Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Estatística Aplicada I
Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes
Campus Universitário de Tucuruí – CTUC
Curso de Engenharia Mecânica
04/11/2015
22:38
ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Capítulo III
Variáveis Aleatórias
Campus Universitário de Tucuruí – CTUC
Curso de Engenharia Mecânica
04/11/2015
22:38
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
III – Variáveis Aleatórias

Introdução

Varíáveis aleatórias discretas

Variáveis aleatórias contínuas

Parâmetros das variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias bidimensionais
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
III – Variáveis Aleatórias

Introdução

Varíáveis aleatórias discretas

Variáveis aleatórias contínuas

Parâmetros das variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias bidimensionais
04/11/2015
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.1 Introdução
 Em um experimento aleatório, uma variável cujo valor
medido pode variar de uma réplica do experimento para
outra é referida como variável aleatória.
 Exemplos: X pode denotar a medida da resistência
mecânica no ensaio de tração de um material; Y
representar o diâmetro de uma peça usinada; Z expressar
a resistividade do solo em um processo corrosivo em
torres de linha de transmissão.
 As variáveis aleatórias (V.A) surgem em função da
necessidade de se representar os resultados de uma
experiência aleatória por meio de números reais.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.1 Introdução
 Definição
• Uma variável aleatória pode ser expressa como uma
função definida num espaço de resultados S e que tem
como contradomínio os números reais.
• Seja E um experimento e S o espaço associado a ele.
Uma função X, que associe a cada elemento s ∈ S um
número real X(s) é denominada variável aleatória.
S
s
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X
R
Variável
aleatória
X(s)
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.1 Introdução
 Definição
• Exemplo:
E : Lançamento de duas moedas;
X : Número de caras (a) obtidas nas duas moedas;
S : {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}
X = 0 → correspondente ao evento (k, k) com probabilidade ¼;
X = 1 → correspondente ao evento (k, c), (c, k) com probabilidade ½;
X = 2 → correspondente ao evento (c, c) com probabilidade ¼.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.1 Introdução
 Classificação
• As variáveis aleatórias classificam-se em discretas ou
contínuas, dependendo do tipo de conjunto de valores
que elas podem assumir.
- Variável discreta: quando a variável assume
valores num conjunto finito ou infinito numerável.
- Variável contínua: quando a variável assume
valores de um conjunto infinito não numerável.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.1 Introdução
 Classificação
• Exemplos:
- A V.A resultado do lançamento de um dado é discreta;
- A V.A que representa o tempo que um atleta leva para
completar a prova dos 100 metros é contínua se for admitido
que é medida com precisão absoluta.
- A V.A que representa as medidas de corrente elétrica a partir de
um instrumento digital que mostre a corrente para o mais
próximo centésimo de miliampére é discreta (as medidas
possíveis são limitadas).
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.1 Introdução
 Representação
• As variáveis aleatórias são representadas por letras
maiúsculas (X, Y, Z, W, ...), e os valores que elas
podem
assumir
são
representados
pelas
correspondentes letras minúsculas (x, y, z, w, ...).
 Exemplo:
• E: Medição do peso de uma pessoa escolhida ao acaso.
S = {Conjunto de todos os pesos atribuíveis a uma pessoa}.
X = O peso da pessoa (assume qualquer valor do espaço de resultados).
x = 1,65 m (a altura de uma das pessoas).
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.1 Introdução
 Observação:
• Existem situações em que os valores da variável aleatória não são
os resultados do espaço associado ao experimento, mas sim uma
transformação destes.
- Exemplo:
E: Lançamento de dois dados.
S = Conjunto dos valores obtidos pelos dois dados, num total
de trinta e seis resultados possíveis (tamanho de S = 36)
S = {( x, y ) | x, y = 1,2,3,4,5,6}.
X = V.A que representa a soma dos números dos pontos
dos dois dados, a qual pode assumir qualquer valor inteiro
de 2 a 12, ou X(s) = {2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12}.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.1 Introdução
 Observação:
• No mesmo espaço associado ao experimento anterior poder-se-ia
definir outra variável aleatória.
- Exemplo:
Y = V.A que representa a diferença, em valor absoluto, dos
números dos pontos dos dois dados, a qual pode assumir
qualquer valor inteiro de 0 a 5, ou
Y(s) = {0,1,2,3,4,5 }
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
III – Variáveis Aleatórias

