmo sistema de eixos os gráficos de:
1º)
f(x) = 2x e f(x) = log2 x
x
y=2
x
y
y = log2 x
x
y
-2
1
4
1
4
-2
-1
1
2
1
2
-1
0
1
2
1
2
4
1
2
4
0
1
2
36
01 - Progressão aritmética
63
02 - Interpolação aritmética
66
03 - Propriedades das progressões aritméticas
67
04 - Soma dos termos da P. A.
68
05 - Progressão geométrica
76
06 - Interpolação geométrica
79
07 - Propriedades das progressões geométricas
80
08 - Soma dos termos da P. G.
81
09 - Produto dos termos da P. G.
82
10 - Limite da soma dos termos da P.G. ilimitada decrescente
82
61
Notamos que os gráficos de f(x) = 2x e f(x) = log2 x são simétricos em relação à bissetriz dos 1º e
3º quadrantes, pois f(x) e g(x) são funções inversas entre si.
1
2
2º) f(x) =
y
x
1
2
y
x
x
e
f(x) = log 1 x
2
y
log 1 x
2
x
y
2
1
4
1
4
2
1
1
2
1
2
1
0
-1
-2
1
2
4
1
2
4
0
-1
-2
 CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO
Uma função logarítmica do tipo y = log a x pode ser classificada em:
 crescente, para a > 1
x2 > x 1
60
 decrescente, para 0 < a < 1
loga x2 > logax1
x2 > x 1
37
loga x2 < loga x1
Exemplos:
1) f(x) = log2x
2) f(x) = log 1 x
2
ESTUDO DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS DA FORMA: y = logb (x)
01) f(x) = log 1 (x - 2)
02) y = log2 | x - 2|
2
38
59
EXERCÍCIOS
33. Esboce os gráficos das funções:
a) f(x) = log3 x
b) f(x) = log10x
y
y
x
x
c) f(x) = 2 log x1
d) f(x) =
4
y
log 4x
y
x
58
3
2
x
39
e) f(x) = - co log
x
61. Uma população de bactérias, em condições favoráveis, reproduz-se aumentando seu
número em 25% a cada dia. Após quantos dias o número de bactérias será 200 vezes maior
que o número inicial ? (Use log 2 = 0,301 e log 5 = 0,699).
f) f(x) = 3 co log 0x,1
3
y
y
x
x
62. A produção de embalagens plásticas em uma cidade é feita por duas empresas: A e B.
Atualmente, a produção anual na empresa A é de 75 mil unidades e na empresa B é de 447
mil. Porém, a produção de A cresce 50% ao ano, enquanto em B a taxa de crescimento é 20%
ao ano. Mantidas essas condições, daqui a quantos anos, aproximadamente, a produção de A
ultrapassará a de B? (Dado: log149 = 2,2)
34. Esboce os gráficos das funções:
a) f(x) = log2 (x - 3)
b) f(x) = log 1 (x + 2)
3
y
y
x
x
40
57
57. Na Ásia, a população vem aumentando à razão de 2% ao ano. Dentro de quantos anos,
aproximadamente, a população da Ásia duplicará? (log 102 = 2, 0086).
a)
b)
c)
d)
e)
30 anos
35 anos
40 anos
45 anos
50 anos
c) f(x) = - 3log2 (2x + 3)
d) f(x) = loge ( -3x + 2)
y
58. (COVEST-MAT.II) Um certo equipamento sofre uma depreciação de 10% ao fim de cada ano
de uso. Adquirido hoje por determinado valor, daqui a quantos anos estará valendo 10% de
seu valor inicial? (Tome log 9 = 0,95)
y
x
x
59. (FUVEST-SP) A cada ano que passa, o valor de um carro diminui de 30% em relação ao seu
valor no ano anterior. Se V for o valor do carro no 1º. ano, o seu valor no 8º ano será:
a)
b)
c)
d)
e)
(0,7)7 V
(0,3)7 V
(0,7)8 V
(0,3)8 V
(0,3)9 V
e) f(x) = log |x|
f) f(x) = |log(x + 1)|
y
y
x
x
60.(U.F.CE) Meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que sua massa se
reduza à metade. Tomemos, hoje, 16 gramas de uma substância radioativa cuja meia-vida é
de 5 anos. Se daqui a n anos sua massa for 2-111 gramas, o valor de n é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
525
550
565
575
595
56
41
g) f(x) = -2 + log2 (2x + 4)
h) f(x)
y
anti log 2x
 2ª PARTE:
VARIAÇÃO PERCENTUAL COMPOSTA À
TAXA CONSTANTE
y
x
x
35. (Fuvest) A figura abaixo mostra o gráfico da função logaritmo na base b . O valor de b é:
a)
1
4
b)
c)
d)
e)
2
3
4
10
56. (COVEST-MAT. I e III) Certo material radioativo perde a cada mês, 5% da massa que possuía
no início daquele mês. Sabendo-se que hoje ele tem 20g, assinale daqui a quantos meses
terá 5g de massa ? Dado: log 95 = 1,95 e log 2 = 0,30
42
55
54. (Unicamp – SP) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro
logo depois de ele ter bebido uma considerável quantidade de cachaça. Considere que
esse nível decresce de acordo com a fórmula N(t) = 2 (0,5) t , onde t é o tempo medido
em horas a partir do momento em que o nível é constatado. Quanto tempo deverá o
motorista esperar antes de dirigir seu veículo, se o limite permitido de álcool no sangue,
para dirigir com segurança, é de 0,8 grama por litro ? ( Use 0,3 para log 102 ).
