1
FRAÇÕES
Os números naturais {0, 1, 2, 3, 4...} são uteis para realizar contagens de objetos, por exemplo. No
entanto, eles não dão conta de algumas situações do cotidiano, como quantificar partes de um todo.
Durante sua história os egípcios se esbarram nesse problema. Quando as águas do rio Nilo
baixavam após as enchentes anuais, as demarcações que delimitavam as propriedades eram
levadas pelas águas. Era necessário, então, fazer novas medições para demarcar novamente a
superfície de terreno que caberia a cada proprietário.
Para fazer as medições, eram utilizadas cordas nas quais havia uma unidade de medida indicada
por nós. Os medidores esticavam a corda e verificavam quantas vezes a unidade de medida cabia
nos lados do terreno.
Muitas vezes, porém, a unidade de medida não cabia um número inteiro de vezes no lado do
terreno. Era necessário partir, isto é, fracionar a unidade de medida. Assim, surgiram no Egito os
números fracionários.
Veja como os egípcios representavam alguns números fracionários.
É interessante observar que a palavra “fração” está relacionada com a palavra “fratura” que
significa quebrar, e, de fato, podemos pensar que as frações representam quantidades que
correspondem a “pedaços” de coisas.
2
Como ler frações?
Como acontece muitas vezes, prestar atenção nas palavras pode nos ajudar a lembrar a que elas se
referem.
A palavra “denominador” quer dizer “indicar nome de”, e, de fato, o denominador de uma fração
indica o seu “nome”, que “tipo” de partes são, se são meios, quartos, sextos ou doze avos como
nas frações acima.
Já o numerador, indica o número que vamos tomar deste tipo de partes. É como se, ao escrever a
fração
1
, estivéssemos dizendo “uma parte do tipo sexta”.
6
Para ler uma fração, então, dizemos o numerador e depois o denominador, mas por tradição, ao
invés de dizermos, por exemplo, “um seis”, para a fração
1
, dizemos “um sexto”. Os
6
denominadores de 2 a 10 são lidos assim:
denominador
como se lê
2
meio
3
terço
4
quarto
5
quinto
6
sexto
7
sétimo
8
oitavo
9
nono
10
décimo
Como você pode reparar, as palavras usadas para ler denominadores de fração de 4 a 10, são as
mesmas que usamos para indicar posição, por exemplo, em uma fila; isso pode ajudar a memorizálas.
4
pode ser lido “quatro inteiros”.
1
1
Para denominadores maiores que 10, usamos a palavra “avos”:
é lido “um doze avos”. Essa
12
Se o denominador é um, podemos dizer “inteiros”:
palavra pode parecer estranha, mas a usamos corriqueiramente.
cinco centavos
Quando falamos “cinco centavos”, estamos fazendo referência a
5
, já que um centavo
100
corresponde a um centésimo de real. Mas, ao invés de dizermos “cinco centésimos de um real”,
dizemos “cinco cem avos de real” ou “cinco centavos”.
Outro modo de se ler frações, bastante mais simples, mas que não é o “oficial”, é simplesmente ler
o numerador e o denominador, colocando entre eles a palavra “sobre”. Nesse caso,
“2 sobre 3” e
23
, pode ser lida “23 sobre 15”.
15
2
pode ser lida
3
3
Frações de uma quantidade
Para calcular a fração de uma medida ou quantidade que é indicada por um número, basta dividir
esse número pelo denominador da fração e multiplicá-lo pelo numerador.
Exemplo
Uma pesquisa com duzentas pessoas concluiu-se que três quartos delas são esportistas.
Qual é o número de pessoas que são esportistas?
Resolução
3
de 200 ?”.
4
Para responder, primeiramente dividimos 200 por 4.
200
 50
4
Em seguida, multiplicamos o resultado por 3.
50 . 3 =150
O mesmo resultado pode ser obtido apenas multiplicando a fração pela quantidade, ou
seja,
3
3
3 200 3  200 600
de 200   200  


 150
4
4
4 1
41
4
A pergunta nesse caso é: “quantos são
Portanto, para calcular a fração de uma quantidade, basta multiplicar a fração pela quantidade. O
mesmo se aplica para o cálculo de uma fração de outra fração.
Exemplo
Calcule
2
4
de .
3
9
Resolução
2
4 2 4 24 8
de   