Introdução

Varíáveis aleatórias discretas

Variáveis aleatórias contínuas

Parâmetros das variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias bidimensionais
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
 Função de probabilidade
• A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória
qualquer X é uma descrição das probabilidades associadas com os
valores possíveis de X.
• Para uma variável aleatória discreta, a distribuição é
freqüentemente especificada por apenas uma lista de valores
possíveis juntamente com a probabilidade de cada um.
• Em alguns casos, é conveniente expressar a probabilidade em
termos de uma fórmula.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
 Função de probabilidade
• Define-se como função de probabilidade, f, a função que associa
a cada valor que a variável pode assumir, a probabilidade da
variável assumir esse valor.
• Para uma variável aleatória discreta X, com valores possíveis x1,
x2, ..., xn, a função de probabilidade é
f ( x i )  P( X  x i )
• Já que f(xi) é definida como
n uma probabilidade, então
f ( x i )  0 para todo xi e  f ( x i )  1
i 1
• P(X) pode ser expresa por uma tabela, gráfico ou fórmula.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
 Função de probabilidade
• Exemplo: E: Lançamento de duas moedas.
X: nº de caras obtidas.
P(X) pode ser expressa das seguintes formas:
0
1
2
P(x)
1/4
1/2
1/4
1
P( x )  C 2 ,x
4
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P(x)
x
1
½
¼
0
1
2
x
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
 Função de probabilidade
• Exemplo: Seja X a variável aleatória que representa o resultado
do lançamento de um dado equilibrado. A função de
probabilidade é definida por:
f (1) 
1
1
1
1
1
1
, f ( 2 )  , f ( 3 )  , f (4 )  , f (5 )  , f (6 ) 
6
6
6
6
6
6
Em termos de notação e de modo a simplificar, a função de
probabilidade pode ser representada por meio de uma tabela,
assumindo que os valores que não aparecem na tabela têm
probabilidade zero de ocorrer. Neste exemplo tem-se, então:
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x
1
2
3
4
5
6
f(x)=P(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
 Função de probabilidade
• Observações:
- Se uma variável aleatória X apresentar f(x) ≠ 0 e constante para
todos os valores de x, diz-se que essa V.A tem uma distribuição
uniforme (discreta).
- Qualquer função de uma variável aleatória é também uma
variável aleatória, isto é, se X é V.A, então Y = φ(x) também será.
Exemplos:
X → V.A pontos de um dados;
Y = X + X → V.A;
Z = Max {(x1, x2)} onde (x1, x2) são pontos de dois dados.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
 Função distribuição cumulativa
• Uma função distribuição cumulativa, também chamada função
repartição ou função distribuição de probabilidades, pode
também ser usada para fornecer a distribuição de probabilidades
de uma variável discreta.
• A função distribuição cumulativa em um valor de x é a soma das
probabilidades em todos os pontos menores ou iguais a x.
• Define-se, então, como função distribuição cumulativa de uma
certa variável aleatória X, no ponto x, como sendo a
probabilidade de que X assuma um valor menor ou igual a x, isto
é:
F ( x )  P( X  x ) 
 f(x
xi  x
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i
)
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
 Função distribuição cumulativa
• Exemplo (Montgomery et al., 2001): Há uma chance de que um
bit transmitido através de um canal de transmissão digital seja
recebido com erro. Considere X igual ao número de bits com erro
nos quatro próximos bits transmitidos. Os valores possíveis para
a variável aleatória X são {0, 1, 2, 3, 4}. Com base em um
modelo de probabilidades, as probabilidades para esses valores
foram determinados como sendo:
P(X = 0) = 0,6561
P(X = 3) = 0,0036
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P(X = 1) = 0,2916
P(X = 4) = 0,0001
P(X = 2) = 0,0486
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
 Função distribuição cumulativa
• Exemplo (cont.):
- A distribuição de probabilidades de X é especificada pelos
valores possíveis, juntamente com a probabilidade de cada um.
A figura mostra uma descrição gráfica dessa distribuição:
f(x)
0,6561
0,2916
0,0036 0,0001
0,0486
0
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1
2
3
4
x
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
 Função distribuição cumulativa
• Exemplo (cont.):
- Por conseguinte, a função distribuição cumulativa de X será:
F(0) = 0,6561
F(3) = 0,9999
F(1) = 0,9477
F(4) = 1
F(2) = 0,9963
- Mesmo se a variável aleatória puder assumir somente valores
inteiros, a função distribuição cumulativa é definida em valores
não inteiros. Por exemplo:
F(1,5) = P(X ≤ 1,5) = P(X ≤ 1) = 0,9477
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
 Função distribuição cumulativa
• Exemplo (cont.):
- O gráfico do exemplo é mostrado abaixo, onde se observa que o
mesmo apresenta descontinuidades (saltos) nos valores discretos
para X. O tamanho do salto em um ponto x é igual à probabilidade
em x.
F(x)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
04/11/2015
22:38
1
2
3
4
5
x
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
 Função distribuição cumulativa
• Propriedades:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
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0 ≤ F(x) ≤ 1 , para todo x
F(- ∞) = 0
F(+∞) = 1
P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a)
P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a) + P(X = a)
P(a < X < b) = F(b) – F(a) – P(X = b)
lim F(x) = 1 e lim F(x) = 0
x → +∞
x → -∞
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
 Função distribuição cumulativa
• Propriedades:
- Exemplo: Do exemplo anterior, tem-se:
0
0 ,6561