36. (Unesp) A figura representa o gráfico de y = log 10x. Sabe-se que AO = BC. Então pode-se
afirmar que :
a)
b)
c)
d)
e)
logab = c
a+b=c
ac = b
ab = c
10a + 10b = 10c
37. (Covest – UFPE / Mat. 3) Se a curva abaixo representa o gráfico da função y = log2x , x > 0
55. O lucro mensal, em reais, de uma empresa é expresso pela lei de formação
L(t) = 3.000 . (1,5)t, sendo L(t) o lucro após t meses. Determine daqui a quantos meses,
aproximadamente, o lucro será doze vezes maior do que é hoje.
54
e a é o valor da área sombreada, quanto vale ( 2a )2 ?
43
52. (FGV) Daqui a t anos o valor de um automóvel será V = 2000 (0,75) t dólares. A partir de
hoje, daqui a quantos anos ele valerá a metade do que vale hoje ? Adote log 2 = 0,3 e
log 3 = 0,48.
06. PROPRIEDADES DETERMINÍSTICAS DAS FUNÇÕES
LINEAR, EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
Função Linear
Função Exponencial
f : IR
IR
f(x) = ax
f : IR
IR
f(x) = ax
f(k . x) = k . f(x)
f(a + b) = f(a) . f(b)
f(a + b) = f(a) + f(b)
f(a - b) = f(a) - f(b)
f(a
b)
f(a)
f(b)
Função Logarítmica
f : IR*
IR
f(x) = loga x
a)
b)
c)
d)
e)
3 anos
2,5 anos
2 anos
4,5 anos
6 anos
f(a . b) = f(a) + f(b)
a
f
= f(a) - f(b)
b
k
f(x ) = k . f(x)
EXERCÍCIOS
38. Seja uma Função f tal que f(a . b) = f(a) + f(b) se f(25) = 2, então calcule f(5).
53. O valor C de um capital (empregado a uma taxa i de juros capitalizados periodicamente ao
fim do período), após t períodos, é dado por C = C o . (1 + i)t, em que Co é o valor inicial.
Qual é o tempo necessário para que um capital empregado à taxa de 2% ao mês, com juros
capitalizados mensalmente, dobre de valor? (Dado: log17 = 1,2304)
39. Seja g uma Função onde g(a + b) = g(a) . g(b), se g(2) = 9, então g(1) é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
0
1
4,5
2
3
40. Em uma Função f, f(a + b) = f(a) + f(b), se f(2) é 3, então o valor de f(10) é:
a)
b)
c)
d)
e)
10
3
15
8
os dados não são suficientes.
44
53
50. (ITA) Uma solução tem pH = 4,00 e uma segunda solução tem pH = 10,0. A concentração de
H+ na primeira é quantas vezes maior que na segunda solução ? Sabendo que o pH é dado
pela lei de formação pH = colog (H+), onde H+ é a concentração hidrogeniônica.
h(4)
41.Consideremos uma Função h em que:
a
h
b
2
h(a) h(b)
, baseado nestes dados calcule h(32).
