Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Fundamental, 9º Ano Função do 2º grau conceitos iniciais MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Imagem: Autor Ingy The Wingy / disponibilizado por Laim / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic Vamos analisar o movimento de uma bola após ser chutada por um goleiro, em um tiro de meta (velocidade inicial de 72 km/h). MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais A altura da bola varia em função do tempo. Veja a tabela a seguir. ALTURA (m) TEMPO (s) 15 20 15 0 1 2 3 4 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais NOTE: A bola ganha altura até 2 segundos e depois perde altura, chegando ao chão novamente no instante de 4 segundos. A função que fornece a altura, neste caso, em função do tempo é dada por: h = 20t – 5t2 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Galileu foi, provavelmente, o primeiro a observar que um objeto em queda livre percorre distâncias proporcionais ao quadrado do tempo decorrido. t (s) h (m) 1 2 3 5 20 45 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais DEFINIÇÃO Chama-se FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ou FUNÇÃO QUADRÁTICA qualquer função de R em R dada por uma lei da forma: f f x ax2 bx c com a, b e c números reais e Nomenclaturas: Domínio D ( f ) = R Contradomínio CD ( f ) = R Conjunto Imagem é o conjunto formado por todos as ordenadas y, que representam imagens das abscissas x, por meio da função. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Identificação de coeficientes da função quadrática: a=2 2x2 - 3x + 5 = 0 b = -3 -x2 + 4x - 3 = 0 a=8 4x + 8x2 - 4 = 0 b = 4 c=5 c = -4 a = -1 a = -6 b=4 3x - 6x2 = 0 b = 3 c = -3 c=0 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Zeros da função: Zero da função, ou raízes da equação, são os valores de “x” que anulam a função, tornando-a uma equação f(x) = 0, através dos valores encontrados na fórmula de Bháskara: b b 4ac f ( x) 0 ax bx c 0 x 2a 2 2 O Discriminante (representado pela letra grega delta), mostrará a quantidade de raízes reais da função quadrática pela fórmula abaixo: ∆ = b2 – 4.a.c MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais • ∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes • ∆ < 0 → não tem raiz real • ∆ = 0 → duas raízes reais e iguais ∆>0 a>0 a<0 ∆<0 ∆=0 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais CONCAVIDADE DA PARÁBOLA: Concavidade para cima Concavidade para baixo Se a < 0 Se a > 0 y = ax2 + bx + c MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais TERMO INDEPENDENTE y Exemplo : y = x2 - 2x + 4 c y x 4 x y = ax2 + bx + c Ponto em que a reta toca no eixo y MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais • Se c > 0, a parábola cortará o eixo y acima da origem do plano cartesiano. • Se c = 0, a parábola cortará o eixo y na origem do plano cartesiano. • Se c < 0, a parábola cortará o eixo y abaixo do plano cartesiano. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais O vértice é um ponto muito importante na parábola, pois por meio dele obtemos informações significativas. A ordenada yv do vértice admite valor mínimo ou valor máximo. Se a > 0, concavidade voltada para cima, então a função admite valor MÍNIMO, . yv y Se a < 0, concavidade voltada para baixo, então a função admite valor MÁXIMO, . yv y Valor máximo yv 0 . x Valor mínimo . yv 0 x MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Coordenadas do Vértice y = ax2 + bx + c Em qualquer caso, as coordenadas do vértice são dadas por: b xV 2a yV 4a MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais • Achar as raízes da função ( ) f x = x - 2x - 3 2 • O valor de c toca o eixo do y x 1 x 3 • Achar o vértice da função æ -b -D ö V =ç , ÷ è 2a 4a ø ( 2) 2 XV 1 2.1 2 (16) 16 YV 4 4.1 4 V (1, 4) MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Para se estudar o sinal da função do 2º grau deve-se adotar o procedimento: • Determinam-se as raízes da função. • Marcam-se as raízes em uma reta (caso existam). • Analisa-se a concavidade da parábola. • Faz-se o estudo do sinal. + + - MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Analisar os sinais da função, é verificar nos intervalos do domínio onde a função tem imagem positiva, negativa ou nula, considerando também o valor de a e o valor de ∆. ∆>0 a>0 a<0 + . .+ X1 X2 . .- -X 1 + X2 ∆<0 + - + - ∆=0 + - . + + X1=X2 . X1=X2 - - MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Estudar o sinal da função f(x)= x2 - 5x + 6. x2 - 5x + 6 = 0 (determina-se a raiz da função); -marcam-se as raízes em uma reta e analisa-se a concavidade da parábola; -faz-se o estudo do sinal. f(x) > 0, para x<2 ou x>3 f(x)=0, para x=2 ou x=3 f(x) < 0, para 2 < x < 3 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais ESBOÇO DO GRÁFICO Para construir um gráfico de uma função quadrática devemos ter : - Concavidade y - Ponto c - Zeros x - Vértice MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Vamos partir de dois exemplos para fazermos algumas generalizações: Exemplo 1: y = f(x) = x² - 4x + 3 X Y -1 8 0 3 1 0 2 -1 3 0 4 8 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Exemplo 2: y = f(x) = -x² + 4 X Y -2 -1 0 1 2 3 0 3 4 3 0 -5 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais EM RESUMO Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta seguir os seguintes passos: 1. Determinar as raízes da função( se existirem). 2. Marcar os valores das raízes sobre o eixo x. 3. Calcular o vértice V b , da parábola e marcar no 2a 4a plano cartesiano. 4. Marcar no eixo y o valor do coeficiente c. 5. Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva passando pelos pontos marcados. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais O Geogebra é um programa dinâmico para o estudo da Matemática, juntando Geometria, Álgebra e Cálculo. Nesse software, podemos desenhar pontos, vetores, segmentos, linhas e funções, e isso de forma dinâmica. No uso de funções, podemos mostrar no gráfico as coordenadas, os vértices, etc. Ele pode ser baixado gratuito no site: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm. Imagem: Geogebra / software gratuito de código aberto. Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogeb ra.html / http://www.geogebratube.org Área de trabalho do software MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Exemplos de gráficos com o Geogebra: ∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes f(x) = x2 - 6x - 16 a>0 A= (8, 0) B= (-2, 0) Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto. Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org f(x) = -x2 + 6x + 16 a<0 A= (8, 0) B= (-2, 0) MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Exemplos de gráficos com o Geogebra: ∆ < 0 → não tem raiz real f(x) = x2 + 3x + 7 a>0 A= indefinido B= indefinido Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto. Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org f(x) = - x2 - 3x - 7 a<0 A= indefinido B= indefinido MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Exemplos de gráficos com o Geogebra: ∆ = 0 → duas raízes reais e iguais f(x) = x² + 6 x + 9 a>0 A= (3, 0) B= (3, 0)\ Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto. Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org f(x) = - x² + 6 x - 9 a<0 A= (3, 0) B= (3, 0) MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais DANTE, Luiz Roberto. Matemática (Ensino médio). Vol. Único. São Paulo: Ática, 2008. GIOVANNI e BONJORNO. Matemática Fundamental: uma nova abordagem. Volume único. Editora FTD, 2002 Manual “Ajuda GeoGebra - Manual Oficial da Versão 3.2”. Acesso em 29 nov. de 3010. Disponível em <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf> Sites: http://hsa.zip.net/ http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php Software Geogebra http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm. Tabela de Imagens n° do direito da imagem como está ao lado da slide foto 2 Autor Ingy The Wingy / disponibilizado por Laim / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic 23 a 26 Geogebra / software gratuito de código aberto. link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wayne_B 29/08/2012 rown_4.jpg http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org 30/08/2012