0 ,9477
F( x )  
0 ,9963
0 ,9999

1
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se
se
se
se
se
se
x0
0 x1
1 x 2
2 x3
3 x4
x4
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
III – Variáveis Aleatórias

Introdução

Varíáveis aleatórias discretas

Variáveis aleatórias contínuas

Parâmetros das variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias bidimensionais
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
 Função densidade de probabilidade
• Uma função densidade de probabilidade f(x) pode ser usada para
descrever a distribuição de probabilidades de uma variável
aleatória contínua X.
• A probabilidade de X estar entre a e b é determinada pela integral
de f(x) entre a e b.
f(x)
P(a < x < b)
a
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b
x
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
 Função densidade de probabilidade
• Definição: Diz-se que f(x) é a função densidade de probabilidade
da variável aleatória contínua X se a área limitada por f(x), o eixo
dos x e as retas x = a e x = b for igual a P(a ≤ x ≤ b), isto é:
b
P ( a  x  b )   f ( x )dx
a
• Propriedades:
1. f ( x )  0 para todo x

2.
 f ( x )dx  1

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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
 Função densidade de probabilidade
• Observações:
1. A definição anterior mostra que a probabilidade de qualquer
valor especificado de X, por exemplo xo, tem P(X = xo) = 0,
pois
P( X  xo ) 
xo
 f ( x )dx  0
xo
sendo assim, as probabilidades abaixo serão todas iguais, se X
for uma variável aleatória contínua:
P( a  X  b )  P( a  X  b )  P( a  X  b )  P( a  X  b )
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
 Função densidade de probabilidade
• Observações:
2. Note-se que f(x), densidade de probabilidade, não é
probabilidade. Somente quando a função for integrada entre
dois limites, ela produzirá uma probabilidade, que será a área
sob a curva função entre x = a e x = b, para a < b.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
 Função densidade de probabilidade
• Exemplo (Montgomery et al., 2001): Seja a variável aleatória
contínua X a representação do diâmetro de um orifício
perfurado em uma placa com um componente metálico. O
diâmetro alvo é 12,5 mm. A maioria dos distúrbios aleatórios
no processo resulta em diâmetros maiores. Dados históricos
mostram que a distribuição de X pode ser modelada por uma
função densidade de probabilidade f(x) = 20e-20(x – 12,5), x ≥
12,5.
(a) Se uma peça com diâmetro maior que 12,6 mm for
descartada, qual será a proporção de peças descartadas?
(b) Que proporção de peças está entre 12,5 e 12,6?
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
 Função densidade de probabilidade
• Solução: A função densidade e a probabilidade requerida são
mostradas na figura abaixo.
f(x)
12,5 12,6
04/11/2015
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x
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
 Função densidade de probabilidade
•
Solução (cont.):
a) Uma peça é descartada se X > 12,6, logo:

P ( X  12,6 ) 


12 ,6
 e
 20 ( x  12 ,5 )
20
e
dx 

f ( x )dx 
12 ,6
 20 ( x  12 ,5 ) 
12 ,6
 0 ,135
b) Uma peça não é descartada se 12,5 < X < 12,6, logo:
12 ,6
P ( 12,5  X  12,6 ) 

