Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 9º Ano
Função do 2º grau
conceitos iniciais
MATEMÁTICA, 9º ANO
Função 2º grau – conceitos iniciais
Imagem: Autor Ingy The Wingy /
disponibilizado por Laim / Creative Commons
Attribution-Share Alike 2.0 Generic
Vamos analisar o movimento de uma bola após ser
chutada por um goleiro, em um tiro de meta (velocidade
inicial de 72 km/h).
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Função 2º grau – conceitos iniciais
A altura da bola varia em função do tempo.
Veja a tabela a seguir.
ALTURA
(m)
TEMPO
(s)
15
20
15
0
1
2
3
4
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Função 2º grau – conceitos iniciais
NOTE: A bola ganha altura até 2 segundos e depois
perde altura, chegando ao chão novamente no
instante de 4 segundos.
A função que fornece a altura, neste caso, em função
do tempo é dada por:
h = 20t – 5t2
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Função 2º grau – conceitos iniciais
Galileu foi, provavelmente, o primeiro a observar que
um objeto em queda livre percorre distâncias
proporcionais ao quadrado do tempo decorrido.
t (s)
h (m)
1
2
3
5
20
45
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Função 2º grau – conceitos iniciais
DEFINIÇÃO
Chama-se FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ou FUNÇÃO
QUADRÁTICA qualquer função de R em R dada por uma lei
da forma:
f
f x  ax2  bx  c
com a, b e c números reais e
Nomenclaturas:
Domínio  D ( f ) = R
Contradomínio CD ( f ) = R
Conjunto Imagem é o conjunto formado por todos as ordenadas y, que
representam imagens das abscissas x, por meio da
função.
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Função 2º grau – conceitos iniciais
Identificação de coeficientes da função quadrática:
a=2
2x2 - 3x + 5 = 0 b = -3
-x2 + 4x - 3 = 0
a=8
4x + 8x2 - 4 = 0 b = 4
c=5
c = -4
a = -1
a = -6
b=4
3x - 6x2 = 0 b = 3
c = -3
c=0
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Função 2º grau – conceitos iniciais
Zeros da função:
Zero da função, ou raízes da equação, são os valores de
“x” que anulam a função, tornando-a uma equação f(x) =
0, através dos valores encontrados na fórmula de
Bháskara:
 b  b  4ac
f ( x)  0  ax  bx  c  0  x 
2a
2
2
O Discriminante (representado pela letra grega delta),
mostrará a quantidade de raízes reais da função
quadrática pela fórmula abaixo:
∆ = b2 – 4.a.c
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Função 2º grau – conceitos iniciais
• ∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes
• ∆ < 0 → não tem raiz real
• ∆ = 0 → duas raízes reais e iguais
∆>0
a>0
a<0
∆<0
∆=0
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Função 2º grau – conceitos iniciais
CONCAVIDADE DA PARÁBOLA:
Concavidade
para cima
Concavidade
para baixo
Se a < 0
Se a > 0
y = ax2 + bx + c
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TERMO INDEPENDENTE
y
Exemplo :
y = x2 - 2x + 4
c
y
x
4
x
y = ax2 + bx + c
Ponto em que a reta toca no eixo y
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Função 2º grau – conceitos iniciais
• Se c > 0, a parábola cortará o eixo y acima
da origem do plano cartesiano.
• Se c = 0, a parábola cortará o eixo y na
origem do plano cartesiano.
• Se c < 0, a parábola cortará o eixo y abaixo
do plano cartesiano.
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Função 2º grau – conceitos iniciais
O vértice é um ponto muito importante na parábola, pois por meio dele
obtemos informações significativas.
A ordenada
yv do vértice admite valor mínimo ou valor máximo.
Se a > 0, concavidade voltada
para cima, então a função admite
valor MÍNIMO,
.
yv
y
Se a < 0, concavidade voltada
para baixo, então a função
admite valor MÁXIMO,
.
yv
y
Valor máximo
yv
0
.
x
Valor mínimo
.
yv
0
x
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Função 2º grau – conceitos iniciais
Coordenadas do Vértice
y = ax2 + bx + c
Em qualquer caso, as coordenadas do vértice
são dadas por:
b
xV  
2a

yV  
4a
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Função 2º grau – conceitos iniciais
• Achar as raízes da função
( )
f x = x - 2x - 3
2
• O valor de c toca o eixo do y
x  1
x  3
• Achar o vértice da função
æ -b -D ö
V =ç , ÷
è 2a 4a ø
( 2) 2
XV 
 1
2.1
2
(16) 16
YV 

 4
4.1
4
V  (1, 4)
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Função 2º grau – conceitos iniciais
Para se estudar o sinal da função do 2º grau deve-se adotar o
procedimento:
• Determinam-se as raízes da função.