3
9 3 9 3  9 27
Comparar frações
Para obter uma fração a partir da divisão de um objeto ou de um inteiro, deve-se lembrar que a
divisão deve ser feita de maneira a obter partes iguais.
Na figura abaixo não é verdade que foram pintados
partes iguais.
2
, já que o retângulo não está dividido em
5
4
Agora, observando os recipientes a seguir podemos dizer que A foi dividido em 5 partes iguais e,
que B foi dividido em 3 partes iguais. Podemos afirmar ainda que
líquido e que
4
de A está preenchido com
5
1
de B está preenchido com líquido.
3
Se fosse perguntado qual das duas frações
1 4
é a maior, ficaria simples de responder com
e
3 5
referência aos recipientes, pois a relacionada ao recipiente com mais líquido é a maior.
Mas, se não estivéssemos observando os recipientes com líquido, como seria possível afirmar qual
é a maior? Poderíamos obter frações equivalentes a cada uma delas com o mesmo denominador,
ou seja, calcular um conjunto de frações equivalentes a cada uma delas multiplicando tanto o
numerador quanto o denominador por 1, 2, 3, 4, 5...
1 1 2 3 4 5 
:  , , ,
,
,...
3  3 6 9 12 15 
4  4 8 12 16 20
:  ,
,
,
,
,
5  5 10 15 20 25
1 4
5
Ao invés de comparar
e , comparamos
e
3 5
15
1
5
12
4
que
é maior que
, logo é maior que .
15
3
15
5
24 
,...
30 
12
. Observando os numeradores percebemos
15
Para economizar em cálculos e encontrar as frações a serem comparadas, sem que para isso seja
necessário encontrar um conjunto ou uma classe de frações equivalentes, podemos utilizar o
“mínimo múltiplo comum” dos denominadores, no nosso caso, mmc(3, 5) = 15.
Em seguida, obtemos frações equivalentes cujos denominadores são 15.
1 4
5 12
e são respectivamente equivalentes a
e
3 5
15 15
1
Para encontrar a fração equivalente a , por exemplo, dividimos o mmc, ou seja 15, pelo seu
3
denominador, que é igual a 3, e obtemos 5. Em seguida, multiplicamos tanto o numerador como o
denominador por 5 e obtemos
1 5 5
 .
3 5 15
5
Adição e Subtração de frações
Na adição ou subtração de frações com denominadores iguais, adicionamos ou subtraímos os
numeradores e mantemos o denominador.


5 2 7
 
9 9 9
5 2 3
 
7 7 7
O cálculo é realizado dessa forma, porque o numerador é o elemento da fração que indica a
quantidade de partes a serem tomadas, o denominador, por sua vez, apenas indica em quantas
partes foi dividido o todo.
Na adição e na subtração de frações com denominadores diferentes, é preciso primeiro substituir as
frações por frações equivalentes de mesmo denominador e depois adicionar ou subtrair,
respectivamente, as frações.


5 2 35 4 39
 
 
2 7 14 14 14
2 1 8
5
3
 


5 4 20 20 20
Multiplicação de frações
Na multiplicação de duas ou mais frações, multiplica-se numerador por numerador e denominador
por denominador.

3 1 3 1 3
 

4 5 4  5 20
Divisão de frações
Na divisão de um número natural por uma fração (diferente de zero), há uma regra prática que diz
que basta multiplicar o número natural pelo inverso da fração. Observe.
A mesma regra também pode ser aplicada na divisão de uma fração por um número natural
(diferente de zero) e na divisão de uma fração por outra. Observe.
6
Frações x Decimais
Uma fração é chamada de irredutível quando o maior divisor comum entre o numerador e o
denominador for 1. Uma fração irredutível pode ser representa em forma decimal, para isso basta
dividir o numerador da fração pelo seu denominador.


5
 2,5
2
7
 2,333333....  2,3
3
Como podemos observar a primeira fração resultou em um número com decimal finita e, a
segunda resultou em um número com decimal periódica. O primeiro caso acontece quando um ou
mais fatores do denominar forem iguais a 2 e/ou 5.



3 3 2 6


 0, 6
5 5  2 10
41
41
41 5
205
205 205
 2
 2 2
 2 
 2, 05
2
20 2  5 2  5
100
(2.5)
10
63
63
63  52 63  25 1575 1575



 3 
 1,575
40 23  5 23  53 (2.5)3
1000
10
Possuir apenas os fatores 2 e/ou 5 no denominador faz com que seja possível obter uma potência
de 10 no denominador, como podemos ver nos exemplos acima. Assim, a divisão resulta em um
número com parte decimal finita.
Quando o denominador não possuir apenas 2 e/ou 5 como fatores, a divisão resultará em uma
decimal periódica, o que chamamos de dízima periódica.


5
 0,555555...  0,5
9
7
 0, 070707...  0, 07
99
Os algarismos escritos abaixo do traço são chamados de período da dízima e eles se repetem
indefinidamente.
Uma pergunta importante nesse momento é a seguinte: Dada uma dízima periódica, como
podemos encontrar a fração correspondente, ou seja, a fração geratriz? Vejamos alguns exemplos.