12 ,6
f ( x )dx 
12 ,5
  e  20 ( x  12 ,5 )
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 20e
 20 ( x  12 ,5 )
dx 
12 ,5
12 ,6
12 ,5
 0 ,865
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
 Função distribuição cumulativa
• A função distribuição cumulativa de uma variável aleatória
contínua X, com função densidade de probabilidade f(x) é:
x
F ( x )  P( X  x ) 
 f ( u )du

para – ∞ < x < ∞.
• Para uma variável aleatória contínua X, a definição pode também
ser F(x) = P(X < x), pois P(X = x) = 0.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
 Função distribuição cumulativa
• A função distribuição cumulativa F(x) pode ser relacionada à
função densidade de probabilidade f(x) e pode ser usada para
obter probabilidades, como segue:
b
P( a  X  b )   f ( x )dx 
a
b
a


 f ( x )dx   f ( x )dx  F ( b )  F ( a )
• O gráfico de uma função distribuição cumulativa tem
propriedades específicas. Pelo fato de F(x) fornecer
probabilidades, ela é sempre positiva. Além disso, à medida que x
aumenta, F(x) é crescente. Finalmente, quando x tende a ∞, F(x)
= P(X ≤ x) tende a 1.
04/11/2015
22:38
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
 Função distribuição cumulativa
• Exemplo (Montgomery et al., 2001): As leituras da temperatura de
um termopar em um forno flutuam de acordo com a função
distribuição cumulativa
0

F ( x )  0 , 1 x  80
0

x  800º C
800º C  x  810º C
x  810º C
Determine:
a) P(X < 805); b) P(800 < X ≤ 805); c) P(X > 808)
d) Se as especificações para o processo solicitassem que a
temperatura do forno estivesse entre 802ºC e 808ºC, qual seria
a probabilidade da fornalha operar fora das especificações?
04/11/2015
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
 Função distribuição cumulativa
• Solução:
a) P( X  805)  P(   X  805)  F ( 805)  F (  ) 
 0 ,1  805 80  0  0 ,5
b)
P( 800  X  805)  F ( 805)  F ( 800 ) 
 0 ,1  805 80  0  0 ,5
c)
P( X  808 )  P( 808  X   )  F (  )  F ( 808 ) 
 1  ( 0 ,1  808  80 )  0 ,2
d)
P( X  802)  P(   X  802)  F ( 802)  F (  ) 
 0 ,1  802 80  0  0 ,2
P( X  802 ou X  808 )  0 ,2  0 ,2  0 ,4
04/11/2015
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
III – Variáveis Aleatórias

Introdução

Varíáveis aleatórias discretas

Variáveis aleatórias contínuas

Parâmetros das variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias bidimensionais
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
 Os parâmetros que caracterizam uma variável aleatória em termos
médios (média e mediana), e em termos de dispersão (variância e
desvio padrão), podem ser usados para resumir uma distribuição de
probabilidades.
a) Medidas de posição
a.1) Média ou esperança matemática: Chama-se valor médio ou
esperança matemática ao valor que se obtém somando (ou
integrando) todos os valores que uma variável aleatória pode
assumir, ponderados pela respectiva probabilidade pontual (ou
densidade de probabilidade no ponto) e representa-se por μ =
n
E( X ) :
  E( X )   xi  f ( xi )
( caso discreto )
i 1

u  E( X ) 
 x  f ( x )dx
( caso contínuo )