• Marcam-se as raízes em uma reta (caso existam).
• Analisa-se a concavidade da parábola.
• Faz-se o estudo do sinal.
+
+
-
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Analisar os sinais da função, é verificar nos intervalos do
domínio onde a função tem imagem positiva, negativa ou
nula, considerando também o valor de a e o valor de ∆.
∆>0
a>0
a<0
+
. .+
X1
X2
. .-
-X
1
+
X2
∆<0
+
-
+
-
∆=0
+
-
.
+
+
X1=X2
.
X1=X2
-
-
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Função 2º grau – conceitos iniciais
Estudar o sinal da função f(x)= x2 - 5x + 6.
x2 - 5x + 6 = 0 (determina-se a raiz da função);
-marcam-se as raízes em uma reta e analisa-se a concavidade
da parábola;
-faz-se o estudo do sinal.
f(x) > 0, para x<2 ou x>3
f(x)=0, para x=2 ou x=3
f(x) < 0, para 2 < x < 3
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ESBOÇO DO GRÁFICO
Para construir um gráfico de uma função quadrática devemos ter :
- Concavidade
y
- Ponto c
- Zeros
x
- Vértice
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Vamos partir de dois exemplos para fazermos
algumas generalizações:
Exemplo 1: y = f(x) = x² - 4x + 3
X
Y
-1
8
0
3
1
0
2
-1
3
0
4
8
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Exemplo 2: y = f(x) = -x² + 4
X
Y
-2
-1
0
1
2
3
0
3
4
3
0
-5
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Função 2º grau – conceitos iniciais
EM RESUMO
Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta
seguir os seguintes passos:
1. Determinar as raízes da função( se existirem).
2. Marcar os valores das raízes sobre o eixo x.
3. Calcular o vértice V   b ,   da parábola e marcar no
 2a 4a 
plano cartesiano.
4. Marcar no eixo y o valor do coeficiente c.
5. Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva
passando pelos pontos marcados.
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Função 2º grau – conceitos iniciais
O Geogebra é um programa dinâmico para o estudo da Matemática, juntando
Geometria, Álgebra e Cálculo. Nesse software, podemos desenhar pontos,
vetores, segmentos, linhas e funções, e isso de forma dinâmica. No uso de
funções, podemos mostrar no gráfico as coordenadas, os vértices, etc. Ele
pode ser baixado gratuito no site:
http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
Imagem: Geogebra / software gratuito de
código aberto.
Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogeb
ra.html / http://www.geogebratube.org
Área de trabalho do software
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Função 2º grau – conceitos iniciais
Exemplos de gráficos com o Geogebra:
∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes
f(x) = x2 - 6x - 16
a>0
A= (8, 0)
B= (-2, 0)
Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto.
Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org
f(x) = -x2 + 6x + 16
a<0
A= (8, 0)
B= (-2, 0)
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Função 2º grau – conceitos iniciais
Exemplos de gráficos com o Geogebra:
∆ < 0 → não tem raiz real
f(x) = x2 + 3x + 7
a>0
A= indefinido
B= indefinido
Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto.
Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org
f(x) = - x2 - 3x - 7
a<0
A= indefinido
B= indefinido
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Função 2º grau – conceitos iniciais
Exemplos de gráficos com o Geogebra:
∆ = 0 → duas raízes reais e iguais
f(x) = x² + 6 x + 9
a>0
A= (3, 0)
B= (3, 0)\
Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto.
Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org
f(x) = - x² + 6 x - 9
a<0
A= (3, 0)
B= (3, 0)
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Função 2º grau – conceitos iniciais
DANTE, Luiz Roberto. Matemática (Ensino médio). Vol. Único. São Paulo:
Ática, 2008.
GIOVANNI e BONJORNO. Matemática Fundamental: uma nova abordagem.
Volume único. Editora FTD, 2002
Manual “Ajuda GeoGebra - Manual Oficial da Versão 3.2”. Acesso em 29 nov.
de 3010. Disponível em <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>
Sites:
http://hsa.zip.net/
http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php
Software Geogebra http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
Tabela de Imagens
n° do direito da imagem como está ao lado da
slide
foto
2
Autor Ingy The Wingy / disponibilizado por
Laim / Creative Commons Attribution-Share
Alike 2.0 Generic
23 a 26 Geogebra / software gratuito de código
aberto.
link do site onde se consegiu a informação
Data do
Acesso
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wayne_B 29/08/2012
rown_4.jpg
http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html
/ http://www.geogebratube.org
30/08/2012
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