0,4444...
X = 0,4444...
10X = 4,4444...
10X – X = 4,4444...  0,4444...
9X = 4
X
4
9
7

0,131313...
X = 0,131313...
100X = 13,131313...
100X – X = 13,131313... – 0,131313...
99X = 13
X

13
99
1,0181818...
X = 1,0 + 0,0181818...
X – 1,0 = 0,0181818...
10(X – 1) = 0,181818...
1000(X  1) = 18,181818...
1000(X  1) – 10(X – 1) = 18,181818... – 0,181818...
1000X – 1000 – 10X + 10 = 18
990X – 990 = 18
990X = 18 + 990
990X = 1008
1008
990
56
X
55
X
Exercícios Resolvidos
2
1. Qual é o resultado de 6 : ?
3
2
3 18
6:  6.   9
3
2 2
  2 2 1  2
2. Qual é o resultado do cálculo     . ?
 3  5  4
 2 2 1  2  4 1  1  20  9  1 11 1 11
    .     .  
.  . 
 3  5  4  9 5  2  45  2 45 2 90
3. Na compra de um carro, foi paga uma entrada, correspondendo a um terço do seu valor, e o
restante foi dividido em 24 prestações fixas e sem juros de R$ 625,00. Calcule o preço do
carro.
2
2x
45000
x  24  625   15000  2x  45000  x 
 x  22500
3
3
2
8
4. Em uma caixa havia chocolates. João abriu a caixa e comeu um terço dos chocolates que
encontrou. Pedro chegou em seguida e comeu metade dos chocolates que encontrou.
Sobraram 5 chocolates. Qual foi a quantidade de chocolates que João comeu?
1º momento
x
2º momento
x 2x
x 
3 3
3º momento
x
3
x
 5  x  15
3
15
5
3
5. Qual é a soma de todas as frações irredutíveis que são possíveis de escrever com numerador
e denominador com apenas um algarismo e formados a partir dos números 2, 3 e 4?
2 3 3 4 8  18  9  16 51 17
   
 
3 2 4 3
12
12 4
6. Em uma sala com 30 alunos foi feita uma pesquisa para saber o esporte preferido dos alunos.
O gráfico de setores abaixo representa os resultados dessa pesquisa.
Sabendo-se que o círculo representa todos os alunos da sala, responda as questões.
a) Qual é a fração que representa os alunos que preferem basquete?
2 1
10  3
13
2
F B  V 1   V 1
 V 1 V 1  V 
3 5
15
15
15
b) Qual é o número de alunos que prefere cada esporte?
2
60
2
60
1
30
Futebol: 30 
 20; Basquete:
30 
 4 e Vôlei: 30 
6
3
3
15
15
5
5
9
7. Na figura abaixo todos os triângulos são equiláteros. Que fração irredutível representa a
superfície preta dessa figura?
Na figura podemos observar quatro “tamanhos” diferentes de triângulos, que em ordem
decrescente, nomeamos por T1, T2, T3 e T4. Tomando como unidade o T1, podemos observar
1
4
1
4
1
4
que T2  T1 , T3  T2 e T4  T3 , ou seja, cada triângulo possui um quarto da área do
triângulo de “tamanho” imediatamente superior ao seu.
A área preta da figura é composta por 4T3  9T4 , ou seja,
4.
1
1
4 9 16  9 25
 9.   

16
64 16 64
64
64
8. Escreva cada fração na forma do número decimal correspondente.
a)
42
7
42
7
0
6
b)
37
100
370 100
c)
1
4

42
6
7
370 100
37
 0,37
 700 0,37 
0,3
100
0
70
10
4
10 4
1
 20 0, 25   0, 25
2 0, 2
4
0
9
d)
9
8
8 __
9
8 __
9 8
_ 10 1,125
10 1,12
9
 020
  1,125
 10 1,1 
1 1
8
20
2
_ 040
4
___ 0
9
8
10
9. Escreva os números decimais na forma de fração irredutível.
a)
0,7
7
10
b) 0,68
c)
0,128
68 34 17
 
100 50 25
128
64
32
16



1000 500 250 125
d) 4,19
419
100
e)
545 109

10
2
54,5
10. Calcule.
a)
2 35 7 2  7
2

 14
de 35 1 
5
1
1
5
b)
12
21
de
17
10
c)
1
61 61
19
61 19
 3
de
12
57 12 57
36
12 6 21 7 42


57 19 10 5 95
11. Escreva as frações impróprias na forma de número misto.
a)
5
5 2.(2)  1 2.( 2 ) 1
1
5
5  2(2)  1  