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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
a) Medidas de posição
a.1) Média ou esperança matemática:
- Propriedades: Serão demonstradas somente para o caso de
variáveis discretas.
1. A média de uma constante é a própria constante
E ( K )   Kf ( x i )  K  f ( x i )  K
i
i
2. Multiplicando uma variável aleatória X por uma constante,
sua média fica multiplicada por essa constante.
E ( KX )   Kx i f ( x i )  K  x i f ( x i )  KE ( X )
i
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i
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
a) Medidas de posição
a.1) Média ou esperança matemática:
- Propriedades:
3. A média da soma ou da diferença de duas variáveis
aleatórias é a soma ou diferença das médias.
E ( X  Y )   ( x i  x j ) f ( x i  x j ) 
i
j
  x i f ( x i  y j )   y j f ( x i  y j ) 
i
j
i
j
  xi  f ( xi  y j )  y j  f ( xi  y j ) 
i
j
j
i
  xi f ( xi )   y j f ( y j )  E( X )  E( Y )
i
04/11/2015
22:38
i
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
a) Medidas de posição
a.1) Média ou esperança matemática:
- Propriedades:
4. Somando ou subtraindo uma constante a uma variável
aleatória, a sua média fica somada ou subtraída da mesma
constante.
E( X  K )  E( X )  E( K )  E( X )  K
5. A média de uma variável aleatória centrada é zero.
E( X   X )  E( X )  E(  X )   X   X  0
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
a) Medidas de posição
a.1) Média ou esperança matemática:
- Propriedades:
6. A média do produto de duas variáveis aleatórias
independentes é o produto das suas médias.
E ( XY )    X i  Y j  f ( x i y j ) 
i
j
   X i  Y j  f ( xi )  f ( y j ) 
i
j
  X i F ( x i ) Y j f ( y j ) 
i
pois X e Y são
independentes
j
 E( X )  E(Y )
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
a) Medidas de posição
a.2) Mediana: Mediana de uma variável aleatória é o valor que divide
a distribuição em duas partes iguais, ou seja,
F ( Md )  0 ,5
• Exemplo: Seja X uma variável aleatória com a seguinte
função distribuição cumulativa:
F(X) = 0
F(X) = x2
F(X) = 1
para x < 0
para 0 ≤ x ≤ 1
para x > 1
Logo, a mediana será o valor de x tal que F(x = Md) = 0,5.
Assim:
2
2
x  Md  0,5  Md  0,5
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
a) Medidas de posição
a.3) Moda: É o valor da variável aleatória com maior probabilidade,
se X for discreta, ou maior densidade se X for contínua
• Exemplo1: Seja X uma variável aleatória discreta tal que:
x
-1
0
2
P(x)
0,3
0,2
0,5
Logo, a moda será igual a 2.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
a) Medidas de posição
a.3) Moda:
• Exemplo 2: Seja X uma variável aleatória contínua tal que:
2 x
f(x) 
0
para 0  x  1
para outros valores de x
O gráfico de f(x) é:
f(x)
Então:
Moda:
2
M o  1;
Md
Mediana:
1
F ( Md )  0 ,5 
 2 xdx 0 ,5
0
0
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1
x
 x2
Md
0
 Md 2  0 ,5  Md 
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
1
2
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
b) Medidas de dispersão
b.1) Variância: A variância de uma variável aleatória X,
representa-se por Var(X) = σx2 e define-se por:

Var( X )   x2  E X  E( X )2
 x2   x  E( X )2  f ( x )
 
2
x

( caso discreto )

2


x

E
(
X
)
 f ( x ) dx

( caso contínuo)

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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
b) Medidas de dispersão
b.1) Variância:
- Existe uma fórmula prática para o cálculo da variância:
Var( X )  E( X 2 )  E( X )
2
onde,
E( X 2 )   x 2  f ( x )
( caso discreto )

E( X ) 
2
2
x
  f ( x ) dx
( caso contínuo )

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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
b) Medidas de dispersão
b.2) Desvio padrão: Designa-se por desvio padrão e
representa-se por σ a raiz quadrada positiva da
variância:
 x    Var( X )
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
b) Medidas de dispersão
- Propriedades:
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias e K, a e b constantes.
1. Var(k) = 0
2. Var(kX) = k2Var(X)
3. Var(aX ± bY ) = a2Var( X ) + b2Var( Y ) ± 2abCov(X,Y )
Caso as variáveis sejam independentes, Cov(X,Y ) = 0, então:
Var( aX ± bY ) = a2Var( X ) + b2Var( Y )
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
III – Variáveis Aleatórias