42.Na Função f temos: f(a - b) = f(a) : f(b), se f(3) = 8, então:
51. (Cefet – RJ) Um explorador descobriu na selva amazônica uma espécie nova de planta e,
pesquisando-a durante anos, comprovou que o seu crescimento médio variava de acordo
com a fórmula A = 40 . (1,1)t , em que a altura média A é medida em centímetros e o
tempo t em anos. Verificou também que seu crescimento estaciona, após 20 anos,
abaixo de 3 metros. Sabendo que log 2 = 0,30 e log 11 = 1,04, determine:
a)
a altura média, em centímetro, de uma planta dessa espécie aos 3 anos de vida.
a)
b)
c)
d)
e)
43.(U.F.MG) Uma função f : IR
IR é tal que f(5x) = 5f(x)
Se f(25) = 75, então o valor de f(1) é:
a)
b)
c)
d)
e)
b)
f(1) = 1
f(6) = 16
f(4) = 16
f(2) = 16
n.d.r.a.
para todo número real x.
3
5
15
25
45
A idade, em anos, na qual a planta tem uma altura média de 1,6m
44.(F.C.M.STA.CASA) Se f é uma função tal que f(a + b) = f(a) . f(b), quaisquer que sejam os
números reais a e b, então f(3x) é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
52
3 . f(x)
3 + f(x)
f(x3)
[f(x)]3
f(3) + f(x)
45
48. Na escala Richter, as indicações R1 e R2 de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula
07. INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
R1 - R2 = log
Uma inequação se diz logarítmica quando contém pelo menos um termo que envolva
logaritmo.
Para a resolução de inequações logarítmicas devemos impor e resolver as condições de
existência, e, a seguir, efetuar um esboço do gráfico para comparação das base ou
logaritmandos.
M1 , onde M e M medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma
1
2
M2
de ondas, que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um corresponde a
R1 = 8 e outro a R2 = 6. Determine a razão entre M1 e M2.
0 < a < 1
a > 1
decrescente
crescente
Importante:
x2 > x 1
Importante:
 log ax2 > log ax1
x2 > x 1
 log ax2 < log ax1
49.
O pH de uma solução é definido segundo a relação pH = log
1
, onde H+ é a
H
( O sentido de desigualdade se conserva)
(O sentido da desigualdade se inverte)
concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. Determine o pH de uma
solução onde
H+ = 1,0 x 10-9.
 COMPARAÇÃO DE LOGARITMOS
 Observando o gráfico ao lado, temos:
log2 8 > log2 4
8>4
log2 2 < log2 8
2<8
46
51
46. Determine o domínio mais amplo das funções cujas leis de formação são dadas:
a)
f(x) = ln (x2 – 5x + 6)
b) f(x) =
 Observando o gráfico ao lado, temos:
-3)
2 - log (2x
4
log 1 4 > log 1 8
2
4<8
2
log 1 8 < log 1 2
2
8>2
2
2
- 5x 4)
c) f(x) = log ((xx - 3)
 RESOLUÇÃO DE UMA INEQUAÇÃO
1º Exemplo:
Resolver a inequação log3 (5x - 1) > log3 4
Resolução:
08. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ÀS FUNÇÕES EXPONENCIAIS
E LOGARÍTMICAS
5x - 1 > 0
1
(1)
5
base = 3 > 0 (função logarítmica crescente)
5x > 1
 1ª PARTE:
47. Suponha que o número de carros produzidos em certo país aumente anualmente de acordo
com a função: N(t) = 2 . 105 . log2(t + 1), onde t é o número de anos contados a partir de
certo período, e N é o número de automóveis produzidos.
Condição de existência 5x - 1 > 0
>
Esboço:
Observando o eixo x temos:
crescente
Pergunta-se: Quantos anos serão necessários para que a produção obtida no primeiro ano
triplique ?
Pede-se: O gráfico da função.
5x - 1 > 4
5x > 4 + 1
5x > 5
x>1
(2)
Na reta real:
S={x
50
47
IR e x > 1}
2º Exemplo:
Resolver a inequação log 1 ( x - 3)
EXERCÍCIOS
log 1 4
2
Resolução:
45. Resolver as inequações abaixo:
2
a) log2 (x - 1)
Condição de existência x - 3 > 0
x-3>0
base = 1/2
x>3
0<
4
1
<1
2
(1)
b) log0,1 (2x - 4) > log0,1 (x - 3)
Esboço:
Observando o eixo x temos:
x-3 4
x 3+4
x 7
(2)
c) log (x + 2) - log (x - 1) > log 2
Na reta real:
d) log 1 x + log 1 (x - 1)
2
48
-1
2
49