  2 ou
2
1
2
2
2
2
2
b)
15
15 3.(4)  3 3.( 4 ) 3
3
15
15  3(4)  3  

  3 ou
4
3
4
4
4
4
4
2 5
1
 2
2
2
2
4 15
3
 3
3
4
4
11
12. Encontre a fração que representa cada dízima periódica a seguir.
a)
0,444... 0 
4 4

9 9
b) 0,1616... 0 
c)
3,071 3 
16 16

99 99
071
71 2997 71 3068
 3



999
999 999 999 999
d) 2,523 2,5  0, 02323... 
e) 0,000520 0, 000520... 
25 23 2475 23 2498




10 990 990 990 990
520
52

999000 99900
13. Compare as frações com os sinais <, > ou =.
a)
2 14
2 3
 , pois mmc(5,7)  35  
5 7
5 35
b)
1 25
1
25
, pois mmc(4,100)  100  

4 100
4 100
c)
7 14
7
5

 , pois mmc(12,8)  24 
12 8
12 24
d)
1 11
1
3
, pois mmc(3,11)  33  

3 11
3 33
e)
5 35
5 11
, pois mmc(6,14)  42  

6 14
6 42
3 15

7 35
e
e
5 15

8 24
3 9

11 33
e
e
11 33

14 42
14. Um vendedor externo recebe comissão de 4% das vendas que realiza. Em um mês recebeu
de comissão R$ 2.200,00, qual foi a sua venda nesse mês?
2200  4%
x  100%
x
100.(2200)
100.( 220 550)
100.(550)
x
x
 x  55000
1
4
1
4
Assim, o vendedor vendeu nesse mês R$ 55.000,00.
12
15. A comissão de um vendedor de automóveis é de 0,7% sobre o valor da venda. Quanto ele
recebe de comissão ao vender um automóvel por R$ 31.700,00?
0, 7% 
0, 7
7

 Assim,
100 1000
7
.31700  7.(31,7)  221,9
1000
A comissão da venda desse automóvel é de R$ 221,00.
Exercícios Propostos
1. Sobre as frações:
2
7
e
, é incorreto
7
21
afirmar que:
a)
7 2

21 7
b)
8 2 14 7

 e
28 7 42 21
c) são irredutíveis.
d) são menores que
e) são equivalentes
1
2
2. A soma dos termos de uma fração é 121.
Adicionando 3 ao numerador e subtraindo
20 do denominador, a diferença entre eles
passa a ser 4. Sendo assim, qual é o valor
do denominador?
a) 19
b) 51
c) 65
d) 70
e) 79
13
3. O texto seguinte é um extrato do
testamento do senhor Astolfo: Deixo1/3
da quantia que tenho no Banco à minha
única filha, Minerva, e o restante à criança
que ela está esperando, caso seja do sexo
feminino; entretanto, se a criança que ela
espera for do sexo masculino, tal quantia
deverá ser igualmente dividida entre os
dois.” Considerando que, 1 mês após o
falecimento de Astolfo, Minerva teve um
casal de gêmeos, então, para que o
testamento de Astolfo fosse atendido, as
frações da quantia existente no Banco,
recebidas por Minerva, seu filho e sua filha
foram, respectivamente:
a)
1 1 1
, e
6 6 3
b)
1 2 1
, e
6 3 6
c)
2 1 2
, e
5 5 5
d)
1 1 1
, e
4 4 2
e)
1 1 1
, e
4 2 4
4. Dadas as frações
a)
5
6
b)
4
5
c)
3
4
d)
2
3
3 5 4 2
, , e a maior é:
4 6 5 3
e) Nenhuma das demais alternativas
14
5. Uma
empresa tem 54 funcionários.
13
Desses,
executam serviço técnico, um
18
deles é o gerente e o restante executa
serviços administrativos. Qual é a fração
que representa o número de funcionários
que executam serviços administrativos?
1
a)
3
b)
7
27
c)
5
18
d)
11
36
e)
27
54
7. A expressão
1
1
1
2
1
1
é igual a:
1
2
5
2
9
b)
10
8
c)
9
2
d)
5
a)
6. Um avião partiu de um aeroporto com
certo número de passageiros. Na primeira
escala,
desembarcaram
dos
37
passageiros.
Na
escala
seguinte
embarcaram 40. Na penúltima escala
desembarcaram 5/8 dos passageiros,
calcule com quantos passageiros ele partiu
do primeiro aeroporto, sabendo que
chegaram no destino final 36 passageiros.
a) 10
b) 196
c) 126
d) 108
e) 98
Gabarito
1
2
3
4
5
6
7
e
d
b
b
e
b
d