Introdução

Varíáveis aleatórias discretas

Variáveis aleatórias contínuas

Parâmetros das variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias bidimensionais
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Até aqui considerou-se que o resultado do experimento seria
registrado como um único número x. Contudo, existem casos em
que há interesse por dois resultados simultâneos. Por exemplo,
estatura e peso de pessoas.
 Para isso precisa-se da seguinte definição:
Sejam E um experimento aleatório e S o espaço amostral
associado a E.
Sejam X = X(s) e Y = Y(s), duas funções, cada uma associando
um número real a cada resultado s ∈ S; denomina-se (X,Y) uma
variável aleatória bidimensional.
X
s
X(s)
Y
Y(s)
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Uma variável aleatória bidimensional não é mais do
que uma par de variáveis aleatórias (X,Y).
 No caso de X e Y serem duas variáveis aleatórias
discretas, o par diz-se uma variável aleatória
bidimensional discreta. Na situação em que ambas
são contínuas tem-se uma variável aleatória
bidimensional contínua.
 Portanto, tal como a variável unidimensional, (X,Y)
poderá ser discreta ou contínua, valendo as mesmas
considerações feitas anteriormente.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Função de probabilidade conjunta (V.A.D)
• Chama-se função de probabilidade conjunta da variável
aleatória bidimensional discreta (X,Y) à função f(x,y) que
associa a cada elemento (x,y) a probabilidade da variável
aleatória X assumir o valor x ao mesmo tempo da variável Y
assumir o valor y .
f (x,y) = P(X = x,Y = y)
- Propriedades:
1. f ( x , y )  0
2.
 f ( x
i
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i
,
x  R 2
,yj )  1
j
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Função de distribuição cumulativa conjunta (V.A.D)
• Chama-se função de distribuição de probabilidade
cumulativa conjunta da variável aleatória discreta
(X,Y) à função F(x,y) que associa a cada elemento
(x,y) a probabilidade da variável aleatória X tomar
valores menores ou iguais a x ao mesmo tempo da
variável Y tomar valores menores ou iguais a y.
F ( x , y )  P ( X  x ,Y  y )
F( x, y ) 
 f ( s , t )
s x t  y
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Função de distribuição cumulativa conjunta (V.A.D)
• Propriedades:
1. 0  F ( x , y )  1 ,
2. lim F ( x , y )  1
x  R 2
x  
y  
3. lim F ( x , y )  0
,
y
4. lim F ( x , y )  0
,
x
x  
y  
5. x 1  x 2 ^ y 1  y 2  F ( x 1 , y 1 )  F ( x 2 , y 2 )
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Funções de probabilidade marginal (V.A.D.)
• Dada uma variável aleatória bidimensional discreta e sua
função de distribuição conjunta, pode-se determinar a função
de distribuição de X sem considerar Y, ou vice-versa. São as
chamadas funções de probabilidade marginal.
- Função de probabilidade marginal de X :
f X ( x )  P( X  x ,  Y   )   P( X  x ,Y  y )   f ( x , y )
y
y
- Função de probabilidade marginal de Y :
f Y ( y )  P(   X  ,Y  y )   P( X  x ,Y  y )   f ( x , y )
x
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x
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Função densidade de probabilidade conjunta (V.A.C)
• Tal como acontece nas variáveis unidimensionais contínuas,
nas variáveis bidimensionais contínuas não faz sentido falar em
função de probabilidade visto que P(X = x,Y = y) = 0 para
qualquer (x,y), aparecendo em seu lugar a função de densidade
de probabilidade conjunta. Esta função indica como a
probabilidade se distribui pelos valores que o par aleatório
(X,Y) pode assumir.
• Seja X uma variável aleatória bidimensional contínua. Diz-se
que f(x,y) é uma função densidade de probabilidade conjunta
se:
2
1. f ( x , y )  0
, ( x , y )  R
  
2.
  f ( x , y ) dx dy  1
  
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Função de distribuição cumulativa conjunta (V.A.C.)
• Chama-se função de distribuição de probabilidade conjunta da
variável aleatória contínua (X,Y) à função F(x,y) que associa a
cada elemento (x,y) a probabilidade da variável aleatória X
assumir valores menores ou iguais a x ao mesmo tempo da
variável Y assumir valores menores ou iguais a y.
• É definida como na variável aleatória unidimensional, assim:
F ( x , y )  P ( X  x ,Y  y )
x y
F( x, y ) 
  f ( x , y ) dx dy
  
04/11/2015
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Função de distribuição cumulativa conjunta (V.A.C.)
• Propriedades:
1. 0  F ( x , y )  1 ,
2. lim F ( x , y )  1
x  R 2
x  
y  
3. lim F ( x , y )  0
,
y
4. lim F ( x , y )  0
,
x
x  
y  
5. x 1  x 2 ^ y 1  y 2  F ( x 1 , y 1 )  F ( x 2 , y 2 )
04/11/2015
22:38
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Funções de probabilidade marginal (V.A.C.)
• Dada uma variável aleatória bidimensional contínua e sua
função densidade de probabilidade conjunta pode-se determinar
a função densidade de probabilidade de X sem considerar Y, ou
vice-versa. São as chamadas funções de probabilidade
marginal.
- Função de probabilidade marginal de X :

fX ( x ) 
 f ( x , y ) dy

- Função de probabilidade marginal de Y :

fY ( y ) 
 f ( x , y ) dx

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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Funções de (densidade de) probabilidade condicionais
• Sabendo o valor que uma das variáveis vai assumir (ou
assumiu) pode-se calcular a função de probabilidade (no caso
discreto) ou a função de densidade de probabilidade (no caso
contínuo) da outra variável, tendo em conta a informação
conhecida relativamente ao valor da primeira variável.
- Caso discreto e caso contínuo:
f ( x, y )
f X |Y  y ( x ) 
fY ( y )
f ( x, y )
fY |X  x ( y ) 
fX ( x )
04/11/2015
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Covariância
• No estudo das relações existentes entre duas variáveis
aleatórias X e Y pode-se analisar a covariância das duas
variáveis. Define-se, então, covariância entre X e Y, Cov(X,Y),
como:
Cov( X ,Y )   XY  E X  E( X )  Y  E( Y )
- No caso discreto:
Cov( X ,Y )    x  E( X )   y  E( Y ) f ( x , y )
x
y
- No caso contínuo:

Cov( X ,Y ) 
   x  E( X )   y  E( Y ) f ( x , y ) dx dy
  
04/11/2015
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Covariância
• Fórmula prática para o cálculo da covariância:
Cov( X ,Y )  E ( X  Y )  E ( X )  E ( Y )
- Verifica-se que:
   Cov( X ,Y )  
04/11/2015
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Covariância
• A covariância entre duas variáveis fornece uma medida da
relação linear existente entre as duas variáveis:
- Quando a covariância assume um valor muito alto positivo
tem-se a indicação que existe uma relação linear positiva forte
entre as duas variáveis.
- Quando a covariância assume um valor muito baixo negativo
tem-se a indicação que existe uma relação linear negativa
forte.
- Nas situações em que a covariância assume valores próximos
de zero, a relação linear é muito fraca, e inexistente no caso
em que a covariância é igual a zero.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Coeficiente de correlação linear
• A covariância está expressa nas unidades das variáveis X e Y
simultaneamente, o que introduz dificuldades quando se
pretende fazer comparações.
• Para evitar esta situação pode-se calcular o coeficiente de
correlação linear (ρ) que tem sempre o seu valor entre –1 e 1.
• Dado um par de variáveis aleatórias (X,Y), define-se coeficiente
de correlação linear como:
 XY
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 XY


Var( X )  Var( Y )  X   Y
Cov( X ,Y )
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Coeficiente de correlação linear
• Quando:
ρXY = −1, existe correlação linear negativa
perfeita entre X e Y.
ρXY = 0, não há correlação linear entreX e Y.
ρXY = 1, existe correlação linear positiva perfeita
entre X e Y.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Independência das variáveis aleatórias X e Y
• Dada uma variável aleatória bidimensional (X,Y), diz-se que as
variáveis unidimensionais que a integram, X e Y, são
independentes, se a sua função (densidade) de probabilidade
conjunta f(x,y), for igual ao produto das funções (densidade) de
probabilidade marginais, isto é:
X e Y são independentes se
f ( x , y )  f ( x )  f ( y ) , ( x , y )
• Como consequência da definição tem-se que X e Y são
independentes se e somente se
f X |Y  y ( x )  f X ( x ) ou
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fY | X  x ( y )  fY ( y )
ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
 Independência das variáveis aleatórias X e Y
• Teorema:
- Se duas variáveis aleatórias X e Y são
independentes então a Cov(X,Y) = 0.
- Nota: A recíproca não é verdadeira. Duas
variáveis podem ter Cov(X,Y) = 0 e não serem
independentes. Apenas podemos garantir que
não existe relação linear entre as duas variáveis;
no entanto, pode existir outro tipo de relação,
que não a linear, e não serem independentes.
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
III – Variáveis Aleatórias
FIM
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ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias